人教A版高中数学必修二3.2.3直线的一般式方程教案
文档属性
| 名称 | 人教A版高中数学必修二3.2.3直线的一般式方程教案 |  | |
| 格式 | zip | ||
| 文件大小 | 63.0KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教新课标A版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2019-10-14 17:08:53 | ||
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文档简介
3.2.3 直线的一般式方程
教学目标
1.知识与技能：
（1）通过推导，了解直线都可以表示成一般式方程；
（2）理解直线一般式方程系数的意义；
（3）会判断一般式方程的平行垂直问题.
2.过程与方法：通过实例初步了解概念，通过探究深入理解概念的实质，关键是要培养学生分析问题、解决问题和转化问题的能力.
3.情感态度价值观：
（1）本节核心问题是让学生学会转化思想，灵活应用所学知识，加强与实际生活的联系，以科学的态度评价身边的一些现象；
（2）用有现实意义的实例，激发学生的学习兴趣，培养学生勇于探索，善于发现的创新思想。培养学生掌握“理论来源于实践，并把理论应用于实践”的辨证思想
重点难点
1.教学重点：了解直线都可以表示成一般式方程，会判断一般式方程的平行垂直问题
2.教学难点：理解直线一般式方程系数的意义.
教学过程
（一）复习引入：
1、直线方程的点斜式、斜截式、两点式、截距式的互相转化：
练习1：由下列条件，写出直线的方程：
（1）经过点A（8，– 2），斜率是；（）
（2）经过点B（4，2），平行于x轴；（y – 2 = 0）
（3）经过点P1（3，– 2），P2（5，– 4）；（）
（4）在x轴，y轴上的截距分别为，– 3。（）
2、直线方程的几种形式：
形式
条 件
方 程
应用范围
点斜式
过点，斜率为k
k存在
斜截式
斜率为k，在y轴的截距为b
k存在
两点式
过不同两点、
k存在
截距式
在x轴、y轴上的截距分别为a、b
k存在且且不过原点
思考：以上方程有什么共同的特点？
（二）讲授新课：
1、直线与二元一次方程的关系：
问题1：平面直角坐标系中的每一条直线都可以用一个关于x、y的二元一次方程表示吗？
对直线的倾斜角α进行讨论：
① 当时，
直线斜率为，其方程可写成：，可变形为：
，其中：A = k，B = – 1，C = b；A、B不同时为零。（如图）
② 当时，直线斜率不存在，其方程可写成的形式，
也可以变形为：，其中：A = 1，B = 0，。
（如图）
结论1：平面直角坐标系中任何一条直线都可以用关于x、y的二元一次方程（A、B不同时为零）来表示。
问题2：每一个关于x、y的二元一次方程都表示一条直线吗？
对B分两种情况进行讨论：
① 当时，可化为：，它表示斜率为，在y轴上的截距为的直线；
② 当B = 0时，则，可化为，表示与y轴平行（）或重合（C = 0）的直线。
结论2：任何关于x、y的二元一次方程（A、B不同时为零）都可以表示平面直角坐标系中的一条直线。
2、直线的一般式方程：
把关于x、y的二元一次方程（A、B不同时为零）叫做直线的一般式方程，简称一般式。
注：（ⅰ）在平面直角坐标系中，表示任何一条直线的方程都是关于x、y的一次方程；
反之，每一个关于x、y的一次方程都表示直角坐标系中的一条直线。
（ⅱ）直线方程的特殊形式与一般形式可以互相转化。
3、探究：
在方程中，A，B，C为何值时，方程表示的直线：
（1）平行于x轴； （2）平行于y轴；
（3）与x轴重合； （4）与y轴重合。
说明：引导学生从直线与方程的一一对应关系去探究。
4、练习2：把练习1中的直线方程化成一般式方程。
（三）例题剖析：
例1、已知直线经过点，且斜率为，求直线点斜式和一般式的方程：
解：点斜式方程：； （2）一般式方程：；
例2、把直线l的一般式方程x – 2y + 6 = 0化成斜截式，求出直线l的斜率以及它在x轴与y轴上的截距，并画出图形。
解：将直线l的一般式方程化成斜截式，因此，直线的斜率，它在y轴上的截距是3。
在直线l的方程x – 2y + 6 = 0中，令y = 0，得x = – 6，即直线在x轴上的截距是 – 6。
由上面可得直线l与x轴、y轴的交点分别为A（– 6，0），B（0，3），过点A、B作直线，就得直线l的图形（如图）。
注：求截距可以引导学生把一般式化为截距式，再由截距式观察而得。
变式训练
1.已知直线Ax+By+C=0，
（1）系数为什么值时，方程表示通过原点的直线?
（2）系数满足什么关系时,与坐标轴都相交?
（3）系数满足什么条件时,只与x轴相交?
（4）系数满足什么条件时,是x轴?
（5）设P(x0,y0)为直线Ax+By+C=0上一点,
证明这条直线的方程可以写成A(x-x0)+B(y-y0)=0.
答案：（1）C=0；
（2）A≠0且B≠0；
（3）B=0且C≠0；
（4）A=C=0且B≠0;
（四）课堂练习：课本P99，练习第2、3题。
1.若直线l在x轴上的截距为-4，倾斜角的正切值为1，
则直线l的点斜式方程是___________.直线l的斜截式方程是___________.直线l的一般式方程是___________.
2.根据下列条件，写出直线的一般式方程：
3.求下列直线的斜率以及在y轴上的截距，并画出图形.
4.已知线段PQ两端点的坐标分别为P(-1，1)和Q(2，2)，若直线l:x+my+m=0与线段PQ有交点，求实数m的取值范围.
（五）归纳总结
（1）掌握直线方程的一般式，了解直角坐标系中直线与关于x和y的一次方程的对应关系；
（2）会将直线方程的特殊形式化成一般式，会将一般式化成斜截式和截距式；
（3）通过学习，培养相互合作意识,培养学生思维的严谨性，注意语言表述能力的训练.
教学目标
1.知识与技能：
（1）通过推导，了解直线都可以表示成一般式方程；
（2）理解直线一般式方程系数的意义；
（3）会判断一般式方程的平行垂直问题.
2.过程与方法：通过实例初步了解概念，通过探究深入理解概念的实质，关键是要培养学生分析问题、解决问题和转化问题的能力.
3.情感态度价值观：
（1）本节核心问题是让学生学会转化思想，灵活应用所学知识，加强与实际生活的联系，以科学的态度评价身边的一些现象；
（2）用有现实意义的实例，激发学生的学习兴趣，培养学生勇于探索，善于发现的创新思想。培养学生掌握“理论来源于实践，并把理论应用于实践”的辨证思想
重点难点
1.教学重点：了解直线都可以表示成一般式方程，会判断一般式方程的平行垂直问题
2.教学难点：理解直线一般式方程系数的意义.
教学过程
（一）复习引入：
1、直线方程的点斜式、斜截式、两点式、截距式的互相转化：
练习1：由下列条件，写出直线的方程：
（1）经过点A（8，– 2），斜率是；（）
（2）经过点B（4，2），平行于x轴；（y – 2 = 0）
（3）经过点P1（3，– 2），P2（5，– 4）；（）
（4）在x轴，y轴上的截距分别为，– 3。（）
2、直线方程的几种形式：
形式
条 件
方 程
应用范围
点斜式
过点，斜率为k
k存在
斜截式
斜率为k，在y轴的截距为b
k存在
两点式
过不同两点、
k存在
截距式
在x轴、y轴上的截距分别为a、b
k存在且且不过原点
思考：以上方程有什么共同的特点？
（二）讲授新课：
1、直线与二元一次方程的关系：
问题1：平面直角坐标系中的每一条直线都可以用一个关于x、y的二元一次方程表示吗？
对直线的倾斜角α进行讨论：
① 当时，
直线斜率为，其方程可写成：，可变形为：
，其中：A = k，B = – 1，C = b；A、B不同时为零。（如图）
② 当时，直线斜率不存在，其方程可写成的形式，
也可以变形为：，其中：A = 1，B = 0，。
（如图）
结论1：平面直角坐标系中任何一条直线都可以用关于x、y的二元一次方程（A、B不同时为零）来表示。
问题2：每一个关于x、y的二元一次方程都表示一条直线吗？
对B分两种情况进行讨论：
① 当时，可化为：，它表示斜率为，在y轴上的截距为的直线；
② 当B = 0时，则，可化为，表示与y轴平行（）或重合（C = 0）的直线。
结论2：任何关于x、y的二元一次方程（A、B不同时为零）都可以表示平面直角坐标系中的一条直线。
2、直线的一般式方程：
把关于x、y的二元一次方程（A、B不同时为零）叫做直线的一般式方程，简称一般式。
注：（ⅰ）在平面直角坐标系中，表示任何一条直线的方程都是关于x、y的一次方程；
反之，每一个关于x、y的一次方程都表示直角坐标系中的一条直线。
（ⅱ）直线方程的特殊形式与一般形式可以互相转化。
3、探究：
在方程中，A，B，C为何值时，方程表示的直线：
（1）平行于x轴； （2）平行于y轴；
（3）与x轴重合； （4）与y轴重合。
说明：引导学生从直线与方程的一一对应关系去探究。
4、练习2：把练习1中的直线方程化成一般式方程。
（三）例题剖析：
例1、已知直线经过点，且斜率为，求直线点斜式和一般式的方程：
解：点斜式方程：； （2）一般式方程：；
例2、把直线l的一般式方程x – 2y + 6 = 0化成斜截式，求出直线l的斜率以及它在x轴与y轴上的截距，并画出图形。
解：将直线l的一般式方程化成斜截式，因此，直线的斜率，它在y轴上的截距是3。
在直线l的方程x – 2y + 6 = 0中，令y = 0，得x = – 6，即直线在x轴上的截距是 – 6。
由上面可得直线l与x轴、y轴的交点分别为A（– 6，0），B（0，3），过点A、B作直线，就得直线l的图形（如图）。
注：求截距可以引导学生把一般式化为截距式，再由截距式观察而得。
变式训练
1.已知直线Ax+By+C=0，
（1）系数为什么值时，方程表示通过原点的直线?
（2）系数满足什么关系时,与坐标轴都相交?
（3）系数满足什么条件时,只与x轴相交?
（4）系数满足什么条件时,是x轴?
（5）设P(x0,y0)为直线Ax+By+C=0上一点,
证明这条直线的方程可以写成A(x-x0)+B(y-y0)=0.
答案：（1）C=0；
（2）A≠0且B≠0；
（3）B=0且C≠0；
（4）A=C=0且B≠0;
（四）课堂练习：课本P99，练习第2、3题。
1.若直线l在x轴上的截距为-4，倾斜角的正切值为1，
则直线l的点斜式方程是___________.直线l的斜截式方程是___________.直线l的一般式方程是___________.
2.根据下列条件，写出直线的一般式方程：
3.求下列直线的斜率以及在y轴上的截距，并画出图形.
4.已知线段PQ两端点的坐标分别为P(-1，1)和Q(2，2)，若直线l:x+my+m=0与线段PQ有交点，求实数m的取值范围.
（五）归纳总结
（1）掌握直线方程的一般式，了解直角坐标系中直线与关于x和y的一次方程的对应关系；
（2）会将直线方程的特殊形式化成一般式，会将一般式化成斜截式和截距式；
（3）通过学习，培养相互合作意识,培养学生思维的严谨性，注意语言表述能力的训练.