3.2 古典概型
3.2.1 古典概型
3.2.2 (整数值)随机数(random numbers)的产生
学 习 目 标
核 心 素 养
1.了解基本事件的特点，理解古典概型的定义．(重点)
2．会判断古典概型，会用古典概型的概率公式解决问题．(重点、难点)
3．理解用模拟方法估计概率的实质，会用模拟方法估计概率．(重点)
1.通过古典概型的概率计算，培养数学运算素养．
2．借助随机模拟估计概率，提升数学抽象素养.
1. 基本事件
(1)定义：在一次试验中，所有可能出现的基本结果中不能再分的最简单的随机事件称为该次试验的基本事件．
(2)特点：①任何两个基本事件是互斥的；②任何事件(除不可能事件)都可以表示成基本事件的和．
2．古典概型
(1)定义：
如果某类概率模型具有以下两个特点：
①试验中所有可能出现的基本事件只有有限个；
②每个基本事件出现的可能性相等．
我们将具有这两个特点的概率模型称为古典概率模型，简称古典概型．
(2)古典概型的概率公式：对于任何事件A，
P(A)＝．
3．随机数与伪随机数
(1)随机数
要产生1～n(n∈N*)之间的随机整数，把n个大小形状相同的小球分别标上1，2，3，…，n，放入一个袋中，把它们充分搅拌，然后从中摸出一个，这个球上的数就称为随机数．
(2)伪随机数
计算机或计算器产生的随机数是依照确定算法产生的数，具有周期性(周期很长)，它们具有类似随机数的性质．因此，计算机或计算器产生的并不是真正的随机数，我们称它们为伪随机数．
4．整数值随机数的产生及应用
(1)产生整数值随机数的方法
用计算器的随机函数RANDI(a，b)或计算机的随机函数RANDBET WEEN(a，b)可以产生从整数a到整数b的取整数值的随机数；也可用计算机中的Excel软件产生随机数．
用计算机或计算器模拟试验的方法称为随机模拟方法．
(2)整数值的随机数的应用
利用计算器或计算机产生的随机数来做模拟试验，通过模拟试验得到的频率来估计概率，这种用计算器或计算机模拟试验的方法称为随机模拟方法或蒙特卡罗方法．
思考：“在区间[0，10]上任取一个数，这个数恰为2的概率是多少？”这个概率模型属于古典概型吗？
[提示] 不是，因为在区间[0，10]上任取一个数，其试验结果有无限个，故其基本事件有无限个，所以不是古典概型．
1．下列试验中，属于古典概型的是( )
A．种下一粒种子，观察它是否发芽
B．从规格直径为250 mm±0.6 mm的一批合格产品中任意抽一根，测量其直径d
C．抛掷一枚质地均匀的硬币，观察其出现正面或反面
D．某人射击中靶或不中靶
C [依据古典概型的特点，只有C项满足有限性与等可能性．]
2．某校高一年级要组建数学、计算机、航空模型三个兴趣小组，某学生只选报其中的2个，则基本事件共有( )
A．1个 B．2个
C．3个 D．4个
C [基本事件有(数学、计算机)，(数学、航空模型)，(计算机、航空模型)共3个．]
3．甲、乙、丙三名同学站成一排，乙站中间的概率是( )
A． B．
C． D．
C [所有基本事件有：(甲乙丙)，(甲丙乙)，(乙甲丙)(乙丙甲)，(丙甲乙)，(丙乙甲)共6个，乙站中间包含(甲乙丙)，(丙乙甲)共2个，所以P＝＝.]
4．已知抛掷一枚质地均匀的硬币，正面朝上的概率为0.5.现采用随机模拟试验的方法估计抛掷这枚硬币三次恰有两次正面朝上的概率：先由计算器产生随机数0或1，用0表示正面朝上，用1表示反面朝上；再以每三个随机数作为一组，代表这三次投掷的结果．经随机模拟试验产生了如下20组随机数：
101 111 010 101 010
100 100 011 111 110
000 011 010 001 111
011 100 000 101 101
据此估计，抛掷这枚硬币三次恰有两次正面朝上的概率为________．
0.35 [抛掷这枚硬币三次恰有两次正面朝上的有010，010，100，100，010，001，100共7组，则抛掷这枚硬币三次恰有两次正面朝上的概率可以为＝0.35.]
基本事件及其计数问题
【例1】 连续掷3枚硬币，观察落地后3枚硬币是正面向上还是反面向上．
(1)写出这个试验的所有基本事件；
(2)“恰有两枚正面向上”这一事件包含哪几个基本事件？
[解] (1)由树形图表示如下：
试验的所有基本事件为(正，正，正)，(正，正，反)，(正，反，正)，(正，反，反)，(反，正，正)，(反，正，反)，(反，反，正)，(反，反，反)．
(2)“恰有两枚正面朝上”包含以下3个基本事件：(正，正，反)，(正，反，正)，(反，正，正)．
基本事件的三种列举方法
(1)直接列举法：把试验的全部结果一一列举出来．此方法适合于较为简单的试验问题．
(2)列表法：将基本事件用表格的方式表示出来，通过表格可以弄清基本事件的总数，以及要求的事件所包含的基本事件数．列表法适用于较简单的试验的题目，基本事件较多的试验不适合用列表法．
(3)树状图法：树状图法是使用树状的图形把基本事件列举出来的一种方法，树状图法便于分析基本事件间的结构关系，对于较复杂的问题，可以作为一种分析问题的主要手段，树状图法适用于较复杂的试验的题目．
1．抛掷一枚骰子，下列不是基本事件的是( )
A．向上的点数是奇数 B．向上的点数是3
C．向上的点数是4 D．向上的点数是6
A [向上的点数是奇数包含三个基本事件：向上的点数是1，向上的点数是3，向上的点数是5，则A项不是基本事件，B，C，D项均是基本事件．]
古典概型的判断与计算
[探究问题]
1．任何两个基本事件具有什么特征？
[提示] 互斥．
2．若一次试验的结果所包含的基本事件的个数是有限个，则该试验是古典概型吗？
[提示] 不是，若是古典概型，还必须满足每个基本事件出现的可能性相等．
3．使用古典概型概率公式应注意哪些问题？
[提示] (1)确定是否为古典概型．
(2)所求事件是什么，它包含哪些基本事件．
【例2】 袋中有五张卡片，其中红色卡片三张，标号分别为1，2，3；蓝色卡片两张，标号分别为1，2；现从袋中任取两张卡片．
(1)若把所取卡片的所有不同情况作为基本事件，则共有多少个基本事件？是古典概型吗？
(2)若把所取出卡片的标号之和作为基本事件，则共有多少个基本事件？是古典概型吗？
(3)求所取卡片标号之和小于4的概率．
思路点拨：先列举出基本事件，紧扣古典概型的特点加以判断，再用古典概型概率公式求相应概率．
[解] (1)基本事件为(红1，红2)，(红1，红3)，(红1，蓝1)，(红1，蓝2)，(红2，红3)，(红2，蓝1)，(红2，蓝2)，(红3，蓝1)，(红3，蓝2)，(蓝1，蓝2)共10种，由于基本事件个数有限，且每个基本事件发生的可能性相同，所以是古典概型．
(2)由(1)知，基本事件为2，3，4，5共4种，且他们出现的频数依次为1，4，3，2；故每个基本事件发生的可能性不同，不是古典概型．
(3)设A＝{所取两张卡片标号之和小于4}，由(1)知，A事件包含(红1，红2)，(红1，蓝1)，(红1，蓝2)，(红2，蓝1)，(蓝1，蓝2)共5种，由古典概型概率公式得：
P(A)＝＝.
1．(变结论)本题条件不变，求所取两张卡片标号之和不大于4且颜色相同的概率．
[解] 所有基本事件为(红1，红2)，(红1，红3)，(红1，蓝1)，(红1，蓝2)，(红2，红3)，(红2，蓝1)，(红2，蓝2)，(红3，蓝1)，(红3，蓝2)，(蓝1，蓝2)共10种．
设A＝{所取两张卡片标号之和不大于4且颜色相同}，
则A事件包含(红1，红2)，(红1，红3)，(蓝1，蓝2)
共3种，由古典概型概率公式得：
P(A)＝.
2．(变条件)在本题原条件不变的情况之下，现往袋中再放一张标号为0的绿色卡片，从这六张卡片中任取两张，求这两张卡片颜色不同且标号之和小于4的概率．
[解] 加入一张标号为0的绿色卡片后，从六张卡片中任取两张，所有可能情况如下表所示：
绿
蓝
红
0
1
2
1
2
3
绿
0
1
2
1
2
3
蓝
1
3
2
3
4
2
3
4
5
红
1
3
4
2
5
3
由表格可知，从六张卡片中任取两张的所有可能情况有15种．其中两张卡片的颜色不同且标号之和小于4的有{绿0，蓝1}，{绿0，蓝2}，{绿0，红1}，{绿0，红2}，{绿0，红3}，{蓝1，红1}，{蓝1，红2}，{蓝2，红1}，共8种情况．由古典概型的概率计算公式可得，所求事件的概率P＝.
求解古典概型的概率“四步”法
整数随机模拟及应用
【例3】 盒中有大小、形状相同的5个白球和2个黑球，用随机模拟方法求下列事件的概率：
(1)任取一球，得到白球；
(2)任取三球，恰有两个白球；
(3)任取三球(分三次，每次放回再取)，恰有3个白球．
[解] 用计算器或计算机产生1到7之间取整数值的随机数，用1，2，3，4，5表示白球，6，7表示黑球.
(1)统计随机数个数N及小于6的个数N1，则即为任取一球，得到白球的概率的近似值．
(2)三个数一组(每组内不重复)，统计总组数M及恰好有两个数小于6的组数M1，则即为任取三个球，恰有两个白球的概率的近似值.
(3)三个数一组(每组内可重复)，统计总组数K及三个数都小于6的组数K1，则即为任取三球(分三次，每次放回再取)，恰有3个白球的概率的近似值．
利用随机模拟估计概率应关注三点
用整数随机数模拟试验估计概率时，首先要确定随机数的范围和用哪些数代表不同的试验结果．我们可以从以下三方面考虑：
(1)当试验的基本事件等可能时，基本事件总数即为产生随机数的范围，每个随机数代表一个基本事件；
(2)研究等可能事件的概率时，用按比例分配的方法确定表示各个结果的数字个数及总个数；
(3)当每次试验结果需要n个随机数表示时，要把n个随机数作为一组来处理，此时一定要注意每组中的随机数字能否重复．
2．种植某种树苗，成活率是0.9.若种植该种树苗5棵，用随机模拟方法估计恰好4棵成活的概率．
[解] 利用计算器或计算机产生0到9之间取整数值的随机数，我们用0代表不成活，1至9的数字代表成活，这样可以体现成活率是0.9.因为种植5棵，所以每5个随机数作为一组，可产生30组随机数，如下所示：
69801 66097 77124 22961 74235 31516
29747 24945 57558 65258 74130 23224
37445 44344 33315 27120 21782 58555
61017 45241 44134 92201 70362 83005
94976 56173 34783 16624 30344 01117
这就相当于做了30次试验，在这些数组中，如果恰有一个0，则表示恰有4棵成活，共有9组这样的数，于是我们得到种植5棵这样的树苗恰有4棵成活的概率近似为＝0.3.
1．古典概型是一种最基本的概型，也是学习其他概型的基础，这也是我们在学习、生活中经常遇到的题型．解题时要紧紧抓住古典概型的两个基本特征，即有限性和等可能性．在应用公式P(A)＝时，关键是正确理解基本事件与事件A的关系，从而求出m，n.
2．求某个随机事件A包含的基本事件的个数和试验中基本事件的总数常用的方法是列举法(画树状图和列表)，注意做到不重不漏．
3．对于用直接方法难以解决的问题，可以先求其对立事件的概率，进而求得其概率，以降低难度．
1．判断下列结论的正误(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)若一次试验的结果所包含的基本事件的个数为有限个，则该试验符合古典概型. ( )
(2)“抛掷两枚硬币，至少一枚正面向上”是基本事件． ( )
(3)从装有三个大球、一个小球的袋中，取出一球的试验是古典概型． ( )
(4)随机数的抽取就是简单随机抽样． ( )
[答案] (1)× (2)× (3)× (4)√
2．若连续掷两次骰子得到的点数为m、n，则点P(m，n)在直线x＋y＝4上的概率是( )
A． B． C． D．
D [由题意(m，n)的取值情况有(1，1)，(1，2)，…，(1，6)；(2，1)，(2，2)，…，(2，6)；…；(6，1)，(6，2)，…，(6，6)，共36种，而满足点P(m，n)在直线x＋y＝4上的取值情况有(1，3)，(2，2)，(3，1)，共3种．故所求概率为＝，故选D.]
3．若用随机(整数)模拟求“有4个男生和5个女生，从中取4个，求选出2个男生2个女生”的概率时，可让计算机产生1～9的随机整数，并用1～4代表男生，用5～9代表女生．因为是选出4个，所以每4个随机数作为一组．若得到
的一组随机数为“4678”，则它代表的含义是__________．
选出的4个人中，只有1个男生 [1～4代表男生，5～9代表女生，4678表示选出的4人中一男三女．]
4．某校夏令营有3名男同学A，B，C和3名女同学X，Y，Z，其年级情况如下表：
一年级
二年级
三年级
男同学
A
B
C
女同学
X
Y
Z
现从这6名同学中随机选出2人参加知识竞赛(每人被选到的可能性相同)．
(1)用表中字母列举出所有可能的结果；
(2)设M为事件“选出的2人来自不同年级且恰有1名男同学和1名女同学”，求事件M发生的概率．
[解] (1)从6名同学中随机选出2人参加知识竞赛的所有可能结果为{A，B}，{A，C}，{A，X}，{A，Y}，{A，Z}，{B，C}，{B，X}，{B，Y}，{B，Z}，{C，X}，{C，Y}，{C，Z}，{X，Y}，{X，Z}，{Y，Z}，共15种．
(2)选出的2人来自不同年级且恰有1名男同学和1名女同学的所有可能结果为{A，Y}，{A，Z}，{B，X}，{B，Z}，{C，X}，{C，Y}，共6种．
因此，事件M发生的概率P(M)＝＝.
课件57张PPT。第三章 概率3.2 古典概型
3.2.1 古典概型
3.2.2 (整数值)随机数(random numbers)的产生随机互斥和只有有限个可能性相等大小形状充分搅拌确定算法周期性周期随机数真正的随机数RANDI(a，b)RANDBET WEEN(a，b)Excel随机模拟随机数频率随机模拟蒙特卡罗基本事件及其计数问题 古典概型的判断与计算 整数随机模拟及应用 点击右图进入…Thank you for watching !课时分层作业(十八) 古典概型
(整数值)随机数(random numbers)的产生
(建议用时：60分钟)
[基础达标练]
一、选择题
1．同时投掷两颗大小完全相同的骰子，用(x，y)表示结果，记A为“所得点数之和小于5”，则事件A包含的基本事件数是( )
A．3 B．4 C．5 D．6
D [事件A包含的基本事件为：(1，1)，(1，2)，(1，3)，(2，1)，(2，2)，(3，1)，共6个．]
2．下列是古典概型的是( )
A．任意掷两枚骰子，所得点数之和作为基本事件时
B．求任意的一个正整数平方的个位数字是1的概率，将取出的正整数作为基本事件时
C．从甲地到乙地共n条路线，求某人正好选中最短路线的概率
D．抛掷一枚均匀硬币首次出现正面为止
C [A项中由于点数的和出现的可能性不相等，故A不是；B项中的基本事件是无限的，故B不是；C项满足古典概型的有限性和等可能性，故C是；D项中基本事件可能会是无限个，故D不是．]
3．已知5件产品中有2件次品，其余为合格品．现从这5件产品中任取2件，恰有一件次品的概率为( )
A．0.4 B．0.6 C．0.8 D．1
B [5件产品中有2件次品，记为a，b，有3件合格品，记为c，d，e，从这5件产品中任取2件，有10种结果，分别是(a，b)，(a，c)，(a，d)，(a，e)，(b，c)，(b，d)，(b，e)，(c，d)，(c，e)，(d，e)，恰有一件次品，有6种结果，分别是(a，c)，(a，d)，(a，e)，(b，c)，(b，d)，(b，e)，设事件A＝{恰有一件次品}，则P(A)＝＝0.6，故选B.]
4．某班准备到郊外野营，为此向商店订了帐篷，如果下雨与不下雨是等可能的，能否准时收到帐篷也是等可能的，只要帐篷如期运到，他们就不会淋雨，则下列说法正确的是( )
A．一定不会淋雨 B．淋雨机会为
C．淋雨机会为 D．淋雨机会为
D [用A、B分别表示下雨和不下雨，用a、b表示帐篷运到和运不到，则所有可能情形为(A，a)，(A，b)，(B，a)，(B，b)，则当(A，b)发生时就会被雨淋到，∴淋雨的概率为P＝.]
5．已知某运动员每次投篮命中的概率为40%.现采用随机模拟的方法估计该运动员三次投篮恰有两次命中的概率：先由计算器算出0到9之间取整数值的随机数，指定1，2，3，4表示命中，5，6，7，8，9，0表示没有命中；再以每三个随机数为一组，代表三次投篮的结果．经随机模拟产生了20组随机数：
907 966 191 925 271 932 812 458 569 683
431 257 393 027 556 488 730 113 537 989
据此估计，该运动员三次投篮恰有两次命中的概率为( )
A．0.35 B．0.25 C．0.20 D．0.15
B [恰有两次命中的有191，271，932，812，393，共有5组，则该运动员三次投篮恰有两次命中的概率近似为＝0.25.]
二、填空题
6．一个口袋中有大小相同的4个白球，3个黑球，2个红球及1个黄球，现从中一次任取2个球，则所有的基本事件有________个．
9 [用树形图表示如下：
故所有的基本事件共9个．]
7．甲、乙、丙三名奥运志愿者被随机分到A，B两个不同的岗位，且每个岗位至少1人，则甲、乙两人被分到同一岗位的概率为________．
[所有可能的分配方式如下表：
A
甲、乙
甲、丙
乙、丙
甲
乙
丙
B
丙
乙
甲
乙、丙
甲、丙
甲、乙
共有6个基本事件，令事件M为“甲、乙两人被分到同一岗位”，则事件M包含2个基本事件，所以P(M)＝＝.]
8．下列试验是古典概型的为 ________(填序号)．
①从6名同学中选出4人参加数学竞赛，每人被选中的可能性的大小；
②同时掷两枚骰子，点数和为7的概率；
③近三天中有一天降雨的概率；
④10人站成一排，其中甲、乙相邻的概率．
①②④ [①②④是古典概型，因为符合古典概型的定义和特点．③不是古典概型，因为不符合等可能性，三天中是否降雨受多方面因素影响．]
三、解答题
9．袋中有大小相同的3个白球，2个红球，2个黄球，每个球有一个区别于其他球的编号，从中随机摸出一个球．
(1)把每个球的编号看作一个基本事件建立的概率模型是不是古典概型？
(2)把球的颜色作为划分基本事件的依据，有多少个基本事件？以这些基本事件建立的概率模型是不是古典概型？
[解] (1)因为基本事件个数有限，而且每个基本事件发生的可能性相同，所以是古典概型．
(2)把球的颜色作为划分基本事件的依据，可得到“取得一个白色球”“取得一个红色球”“取得一个黄色球”，共3个基本事件．这些基本事件个数有限，但“取得一个白色球”的概率与“取得一个红色球”或“取得一个黄色球”的概率不相等，即不满足等可能性，故不是古典概型．
10．某市举行职工技能比赛活动，甲厂派出2男1女共3名职工，乙厂派出2男2女共4名职工．
(1)若从甲厂和乙厂报名的职工中各任选1名进行比赛，求选出的2名职工性别相同的概率；
(2)若从甲厂和乙厂报名的这7名职工中任选2名进行比赛，求选出的这2名职工来自同一工厂的概率．
[解] 记甲厂派出的2名男职工为A1，A2，女职工为a；乙厂派出的2名男职工为B1，B2，2名女职工为b1，b2.
(1)从甲厂和乙厂报名的职工中各任选1名，不同的结果有{A1，B1}，{A1，B2}，{A1，b1}，{A1，b2}，{A2，B1}，{A2，B2}，{A2，b1}，{A2，b2}，{a，B1}，{a，B2}，{a，b1}，{a，b2}，共12种．
其中选出的2名职工性别相同的结果有{A1，B1}，{A1，B2}，{A2，B1}，{A2，B2}，{a，b1}，{a，b2}，共6种．
故选出的2名职工性别相同的概率P＝＝.
(2)若从甲厂和乙厂报名的这7名职工中任选2名，不同的结果有{A1，A2}，{A1，a}，{A1，B1}，{A1，B2}，{A1，b1}，{A1，b2}，{A2，a}，{A2，B1}，{A2，B2}，{A2，b1}，{A2，b2}，{a，B1}，{a，B2}，{a，b1}，{a，b2}，{B1，B2}，{B1，b1}，{B1，b2}，{B2，b1}，{B2，b2}，{b1，b2}，共21种．
其中选出的2名职工来自同一工厂的有{A1，A2}，{A1，a}，{A2，a}，{B1，B2}，{B1，b1}，{B1，b2}，{B2，b1}，{B2，b2}，{b1，b2}，共9种．
故选出的2名职工来自同一工厂的概率P＝＝.
[能力提升练]
1．甲、乙两人玩猜数字游戏，先由甲心中想一个数字，记为a，再由乙猜甲刚才所想的数字，把乙猜的数字记为b，其中a，b∈{1，2，3，4，5，6}，若|a－b|≤1，就称甲乙“心有灵犀”．现任意找两人玩这个游戏，则他们“心有灵犀”的概率为( )
A． B． C． D．
D [首先要弄清楚“心有灵犀”的实质是|a－b|≤1，由于a，b∈{1，2，3，4，5，6}，则满足要求的事件可能的结果有：(1，1)，(1，2)，(2，1)，(2，2)，(2，3)，(3，2)，(3，3)，(3，4)，(4，3)，(4，4)，(4，5)，(5，4)，(5，5)，(5，6)，(6，5)，(6，6)，共16种，而依题意得，基本事件的总数有36种．因此他们“心有灵犀”的概率为P＝＝.]
2．从个位数与十位数之和为奇数的两位数中任取一个，其个位数为0的概率是( )
A． B． C． D．
D [个位数与十位数之和为奇数，则个位数与十位数中必有一个奇数一个偶数，所以可以分两类：
(1)当个位为奇数时，有5×4＝20(个)符合条件的两位数．
(2)当个位为偶数时，有5×5＝25(个)符合条件的两位数．
因此共有20＋25＝45(个)符合条件的两位数，其中个位数为0的两位数有5个，所以所求概率为P＝＝.]
3．某汽车站每天均有3辆开往省城的分为上、中、下等级的客车，某天袁先生准备在该汽车站乘车前往省城办事，但他不知道客车的车况，也不知道发车顺序．为了尽可能乘上上等车，他采取如下策略：先放过一辆，如果第二辆比第一辆好则上第二辆，否则上第三辆．则他乘上上等车的概率为________．
[共有6种发车顺序：①上、中、下；②上、下、中；③中、上、下；④中、下、上；⑤下、中、上；⑥下、上、中(其中画横线的表示袁先生所乘的车)，所以他乘上上等车的概率为＝.]
4．先后抛掷两枚均匀的正方体骰子(它们的六个面分别标有点数1，2，3，4，5，6)，骰子朝上的面的点数分别为x，y，则log2xy＝1的概率为________．
[所有基本事件的个数为6×6＝36.由log2xy＝1得2x＝y，其中x，y∈{1，2，3，4，5，6}，所以或或满足log2xy＝1，故事件“log2xy＝1”包含3个基本事件，所以所求的概率为P＝＝.]
5．设a，b是从集合{1，2，3，4，5}中随机选取的数．求直线y＝ax＋b与圆x2＋y2＝2有公共点的概率．
[解] 直线y＝ax＋b与圆x2＋y2＝2有公共点的充要条件为：x2＋(ax＋b)2＝2有实根，整理即知：(a2＋1)x2＋2abx＋(b2－2)＝0有实根，即Δ＝(2ab)2－4(a2＋1)(b2－2)＝4(2a2－b2＋2)≥0，也即b2≤2a2＋2.
因为a，b是从集合{1，2，3，4，5}中随机选取的数，所以基本事件总数为25.事件“直线y＝ax＋b与圆x2＋y2＝2有公共点”包含的基本事件有：
当b＝1时，a＝1，2，3，4，5；当b＝2时，a＝1，2，3，4，5；当b＝3时，a＝2，3，4，5；当b＝4时，a＝3，4，5；当b＝5时，a＝4，5，共19个．
所以直线y＝ax＋b与圆x2＋y2＝2有公共点的概率为.
