第三章函数 第14节 一次函数
■考点1. 一次函数的定义
?形如y=_ __(k、b为常数，k_____)的函数叫做一次函数。当b_ ___时，函数y=_ ___ (k____)叫做正比例函数。?
注意：理解一次函数概念应注意下面两点：?
(1)解析式中自变量x的次数是_ __次
?⑵自变量X的系数为常数
? （3）正比例函数是特殊的一次函数，一次函数包含正比例函数
■考点2．一次函数的图象及性质
(1)正比例函数（）的图象是经过点 和 的一条直线；一次函数（）的图象是经过（，）和（，）两点的一条直线。
(2) -次函数（）的图象与性质
k，b符号
K＞0
k<0
b＞0
b＜0
b=0
b>0
b<0
b＝0
大致
图象
经过象限
一、二、三
一、三、四
一、三
一、二、四
二、三、四
二、四
图象性质
y随x的增大而
y随x的增大而
■考点3．用待定系数法求一次函数解析式：
(1)关键：确定一次函数（）中的字母与的值。
(2)步骤：①设一次函数表达式；
②根据已知条件将，的对应值代人表达式；
③解关于，的方程或方程组；
④确定表达式。
■考点4.两直线的位置关系（设两直线，）：
(1)两个一次函数y=k1x+b 和y=k2x+b图象的交点坐标. 二元一次方程组 的解
(2)两直线平行： ()；
(3)两直线垂直：。
■考点5.一次函数图象的平移
规律：①一次函数图象平移前后k不变，或两条直线可以通过平移得到，则可知它们的k值相同.
②若向上平移h单位，则b值增大h；若向下平移h单位，则b值减小h.即“上加下减”
若向左平移h单位，则x值增大h；若向右平移h单位，则x值减小h.即“左加右减”
■考点6．一次函数与一元一次方程，一元一次不等式和二元一次方程组的关系
(1) -次函数与一元一次方程：
一次函数（）的图象与轴交点的横坐标是 时一元一次方程的解，与轴交点的纵坐标是 时一元一次方程的解。21教育名师原创作品
(2) -次函数与一元一次不等式：
（）或（）的解集即一次函数图象位于轴上方或下方时相应的取值范围，反之也成立。
(3)-次函数与二元一次方程组：
两条直线的交点坐标即为两个一次函数解析式所组成的二元一次方程组的解，反之根据以二元一次方程组的解为坐标的焦是对应两直线的交点。
■考点1：一次函数的图象与性质
◇典例：
（2019年辽宁省辽阳市）若ab＜0且a＞b，则函数y＝ax+b的图象可能是（ ）
A． B．C．D．
【考点】一次函数的图象
【分析】利用ab＜0，且a＞b得到a＞0，b＜0，然后根据一次函数图象与系数的关系进行判断．
解：∵ab＜0，且a＞b，
∴a＞0，b＜0，
∴函数y＝ax+b的图象经过第一、三、四象限．
故选：A．
【点评】本题考查了一次函数图象与系数的关系：一次函数y＝kx+b（k、b为常数，k≠0）是一条直线，当k＞0，图象经过第一、三象限，y随x的增大而增大，当k＜0，图象经过第二、四象限，y随x的增大而减小，图象与y轴的交点坐标为（0，b）．
（2019年江苏省扬州）若点P在一次函数的图像上，则点P一定不在（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【考点】一次函数的性质
【分析】根据一次函数的性质进行判定即可.
解：一次函数y=-x+4中k=-1<0，b>0，
所以一次函数y=-x+4的图象经过二、一、四象限，
又点P在一次函数y=-x+4的图象上，
所以点P一定不在第三象限，
故选C.
【点睛】本题考查了一次函数的图象和性质，熟练掌握是解题的关键.
y=kx+b：当 k>0，b>0时，函数的图象经过一，二，三象限；当 k>0，b<0时，函数的图象经过一，三，四象限；当 k<0，b>0时，函数的图象经过一，二，四象限；当 k<0，b<0时，函数的图象经过二，三，四象限.
◆变式训练
（2019年广西河池市）函数y＝x﹣2的图象不经过（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
（2019年贵州省毕节市）已知一次函数y＝kx+b（k，b为常数，k≠0）的图象经过一、三、四象限，则下列结论正确的是( )
A．kb＞0 B．kb＜0 C．k+b＞0 D．k+b＜0
■考点2：用待定系数法求一次函数解析式：
◇典例
（2019年广西河池市）如图，在平面直角坐标系中，A（2，0），B（0，1），AC由AB绕点A顺时针旋转90°而得，则AC所在直线的解析式是 ．
【考点】待定系数法求一次函数解析式，坐标与图形变化﹣旋转
【分析】过点C作CD⊥x轴于点D，易知△ACD≌△BAO（AAS），已知A（2，0），B（0，1），从而求得点C坐标，设直线AC的解析式为y＝kx+b，将点A，点C坐标代入求得k和b，从而得解．
解：∵A（2，0），B（0，1）
∴OA＝2，OB＝1
过点C作CD⊥x轴于点D，
则易知△ACD≌△BAO（AAS）
∴AD＝OB＝1，CD＝OA＝2
∴C（3，2）
设直线AC的解析式为y＝kx+b，将点A，点C坐标代入得
∴
∴直线AC的解析式为y＝2x﹣4．
故答案为：y＝2x﹣4．
【点评】本题是几何图形旋转与待定系数法求一次函数解析式的综合题，难度中等．
◆变式训练
（2019年广西桂林市）如图，四边形ABCD的顶点坐标分别为A（﹣4，0），B（﹣2，﹣1），C（3，0），D（0，3），当过点B的直线l将四边形ABCD分成面积相等的两部分时，直线l所表示的函数表达式为（ ）
A．y＝x+ B．y＝x+ C．y＝x+1 D．y＝x+
■考点3：两直线的位置关系
◇典例：
（2018年江苏省南通市）函数y=﹣x的图象与函数y=x+1的图象的交点在（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【考点】两条直线相交或平行问题
【分析】根据题目中的函数解析式可以求得这两个函数的交点坐标，从而可以解答本题．
解：，
解得，，
∴函数y=﹣x的图象与函数y=x+1的图象的交点是（，），
故函数y=﹣x的图象与函数y=x+1的图象的交点在第二象限，
故选：B．
【点评】本题考查两条直线相交或平行问题，解答本题的关键是明确题意，求出两个函数的交点坐标，利用函数的思想解答．
◆变式训练
（2019年山东省东营市）如图，在平面直角坐标系中，函数y＝x和y＝﹣x的图象
分别为直线l1，l2，过l1上的点A1（1，）作x轴的垂线交l2于点A2，过点A2作y轴的
垂线交l1于点A3，过点A3作x轴的垂线交l2于点A4，…依次进行下去，则点A2019的横坐标
为 ．
■考点4. 一次函数图象与几何变换
◇典例：
（2017年山东济南市）将一次函数y=2x的图象向上平移2个单位后，当y＞0时，x的取值范围是（ ）
A．x＞﹣1 B．x＞1 C．x＞﹣2 D．x＞2
【考点】一次函数图象与几何变换．
【分析】首先得出平移后解析式，进而求出函数与坐标轴交点，即可得出y＞0时，x的取值范围．
解：∵将y=2x的图象向上平移2个单位，
∴平移后解析式为：y=2x+2，
当y=0时，x=﹣1，
故y＞0，则x的取值范围是：x＞﹣1．
故选A
【点评】此题主要考查了一次函数图象与几何变换，正确得出平移后解析式是解题关键．
◆变式训练
【2018年娄底市】将直线y=2x﹣3向右平移2个单位，再向上平移3个单位后，所得的直线的表达式为（ ）
A．y=2x﹣4 B．y=2x+4 C．y=2x+2 D．y=2x﹣2
■考点5．一次函数与一元一次方程，一元一次不等式和二元一次方程组的关系
◇典例：
（2019年山东省烟台市）如图，直线y＝x+2与直线y＝ax+c相交于点P（m，3），则关于x的不等式x+2≤ax+c的解为 ．
【考点】一次函数与一元一次不等式
【分析】将点P（m，3）代入y＝x+2，求出点P的坐标，结合函数图象可知当x＜1时x+2≤ax+c，即可求解，
解：点P（m，3）代入y＝x+2，
∴m＝1，
∴P（1，3），
结合图象可知x+2≤ax+c的解为x≤1，
故答案为x≤1，
【点评】本题考查一次函数的交点于一元一次不等式，将一元一次不等式的解转化为一次函数图象的关系是解题的关键．
◆变式训练
（2019年山东省滨州市（a卷））如图，直线y＝kx+b（k＜0）经过点A（3，1），当kx+b＜x时，x的取值范围为 ．
（2019年广西梧州市）直线y＝3x+1向下平移2个单位，所得直线的解析式是（ ）
A．y＝3x+3 B．y＝3x﹣2 C．y＝3x+2 D．y＝3x﹣1
（2019年广西贵港市）下列命题中假命题是（ ）
A．对顶角相等
B．直线y＝x﹣5不经过第二象限
C．五边形的内角和为540°
D．因式分解x3+x2+x＝x（x2+x）
（2019年辽宁省沈阳市）已知一次函数y＝（k+1）x+b的图象如图所示，则k的取值范围是（ ）
A．k＜0 B．k＜﹣1 C．k＜1 D．k＞﹣1
（2019年湖北省荆门市）如果函数y＝kx+b（k，b是常数）的图象不经过第二象限，那么k，b应满足的条件是（ ）
A．k≥0且b≤0 B．k＞0且b≤0 C．k≥0且b＜0 D．k＞0且b＜0
（2019年贵州省遵义市）如图所示，直线l1：yx+6与直线l2：yx﹣2交于点P（﹣2，3），不等式x+6x﹣2的解集是（ ）
A．x＞﹣2 B．x≥﹣2 C．x＜﹣2 D．x≤﹣2
（2019年辽宁省本溪市）函数y＝5x的图象经过的象限是 ．
（2019年天津市）直线与轴交点坐标为_____________．
（2019年四川省成都市）已知一次函数y＝（k﹣3）x+1的图象经过第一、二、四象限，则k的取值范围是 ．
（2019年湖北省鄂州市）在平面直角坐标系中，点P（x0，y0）到直线Ax+By+C＝0的距离公式为：d＝，则点P（3，﹣3）到直线y＝﹣x+的距离为 ．
（2019年山东省潍坊市）当直线y＝（2﹣2k）x+k﹣3经过第二、三、四象限时，则k的取值范围是 ．
选择题
（2019年浙江省杭州市）已知一次函数y1＝ax+b和y2＝bx+a（a≠b），函数y1和y2的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
（2019年湖南省娄底市）如图，直线y＝x+b和y＝kx+2与x轴分别交于点A（﹣2，0），点B（3，0），则解集为（ ）
A．x＜﹣2 B．x＞3 C．x＜﹣2或x＞3 D．﹣2＜x＜3
（2019年江苏省苏州市）若一次函数(为常数，且)的图象经过点，，则不等式的解为( )
A． B． C． D．
（2019年湖南省邵阳市）一次函数y1＝k1x+b1的图象l1如图所示，将直线l1向下平移若干个单位后得直线l2，l2的函数表达式为y2＝k2x+b2．下列说法中错误的是（ ）
A．k1＝k2 B．b1＜b2
C．b1＞b2 D．当x＝5时，y1＞y2
（2019年四川省眉山市）如图，一束光线从点A（4，4）出发，经y轴上的点C反射后经过点B（1，0），则点C的坐标是（ ）
A．（0，） B．（0，） C．（0，1） D．（0，2）
（2019年四川省广元市）如图，过点A0（0，1）作y轴的垂线交直线l：y＝x于点A1，过点A1作直线l的垂线，交y轴于点A2，过点A2作y轴的垂线交直线l于点A3，…，这样依次下去，得到△A0A1A2，△A2A3A4，△A4A546，…，其面积分别记为S1，S2，S3，…，则S100为（ ）
A．（）100 B．（3）100 C．3×4199 D．3×2395
（2019年湖北省鄂州市）如图，在平面直角坐标系中，点A1、A2、A3…An在x轴上，B1、B2、B3…Bn在直线y＝x上，若A1（1，0），且△A1B1A2、△A2B2A3…△AnBnAn+1都是等边三角形，从左到右的小三角形（阴影部分）的面积分别记为S1、S2、S3…Sn．则Sn可表示为（ ）
A．22n B．22n﹣1 C．22n﹣2 D．22n﹣3
（2019年山东省枣庄市）如图，一直线与两坐标轴的正半轴分别交于A，B两点，P是线段AB上任意一点（不包括端点），过点P分别作两坐标轴的垂线与两坐标轴围成的矩形的周长为8，则该直线的函数表达式是（ ）
A．y＝﹣x+4 B．y＝x+4 C．y＝x+8 D．y＝﹣x+8
（2019年山东省临沂市）下列关于一次函数y＝kx+b（k＜0，b＞0）的说法，错误的是（ ）
A．图象经过第一、二、四象限
B．y随x的增大而减小
C．图象与y轴交于点（0，b）
D．当x＞﹣时，y＞0
（2019年山东省聊城市）如图，在Rt△ABO中，∠OBA＝90°，A（4，4），点C在边AB上，且＝，点D为OB的中点，点P为边OA上的动点，当点P在OA上移动时，使四边形PDBC周长最小的点P的坐标为（ ）
A．（2，2） B．（，） C．（，） D．（3，3）
填空题
（2019年贵州省贵阳市 ）在平面直角坐标系内，一次函数y＝k1x+b1与y＝k2x+b2的图象如图所示，则关于x，y的方程组的解是________．
（2019年江苏省无锡市）已知一次函数y=kx+b的图象如图所示，则关于x的不等式3kx-b>0的解集为_____.
（2019年辽宁省本溪市）如图，点B1在直线l：y＝x上，点B1的横坐标为2，过B1作B1A1⊥l，交x轴于点A1，以A1B1为边，向右作正方形A1B1B2C1，延长B2C1交x轴于点A2，以A2B2为边，向右作正方形A2B2B3C2，延长B3C2交x轴于点A3，以A3B3为边，向右作正方形A3B3B4C3延长B4C3交x轴于点A4，…，按照这个规律进行下去，点?n的横坐标为 （结果用含正整数n的代数式表示）
（2019年黑龙江省齐齐哈尔、黑河市）如图，直线分别交轴、轴于点和点，过点作，交轴于点，过点作轴，交直线于点；过点作，交轴于点，过点作轴，交直线于点，依此规律…，若图中阴影的面积为，阴影的面积为，阴影的面积为，则_______．
（2019年湖北省江汉油田、潜江、仙桃、天门市）如图，在平面直角坐标系中，四边形OA1B1C1，A1A2B2C2，A2A3B3C3，…都是菱形，点A1，A2，A3，…都在x轴上，点C1，C2，C3，…都在直线y＝x+上，且∠C1OA1＝∠C2A1A2＝∠C3A2A3＝…＝60°，OA1＝1，则点C6的坐标是 ．
（2019年湖南省娄底市）已知点P（x0，y0）到直线y＝kx+b的距离可表示为d＝，例如：点（0，1）到直线y＝2x+6的距离d＝＝．据此进一步可得两条平行线y＝x和y＝x﹣4之间的距离为 ．
（2019年江苏省盐城市）如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝2x﹣1的图象分别交x、y轴于点A．B，将直线AB绕点B按顺时针方向旋转45°，交x轴于点C，则直线BC的函数表达式是 ．
（2019年江苏省徐州市）函数y＝x+1的图象与x轴、y轴分别交于A．B两点，点C在x轴上．若△ABC为等腰三角形，则满足条件的点C共有 个．
（2019年山东省泰安市）在平面直角坐标系中，直线l：y＝x+1与y轴交于点A1，如图所示，依次作正方形OA1B1C1，正方形C1A2B2C2，正方形C2A3B3C3，正方形C3A4B4C4，……，点A1，A2，A3，A4，……在直线l上，点C1，C2，C3，C4，……在x轴正半轴上，则前n个正方形对角线长的和是 ．
（2019年四川省攀枝花市）正方形， ，，…按如图所示的方式放置，点，，，…和点，，，…分别在直线（）和轴上。已知，点，则的坐标是_____________
解答题
（2019年广东省广州市）已知
（1）化简P；
（2）若点（a，b）在一次函数的图像上，求P的值。
（2019年四川省乐山市）如图，已知过点B（1，0）的直线l1与直线l2：y＝2x+4相交于点P（﹣1，a）．
（1）求直线l1的解析式，
（2）求四边形PAOC的面积．
（2019年江苏省南京 ）已知一次函数（k为常数，k≠0）和．
（1）当k＝﹣2时，若＞，求x的取值范围；
（2）当x＜1时，＞．结合图像，直接写出k的取值范围．
（2019年北京市）在平面直角坐标系xOy中，直线l：y＝kx+1（k≠0）与直线x＝k，直线y＝﹣k分别交于点A，B，直线x＝k与直线y＝﹣k交于点C．
（1）求直线l与y轴的交点坐标，
（2）横、纵坐标都是整数的点叫做整点，记线段AB，BC，CA围成的区域（不含边界）为W．
①当k＝2时，结合函数图象，求区域W内的整点个数，
②若区域W内没有整点，直接写出k的取值范围．
（2019年浙江省衢州市）定义：在平面直角坐标系中，对于任意两点A（a，b），B（c，d），若点T（x，y）满足x＝，y＝那么称点T是点A，B的融合点．
例如：A（﹣1，8），B（4，﹣2），当点T（x，y）满足x＝＝1，y＝＝2时，则点T（1，2）是点A，B的融合点．
（1）已知点A（﹣1，5），B（7，7），C（2，4），请说明其中一个点是另外两个点的融合点．
（2）如图，点D（3，0），点E（t，2t+3）是直线l上任意一点，点T（x，y）是点D，E的融合点．
①试确定y与x的关系式．
②若直线ET交x轴于点H．当△DTH为直角三角形时，求点E的坐标．
第三章函数 第14节 一次函数
■考点1. 一次函数的定义
?形如y=__y＝kx＋b_____(k、b为常数，k_≠0_____)的函数叫做一次函数。当b_=0____时，函数y=_kx___(k__≠0__)2-1-c-n-j-y
叫做正比例函数。?
注意：理解一次函数概念应注意下面两点：?
⑴解析式中自变量x的次数是_1__次
?⑵自变量X的系数为常数
? （3）正比例函数是特殊的一次函数，一次函数包含正比例函数
■考点2．一次函数的图象及性质
(1)正比例函数（）的图象是经过点(0，0)和（1，） 的一条直线；一次函数（）的图象是经过（，）和（，）两点的一条直线。
(2) -次函数（）的图象与性质
k，b符号
K＞0
k<0
b＞0
b＜0
b=0
b>0
b<0
b＝0
大致
图象
经过象限
一、二、三
一、三、四
一、三
一、二、四
二、三、四
二、四
图象性质
y随x的增大而增大
y随x的增大而减小
■考点3．用待定系数法求一次函数解析式：
(1)关键：确定一次函数（）中的字母与的值。
(2)步骤：①设一次函数表达式；
②根据已知条件将，的对应值代人表达式；
③解关于，的方程或方程组；
④确定表达式。
■考点4.两直线的位置关系（设两直线，）：
(1)两个一次函数y=k1x+b 和y=k2x+b图象的交点坐标. 二元一次方程组 的解
(2)两直线平行： ()；
(3)两直线垂直：。
■考点5.一次函数图象的平移
规律：①一次函数图象平移前后k不变，或两条直线可以通过平移得到，则可知它们的k值相同.
②若向上平移h单位，则b值增大h；若向下平移h单位，则b值减小h.即“上加下减”
若向左平移h单位，则x值增大h；若向右平移h单位，则x值减小h.即“左加右减”
■考点6．一次函数与一元一次方程，一元一次不等式和二元一次方程组的关系
(1) -次函数与一元一次方程：
一次函数（）的图象与轴交点的横坐标是时一元一次方程的解，与轴交点的纵坐标是时一元一次方程的解。【版权所有：21教育】
(2) -次函数与一元一次不等式：
（）或（）的解集即一次函数图象位于轴上方或下方时相应的取值范围，反之也成立。
(3)-次函数与二元一次方程组：
两条直线的交点坐标即为两个一次函数解析式所组成的二元一次方程组的解，反之根据以二元一次方程组的解为坐标的焦是对应两直线的交点。
■考点1：一次函数的图象与性质
◇典例：
（2019年辽宁省辽阳市）若ab＜0且a＞b，则函数y＝ax+b的图象可能是（ ）
A． B．C．D．
【考点】一次函数的图象
【分析】利用ab＜0，且a＞b得到a＞0，b＜0，然后根据一次函数图象与系数的关系进行判断．
解：∵ab＜0，且a＞b，
∴a＞0，b＜0，
∴函数y＝ax+b的图象经过第一、三、四象限．
故选：A．
【点评】本题考查了一次函数图象与系数的关系：一次函数y＝kx+b（k、b为常数，k≠0）是一条直线，当k＞0，图象经过第一、三象限，y随x的增大而增大，当k＜0，图象经过第二、四象限，y随x的增大而减小，图象与y轴的交点坐标为（0，b）．
（2019年江苏省扬州）若点P在一次函数的图像上，则点P一定不在（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【考点】一次函数的性质
【分析】根据一次函数的性质进行判定即可.
解：一次函数y=-x+4中k=-1<0，b>0，
所以一次函数y=-x+4的图象经过二、一、四象限，
又点P在一次函数y=-x+4的图象上，
所以点P一定不在第三象限，
故选C.
【点睛】本题考查了一次函数的图象和性质，熟练掌握是解题的关键.
y=kx+b：当 k>0，b>0时，函数的图象经过一，二，三象限；当 k>0，b<0时，函数的图象经过一，三，四象限；当 k<0，b>0时，函数的图象经过一，二，四象限；当 k<0，b<0时，函数的图象经过二，三，四象限.
◆变式训练
（2019年广西河池市）函数y＝x﹣2的图象不经过（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【考点】一次函数的性质
【分析】根据k＞0确定一次函数经过第一三象限，根据b＜0确定与y轴负半轴相交，从而判断得解．
解：一次函数y＝x﹣2，
∵k＝1＞0，
∴函数图象经过第一三象限，
∵b＝﹣2＜0，
∴函数图象与y轴负半轴相交，
∴函数图象经过第一三四象限，不经过第二象限．
故选：B．
【点评】本题考查了一次函数的性质，对于一次函数y＝kx+b，k＞0，函数经过第一、三象限，k＜0，函数经过第二、四象限．
（2019年贵州省毕节市）已知一次函数y＝kx+b（k，b为常数，k≠0）的图象经过一、三、四象限，则下列结论正确的是( )
A．kb＞0 B．kb＜0 C．k+b＞0 D．k+b＜0
【考点】一次函数的图象与性质
【分析】根据一次函数经过一、三、四象限，可知k＞0，b＜0，即可求得答案.
解：y＝kx+b的图象经过一、三、四象限，
∴k＞0，b＜0，
∴kb＜0，
故选B.
【点睛】本题考查了一次函数的图象与性质，一次函数y=kx+b(k≠0，k，b为常数)的的图象为一条直线，当k＞0，图象经过第一，三象限，y随x的增大而增大；当k＜0，图象经过第二，四象限，y随x的增大而减小；当b＞0，图象与y轴的交点在x轴的上方；当b=0，图象过坐标原点；当b＜0，图象与y轴的交点在x轴的下方．
■考点2：用待定系数法求一次函数解析式：
◇典例
（2019年广西河池市）如图，在平面直角坐标系中，A（2，0），B（0，1），AC由AB绕点A顺时针旋转90°而得，则AC所在直线的解析式是 ．
【考点】待定系数法求一次函数解析式，坐标与图形变化﹣旋转
【分析】过点C作CD⊥x轴于点D，易知△ACD≌△BAO（AAS），已知A（2，0），B（0，1），从而求得点C坐标，设直线AC的解析式为y＝kx+b，将点A，点C坐标代入求得k和b，从而得解．
解：∵A（2，0），B（0，1）
∴OA＝2，OB＝1
过点C作CD⊥x轴于点D，
则易知△ACD≌△BAO（AAS）
∴AD＝OB＝1，CD＝OA＝2
∴C（3，2）
设直线AC的解析式为y＝kx+b，将点A，点C坐标代入得
∴
∴直线AC的解析式为y＝2x﹣4．
故答案为：y＝2x﹣4．
【点评】本题是几何图形旋转与待定系数法求一次函数解析式的综合题，难度中等．
◆变式训练
（2019年广西桂林市）如图，四边形ABCD的顶点坐标分别为A（﹣4，0），B（﹣2，﹣1），C（3，0），D（0，3），当过点B的直线l将四边形ABCD分成面积相等的两部分时，直线l所表示的函数表达式为（ ）
A．y＝x+ B．y＝x+ C．y＝x+1 D．y＝x+
【考点】一次函数图象上点的坐标特征，待定系数法求一次函数解析式
【分析】由已知点可求四边形ABCD分成面积＝AC×（|yB|+3）＝＝14，求出CD的直线解析式为y＝﹣x+3，设过B的直线l为y＝kx+b，并求出两条直线的交点，直线l与x轴的交点坐标，根据面积有7＝×（3﹣）×（+1），即可求k，
解：由A（﹣4，0），B（﹣2，﹣1），C（3，0），D（0，3），
∴AC＝7，DO＝3，
∴四边形ABCD分成面积＝AC×（|yB|+3）＝＝14，
可求CD的直线解析式为y＝﹣x+3，
设过B的直线l为y＝kx+b，
将点B代入解析式得y＝kx+2k﹣1，
∴直线CD与该直线的交点为（，），
直线y＝kx+2k﹣1与x轴的交点为（，0），
∴7＝×（3﹣）×（+1），
∴k＝或k＝0，
∴k＝，
∴直线解析式为y＝x+，
故选：D．
【点评】本题考查一次函数的解析式求法，掌握平面内点的坐标与四边形面积的关系，熟练待定系数法求函数解析式的方法是解题的关键．
■考点3：两直线的位置关系
◇典例：
（2018年江苏省南通市）函数y=﹣x的图象与函数y=x+1的图象的交点在（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【考点】两条直线相交或平行问题
【分析】根据题目中的函数解析式可以求得这两个函数的交点坐标，从而可以解答本题．
解：，
解得，，
∴函数y=﹣x的图象与函数y=x+1的图象的交点是（，），
故函数y=﹣x的图象与函数y=x+1的图象的交点在第二象限，
故选：B．
【点评】本题考查两条直线相交或平行问题，解答本题的关键是明确题意，求出两个函数的交点坐标，利用函数的思想解答．
◆变式训练
（2019年山东省东营市）如图，在平面直角坐标系中，函数y＝x和y＝﹣x的图象分别为直线l1，l2，过l1上的点A1（1，）作x轴的垂线交l2于点A2，过点A2作y轴的垂线交l1于点A3，过点A3作x轴的垂线交l2于点A4，…依次进行下去，则点A2019的横坐标为 ．
【考点】两条直线相交或平行问题
【分析】根据题意可以发现题目中各点的坐标变化规律，每四个点符号为一个周期，依此规律即可得出结论．
解：由题意可得，
A1（1，），A2（1，﹣），A3（﹣3，﹣），A4（﹣3，3），A5（9，3），A6（9，﹣9），…，
可得A2n+1的横坐标为（﹣3）n
∵2019＝2×1009+1，
∴点A2019的横坐标为：（﹣3）1009＝﹣31009，
故答案为：﹣31009．
【点评】本题考查一次函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，找出题目中点的横坐标的变化规律．
■考点4. 一次函数图象与几何变换
◇典例：
（2017年山东济南市）将一次函数y=2x的图象向上平移2个单位后，当y＞0时，x的取值范围是（ ）
A．x＞﹣1 B．x＞1 C．x＞﹣2 D．x＞2
【考点】一次函数图象与几何变换．
【分析】首先得出平移后解析式，进而求出函数与坐标轴交点，即可得出y＞0时，x的取值范围．
解：∵将y=2x的图象向上平移2个单位，
∴平移后解析式为：y=2x+2，
当y=0时，x=﹣1，
故y＞0，则x的取值范围是：x＞﹣1．
故选A
【点评】此题主要考查了一次函数图象与几何变换，正确得出平移后解析式是解题关键．
◆变式训练
【2018年娄底市】将直线y=2x﹣3向右平移2个单位，再向上平移3个单位后，所得的直线的表达式为（ ）
A．y=2x﹣4 B．y=2x+4 C．y=2x+2 D．y=2x﹣2
【考点】一次函数图象与几何变换
【分析】根据平移的性质“左加右减，上加下减”，即可找出平移后的直线解析式，此题得解．
解：y=2（x﹣2）﹣3+3=2x﹣4．
化简，得
y=2x﹣4，
故选：A．
【点评】本题考查了一次函数图象与几何变换，牢记平移的规则“左加右减，上加下减”是解题的关键．
■考点5．一次函数与一元一次方程，一元一次不等式和二元一次方程组的关系
◇典例：
（2019年山东省烟台市）如图，直线y＝x+2与直线y＝ax+c相交于点P（m，3），则关于x的不等式x+2≤ax+c的解为 ．
【考点】一次函数与一元一次不等式
【分析】将点P（m，3）代入y＝x+2，求出点P的坐标，结合函数图象可知当x＜1时x+2≤ax+c，即可求解，
解：点P（m，3）代入y＝x+2，
∴m＝1，
∴P（1，3），
结合图象可知x+2≤ax+c的解为x≤1，
故答案为x≤1，
【点评】本题考查一次函数的交点于一元一次不等式，将一元一次不等式的解转化为一次函数图象的关系是解题的关键．
◆变式训练
（2019年山东省滨州市（a卷））如图，直线y＝kx+b（k＜0）经过点A（3，1），当kx+b＜x时，x的取值范围为 ．
【考点】一次函数的性质，一次函数与一元一次不等式
【分析】根据直线y＝kx+b（k＜0）经过点A（3，1），正比例函数y＝x也经过点A从而确定不等式的解集．
解：∵正比例函数y＝x也经过点A，
∴kx+b＜x的解集为x＞3，
故答案为：x＞3．
【点评】本题考查了一次函数与一元一次不等式的关系：从函数的角度看，就是寻求使一次函数y＝ax+b的值大于（或小于）0的自变量x的取值范围，从函数图象的角度看，就是确定直线y＝kx+b在x轴上（或下）方部分所有的点的横坐标所构成的集合．利用数形结合是解题的关键．
（2019年广西梧州市）直线y＝3x+1向下平移2个单位，所得直线的解析式是（ ）
A．y＝3x+3 B．y＝3x﹣2 C．y＝3x+2 D．y＝3x﹣1
【考点】一次函数图象与几何变换
【分析】直接利用一次函数平移规律进而得出答案．
解：直线y＝3x+1向下平移2个单位，所得直线的解析式是：y＝3x+1﹣2＝3x﹣1．
故选：D．
【点评】此题主要考查了一次函数图象与几何变换，正确记忆平移规律是解题关键．
（2019年广西贵港市）下列命题中假命题是（ ）
A．对顶角相等
B．直线y＝x﹣5不经过第二象限
C．五边形的内角和为540°
D．因式分解x3+x2+x＝x（x2+x）
【考点】命题与定理
【分析】由对顶角相等得出A是真命题，由直线y＝x﹣5的图象得出B是真命题，由五边形的内角和为540°得出C是真命题，由因式分解的定义得出D是假命题，即可得出答案．
解：A．对顶角相等，真命题，
B．直线y＝x﹣5不经过第二象限，真命题，
C．五边形的内角和为540°，真命题，
D．因式分解x3+x2+x＝x（x2+x），假命题，
故选：D．
【点评】本题考查了命题与定理、真命题和假命题的定义：正确的命题是真命题，错误的命题是假命题，属于基础题．
（2019年辽宁省沈阳市）已知一次函数y＝（k+1）x+b的图象如图所示，则k的取值范围是（ ）
A．k＜0 B．k＜﹣1 C．k＜1 D．k＞﹣1
【考点】一次函数图象与系数的关系
【分析】根据一次函数的增减性确定有关k的不等式，求解即可．
解：∵观察图象知：y随x的增大而减小，
∴k+1＜0，
解得：k＜﹣1，
故选：B．
【点评】考查了一次函数的图象与系数的关系，解题的关键是了解系数对函数图象的影响，难度不大．
（2019年湖北省荆门市）如果函数y＝kx+b（k，b是常数）的图象不经过第二象限，那么k，b应满足的条件是（ ）
A．k≥0且b≤0 B．k＞0且b≤0 C．k≥0且b＜0 D．k＞0且b＜0
【考点】一次函数图象与系数的关系
【分析】结合题意，分k＝0和k＞0两种情况讨论，即可求解，
解：∵y＝kx+b（k，b是常数）的图象不经过第二象限，
当k＝0，b＜0时成立，
当k＞0，b≤0时成立，
综上所述，k≥0，b≤0，
故选：A．
【点评】本题考查函数图象及性质，正确理解题意中给的函数确定k＝0和k≠0有两种情况是解题的关键．
（2019年贵州省遵义市）如图所示，直线l1：yx+6与直线l2：yx﹣2交于点P（﹣2，3），不等式x+6x﹣2的解集是（ ）
A．x＞﹣2 B．x≥﹣2 C．x＜﹣2 D．x≤﹣2
【考点】一次函数与一元一次不等式
【分析】利用函数图象写出直线l1：y=x+6与在直线l2：y=-x-2上方所对应的自变量的范围即可．
解：当x＞﹣2时，x+6x﹣2，
所以不等式x+6x﹣2的解集是x＞﹣2．
故选：A．
【点睛】本题考查了一次函数与一元一次不等式：从函数的角度看，就是寻求使一次函数y=kx+b的值大于（或小于）0的自变量x的取值范围；从函数图象的角度看，就是确定直线y=kx+b在x轴上（或下）方部分所有的点的横坐标所构成的集合．
（2019年辽宁省本溪市）函数y＝5x的图象经过的象限是 ．
【考点】正比例函数的性质
【分析】利用这个比例函数的性质结合比例系数的符号直接回答即可．
解：函数y＝5x的图象经过一三象限，
故答案为：一、三
【点评】本题考查了正比例函数的性质，正比例函数y＝kx（k≠0），k＞0时，图象在一三象限，呈上升趋势，当k＜0时，图象在二四象限，呈下降趋势．
（2019年天津市）直线与轴交点坐标为_____________．
【考点】一次函数的图像和性质
【分析】把y=0代入中得出x的值即可得出答案
解：∵当y=0时，2x-1=0
∴x=
∴直线与轴交点坐标为：
故答案为：
【点睛】本题考查了一次函数的图像和性质，明确当y=0时的x的值即为直线与x轴交点的横坐标是解题的关键
（2019年四川省成都市）已知一次函数y＝（k﹣3）x+1的图象经过第一、二、四象限，则k的取值范围是 ．
【考点】一次函数图象与系数的关系
【分析】根据y＝kx+b，k＜0，b＞0时，函数图象经过第一、二、四象限，则有k﹣3＜0即可求解，
解：y＝（k﹣3）x+1的图象经过第一、二、四象限，
∴k﹣3＜0，
∴k＜3，
故答案为k＜3，
【点评】本题考查一次函数图象与系数的关系，熟练掌握一次函数y＝kx+b，k与b对函数图象的影响是解题的关键．
（2019年湖北省鄂州市）在平面直角坐标系中，点P（x0，y0）到直线Ax+By+C＝0的距离公式为：d＝，则点P（3，﹣3）到直线y＝﹣x+的距离为 ．
【考点】一次函数图象上点的坐标特征
【分析】根据题目中的距离公式即可求解．
解：∵y＝﹣x+
∴2x+3y﹣5＝0
∴点P（3，﹣3）到直线y＝﹣x+的距离为：＝，
故答案为：．
【点评】本题考查一次函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质解答．
（2019年山东省潍坊市）当直线y＝（2﹣2k）x+k﹣3经过第二、三、四象限时，则k的取值范围是 ．
【考点】一次函数图象与系数的关系
【分析】根据一次函数y＝kx+b，k＜0，b＜0时图象经过第二、三、四象限，可得2﹣2k＜0，k﹣3＜0，即可求解，
解：y＝（2﹣2k）x+k﹣3经过第二、三、四象限，
∴2﹣2k＜0，k﹣3＜0，
∴k＞1，k＜3，
∴1＜k＜3，
故答案为1＜k＜3，
【点评】本题考查一次函数图象与系数的关系，掌握一次函数y＝kx+b，k与b对函数图象的影响是解题的关键．
选择题
（2019年浙江省杭州市）已知一次函数y1＝ax+b和y2＝bx+a（a≠b），函数y1和y2的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
【考点】一次函数的图象和性质
【分析】根据直线①判断出a、b的符号，然后根据a、b的符号判断出直线②经过的象限即可，做出判断．
解：A．由①可知：a＞0，b＞0．
∴直线②经过一、二、三象限，故A正确，
B、由①可知：a＜0，b＞0．
∴直线②经过一、二、三象限，故B错误，
C、由①可知：a＜0，b＞0．
∴直线②经过一、二、四象限，交点不对，故C错误，
D、由①可知：a＜0，b＜0，
∴直线②经过二、三、四象限，故D错误．
故选：A．
【点评】本题主要考查的是一次函数的图象和性质，掌握一次函数的图象和性质是解题的关键．
（2019年湖南省娄底市）如图，直线y＝x+b和y＝kx+2与x轴分别交于点A（﹣2，0），点B（3，0），则解集为（ ）
A．x＜﹣2 B．x＞3 C．x＜﹣2或x＞3 D．﹣2＜x＜3
【考点】一次函数与一元一次不等式
【分析】根据两条直线与x轴的交点坐标及直线的位置确定不等式组的解集即可．
解：∵直线y＝x+b和y＝kx+2与x轴分别交于点A（﹣2，0），点B（3，0），
∴解集为﹣2＜x＜3，
故选：D．
【点评】本题考查了一次函数与一元一次不等式的知识，解题的关键是能够结合图象作出判断，难度不大．
（2019年江苏省苏州市）若一次函数(为常数，且)的图象经过点，，则不等式的解为( )
A． B． C． D．
【考点】一次函数与不等式的关系
【分析】可直接画出图像，利用数形结合直接读出不等式的解
解：如下图图象，易得时，
故选D
【点睛】本题考查一次函数与不等式的关系，本题关键在于利用画出图像，利用数形结合进行解题
（2019年湖南省邵阳市）一次函数y1＝k1x+b1的图象l1如图所示，将直线l1向下平移若干个单位后得直线l2，l2的函数表达式为y2＝k2x+b2．下列说法中错误的是（ ）
A．k1＝k2 B．b1＜b2
C．b1＞b2 D．当x＝5时，y1＞y2
【考点】一次函数的图象，一次函数的性质，一次函数图象与几何变换
【分析】根据两函数图象平行k相同，以及向下平移减即可判断．
解：∵将直线l1向下平移若干个单位后得直线l2，
∴直线l1∥直线l2，
∴k1＝k2，
∵直线l1向下平移若干个单位后得直线l2，
∴b1＞b2，
∴当x＝5时，y1＞y2，
故选：B．
【点评】本题考查图形的平移变换和函数解析式之间的关系，在平面直角坐标系中，图形的平移与图形上某点的平移相同．平移中点的变化规律是：横坐标左移加，右移减，纵坐标上移加，下移减．平移后解析式有这样一个规律“左加右减，上加下减”．关键是要搞清楚平移前后的解析式有什么关系．
（2019年四川省眉山市）如图，一束光线从点A（4，4）出发，经y轴上的点C反射后经过点B（1，0），则点C的坐标是（ ）
A．（0，） B．（0，） C．（0，1） D．（0，2）
【考点】勾股定理，坐标与图形变化﹣对称，全等三角形的判定与性质，待定系数法求一次函数解析式
【分析】延长AC交x轴于点D，利用反射定律，推出等角，再证△COD≌△COB（ASA），已知点B坐标，从而得点D坐标，利用A，D两点坐标，求出直线AD的解析式，从而可求得点C坐标．
解：如图所示，延长AC交 x轴于点D．
∵这束光线从点A（4，4）出发，经y轴上的点C反射后经过点B（1，0），
∴设C（0，c），由反射定律可知，
∠1＝∠OCD
∴∠OCB＝∠OCD
∵CO⊥DB于O
∴∠COD＝∠BOC
∴在△COD和△COB中
∴△COD≌△COB（ASA）
∴OD＝OB＝1
∴D（﹣1，0）
设直线AD的解析式为y＝kx+b，则将点A（4，4），点D（﹣1，0）代入得
∴
∴直线AD为y＝
∴点C坐标为（0，）．
故选：B．
【点评】本题考查了反射定律、全等三角形的判定与性质、待定系数法求一次函数解析式等知识点，综合性较强，难度略大．
（2019年四川省广元市）如图，过点A0（0，1）作y轴的垂线交直线l：y＝x于点A1，过点A1作直线l的垂线，交y轴于点A2，过点A2作y轴的垂线交直线l于点A3，…，这样依次下去，得到△A0A1A2，△A2A3A4，△A4A546，…，其面积分别记为S1，S2，S3，…，则S100为（ ）
A．（）100 B．（3）100 C．3×4199 D．3×2395
【考点】规律型：点的坐标，一次函数图象上点的坐标特征
【分析】本题需先求出OA1和OA2的长，再根据题意得出OAn＝2n，把纵坐标代入解析式求得横坐标，然后根据三角形相似的性质即可求得S100．
解：∵点A0的坐标是（0，1），
∴OA0＝1，
∵点A1在直线y＝x上，
∴OA1＝2，A0A1＝，
∴OA2＝4，
∴OA3＝8，
∴OA4＝16，
得出OAn＝2n，
∴AnAn+1＝2n?，
∴OA198＝2198，A198A199＝2198?，
∵S1＝（4﹣1）?＝，
∵A2A1∥A200A199，
∴△A0A1A2∽△A198A199A200，
∴＝（）2，
∴S＝2396?＝3×2395
故选：D．
【点评】本题主要考查了如何根据一次函数的解析式和点的坐标求线段的长度，以及如何根据线段的长度求出点的坐标，解题时要注意相关知识的综合应用．
（2019年湖北省鄂州市）如图，在平面直角坐标系中，点A1、A2、A3…An在x轴上，B1、B2、B3…Bn在直线y＝x上，若A1（1，0），且△A1B1A2、△A2B2A3…△AnBnAn+1都是等边三角形，从左到右的小三角形（阴影部分）的面积分别记为S1、S2、S3…Sn．则Sn可表示为（ ）
A．22n B．22n﹣1 C．22n﹣2 D．22n﹣3
【考点】一次函数的图象及性质，等边三角形的性质，直角三角形的性质，勾股定理
【分析】直线y＝x与x轴的成角∠B1OA1＝30°，可得∠OB2A2＝30°，…，∠OBnAn＝30°，∠OB1A2＝90°，…，∠OBnAn+1＝90°；根据等腰三角形的性质可知A1B1＝1，B2A2＝OA2＝2，B3A3＝4，…，BnAn＝2n﹣1；根据勾股定理可得B1B2＝，B2B3＝2，…，BnBn+1＝2n，再由面积公式即可求解；
解：∵△A1B1A2、△A2B2A3…△AnBnAn+1都是等边三角形，
∴A1B1∥A2B2∥A3B3∥…∥AnBn，B1A2∥B2A3∥B3A4∥…∥BnAn+1，△A1B1A2、△A2B2A3…△AnBnAn+1都是等边三角形，
∵直线y＝x与x轴的成角∠B1OA1＝30°，∠OA1B1＝120°，
∴∠OB1A1＝30°，
∴OA1＝A1B1，
∵A1（1，0），
∴A1B1＝1，
同理∠OB2A2＝30°，…，∠OBnAn＝30°，
∴B2A2＝OA2＝2，B3A3＝4，…，BnAn＝2n﹣1，
易得∠OB1A2＝90°，…，∠OBnAn+1＝90°，
∴B1B2＝，B2B3＝2，…，BnBn+1＝2n，
∴S1＝×1×＝，S2＝×2×2＝2，…，Sn＝×2n﹣1×2n＝；
故选：D．
【点评】本题考查一次函数的图象及性质，等边三角形和直角三角形的性质；能够判断阴影三角形是直角三角形，并求出每边长是解题的关键．
（2019年山东省枣庄市）如图，一直线与两坐标轴的正半轴分别交于A，B两点，P是线段AB上任意一点（不包括端点），过点P分别作两坐标轴的垂线与两坐标轴围成的矩形的周长为8，则该直线的函数表达式是（ ）
A．y＝﹣x+4 B．y＝x+4 C．y＝x+8 D．y＝﹣x+8
【考点】一次函数的性质，一次函数图象上点的坐标特征，矩形的性质
【分析】设P点坐标为（x，y），由坐标的意义可知PC＝x，PD＝y，根据围成的矩形的周长为8，可得到x、y之间的关系式．
解：如图，过P点分别作PD⊥x轴，PC⊥y轴，垂足分别为D、C，
设P点坐标为（x，y），
∵P点在第一象限，
∴PD＝y，PC＝x，
∵矩形PDOC的周长为8，
∴2（x+y）＝8，
∴x+y＝4，
即该直线的函数表达式是y＝﹣x+4，
故选：A．
【点评】本题主要考查矩形的性质及一次函数图象上点的坐标特征，直线上任意一点的坐标都满足函数关系式y＝kx+b．根据坐标的意义得出x、y之间的关系是解题的关键．
（2019年山东省临沂市）下列关于一次函数y＝kx+b（k＜0，b＞0）的说法，错误的是（ ）
A．图象经过第一、二、四象限
B．y随x的增大而减小
C．图象与y轴交于点（0，b）
D．当x＞﹣时，y＞0
【考点】一次函数的性质
【分析】由k＜0，b＞0可知图象经过第一、二、四象限，由k＜0，可得y随x的增大而减小，图象与y轴的交点为（0，b），当x＞﹣时，y＜0，
解：∵y＝kx+b（k＜0，b＞0），
∴图象经过第一、二、四象限，
A正确，
∵k＜0，
∴y随x的增大而减小，
B正确，
令x＝0时，y＝b，
∴图象与y轴的交点为（0，b），
∴C正确，
令y＝0时，x＝﹣，
当x＞﹣时，y＜0，
D不正确，
故选：D．
【点评】本题考查一次函数的图象及性质，熟练掌握一次函数解析式y＝kx+b中，k与b对函数图象的影响是解题的关键．
（2019年山东省聊城市）如图，在Rt△ABO中，∠OBA＝90°，A（4，4），点C在边AB上，且＝，点D为OB的中点，点P为边OA上的动点，当点P在OA上移动时，使四边形PDBC周长最小的点P的坐标为（ ）
A．（2，2） B．（，） C．（，） D．（3，3）
【考点】等腰直角三角形的性质，轴对称﹣最短路线问题，坐标与图形变化﹣平移，求一次函数的解析式
【分析】根据已知条件得到AB＝OB＝4，∠AOB＝45°，求得BC＝3，OD＝BD＝2，得到D（0，2），C（4，3），作D关于直线OA的对称点E，连接EC交OA于P，则此时，四边形PDBC周长最小，E（0，2），求得直线EC的解析式为y＝x+2，解方程组即可得到结论．
解：∵在Rt△ABO中，∠OBA＝90°，A（4，4），
∴AB＝OB＝4，∠AOB＝45°，
∵＝，点D为OB的中点，
∴BC＝3，OD＝BD＝2，
∴D（0，2），C（4，3），
作D关于直线OA的对称点E，连接EC交OA于P，
则此时，四边形PDBC周长最小，E（0，2），
∵直线OA 的解析式为y＝x，
设直线EC的解析式为y＝kx+b，
∴，
解得：，
∴直线EC的解析式为y＝x+2，
解得，，
∴P（，），
故选：C．
【点评】本题考查了轴对称﹣最短路线问题，等腰直角三角形的性质，正确的找到P点的位置是解题的关键．
填空题
（2019年贵州省贵阳市 ）在平面直角坐标系内，一次函数y＝k1x+b1与y＝k2x+b2的图象如图所示，则关于x，y的方程组的解是________．
【考点】一次函数与二元一次方程（组）
【分析】利用方程组的解就是两个相应的一次函数图象的交点坐标求解．
解：∵一次函数y＝k1x+b1与y＝k2x+b2的图象的交点坐标为（2，1），
∴关于x，y的方程组的解是．
故答案为．
【点睛】本题考查了一次函数与二元一次方程（组）：方程组的解就是两个相应的一次函数图象的交点坐标．
（2019年江苏省无锡市）已知一次函数y=kx+b的图象如图所示，则关于x的不等式3kx-b>0的解集为_____.
【考点】一次函数与不等式
【分析】由题意可得-6k+b=0，k<0，继而把b=6k代入关于x的不等式3kx-b>0中进行求解即可.
解：由题意知y=kx+b过点(-6，0)，y随着x的增大而减小，
所以-6k+b=0，k<0，
所以b=6k，
解关于x的不等式3kx-b>0，则有3kx-6k>0，
解得：x<2，
故答案为：x<2.
【点睛】本题考查了一次函数与不等式，正确得出k、b间的关系是解题的关键.
（2019年辽宁省本溪市）如图，点B1在直线l：y＝x上，点B1的横坐标为2，过B1作B1A1⊥l，交x轴于点A1，以A1B1为边，向右作正方形A1B1B2C1，延长B2C1交x轴于点A2，以A2B2为边，向右作正方形A2B2B3C2，延长B3C2交x轴于点A3，以A3B3为边，向右作正方形A3B3B4C3延长B4C3交x轴于点A4，…，按照这个规律进行下去，点?n的横坐标为 （结果用含正整数n的代数式表示）
【考点】规律型：点的坐标，一次函数图象上点的坐标特征
【分析】根据点B1的横坐标为2，在直线l：y＝x上，可求出点B1的坐标，由作图可知图中所有的直角三角形都相似，两条直角边的比都是1：2，然后依次利用相似三角形的性质计算出C1、C2、C3、C4……的横坐标，根据规律得出答案．
解：过点B1、C1、C2、C3、C4分别作B1D⊥x轴，C1D1⊥x轴，C2D2⊥x轴，C3D3⊥x轴，C4D4⊥x轴，……垂足分别为D、D1、D2、D3、D4……
∵点B1在直线l：y＝x上，点B1的横坐标为2，
∴点B1的纵坐标为1，
即：OD＝2，B1D＝1，
图中所有的直角三角形都相似，两条直角边的比都是1：2，
∴点C1的横坐标为：2++（）0，
点C2的横坐标为：2++（）0+（）0×+（）1＝+（）0×+（）1
点C3的横坐标为：2++（）0+（）0×+（）1+（）1×+（）2＝+（）0×+（）1×++（）2
点C4的横坐标为：＝+（）0×+（）1×+（）2×+（）3
……
点?n的横坐标为：＝+（）0×+（）1×+（）2×+（）3×+（）4×……+（）n﹣1
＝+[（）0+（）1×+（）2+（）3+（）4……]+（）n﹣1
＝
故答案为：
【点评】考查一次函数图象上点的坐标特征，相似三角形的性质、在计算探索的过程中发现规律，得出一般性的结论．
（2019年黑龙江省齐齐哈尔、黑河市）如图，直线分别交轴、轴于点和点，过点作，交轴于点，过点作轴，交直线于点；过点作，交轴于点，过点作轴，交直线于点，依此规律…，若图中阴影的面积为，阴影的面积为，阴影的面积为，则_______．
【考点】探索规律，一次函数图像上的点的坐标特征
【分析】由直线可求出与轴交点的坐标，与轴交点的坐标，进而得到，的长，也可求出的各个内角的度数，是一个特殊的直角三角形，以下所作的三角形都是含有角的直角三角形，然后这个求出、、、、……根据规律得出．
解：直线，当时，；当时，
，
又，
，
在中，，
；
同理可求出：，，
；
依次可求出：；；……
因此：
故答案为：．
【点睛】本题主要考查同学们对规律的归纳总结，关键在于根据简单的图形寻找规律.
（2019年湖北省江汉油田、潜江、仙桃、天门市）如图，在平面直角坐标系中，四边形OA1B1C1，A1A2B2C2，A2A3B3C3，…都是菱形，点A1，A2，A3，…都在x轴上，点C1，C2，C3，…都在直线y＝x+上，且∠C1OA1＝∠C2A1A2＝∠C3A2A3＝…＝60°，OA1＝1，则点C6的坐标是 ．
【考点】规律型：点的坐标，一次函数图象上点的坐标特征，菱形的性质
【分析】根据菱形的边长求得A1、A2、A3…的坐标然后分别表示出C1、C2、C3…的坐标找出规律进而求得C6的坐标．
解：∵OA1＝1，
∴OC1＝1，
∴∠C1OA1＝∠C2A1A2＝∠C3A2A3＝…＝60°，
∴C1的纵坐标为：sin60°?OC1＝，横坐标为cos60°?OC1＝，
∴C1（，），
∵四边形OA1B1C1，A1A2B2C2，A2A3B3C3，…都是菱形，
∴A1C2＝2，A2C3＝4，A3C4＝8，…，
∴C2的纵坐标为：sin60°?A1C2＝，代入y＝x+求得横坐标为2，
∴C2（，2，），
C3的纵坐标为：sin60°?A2C3＝2，代入y＝x+求得横坐标为5，
∴C3（5，4），
∴C4（11，8），
C5（23，16），
∴C6（47，32），
故答案为（47，32）．
【点评】本题是对点的坐标变化规律的考查，主要利用了菱形的性质，解直角三角形，根据已知点的变化规律求出菱形的边长，得出系列C点的坐标，找出规律是解题的关键．
（2019年湖南省娄底市）已知点P（x0，y0）到直线y＝kx+b的距离可表示为d＝，例如：点（0，1）到直线y＝2x+6的距离d＝＝．据此进一步可得两条平行线y＝x和y＝x﹣4之间的距离为 ．
【考点】一次函数的性质，两条直线相交或平行问题
【分析】利用两平行线间的距离定义，在直线y＝x上任意取一点，然后计算这个点到直线y＝x﹣4的距离即可．
解：当x＝0时，y＝x＝0，即点（0，0）在直线y＝x上，
因为点（0，0）到直线y＝x﹣4的距离为：d＝＝＝2，
因为直线y＝x和y＝x﹣4平行，
所以这两条平行线之间的距离为2．
故答案为2．
【点评】此题考查了两条直线相交或平行问题，弄清题中求点到直线的距离方法是解本题的关键．考查了学生的阅读理解能力以及知识的迁移能力．
（2019年江苏省盐城市）如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝2x﹣1的图象分别交x、y轴于点A．B，将直线AB绕点B按顺时针方向旋转45°，交x轴于点C，则直线BC的函数表达式是 ．
【考点】一次函数图象与几何变换，待定系数法求函数的解析式，全等三角形的判定和性质
【分析】根据已知条件得到A（，0），B（0，﹣1），求得OA＝，OB＝1，过A作AF⊥AB交BC于F，过F作FE⊥x轴于E，得到AB＝AF，根据全等三角形的性质得到AE＝OB＝1，EF＝OA＝，求得F（，﹣），设直线BC的函数表达式为：y＝kx+b，解方程组于是得到结论．
解：∵一次函数y＝2x﹣1的图象分别交x、y轴于点A．B，
∴令x＝0，得y＝﹣2，令y＝0，则x＝1，
∴A（，0），B（0，﹣1），
∴OA＝，OB＝1，
过A作AF⊥AB交BC于F，过F作FE⊥x轴于E，
∵∠ABC＝45°，
∴△ABF是等腰直角三角形，
∴AB＝AF，
∵∠OAB+∠ABO+∠OAB+∠EAF＝90°，
∴∠ABO＝∠EAF，
∴△ABO≌△AFE（AAS），
∴AE＝OB＝1，EF＝OA＝，
∴F（，﹣），
设直线BC的函数表达式为：y＝kx+b，
∴，
∴，
∴直线BC的函数表达式为：y＝x﹣1，
故答案为：y＝x﹣1．
【点评】本题考查了一次函数图象与几何变换，待定系数法求函数的解析式，全等三角形的判定和性质，正确的作出辅助线是解题的关键．
（2019年江苏省徐州市）函数y＝x+1的图象与x轴、y轴分别交于A．B两点，点C在x轴上．若△ABC为等腰三角形，则满足条件的点C共有 个．
【考点】一次函数图象上点的坐标特征，等腰三角形的判定
【分析】三角形ABC的找法如下：①以点A为圆心，AB为半径作圆，与x轴交点即为C，②以点B为圆心，AB为半径作圆，与x轴交点即为C，③作AB的中垂线与x轴的交点即为C，
解以点A为圆心，AB为半径作圆，与x轴交点即为C，
以点B为圆心，AB为半径作圆，与x轴交点即为C，
作AB的中垂线与x轴的交点即为C，
故答案为4，
【点评】本题考查一次函数的图象上点的特征，等腰三角形的性质，掌握利用两圆一线找等腰三角形的方法是解题的关键．
（2019年山东省泰安市）在平面直角坐标系中，直线l：y＝x+1与y轴交于点A1，如图所示，依次作正方形OA1B1C1，正方形C1A2B2C2，正方形C2A3B3C3，正方形C3A4B4C4，……，点A1，A2，A3，A4，……在直线l上，点C1，C2，C3，C4，……在x轴正半轴上，则前n个正方形对角线长的和是 ．
【考点】规律型：点的坐标，一次函数的性质，一次函数图象上点的坐标特征
【分析】根据题意和函数图象可以求得点A1，A2，A3，A4的坐标，从而可以得到前n个正方形对角线长的和，本题得以解决．
解：由题意可得，
点A1的坐标为（0，1），点A2的坐标为（1，2），点A3的坐标为（3，4），点A4的坐标为（7，8），……，
∴OA1＝1，C1A2＝2，C2A3＝4，C3A4＝8，……，
∴前n个正方形对角线长的和是：（OA1+C1A2+C2A3+C3A4+…+Cn﹣1An）＝（1+2+4+8+…+2n﹣1），
设S＝1+2+4+8+…+2n﹣1，则2S＝2+4+8+…+2n﹣1+2n，
则2S﹣S＝2n﹣1，
∴S＝2n﹣1，
∴1+2+4+8+…+2n﹣1＝2n﹣1，
∴前n个正方形对角线长的和是：×（2n﹣1），
故答案为：（2n﹣1），
【点评】本题考查一次函数图象上点的坐标特征、规律型：点的坐标，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
（2019年四川省攀枝花市）正方形， ，，…按如图所示的方式放置，点，，，…和点，，，…分别在直线（）和轴上。已知，点，则的坐标是_____________
【考点】待定系数法求一次函数的解析式、等腰直角三角形的性质，正方形的性质
【分析】由题意可知A1纵坐标为1，A2的纵坐标为2，A3的纵坐标为4，A4的纵坐标为8，…，即可得到C1，C2，C3，C4，C5的纵坐标，根据图象得出C1（2，1），C2（5，2），C3（11，4），即可得到C1，C2，C3，C4，C5…在一条直线上，直线的解析式为y＝x＋，把C5的纵坐标代入即可求得横坐标．
解：由题意可知A1纵坐标为1，A2的纵坐标为2，A3的纵坐标为4，A4的纵坐标为8，…，
∵A1和C1，A2和C2，A3和C3，A4和C4的纵坐标相同，
∴C1，C2，C3，C4，C5的纵坐标分别为1，2，4，8，16，…
∴根据图象得出C1（2，1），C2（5，2），C3（11，4），
∴直线C1C2的解析式为y＝x＋，
∵A5的纵坐标为16，
∴C5的纵坐标为16，
把y＝16代入y＝x＋，解得x＝47，
∴C5的坐标是（47，16），
故答案为（47，16）．
【点睛】此题考查了待定系数法求一次函数的解析式、等腰直角三角形和正方形的性质．此题难度适中，属于规律型题目，注意掌握数形结合思想的应用．
解答题
（2019年广东省广州市）已知
（1）化简P；
（2）若点（a，b）在一次函数的图像上，求P的值。
【考点】分式的加减,一次函数图象上点的坐标特征
【分析】（1）利用因式分解对原式进行通分化简即可解答；
（2）将点（a，b）代入一次函数中计算后即可解答.
解：（1）
（2）∵点（a，b）在一次函数的图像上
∴，
∴
【点睛】本题考查分式的化简和一次函数图象的特征，熟练掌握是解题的关键.
（2019年四川省乐山市）如图，已知过点B（1，0）的直线l1与直线l2：y＝2x+4相交于点P（﹣1，a）．
（1）求直线l1的解析式，
（2）求四边形PAOC的面积．
【考点】待定系数法求一次函数解析式，两条直线相交或平行问题
【分析】（1）由点P（﹣1，a）在直线l2上，利用一次函数图象上点的坐标特征，即可求出a值，再利用点P的坐标和点B的坐标可求直线l1的解析式，
（2）根据面积差可得结论．
解：（1）∵点P（﹣1，a）在直线l2：y＝2x+4上，
∴2×（﹣1）+4＝a，即a＝2，
则P的坐标为（﹣1，2），
设直线l1的解析式为：y＝kx+b（k≠0），
那么，
解得：．
∴l1的解析式为：y＝﹣x+1．
（2）∵直线l1与y轴相交于点C，
∴C的坐标为（0，1），
又∵直线l2与x轴相交于点A，
∴A点的坐标为（﹣2，0），则AB＝3，
而S四边形PAOC＝S△PAB﹣S△BOC，
∴S四边形PAOC＝．
【点评】本题考查了两条直线相交或平行问题、一次函数图象上点的坐标特征和三角形的面积，在函数的图象上的点，就一定满足函数解析式．并利用数形结合的思想解决问题．
（2019年江苏省南京 ）已知一次函数（k为常数，k≠0）和．
（1）当k＝﹣2时，若＞，求x的取值范围；
（2）当x＜1时，＞．结合图像，直接写出k的取值范围．
【考点】一次函数与一元一次不等式
【分析】（1）解不等式?2x＋2＞x?3即可；
（2）先计算出x＝1对应的y2的函数值，然后根据x＜1时，一次函数y1＝kx＋2（k为常数，k≠0）的图象在直线y2＝x?3的上方确定k的范围．
解：（1）当时，.
根据题意，得.
解得.
（2）当x＝1时，y＝x?3＝?2，
把（1，?2）代入y1＝kx＋2得k＋2＝?2，解得k＝?4，
当?4≤k＜0时，y1＞y2；
当0＜k≤1时，y1＞y2．
∴k的取值范围是：且.
【点睛】本题考查了一次函数与一元一次不等式：从函数的角度看，就是寻求使一次函数y＝kx＋b的值大于（或小于）0的自变量x的取值范围；从函数图象的角度看，就是确定直线y＝kx＋b在x轴上（或下）方部分所有的点的横坐标所构成的集合．
（2019年北京市）在平面直角坐标系xOy中，直线l：y＝kx+1（k≠0）与直线x＝k，直线y＝﹣k分别交于点A，B，直线x＝k与直线y＝﹣k交于点C．
（1）求直线l与y轴的交点坐标，
（2）横、纵坐标都是整数的点叫做整点，记线段AB，BC，CA围成的区域（不含边界）为W．
①当k＝2时，结合函数图象，求区域W内的整点个数，
②若区域W内没有整点，直接写出k的取值范围．
【考点】一次函数图象上点的坐标特征
【分析】（1）令x＝0，y＝1，直线l与y轴的交点坐标（0，1），
（2）①当k＝2时，A（2，5），B（﹣，﹣2），C（2，﹣2），在W区域内有6个整数点，②当x＝k+1时，y＝﹣k+1，则有k2+2k＝0，k＝﹣2，当0＞k≥﹣1时，W内没有整数点，
解：（1）令x＝0，y＝1，
∴直线l与y轴的交点坐标（0，1），
（2）由题意，A（k，k2+1），B（，﹣k），C（k，﹣k），
①当k＝2时，A（2，5），B（﹣，﹣2），C（2，﹣2），
在W区域内有6个整数点：（0，0），（0，﹣1），（1，0），（1，﹣1），（1，1），（1，2），
②直线AB的解析式y＝kx+1，
当x＝k+1，y＝﹣k+1，则有k2+2k＝0，
∴k＝﹣2，
当﹣1≤k＜0时，W内没有整数点，
∴当k＝﹣2或﹣1≤k＜0时，W内没有整数点，
【点评】本题考查一次函数图象上点的特征，能够数形结合解题，根据k变化分析W区域内整数点的情况是解题的关键．
（2019年浙江省衢州市）定义：在平面直角坐标系中，对于任意两点A（a，b），B（c，d），若点T（x，y）满足x＝，y＝那么称点T是点A，B的融合点．
例如：A（﹣1，8），B（4，﹣2），当点T（x，y）满足x＝＝1，y＝＝2时，则点T（1，2）是点A，B的融合点．
（1）已知点A（﹣1，5），B（7，7），C（2，4），请说明其中一个点是另外两个点的融合点．
（2）如图，点D（3，0），点E（t，2t+3）是直线l上任意一点，点T（x，y）是点D，E的融合点．
①试确定y与x的关系式．
②若直线ET交x轴于点H．当△DTH为直角三角形时，求点E的坐标．
【考点】一次函数综合题．
【分析】（1）x＝（﹣1+7）＝2，y＝（5+7）＝4，即可求解；
（2）①由题意得：x＝（t+3），y＝（2t+3），即可求解；②分∠DTH＝90°、∠TDH＝90°、∠HTD＝90°三种情况，分别求解即可．
解：（1）x＝（﹣1+7）＝2，y＝（5+7）＝4，
故点C是点A．B的融合点；
（2）①由题意得：x＝（t+3），y＝（2t+3），
则t＝3x﹣3，
则y＝（6x﹣6+3）＝2x﹣1；
②当∠DHT＝90°时，如图1所示，
设T（m，2m﹣1），则点E（m，2m+3），
由点T是点D，E的融合点得：m＝，
解得：m＝，即点E（，6）；
当∠TDH＝90°时，如图2所示，
则点T（3，5），
由点T是点D，E的融合点得：点E（6，15）；
当∠HTD＝90°时，该情况不存在；
故点E（，6）或（6，15）．
【点评】本题是一次函数综合运用题，涉及到勾股定理得运用，此类新定义题目，通常按照题设顺序，逐次求解．
