人教A版高中数学必修五2.3第2课时等差数列的前n项和（教案）

§2.3 等差数列的前n项和(2)
【教学目标】
1.知识与技能：
进一步熟练掌握等差数列的通项公式和前n项和公式；了解等差数列的一些性质，并会用它们解决一些相关问题，会利用等差数列通项公式和前n项和公式研究的最值.初步体验函数思想在解决数列问题中的应用.
2.过程与方法：
通过对公式从不同角度、不同侧面的剖析，培养学生思维的灵活性，提高学生分析问题和解决问题的能力.
3.情感、态度与价值观：
①提高学生代数的思维能力，使学生获得一定的成就感；
②通过生动具体的现实问题、数学问题，激发学生探究的兴趣与欲望，树立求真的勇气与自信心，增强学生学好数学的心理体验，产生热爱数学的情感.
【教学重点】
等差数列前n项和公式的掌握与应用.
【教学难点】
灵活应用求和公式解决问题.
【教辅手段】
多媒体投影仪、黑板
【教学过程】
I.情景设置—温故知新
首先，回顾上一节所学的内容：
（1）等差数列的前n项和公式1：
（2）等差数列的前n项和公式2：
Ⅱ.新知探究
等差数列的等价条件
例1：已知数列的前项和，求
（1）
（2）求这个数列的通项公式.
（3）这个数列是等差数列吗？如果是，它的首项和公差分别是什么？
分析：课本例题，题型比较简单，主要是靠引导学生.过程略.
[设计意图]本例题实际上给出了数列前项和公式判别是否是等差数列的依据，要让学生们知道等差数列前项是一个常数项为0的关于的二次型函数.
接下来，我们来完成一探究题.
如果一个数列的前 n 项和为.其中p、q、r 为常数，且 ，那么这个数列一定是等差数列吗？如果是，它的首项与公差分别是什么？
解：由 得
又
时

此类数列从第二项开始为等差数列.
归纳要使数列为等差数列，则即
[设计意图]本探究实际上是对例1的深化，目的是为了让学生进一步认识到，如果一个数列的前项公式是一个常数项为0的关于的二次型函数，则这个数列一定是等差数列，从而使学生从结构上认识数列.
2.等差数列的最值问题
例2：已知等差数列的前n项和为，求使得最大的序号n的值
分析：等差数列的前n项和公式可以写成 ，所以 可以看成函数，，当时的函数值.另一方面，容易知道 关于n的图像是一条抛物线上的一些点，因此，我们可以利用二次函数来求n的值.
解：由题意知，等差数列 的公差为 所以
当 n取与最接近的整数即为7或8时取最大值.
[设计意图]通过学习等差数列前项和的函数性质来用于实际题型中的应用，加深对函数结构的认识。
例3：等差数列 中，，求使得最小的序号的值？
解法一（同例2的解法一样，在此可以带过即可）：
由得
因此 则
则
由以上条件知有最小值.
又 ，则=10或11时取最小值，最小值为.
即
解法二：由解法一知 而
则数列为递增数列.
令 即
数列的前10项均为负值, =0.从第12项开始为正值.
n=10或n=11时取最小值.
解法三：
即
又则数列 为递增数列.
数列的前10项均为负值， =0.从第12项开始为正值.
当n=10或11是取最小值.
[设计意图]本例是对例2 的深化，通过一般的求最值方法，引导学生思考用简单的方法来解决同样的问题，达到数学浅入深出的学习效果。
等差数列前项和的性质
例4：已知数列是等差数列，是其前项和，求证也成等差数列，设成等差数列吗？
解法一：由


可得
解法二：



同理可得：

（的情况也类似，在此省略）
[设计意图]本例是要求学生通过自己做题来得出结论的，但是为了学生能更好的理解这个结论并且应用这个结论，在本节课加了这个例题，希望可以减轻学生课后的负担。
例5：（备用例题，时间允许可在课堂上讲解）若两个数列和的前项和和满足关系式求
（分析：条件是前项和的比值，而结论是通项的比值，所以，需要将通项的比值转化为前项和的比值，恰当的应用等差公式可以简化解题过程.）
解：由等差数列性质：
[设计意图]本例题对于初学者来说解答比较困难，若果让学生自行解答比较吃力，在这里加了讲解，希望对学生有所帮助。
【归纳提升】
1.等差数列的等价条件
若一个数列为等差数列，则 中的C必为0，A、B为任意常数.反之也成立.
2.求等差数列前n项和的最值有两种方法
第一种：根据项的正负来定
若，则数列的所有正数项之和最大，
若, 则数列的所有负数项之和最小..
第二种：
由二次函数的最大，小值知识及 知.当n取接近于的正整数时，取最大值（或最小值）值得注意的是接近的正整数有时1个，有时2个.
3.等差数列前项和的性质
若数列是等差数列，是其前项和，设也成等差数列.
[设计意图]总结是为了让学生明白本节课的重难点在哪，同时使学生回顾本节课的知识点，达到复习加总结的效果。
【即时体验】
问题1.等差数列中，，求数列的前n项和的最小值.
分析：利用归纳的2种解题方法进行求解：①将Sn表示成关于n的一元二次函数的最值求解.②确定数列中负值的个数，由所有项之和最小求解.
解答过程略.
问题2：已知等差数列的前10项和为100，前100项和为10，则前110项和为多少？
解：成等差数列，设其公差为D，
又首项为，前10项的和为
又
问题3：若两个等差数列的前项和之比是，试求它们的第11项之比.
分析：同例3同题型，问题转化为具体的项之比，题目更简单化，解答过程在此处省略.
[设计意图]及时巩固，让学生活学活用，直接应用本节课所学的知识点来解决数学问题。达到加深理解的学习效果。
八、课后延续
P46习题2.3.A组第3题；P47习题2.3.B组第4题
[设计意图]课后作业可以让学生加深本节课的认识，同时不忘记巩固。
九、板书设计

幕布
课题
一、复习
二、探究题归纳总结
三、最值问题归纳
四、等差数列性质
一 例1
二 探究分析
三 例2分析
四 例3分析
十、备用问题
（高考题）：【2010年高考福建卷·理3】设等差数列{an}的前n项和为Sn，若a1=-11，a4+a6=-6，则当Sn取最小值时，n等于（　　）
A、6 B、7 C、8 D、9
考点：等差数列的前n项和．
专题：常规题型．
分析：条件已提供了首项，故用“a1，d”法，再转化为关于n的二次函数解得．
解答：
解：设该数列的公差为d，则a4+a6=2a1+8d=2×（-11）+8d=-6，解得d=2，
所以 ，所以当n=6时，Sn取最小值．
故选A.
十一、教后反思