人教版高中数学选修2-2数学教案：1.4生活中的优化问题举例

1.4生活中的优化问题举例
学情分析：前几节课学生已经对函数求导，以及利用导数研究函数单调性有了一定了解，本节课在前几节课的基础上结合生活实例 研究优化问题，对于学生应该比较容易理解并且掌握.
教学目标：
通过利润最大、用料最省、效率最高等优化问题，使学生体会导数在解决实际问题中的作用
提高将实际问题转化为数学问题的能力
教学重点：利用导数解决生活中的一些优化问题.
教学难点：利用导数解决生活中的一些优化问题．
教学方法：利用课件讲练结合.
教学过程：
一．创设情景
生活中经常遇到求利润最大、用料最省、效率最高等问题，这些问题通常称为优化问题．通过前面的学习，我们知道，导数是求函数最大（小）值的有力工具．这一节，我们利用导数，解决一些生活中的优化问题．
二．新课讲授
导数在实际生活中的应用主要是解决有关函数最大值、最小值的实际问题，主要有以下几个方面：
1、与几何有关的最值问题；
2、与利润及其成本有关的最值问题；
3、费用最省问题。
解决优化问题的方法：首先是需要分析问题中各个变量之间的关系，建立适当的函数关系，并确定函数的定义域，通过创造在闭区间内求函数取值的情境，即核心问题是建立适当的函数关系。再通过研究相应函数的性质，提出优化方案，使问题得以解决，在这个过程中，导数是一个有力的工具．
利用导数解决优化问题的基本思路：
三．典例分析
探究点一　面积、体积的最值问题
例1．海报版面尺寸的设计
学校或班级举行活动，通常需要张贴海报进行宣传。现让你设计一张如图1.4-1所示的竖向张贴的海报，要求版心面积为128dm2,上、下两边各空2dm,左、右两边各空1dm。如何设计海报的尺寸，才能使四周空心面积最小？
解　设版心的高为x dm，则版心的宽为 dm，此时四周空白面积为
S(x)＝(x＋4)－128
＝2x＋＋8，x>0.
求导数，得S′(x)＝2－.
令S′(x)＝2－＝0，解得x＝16(x＝－16舍去)．
于是宽为＝＝8.
当x∈(0,16)时，S′(x)<0；当x∈(16，＋∞)时，S′(x)>0.
因此，x＝16是函数S(x)的极小值点，也是最小值点．
所以，当版心高为16 dm，宽为8 dm时，能使四周空白面积最小．
反思　(1)在求最值时，往往建立函数关系式，若问题中给出的量较多时，一定要通过建立各个量之间的关系，通过消元法达到建立函数关系式的目的．
(2)在列函数关系式时，要注意实际问题中变量的取值范围，即函数的定义域．
跟踪训练1　如图，四边形ABCD是一块边长为4 km的正方形地域,地域内有一条 河流MD，其经过的路线是以AB的中点M为顶点且开口向右的抛物线(河流宽度忽略不计)．新长城公司准备投资建一个大型矩形游乐园PQCN，问如何施工才能使游乐园的面积最大？并求出最大面积．
探究点二　利润最大问题
导引　(1)你是否注意过，市场上等量的小包装的物品一般比大包装的要贵些？你想从数学上知道它的道理吗？
(2)是不是饮料瓶越大，饮料公司的利润越大？
例2．某制造商制造并出售球型瓶装的某种饮料．瓶子的制造成本是分，其中 是瓶子的半径，单位是厘米。已知每出售1 mL的饮料，制造商可获利 0.2 分,且制造商能制作的瓶子的最大半径为 6cm
(1)瓶子半径多大时，能使每瓶饮料的利润最大？
(2)瓶子半径多大时，每瓶饮料的利润最小？
解　由于瓶子的半径为r，所以每瓶饮料的利润是
y＝f(r)＝0.2×πr3－0.8πr2
＝0.8π，0令f′(r)＝0.8π(r2－2r)＝0.
当r＝2时，f′(r)＝0.
当r∈(0,2)时，f′(r)<0；
当r∈(2,6)时，f′(r)>0.
因此，当半径r>2时，
f′(r)>0，它表示f(r)单调递增，即半径越大，利润越高半径r<2时，f′(r)<0，它表示f(r)单调递减，
即半径越大，利润越低．
这时f(2)<0，表示此种瓶内饮料的利润还不够瓶子的成本，此时利润是负值．
半径为6 cm时，利润最大．
反思　解决此类有关利润的实际应用题，应灵活运用题设条件，建立利润的函数关系，常见的基本等量关系有
(1)利润＝收入－成本；
(2)利润＝每件产品的利润×销售件数．
跟踪训练2　某商场销售某种商品的经验表明，该商品每日的销售量y(单位：千克)与销售价格x(单位：元/千克)满足关系式y＝＋10(x－6)2，其中3(1)求a的值；
(2)若该商品的成本为3元/千克，试确定销售价格x的值，使商场每日销售该商品所获得的利润最大．
探究点三　费用(用材)最省问题
例3　已知A、B两地相距200 km，一只船从A地逆水行驶到B地，水速为8 km/h，船在静水中的速度为v km/h(8解　设每小时的燃料费为y1，比例系数为k(k>0)，
则y1＝kv2，当v＝12时，y1＝720，
∴720＝k·122，得k＝5.
设全程燃料费为y，由题意，得
y＝y1·＝，
∴y′＝＝.
令y′＝0，得v＝16，
当v0<16，即v∈(8，v0]时，y′<0，
即y在(8，v0]上为减函数，
∴当v＝v0时，ymin＝(元)
综上,当v0≥16时，v＝16 km/h全程燃料费最省，为32 000元；
当v0<16，即v＝v0时全程燃料费最省，为元
反思　本题在解题过程中容易忽视定义域，误以为v＝16时取得最小值．本题的关键是弄清极值点是否在定义域范围内．
跟踪训练3　现有一批货物由海上从A地运往B地，已知轮船的最大航行速度为35海里/时，A地至B地之间的航行距离约为500海里，每小时的运输成本由燃料费和其余费用组成，轮船每小时的燃料费与轮船速度的平方、成正比(比例系数为0.6)，其余费用为每小时960元．
(1)把全程运输成本y(元)表示为速度x(海里/时)的函数；
(2)为了使全程运输成本最小，轮船应以多大速度行驶？
四．课堂练习
1．方底无盖水箱的容积为256，则最省材料时，它的高为 (　　)
A．4 B．6 C．4.5 D．8
2．某银行准备新设一种定期存款业务，经预算，存款量与存款利率的平方成正比，比例系数为k(k>0)．已知贷款的利率为0.048 6，且假设银行吸收的存款能全部放贷出去．设存款利率为x，x∈(0,0.048 6)，若使银行获得最大收益，则x的取值为 (　　)
A．0.016 2 B．0.032 4
C．0.024 3 D．0.048 6
3．统计表明：某种型号的汽车在匀速行驶中每小时的耗油量y(升)关于行驶速度x(千米/时)的函数解析式可以表示为y＝x3－x＋8(0五．课堂总结
1．利用导数解决优化问题的基本思路：
2．解决优化问题的方法：通过搜集大量的统计数据，建立与其相应的数学模型，再通过研究相应函数的性质，提出优化方案，使问题得到解决．在这个过程中，导数往往是一个有利的工具。
六．课后作业：习题 《1.4生活中的优化问题举例 》
七. 课后反思 ： 通过本节课的学习，学生能够利用导数解决生活中的优化问题，提高了将实际问题转化为数学问题的能力，同时对导数有了更深的认识，完成了教学目标。