课件55张PPT。第三章 概率3.3 几何概型
3.3.1 几何概型
3.3.2 均匀随机数的产生
构成该事件区域的长度(面积或体积)无限多个相等无限多个等可能RANDrand()x1*(b－a)＋a与长度、角度有关的几何概型 与面积、体积有关的几何概型 均匀随机数与随机模拟方法 点击右图进入…Thank you for watching !3.3 几何概型
3.3.1 几何概型
3.3.2 均匀随机数的产生
学 习 目 标
核 心 素 养
1.通过具体问题感受几何概型的概念，体会几何概型的意义．(重点)
2．会求一些简单的几何概型的概率．(重点、难点)
3．会用随机模拟的方法近似计算事件的概率．(重点)
1.通过求简单几何概型的概率，培养数学运算素养．
2．借助面积、体积等问题，养成直观想象素养.
1．几何概型的概念
(1)几何概型的定义
如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度(面积或体积)成比例，则称这样的概率模型为几何概率模型，简称几何概型．
(2)几何概型的特点
①试验中所有可能出现的结果(基本事件)有无限多个．
②每个基本事件出现的可能性相等．
2．几何概型的概率公式：
P(A)＝
3．均匀随机数
(1)均匀随机数的概念
在随机试验中，如果可能出现的结果有无限多个，并且这些结果都是等可能发生的，我们就称每一个结果为试验中全部结果所构成的区域上的均匀随机数．
(2)均匀随机数的产生
①计算器上产生[0，1]的均匀随机数的函数是RAND函数．
②Excel软件产生[0，1]区间上均匀随机数的函数为“rand()”．
(3)用模拟的方法近似计算某事件概率的方法
①试验模拟的方法：制作两个转盘模型，进行模拟试验，并统计试验结果．
②计算机模拟的方法：用Excel软件产生[0，1]区间上均匀随机数进行模拟(注意操作步骤)．
(4)[a，b]上均匀随机数的产生
利用计算器或计算机产生[0，1]上的均匀随机数x＝RAND，然后利用伸缩和平移交换，x＝x1*(b－a)＋a就可以得到[a，b]内的均匀随机数，试验的结果是[a，b]上的任何一个实数，并且任何一个实数都是等可能出现的．
1．下列概率模型中，几何概型的个数为( )
①从区间[－10，10]上任取一个数，求取到的数在[0，1]内的概率；
②从区间[－10，10]上任取一个数，求取到绝对值不大于1的数的概率；
③从区间[－10，10]上任取一个整数，求取到大于1而小于3的数的概率；
④向一个边长为4 cm的正方形内投一点，求点离中心不超过1 cm的概率．
A．1 B．2 C．3 D．4
C [①②中的概率模型是几何概型，因为区间[－10，10]上有无数个数，且每个数被取到的机会相等；
③中的概率模型不是几何概型，因为区间[－10，10]上的整数只有21个，是有限的；
④中的概率模型是几何概型，因为在边长为4 cm的正方形内有无数个点，且该区域内的任何一个点被投到的可能性相同．]
2．在区间[－2，3]上随机选取一个数X，则X≤1的概率为( )
A． B． C． D．
B [区间[－2，3]的区间长度为5，在上面随机取一数X，使X≤1，即－2≤X≤1.其区间长度为3，所以概率为.]
3.如图，一颗豆子随机扔到桌面上，则它落在非阴影区域的概率为( )
A． B． C． D．
C [试验发生的范围是整个桌面，非阴影部分面积占桌面的，而豆子落在任一点是等可能的，所以豆子落在非阴影区域的概率为.]
4．如图AB是圆O的直径，OC⊥AB，假设你在图形中随机撒一粒黄豆，则它落到阴影部分的概率为________．
[设圆的半径为R，则圆的面积为S＝πR2，阴影的面积S阴＝·2R·R＝R2，故所求概率P＝＝＝.]
与长度、角度有关的几何概型
[探究问题]
1．几何概型与古典概型的区别是什么？
[提示] 几何概型的试验结果是无限的，古典概型的试验结果是有限的．
2．解决几何概型问题概率的关键是什么？
[提示] 确定所求概率与区域长度、角度、面积、体积中的哪一个有关．
3．“P(A)＝0?A是不可能事件”，“P(A)＝1?A是必然事件”，这两种说法是否成立？
[提示] (1)无论是古典概型还是几何概型，若A是不可能事件，则P(A)＝0肯定成立；若A是必然事件，则P(A)＝1肯定成立．
(2)在古典概型中，若事件A的概率P(A)＝0，则A为不可能事件；若事件A的概率P(A)＝1，则A为必然事件．
(3)在几何概型中，若事件A的概率P(A)＝0，则A不一定是不可能事件，如：事件A对应数轴上的一个点，则其长度为0，该点出现的概率为0，但A并不是不可能事件；同样地，若事件A的概率P(A)＝1，则A也不一定是必然事件．
【例1】 在等腰直角三角形ABC中，在斜边AB上任取一点M，求AM小于AC的概率．
思路点拨：本例是与哪种区域有关的几何概型问题？
[解] 点M随机地落在线段AB上，故线段AB的长度为试验的全部结果所构成的区域长度．在AB上截取AC′＝AC，当点M位于图中的线段AC′上(不包括点C′)时，AM
于是P(AM1．(变条件)在等腰直角三角形ABC中，过直角顶点C在∠ACB内部作一条射线CM，与直线AB交于点M，求AM小于AC的概率．
[解] 由题意，应看成射线CM在∠ACB内是等可能分布的，在AB上截取AC′＝AC(如图)，则∠ACC′＝67.5°，故满足条件的概率为＝.
2．(变结论)本例条件不变．
(1)若求AM不大于AC的概率，结果有无变化？
(2)求AM大于AC的概率．
[解] (1)结果不变．几何概型中，一点在线段上的长度视为0，包含与不包含一点，不改变概率的结果．
(2)如图，点M随机地落在线段AB上，故线段AB的长度为试验的全部结果所构成的区域长度，在AB上截取AC′＝AC，当点M位于线段C′B上时，AM>AC，
故线段C′B即为构成事件的区域长度．
∴P(AM>AC)＝P(AM>AC′)＝＝1－.
求解与长度有关的几何概型的关键点
在求解与长度有关的几何概型时，首先找到试验的全部结果构成的区域D，这时区域D可能是一条线段或几条线段或曲线段，然后找到事件A发生对应的区域d，在找d的过程中，确定边界点是问题的关键，但边界点是否取到不会影响事件A的概率．
与面积、体积有关的几何概型
【例2】 (1)(2018·全国卷Ⅰ)如图所示，来自古希腊数学家希波克拉底所研究的几何图形．此图由三个半圆构成，三个半圆的直径分别为直角三角形ABC的斜边BC，直角边AB，AC.△ABC的三边所围成的区域记为Ⅰ，黑色部分记为Ⅱ，其余部分记为Ⅲ.在整个图形中随机取一点，此点取自Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ的概率分别记为p1，p2，p3，则( )
A．p1＝p2 B．p1＝p3 C．p2＝p3 D．p1＝p2＋p3
(2)在区间[－2，2]上任取两个整数x，y组成有序数对(x，y)，求满足x2＋y2≤4的概率；
思路点拨：(1)根据几何图形特征．分别计算区域Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ的面积应用面积型几何概型定义判断．
(2)在区间[－2，2]上任取两个整数x，y，组成有序数对(x，y)是有限的，应用古典概型求解．
[解] (1)通解 设直角三角形ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，则区域Ⅰ的面积即△ABC的面积，为S1＝bc，区域Ⅱ的面积S2＝π×＋π×－＝π(c2＋b2－a2)＋bc＝bc，所以S1＝S2，由几何概型的知识知p1＝p2，故选A.
优解 不妨设△ABC为等腰直角三角形，AB＝AC＝2，则BC＝2，所以区域Ⅰ的面积即△ABC的面积，为S1＝×2×2＝2，区域Ⅲ的面积S3＝－2＝π－2，区域Ⅱ的面积S2＝π×12－(π－2)＝2.根据几何概型的概率计算公式，得p1＝p2＝，p3＝，所以p1≠p3，p2≠p3，p1≠p2＋p3，故选A.
(2)在区间[－2，2]上任取两个整数x，y组成有序数对(x，y)，共计25个，其中满足x2＋y2≤4的在圆上或圆内共计13个(如图所示)，∴P＝.
解与面积相关的几何概型问题的三个关键点
(1)根据题意确认是否是与面积有关的几何概型问题；
(2)找出或构造出随机事件对应的几何图形，利用图形的几何特征计算相关面积；
(3)套用公式，从而求得随机事件的概率．
1．(1)若将一个质点随机投入如图所示的长方形ABCD中，其中AB＝2，BC＝1，则质点落在以AB为直径的半圆内的概率是( )
A． B． C． D．
(2)有一个底面圆的半径为1、高为2的圆柱，点O为这个圆柱底面圆的圆心，在这个圆柱内随机取一点P，则点P到点O的距离大于1的概率为________．
(1)B (2) [(1)设质点落在以AB为直径的半圆内为事件A，则P(A)＝＝＝.
(2)先求点P到点O的距离小于1或等于1的概率，圆柱的体积V圆柱＝π×12×2＝2π，以O为球心，1为半径且在圆柱内部的半球的体积V半球＝×π×13＝π.则点P到点O的距离小于1或等于1的概率为：＝，故点P到点O的距离大于1的概率为：1－＝.]
均匀随机数与随机模拟方法
【例3】 利用随机模拟方法计算由y＝1和y＝x2所围成的图形的面积．
[解] 以直线x＝1，x＝－1，y＝0，y＝1为边界作矩形，
(1)利用计算器或计算机产生两组0～1区间的均匀随机数，a1＝RAND，b＝RAND；
(2)进行平移和伸缩变换，a＝2(a1－0.5)；
(3)数出落在阴影内的样本点数N1，用几何概型公式计算阴影部分的面积．
例如做1 000次试验，即N＝1 000，模拟得到N1＝698，
所以P＝＝＝，
即阴影面积S＝矩形面积×＝2×＝1.396.
用随机模拟方法估计几何概型的步骤：
①确定需要产生随机数的组数，如长度、角度型只用一组，面积型需要两组；②由基本事件空间对应的区域确定产生随机数的范围；③由事件A发生的条件确定随机数应满足的关系式；④统计事件A对应的随机数并计算A的频率来估计A的概率．
2．现向图中所示正方形内随机地投掷飞镖，试用随机模拟的方法求飞镖落在阴影部分的概率．
[解] (1)利用计算器或计算机产生两组0至1区间内的均匀随机数a1，b1(共N组)；
(2)经过平移和伸缩变换，a＝2(a1－0.5)，
b＝2(b1－0.5)；
(3)数出满足不等式b<2a－，即6a－3b>4的数组数N1.所求概率P≈.
可以发现，试验次数越多，概率P越接近.
1．几何概型适用于试验结果是无穷多且事件是等可能发生的概率模型．
2．几何概型主要用于解决与长度、面积、体积有关的问题．
3．注意理解几何概型与古典概型的区别．
4．理解如何将实际问题转化为几何概型的问题，利用几何概型公式求解，概率公式为
P(A)＝
.
1．判断下列结论的正误(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)几何概型的基本事件有无数多个． ( )
(2)几何概型的概率与构成事件的区域形状无关． ( )
(3)随机数只能用计算器或计算机产生． ( )
(4)x是[0，1]上的均匀随机数，则利用变量代换y＝(b－a)x＋a可得[a，b]上的均匀随机数． ( )
[答案] (1)√ (2)√ (3)× (4)√
2．已知地铁列车每10 min一班，在车站停1 min，则乘客到达站台立即乘上车的概率是( )
A． B． C． D．
A [试验所有结果构成的区域长度为10 min，而构成事件A的区域长度为1 min，故P(A)＝.]
3.如图，在平面直角坐标系内，射线OT落在60°角的终边上，任作一条射线OA，则射线OA落在∠xOT内的概率为________．
[记“射线OA落在∠xOT内”为事件A.构成事件A的区域最大角度是60°，所有基本事件对应的区域最大角度是360°，所以由几何概型的概率公式得P(A)＝＝.]
4．在长为12 cm的线段AB上任取一点M，并以线段AM为边长作一个正方形，求作出的正方形面积介于36 cm2与81 cm2之间的概率．
[解] 如图所示，点M落在线段AB上的任一点上是等可能的，并且这样的点有无限多个．
设事件A为“所作正方形面积介于36 cm2与81 cm2之间”，它等价于“所作正方形边长介于6 cm与9 cm之间”．
取AC＝6 cm，CD＝3 cm，则当M点落在线段CD上时，事件A发生，所以P(A)＝＝＝.
课时分层作业(十九) 几何概型
均匀随机数的产生
(建议用时：60分钟)
[基础达标练]
一、选择题
1．如图所示，半径为4的圆中有一个小狗图案，在圆中随机撒一粒豆子，它落在小狗图案内的概率是，则小狗图案的面积是( )
A． B． C． D．
D [设小狗图案的面积为S1，圆面积S＝π×42＝16 π，由几何概型计算公式得＝，故S1＝.]
2．在400毫升自来水中有一个大肠杆菌，今从中随机取出2毫升水样放到显微镜下观察，则发现大肠杆菌的概率为( )
A．0.008 B．0.004
C．0.002 D．0.005
D [该问题可转化为与体积有关的几何概型求解，概率为＝0.005.]
3．在圆心角为90°的扇形中，以圆心O为起点作射线OC，则使得∠AOC和∠BOC都不小于30°的概率为 ( )
A． B． C． D．
A [记M＝“射线OC使得∠AOC和∠BOC都不小于30°”．如图所示，作射线OD，OE使∠AOD＝30°，∠AOE＝60°.
当OC在∠DOE内时，使得∠AOC和∠BOC都不小于30°，此时的测度为度数30，所有基本事件的测度为直角的度数90.所以P(M)＝＝.]
4．将[0，1]内的均匀随机数a1转化为[－2，6]内的均匀随机数a，需实施的变换为( )
A．a＝a1*18 B．a＝a1*8＋2
C．a＝a1*8－2 D．a＝a1*6
C [因为随机数a1∈[0，1]，而基本事件都在[－2，6]上，其区间长度为8，所以首先把a1变为8a1，又因区间左端值为－2，所以8a1再变为8a1－2，故变换公式为a＝8a1－2.]
5．在面积为S的△ABC的边AB上任取一点P，则△PBC的面积大于的概率是( )
A． B．
C． D．
C [如图所示，在边AB上任取一点P，因为△ABC与△PBC是等高的，所以事件“△PBC的面积大于”等价于事件“＞”．
即P＝＝.]
二、填空题
6．在区间[－2，4]上随机取一个数x，若x满足|x|≤m的概率为，则m＝________．
3 [由|x|≤m，得－m≤x≤m，当m≤2时，由题意得＝，解得m＝2.5，矛盾，舍去．
当2解得m＝3.]
7．利用计算机产生0～1之间的均匀随机数a，则使关于x的一元二次方程x2－x＋a＝0无实根的概率为________．
[因为方程无实根，故Δ＝1－4a<0，所以a>，即所求概率为.]
8．小波通过做游戏的方式来确定周末活动，他随机地往单位圆内投掷一点，若此点到圆心的距离大于，则周末去看电影；若此点到圆心的距离小于，则去打篮球；否则，在家看书．则小波周末不在家看书的概率为________．
[记事件A＝“打篮球”，则P(A)＝＝，
记事件B＝“在家看书”，则P(B)＝－P(A)
＝－＝.故P(B)＝1－P()＝.]
三、解答题
9．已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为a，在正方体内随机取一点M.
(1)求点M落在三棱柱ABC-A1B1C1内的概率P1；
(2)求点M落在三棱锥B-A1B1C1内的概率P2；
(3)求点M到面ABCD的距离大于的概率P3；
(4)求点M到面ABCD及面A1B1C1D1的距离都大于的概率P4.
[解] V正方体＝a3.
(1)∵V＝a2·a＝a3，
∴所求概率P1＝＝.
(2)∵V＝·S ·BB1＝·a2·a＝a3，
∴所求概率P2＝.
(3)所求概率P3＝＝.
(4)所求概率P4＝＝.
10．两对讲机持有者张三、李四在某货运公司工作，他们的对讲机的接收范围是25 km，下午3：00张三在基地正东30 km处向基地行驶，李四在基地正北40 km处也向基地行驶，试求下午3：00后他们可以交谈的概率．
[解] 记事件A＝{下午3：00后张三、李四可以交谈}．设x，y分别表示张三、李四与基地的距离，则x∈[0，30]，y∈[0，40]，则他们的所有距离的数据构成有序实数对(x，y)，则所有这样的有序实数对构成的集合为试验的全部结果．以基地为原点，正东、正北方向分别为x轴、y轴正方向建立坐标系(图略)，则长和宽分别为40 km和30 km的矩形区域表示该试验的所有结果构成的区域，它的总面积为1 200 km2，可以交谈的区域为x2＋y2≤252的圆及其内部满足x≥0，y≥0的部分，由几何概型的概率计算公式得P(A)＝＝≈0.41.
[能力提升练]
1．已知一只蚂蚁在边长分别为5，12，13的三角形的边上随机爬行，则其恰在离三个顶点的距离都大于1的地方的概率为( )
A． B．
C． D．
A [由题意可知，三角形的三条边长的和为5＋12＋13＝30，而蚂蚁要在离三个顶点的距离都大于1的地方爬行，则它爬行的区域长度为3＋10＋11＝24，根据几何概型的概率计算公式可得所求概率为＝.]
2．节日前夕，小李在家门前的树上挂了两串彩灯．这两串彩灯的第一次闪亮相互独立，且都在通电后的4秒内任一时刻等可能发生，然后每串彩灯以4秒为间隔闪亮．那么这两串彩灯同时通电后，它们第一次闪亮的时刻相差不超过2秒的概率是( )
A． B．
C． D．
C [设第一串彩灯亮的时刻为x，第二串彩灯亮的时刻为y，则
要使两串彩灯亮的时刻相差不超过2秒，则
如图，不等式组所表示的图形面积为16，
不等式组所表示的六边形OABCDE的面积为16－4＝12，由几何概型的公式可得P＝＝.]
3．在[－1，1]上随机地取一个数k，则事件“直线y＝kx与圆(x－5)2＋y2＝9相交”发生的概率为________．
[圆(x－5)2＋y2＝9的圆心为C(5，0)，半径r＝3，故由直线与圆相交可得故所求事件的概率P＝＝.]
4．已知事件“在矩形ABCD的边CD上随机取一点P，使△APB的最大边是AB”发生的概率为，则＝________．
[
如图，由于满足条件的点P发生的概率为，且点P在边CD上运动，根据图形的对称性，当点P在靠近点D的CD边的分点处，即图中E点处时，EB＝AB(当点P超过点E向点D运动时，PB>AB)．设AB＝x，过点E作EF⊥AB交AB于点F，则BF＝x.在Rt△FBE中，EF2＝BE2－FB2＝AB2－FB2＝x2，即EF＝x，所以＝.]
5．利用随机模拟法计算由曲线y＝，直线x＝1，x＝2和y＝0所围成的图形的面积．
[解] 如图，阴影部分即为所求．第一步，利用计算器或计算机产生两组0～1之间的随机数，a1＝RAND，b＝RAND.
第二步，进行平移变换：a＝a1＋1.
第三步，数出落在阴影内的点数N1，用几何概型的概率计算公式计算阴影部分的面积．
(其中a，b分别为随机点的横坐标和纵坐标)
例如做1 000次试验，即N＝1 000，模拟得到N1＝750.
由＝，得S阴影＝·S矩形＝×1＝0.75.
