课件58张PPT。第三章 概率3.1 随机事件的概率
3.1.3 概率的基本性质
一定发生B?AA?B不可能事件A∩B＝?不可能事件必然事件事件A发生或事件B发生A∪BA＋B事件A发生且事件B发生A∩BAB [0，1]10P(A)＋P(B)1－P(B)10互斥事件与对立事件的判定 事件的关系及运算 互斥事件与对立事件的概率公式及应用 点击右图进入…Thank you for watching !3.1.3 概率的基本性质
学 习 目 标
核 心 素 养
1.了解事件间的包含关系和相等关系．
2．理解互斥事件和对应事件的概念及关系．(难点、易混点)
3．会用互斥事件与对立事件的概率公式求概率．(重点)
4．了解并事件与交事件的概念，会进行事件的运算．
1.通过互斥事件与对立事件的学习，体会逻辑推理素养．
2．借助概率的求法，提升数学运算素养.
1．事件的关系与运算
(1)事件的关系：
定义
表示法
图示
包含关系
一般地，对于事件A与事件B，如果事件A发生，则事件B一定发生，这时称事件B包含事件A(或称事件A包含于事件B)
B?A(或A?B)
相等关系
A?B且B?A
A＝B
事件互斥
若A∩B为不可能事件，则称事件A与事件B互斥
A∩B＝?
事件
对立
若A∩B为不可能事件，A∪B为必然事件，那么称事件A与事件B互为对立事件
A∩B＝?
且A∪B＝U
(2)事件的运算：
定义
表示法
图示
并
事
件
若某事件发生当且仅当事件A发生或事件B发生，则称此事件为事件A与事件B的并事件(或和事件)
A∪B
(或A＋B)
交
事
件
若某事件发生当且仅当事件A发生且事件B发生，则称此事件为事件A与事件B的交事件(或积事件)
A∩B
(或AB)
2.概率的几个基本性质
(1)概率的取值范围：[0，1]．
(2)必然事件的概率为1，不可能事件的概率为0．
(3)概率加法公式为：如果事件A与B为互斥事件，则P(A∪B)＝P(A)＋P(B)．
(4)若A与B为对立事件，则P(A)＝1－P(B)．
P(A∪B)＝1，P(A∩B)＝0．
思考：在掷骰子的试验中，事件A＝{出现的点数为1}，事件B＝{出现的点数为奇数}，A与B应有怎样的关系？
[提示] A?B
1．同时掷两枚硬币，向上面都是正面为事件A，向上面至少有一枚是正面为事件B，则有( )
A．A?B B．A?B
C．A＝B D．A
A [由事件的包含关系知A?B.]
2．掷一枚骰子，观察结果，A＝{向上的点数为1}，B＝{向上的点数为2}，则( )
A．A?B B．A＝B
C．A与B互斥 D．A与B对立
C [由于事件A与B不可能同时发生，故A、B互斥．]
3．一批产品共有100件，其中5件是次品，95件是合格品．从这批产品中任意抽取5件，现给出以下四个事件：
事件A：“恰有一件次品”；
事件B：“至少有两件次品”；
事件C：“至少有一件次品”；
事件D：“至多有一件次品”．
并给出以下结论：
①A∪B＝C；②D∪B是必然事件；③A∪B＝B；④A∪D＝C.
其中正确的序号是( )
A．①② B．③④ C．①③ D．②③
A [A∪B表示的事件：至少有一件次品，即事件C，所以①正确，③不正确；D∪B表示的事件：至少有两件次品或至多有一件次品，包括了所有情况，所以②正确；A∪D表示的事件：至多有一件次品，即事件D，所以④不正确．]
4．一商店有奖促销活动中只有一等奖与二等奖两个奖项，其中中一等奖的概率为0.1，中二等奖的概率为0.25，则不中奖的概率为________．
0.65 [中奖的概率为0.1＋0.25＝0.35，中奖与不中奖互为对立事件，所以不中奖的概率为1－0.35＝0.65.]
互斥事件与对立事件的判定
【例1】 某县城有甲、乙两种报纸供居民订阅，记事件A为“只订甲报”，事件B为“至少订一种报纸”，事件C为“至多订一种报纸”，事件D为“不订甲报”，事件E为“一种报纸也不订”．判断下列每组事件是不是互斥事件；如果是，再判断它们是不是对立事件：
(1)A与C；(2)B与E；(3)B与D；(4)B与C；(5)C与E.
思路点拨：是否可能同时发生→判断是否互斥→是否必有一个发生→判断是否对立
[解] (1)由于事件C“至多订一种报纸”中包括“只订甲报”，即事件A与事件C有可能同时发生，故A与C不是互斥事件．
(2)事件B“至少订一种报纸”与事件E“一种报纸也不订”是不可能同时发生的，故B与E是互斥事件；由于事件B与事件E必有一个发生，故B与E是对立事件．
(3)事件B“至少订一种报纸”中包括“只订乙报”，即有可能“不订甲报”，也就是说事件B和事件D有可能同时发生，故B与D不是互斥事件．
(4)事件B“至少订一种报纸”中的可能情况为“只订甲报”“只订乙报”“订甲、乙两种报”．事件C“至多订一种报纸”中的可能情况为“一种报纸也不订”“只订甲报”“只订乙报”．也就是说事件B与事件C可能同时发生，故B与C不是互斥事件．
(5)由(4)的分析，事件E“一种报纸也不订”是事件C中的一种可能情况，所以事件C与事件E可能同时发生，故C与E不是互斥事件．
互斥事件、对立事件的判定方法
(1)利用基本概念
①互斥事件不可能同时发生；
②对立事件首先是互斥事件，且必须有一个要发生．
(2)利用集合的观点来判断
设事件A与B所含的结果组成的集合分别是A，B.
①事件A与B互斥，即集合A∩B＝?；
②事件A与B对立，即集合A∩B＝?，且A∪B＝I，即A＝IB或B＝IA.
1．一个射手进行一次射击，有下面四个事件：事件A：命中环数大于8；事件B：命中环数小于5；事件C：命中环数大于4；事件D：命中环数不大于6.则( )
A．A与D是互斥事件 B．C与D是对立事件
C．B与D是互斥事件 D．以上都不对
A [由互斥、对立事件的定义可判断A选项正确．]
事件的关系及运算
【例2】 在掷骰子的试验中，可以定义许多事件．例如，事件C1＝{出现1点}，事件C2＝{出现2点}，事件C3＝{出现3点}，事件C4＝{出现4点}，事件C5＝{出现5点}，事件C6＝{出现6点}，事件D1＝{出现的点数不大于1}，事件D2＝{出现的点数大于3}，事件D3＝{出现的点数小于5}，事件E＝{出现的点数小于7}，事件F＝{出现的点数为偶数}，事件G＝{出现的点数为奇数}，请根据上述定义的事件，回答下列问题：
(1)请列举出符合包含关系、相等关系的事件；
(2)利用和事件的定义，判断上述哪些事件是和事件．
[解] (1)因为事件C1，C2，C3，C4发生，则事件D3必发生，所以C1?D3，C2?D3，C3?D3，C4?D3.
同理可得，事件E包含事件C1，C2，C3，C4，C5，C6；事件D2包含事件C4，C5，C6；事件F包含事件C2，C4，C6；事件G包含事件C1，C3，C5.
且易知事件C1与事件D1相等，即C1＝D1.
(2)因为事件D2＝{出现的点数大于3}＝{出现4点或出现5点或出现6点}，所以D2＝C4∪C5∪C6(或D2＝C4＋C5＋C6)．
同理可得，D3＝C1＋C2＋C3＋C4，E＝C1＋C2＋C3＋C4＋C5＋C6，F＝C2＋C4＋C6，G＝C1＋C3＋C5.
事件运算应注意的2个问题
(1)进行事件的运算时，一是要紧扣运算的定义，二是要全面考查同一条件下的试验可能出现的全部结果，必要时可利用Venn图或列出全部的试验结果进行分析．
(2)在一些比较简单的题目中，需要判断事件之间的关系时，可以根据常识来判断．但如果遇到比较复杂的题目，就得严格按照事件之间关系的定义来推理．
2．盒子里有6个红球，4个白球，现从中任取3个球，设事件A＝{3个球中有1个红球、2个白球}，事件B＝{3个球中有2个红球、1个白球}，事件C＝{3个球中至少有1个红球}，事件D＝{3个球中既有红球又有白球}．
(1)事件D与A，B是什么样的运算关系？
(2)事件C与A的交事件是什么事件？
[解] (1)对于事件D，可能的结果为1个红球、2个白球，或2个红球、1个白球，故D＝A∪B.
(2)对于事件C，可能的结果为1个红球、2个白球，或2个红球、1个白球，或3个红球，故C∩A＝A.
互斥事件与对立事件的概率公式及应用
[探究问题]
1．在同一试验中，对任意两个事件A、B，P(A∪B)＝P(A)＋P(B)一定成立吗？
[提示] 不一定，只有A与B互斥时，P(A∪B)＝P(A)＋P(B)才成立．
2．若P(A)＋P(B)＝1，则事件A与事件B是否一定对立？试举例说明．
[提示] A与B不一定对立．例如：掷一枚均匀的骰子，记事件A为出现偶数点，事件B为出现1点或2点或3点，则P(A)＋P(B)＝1，但A、B不对立．
【例3】 在数学考试中，小明的成绩在90分(含90分)以上的概率是0.18，在80分～89分(包括89分，下同)的概率是0.51，在70分～79分的概率是0.15，在60分～69分的概率是0.09，在60分以下的概率是0.07，计算：
(1)小明在数学考试中取得80分以上的成绩的概率；
(2)小明数学考试及格的概率．
思路点拨：小明的成绩在80分以上可以看作是互斥事件“80分～89分”“90分以上”的并事件，小明数学考试及格可看作是“60分～69分”“70分～79分”“80分～89分”“90分以上”这几个彼此互斥事件的并事件，又可看作是“不及格”这一事件的对立事件．
[解] 分别记小明的成绩“在90分以上”“在80分～89分”“在70分～79分”在“60分～69分”为事件B，C，D，E，这四个事件彼此互斥．
(1)小明的成绩在80分以上的概率是
P(B∪C)＝P(B)＋P(C)＝0.18＋0.51＝0.69.
(2)法一：小明数学考试及格的概率是
P(B∪C∪D∪E)＝P(B)＋P(C)＋P(D)＋P(E)＝0.18＋0.51＋0.15＋0.09＝0.93.
法二：小明数学考试不及格的概率是0.07，所以小明数学考试及格的概率是1－0.07＝0.93.
1．(变结论)本例条件不变，求小明在数学考试中取得80分以下的成绩的概率．
[解] 分别记小明的成绩“在90分以上”，“在80～89分”，“在70～79分”，“在60～69分”，“在60分以下”为事件A、B、C、D、E，则这五个事件彼此互斥．
∴小明成绩在80分以下的概率是：
P(C∪D∪E)＝0.15＋0.09＋0.07＝0.31.
2．(变条件)一盒中装有各种色球12个，其中5个红球、4个黑球、2个白球、1个绿球．从中随机取出1球，求：
(1)取出1球是红球或黑球的概率；
(2)取出的1球是红球或黑球或白球的概率．
[解] 法一：(利用互斥事件求概率)
记事件A1＝{任取1球为红球}，
A2＝{任取1球为黑球}，
A3＝{任取1球为白球}，
A4＝{任取1球为绿球}，
则P(A1)＝，P(A2)＝，
P(A3)＝，P(A4)＝.
根据题意知，事件A1，A2，A3，A4彼此互斥，由互斥事件概率公式，得
(1)取出1球为红球或黑球的概率为
P(A1∪A2)＝P(A1)＋P(A2)＝＋＝.
(2)取出1球为红球或黑球或白球的概率为P(A1∪A2∪A3)＝P(A1)＋P(A2)＋P(A3)＝＋＋＝.
法二：(利用对立事件求概率)
(1)由法一知，取出1球为红球或黑球的对立事件为取出1球为白球或绿球，即A1∪A2的对立事件为A3∪A4，所以取得1球为红球或黑球的概率为
P(A1∪A2)＝1－P(A3∪A4)＝1－P(A3)－P(A4)
＝1－－＝＝.
(2)A1∪A2∪A3的对立事件为A4.
所以P(A1∪A2∪A3)＝1－P(A4)＝1－＝.
互斥事件、对立事件概率的求解方法
(1)互斥事件的概率的加法公式P(A∪B)＝P(A)＋P(B)．
(2)当求解的问题中有“至多”“至少”“最少”等关键词语时，常常考虑其反面，通过求其反面，然后转化为所求问题．
1．互斥事件和对立事件都是针对两个事件而言的，它们两者之间既有区别又有联系．在一次试验中，两个互斥事件有可能都不发生，也可能有一个发生，但不可能两个都发生；而两个对立事件必有一个发生，但是不可能两个事件同时发生，也不可能两个事件都不发生．所以两个事件互斥，它们未必对立；反之两个事件对立，它们一定互斥．
2．互斥事件概率的加法公式是一个很基本的计算公式，解题时要在具体的情景中判断各事件间是否互斥，只有互斥事件才能用概率的加法公式P(A∪B)＝P(A)＋P(B)．
3．求复杂事件的概率通常有两种方法
(1)将所求事件转化成彼此互斥事件的并事件；
(2)先求其对立事件的概率，再求所求事件的概率.
1．判断下列结论的正误(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)互斥事件一定是对立事件． ( )
(2)事件A与B的并事件的概率一定大于事件A的概率． ( )
(3)若P(A)＋P(B)＝1，则事件A与B一定是对立事件． ( )
[答案] (1)× (2)× (3)×
2．给出以下结论：①互斥事件一定对立；②对立事件一定互斥；③互斥事件不一定对立；④事件A与B的和事件的概率一定大于事件A的概率；⑤事件A与B互斥，则有P(A)＝1－P(B)．其中正确命题的个数为( )
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
C [对立必互斥，互斥不一定对立，∴②③对，①错；又A∪B＝A时，P(A∪B)＝P(A)，④错；只有A、B对立时，P(A)＝1－P(B)才成立，⑤错．]
3．口袋内装有一些大小相同的红球、白球和黑球，从中摸出1个球，摸出红球的概率是0.42，摸出白球的概率是0.28，那么摸出黑球的概率是________．
0.3 [摸出红球、白球、黑球是互斥事件，所以摸出黑球的概率为1－0.42－0.28＝0.3.]
4．从40张扑克牌(红桃、黑桃、方块、梅花点数从1～10各10张)中任抽取1张，判断下列给出的每对事件是否为互斥事件，是否为对立事件，并说明理由．
(1)“抽出红桃”与“抽出黑桃”；
(2)“抽出红色牌”与“抽出黑色牌”；
(3)“抽出牌的点数为5的倍数”与“抽出牌的点数大于9”．
[解] (1)是互斥事件，不是对立事件．理由是：从40张扑克牌中任意抽取1张，“抽出红桃”和“抽出黑桃”是不可能同时发生的，所以是互斥事件．同时，不能保证其中必有一个发生，这是由于还可能抽出“方块”或者“梅花”，因此二者不是对立事件．
(2)既是互斥事件，又是对立事件．理由是：从40张扑克牌中任意抽取1张，“抽出红色牌”与“抽出黑色牌”两个事件不可能同时发生，且其中必有一个发生，因此它们既是互斥事件，又是对立事件．
(3)不是互斥事件，当然不可能是对立事件．理由是：从40张扑克牌中任意抽取1张，“抽出牌的点数为5的倍数”与“抽出牌的点数大于9”这两个事件可能同时发生，如抽出牌的点数为10，因此，二者不是互斥事件，当然不可能是对立事件．
课时分层作业(十七) 概率的基本性质
(建议用时：60分钟)
[基础达标练]
一、选择题
1．给出事件A与B的关系示意图，如图所示，则( )
A．A?B B．A?B
C．A与B互斥 D．A与B互为对立事件
C [由互斥事件的定义知，A、B互斥．]
2．甲、乙两人下棋，两人下成和棋的概率是，甲获胜的概率是，则甲不输的概率为( )
A． B．
C． D．
A [由题意甲不输即甲胜或甲、乙和棋，二者为互斥事件，故甲不输的概率为＋＝.]
3．把红、黑、蓝、白4张纸牌随机地分发给甲、乙、丙、丁4个人，每人分得1张，事件“甲分得红牌”与事件“乙分得红牌”是( )
A．对立事件 B．不可能事件
C．互斥但不对立事件 D．以上答案都不对
C [“甲分得红牌”与“乙分得红牌”不会同时发生，但分得红牌的还有可能是丙或丁，所以这两事件互斥但不对立．]
4．从1，2，3，…，9中任取两数，其中：①恰有一个偶数和恰有一个奇数；②至少有一个奇数和两个都是奇数；③至少有一个奇数和两个都是偶数；④至少有一个奇数和至少有一个偶数．则在上述事件中，是对立事件的是( )
A．① B．②④
C．③ D．①③
C [从1～9中任取两数，有以下三种情况，(1)两个均为奇数；(2)两个均为偶数；(3)一个奇数与一个偶数．至少有一个奇数是(1)(3)种情况的并事件，与两个都是偶数对立．]
5．掷一枚骰子的试验中，出现各点的概率均为.事件A表示“小于5的偶数点出现”，事件B表示“小于5的点数出现”，则一次试验中，事件A＋(表示事件B的对立事件)发生的概率为( )
A． B．
C． D．
C [由题意知，表示“大于或等于5的点数出现”，事件A与事件互斥，由概率的加法计算公式可得P(A＋)＝P(A)＋P()＝＋＝＝.]
二、填空题
6．在掷骰子的试验中，可以得到以下事件：
A＝{出现1点}；B＝{出现2点}；C＝{出现3点}；D＝{出现4点}；E＝{出现5点}；F＝{出现6点}；G＝{出现的点数不大于1}；H＝{出现的点数小于5}；I＝{出现奇数点}；J＝{出现偶数点}．请根据这些事件，判断下列事件的关系：
(1)B________H；(2)D________J；(3)E________I；(4)A________G.
? ? ? ＝ [当事件B发生时，H必然发生，故B?H；同理D?J，E?I，而事件A与G相等，即A＝G.]
7．抛掷一枚骰子两次，若至少有一个1点或2点的概率为，则没有1点且没有2点的概率是________．
[记事件A为“没有1点且没有2点”，B为“至少有一个1点或2点”，则A与B是互斥事件，且A与B是对立事件，故P(A)＝1－P(B)＝1－＝.]
8．给出四对事件：①某人射击1次，“射中7环”与“射中8环”；②甲、乙两人各射击1次，“甲射中7环”与“乙射中8环”；③甲、乙两人各射击1次，“两人均射中目标”与“两人均没有射中目标”；④甲、乙两人各射击1次，“至少有1人射中目标”与“甲射中目标，但乙未射中目标”．其中是互斥事件的有________对．
2 [某人射击1次，“射中7环”与“射中8环”这两个事件不可能同时发生，故①是互斥事件；甲、乙两人各射击1次，“甲射中7环”与“乙射中8环”可能同时发生，故②不是互斥事件；甲、乙两人各射击1次，“两人均射中目标”与“两人均没有射中目标”这两个事件不可能同时发生，故③是互斥事件；甲、乙两人各射击1次，“至少有1人射中目标”与“甲射中目标，但乙未射中目标”，前者包含后者，故④不是互斥事件．综上可知，①③是互斥事件，故共有2对事件是互斥事件．]
三、解答题
9．(1)某班派两名学生参加乒乓球比赛，他们取得冠军的概率分别为和，则该班取得乒乓球比赛冠军的概率为＋.上述说法正确吗？为什么？
(2)某战士在一次射击训练中，击中环数大于7的概率为0.6，击中环数是6或7或8的概率为0.3，则该战士击中环数大于5的概率为0.6＋0.3＝0.9.上述说法是否正确？请说明理由．
[解] (1)正确．因为两人分别取得冠军是互斥的，所以两人至少有一人取得冠军，该班就取得乒乓球比赛冠军，所以该班取得乒乓球比赛冠军的概率为＋.
(2)不正确．因为该战士击中环数大于7和击中环数为6或7或8不是互斥事件，所以不能用互斥事件的概率加法公式计算．
10．黄种人群中各种血型的人所占的比例见下表：
血型
A
B
AB
O
该血型的人所占的比例/%
28
29
8
35
已知同种血型的人可以互相输血，O型血可以给任一种血型的人输血，任何人的血都可以输给AB型血的人，其他不同血型的人不能互相输血．小明是B型血，若他因病需要输血，问：
(1)任找一个人，其血可以输给小明的概率是多少？
(2)任找一个人，其血不能输给小明的概率是多少？
[解] 对任何一个人，其血型为A，B，AB，O型血的事件分别记为A′，B′，C′，D′，它们是互斥的．由已知，有P(A′)＝0.28，P(B′)＝0.29，P(C′)＝0.08，P(D′)＝0.35.
(1)因为B，O型血可以输给B型血的人，所以“任找一个人，其血可以输给小明”为事件B′∪D′，根据概率的加法公式，得P(B′∪D′)＝P(B′)＋P(D′)＝0.29＋0.35＝0.64.
(2)由于A，AB型血不能输给B型血的人，故“任找一个人，其血不能输给小明”为事件A′∪C′，根据概率的加法公式，得P(A′∪C′)＝P(A′)＋P(C′)＝0.28＋0.08＝0.36.
[能力提升练]
1．若随机事件A，B互斥，A，B发生的概率均不等于0，且P(A)＝2－a，P(B)＝4a－5，则实数a的取值范围是( )
A． B．
C． D．
D [由题意可得
即
解得 2．某小组有三名男生和两名女生，从中任选两名去参加比赛，则下列各对事件中是互斥事件的有( )
①恰有一名男生和全是男生；
②至少有一名男生和至少有一名女生；
③至少有一名男生和全是男生；
④至少有一名男生和全是女生．
A．①③④ B．②③④
C．②③ D．①④
D [①是互斥事件．恰有一名男生的实质是选出的两名同学中有一名男生和一名女生，它与全是男生不可能同时发生；②不是互斥事件；③不是互斥事件；④是互斥事件．至少有一名男生与全是女生不可能同时发生．]
3．打靶3次，事件Ai表示“击中i发”，其中i＝0，1，2，3，那么A＝A1∪A2∪A3表示的含义是________．
击中1发，2发或3发 [A＝A1∪A2∪A3表示的含义是A1、A2、A3这三个事件中至少有一个发生，即可能击中1发，2发或3发．]
4．4位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动，则周六、周日都有同学参加公益活动的概率为________．
[由题意知4位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动，其中4位同学都选周六的概率为，4位同学都选周日的概率为，故周六、周日都有同学参加公益活动的概率P＝1－－＝＝.]
5．袋中有红球、黑球、黄球、绿球若干，从中任取一球，得到红球的概率为，得到黑球或黄球的概率为，得到黄球或绿球的概率为，求得到黑球、得到黄球、得到绿球的概率分别是多少．
[解] 记“得到红球”为事件A，“得到黑球”为事件B，“得到黄球”为事件C，“得到绿球”为事件D，事件A，B，C，D显然彼此互斥，则由题意可知，P(A)＝，①
P(B∪C)＝P(B)＋P(C)＝，②
P(C∪D)＝P(C)＋P(D)＝.③
由事件A和事件B∪C∪D是对立事件可得
P(A)＝1－P(B∪C∪D)＝1－[P(B)＋P(C)＋P(D)]，
即P(B)＋P(C)＋P(D)＝1－P(A)＝1－＝.④
联立②③④可得P(B)＝，P(C)＝，P(D)＝.
即得到黑球、得到黄球、得到绿球的概率分别是，，.
