课件34张PPT。第三章 概率章末复习课用频率估计概率 互斥事件与对立事件的概率 古典概型 几何概型 点击右图进入…Thank you for watching !章末综合测评(三) 概 率
(满分：150分 时间：120分钟)
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，满分60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．下列事件中，随机事件的个数为( )
①在学校明年召开的田径运动会上，学生张涛获得100米短跑冠军；
②在体育课上，体育老师随机抽取一名学生去拿体育器材，抽到李凯；
③从标有1，2，3，4的4张号签中任取一张，恰为1号签；
④在标准大气压下，水在4℃时结冰．
A．1 B．2
C．3 D．4
C [①在明年运动会上，可能获冠军，也可能不获冠军．②李凯不一定被抽到．③任取一张不一定为1号签．④在标准大气压下水在4℃时不可能结冰，故①②③是随机事件，④是不可能事件．]
2．若干个人站成一排，其中为互斥事件的是( )
A．“甲站排头”与“乙站排头”
B．“甲站排头”与“乙不站排尾”
C．“甲站排头”与“乙站排尾”
D．“甲不站排头”与“乙不站排尾”
A [由互斥事件的定义知，“甲站在排头”与“乙站在排头”不能同时发生，是互斥事件．]
3．给甲、乙、丙三人打电话，若打电话的顺序是任意的，则第一个打电话给甲的概率是( )
A． B．
C． D．
B [给三人打电话的不同顺序有6种可能，其中第一个给甲打电话的可能有2种，故所求概率为P＝＝.]
4．在两根相距6 m的木杆上系一根绳子，并在绳子上挂一盏灯，则灯与两端距离都大于2 m的概率为( )
A． B．
C． D．
B [所求事件构成的区域长度为2 m，试验的全部结果所构成的区域长度为6 m，故灯与两端距离都大于2 m的概率为＝.]
5．掷一枚均匀的硬币两次，事件M：“一次正面朝上，一次反面朝上”；事件N：“至少一次正面朝上”，则下列结果正确的是( )
A．P(M)＝，P(N)＝ B．P(M)＝，P(N)＝
C．P(M)＝，P(N)＝ D．P(M)＝，P(N)＝
D [掷一枚硬币两次，所有基本事件为(正，正)，(正，反)，(反，正)，(反，反)四种情况，事件M包含2种情况，事件N包含3种情况，故P(M)＝，P(N)＝.]
6．某人从甲地去乙地共走了500 m，途中要过一条宽为x m的河流，他不小心把一件物品丢在途中，若物品掉在河里就找不到，若物品不掉在河里，则能找到，已知该物品能找到的概率为，则河宽为( )
A．100 m B．80 m
C．50 m D．40 m
A [设河宽为x m，则1－＝，∴x＝100.]
7．考察下列命题：
(1)掷两枚硬币，可能出现“两个正面”“两个反面”“一正一反”3种等可能的结果；
(2)某袋中装有大小均匀的三个红球、二个黑球、一个白球，那么每种颜色的球被摸到的可能性相同；
(3)从－4，－3，－2，－1，0，1，2中任取一数，取到的数小于0与不小于0的可能性相同；
(4)分别从3个男同学、4个女同学中各选一个作代表，那么每个同学当选的可能性相同；
(5)5人抽签，甲先抽，乙后抽，那么乙与甲抽到某号中奖签的可能性肯定不同．
其中正确的命题有( )
A．0个 B．1个
C．2个 D．3个
A [(1)中，出现“两个正面”“两个反面”的概率都是，出现“一正一反”的概率是，因此不是等可能的；(2)中，每种颜色的球的个数不同，因此被摸到的可能性不同；(3)中，小于0的数有4个，不小于0的数有3个，显然取到的数小于0的可能性更大；(4)中，每个男同学当选为代表的机会是，每个女同学当选为代表的机会是，显然可能性不同；(5)中，抽签无论先抽还是后抽，中奖的机会相等．综上，选A.]
8．在区间[－1，4]内取一个数x，则2x－x2≥的概率是( )
A． B．
C． D．
D [不等式2≥，可化为x2－x－2≤0，
则－1≤x≤2，
故所求概率为＝.]
9．一只猴子任意敲击电脑键盘上的0到9这十个数字键，则它敲击两次(每次只敲击一个数字键)得到的两个数字恰好都是3的正整数倍数的概率为( )
A． B．
C． D．
A [任意敲击0到9这十个数字键两次，其得到的所有结果为(0，i)(i＝0，1，2，…，9)；(1，i)(i＝0，1，2，…，9)；(2，i)(i＝0，1，2，…，9)；…；(9，i)(i＝0，1，2，…，9)．故共有100种结果．两个数字都是3的正整数倍数的结果有(3，3)，(3，6)，(3，9)，(6，3)，(6，6)，(6，9)，(9，3)，(9，6)，(9，9)．共有9种．故所求概率为.]
10．分别在区间[1，6]和[1，4]内任取一个实数，依次记为m和n，则m>n的概率为( )
A． B．
C． D．
A [建立平面直角坐标系(如图所示)，则由图可知满足m>n的点应在梯形ABCD内，所以所求事件的概率为P＝＝.
]
11．在一次随机试验中，彼此互斥的事件A，B，C，D的概率分别是0.2，0.2，0.3，0.3，则下列说法正确的是( )
A．A＋B与C是互斥事件，也是对立事件
B．B＋C与D是互斥事件，也是对立事件
C．A＋C与B＋D是互斥事件，但不是对立事件
D．A与B＋C＋D是互斥事件，也是对立事件
D [由于A，B，C，D彼此互斥，且A＋B＋C＋D是一个必然事件，故各事件的关系可由图表示．由图可知，任何一个事件与其余3个事件的和事件必然是对立事件，任何两个事件的和事件与其余两个事件的和事件也是对立事件．]
12．阅读图所示的程序框图，如果函数的定义域为(－3，4)，则输出函数的值在内的概率为( )
A． B．
C． D．
A [由程序框图得，f(x)＝若－1≤x≤1，令<2x＋1<，即<2x<，∴－2
1，令<2－x＋1<，即<2－x<，∴1问题转化为长度的几何概型，总长度为4－(－3)＝7，所求事件表示的长度为2－1＝1，则所求的概率为.故选A.]
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题纸的横线上)
13．某中学青年教师、中年教师和老年教师的人数比例为4∶5∶1，其中青年教师有120人．现采用分层抽样的方法从这所学校抽取容量为30的教师样本以了解教师的工作压力情况，则每位老年教师被抽到的概率为________．
[由青年教师、中年教师和老年教师的人数比例为4∶5∶1，知该校共有教师120÷＝300(人)．
采用分层抽样的方法从这所学校抽取容量为30的教师样本，则每位老年教师被抽到的概率为P＝＝.]
14．从1，2，3，4这四个数字中，任取两个，这两个数字都是奇数的概率是________，这两个数字之和是偶数的概率是________．
[从1，2，3，4四个数字中任取两个共有6种取法．取的两个数字都是奇数只有1，3一种情况，故此时的概率为.若取出两个数字之和是偶数，必须同时取两个偶数或两个奇数，有1，3；2，4两种取法，所以所求的概率为＝.]
15．已知集合A＝{(x，y)|x2＋y2＝1}，集合B＝{(x，y)|x＋y＋a＝0}，若A∩B≠?的概率为1，则a的取值范围是________．
[－，] [依题意知，直线x＋y＋a＝0与圆x2＋y2＝1恒有公共点，故≤1，
解得－≤a≤.]
16．在区间[0，1]上随机取两个数x，y，记p1为事件“x＋y≥”的概率，p2为事件“|x－y|≤”的概率，p3为事件“xy≤”的概率，则p1、p2、p3的大小关系为________．
p2]
三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．(本小题满分10分)某超市随机选取1 000位顾客，记录了他们购买甲、乙、丙、丁4种商品的情况，整理成如下统计表，其中“√”表示购买，“×”表示未购买．
商品
顾客人数
甲
乙
丙
丁
100
√
×
√
√
217
×
√
×
√
200
√
√
√
×
300
√
×
√
×
85
√
×
×
×
98
×
√
×
×
(1)估计顾客同时购买乙和丙的概率；
(2)估计顾客在甲、乙、丙、丁中同时购买3种商品的概率；
(3)如果顾客购买了甲，则该顾客同时购买乙、丙、丁中哪种商品的可能性最大？
[解] (1)从统计表可以看出，在这1 000位顾客中有200位顾客同时购买了乙和丙，所以顾客同时购买乙和丙的概率可以估计为＝0.2.
(2)从统计表可以看出，在这1 000位顾客中有100位顾客同时购买了甲、丙、丁，另有200位顾客同时购买了甲、乙、丙，其他顾客最多购买了2种商品，所以顾客在甲、乙、丙、丁中同时购买3种商品的概率可以估计为＝0.3.
(3)与(1)同理，可得：
顾客同时购买甲和乙的概率可以估计为＝0.2，
顾客同时购买甲和丙的概率可以估计为＝0.6，
顾客同时购买甲和丁的概率可以估计为＝0.1.
所以，如果顾客购买了甲，则该顾客同时购买丙的可能性最大．
18．(本小题满分12分)甲、乙两人玩一种游戏，每次由甲、乙各出1到5根手指，若和为偶数算甲赢，否则算乙赢．
(1)若以A表示和为6的事件，求P(A)；
(2)现连玩三次，若以B表示甲至少赢一次的事件，C表示乙至少赢两次的事件，试问B与C是否为互斥事件？为什么？
(3)这种游戏规则公平吗？试说明理由．
[解] (1)甲、乙出手指都有5种可能，因此基本事件的总数为5×5＝25(种)，事件A包括甲、乙出的手指的情况有(1，5)，(5，1)，(2，4)，(4，2)，(3，3)，共5种情况，∴P(A)＝＝.
(2)B与C不是互斥事件．因为事件B与C可以同时发生，如甲赢一次，乙赢两次的事件即符合题意．
(3)这种游戏规则不公平．由(1)知和为偶数的基本事件数为13，即(1，1)，(1，3)，(1，5)，(2，2)，(2，4)，(3，1)，(3，3)，(3，5)，(4，2)，(4，4)，(5，1)，(5，3)，(5，5)．
所以甲赢的概率为，乙赢的概率为.
所以这种游戏规则不公平．
19．(本小题满分12分)四张大小、质地均相同的卡片上分别标有数字1，2，3，4，现将标有数字的一面朝下扣在桌子上，从中随机抽取一张(不放回)，再从桌子上剩下的3张中随机抽取第二张．
(1)列出前后两次抽得的卡片上所标数字的所有可能情况；
(2)计算抽得的两张卡片上的数字之积为奇数的概率是多少．
[解] (1)如图．
则所有可能情况为：(1，2)，(1，3)，(1，4)，(2，1)，(2，3)，(2，4)，(3，1)，(3，2)，(3，4)，(4，1)，(4，2)，(4，3)，共12种．
(2)积为奇数的情况为(1，3)，(3，1)，共2种，
因此有P(积为奇数)＝.
20．(本小题满分12分)在等腰三角形ABC中 ，∠B＝∠C＝30°，求下列事件的概率．
(1)在底边BC上任取一点P，使BP(2)在∠BAC的内部任作射线AP交BC于P，使BP＜AB.
[解] (1)因为点P随机地落在线段BC上，故线段BC为试验的全部结果所构成的区域，以B为圆心，BA为半径的弧交BC于M，记“在底边BC上任取一点P，使BP(2)所作射线AP在∠BAC内是等可能分布的，在BC上取一点M，使∠AMP＝75°，则BM＝BA.记“在∠BAC的内部作射线AP交线段BC于P，使BP21. (本小题满分12分)某日用品按行业质量标准分成五个等级，等级系数X依次为1，2，3，4，5，现从一批该日用品中随机抽取20件，对其等级系数进行统计分析，得到如下频率分布表：
X
1
2
3
4
5
f
a
0.2
0.45
b
c
(1)若所抽取的20件日用品中，等级系数为4的恰有3件，等级系数为5的恰有2件，求a，b，c的值；
(2)在(1)的条件下，将等级系数为4的3件日用品记为x1，x2，x3，等级系数为5的2件日用品记为y1，y2，现从x1，x2，x3，y1，y2这5件日用品中任取2件(假定每件日用品被取出的可能性相同)，写出所有可能的结果，并求这2件日用品的等级系数恰好相等的概率．
[解] (1)因为抽取的20件日用品中，等级系数为4的恰有3件，所以b＝＝0.15.
等级系数为5的恰有2件，所以c＝＝0.1.
从而a＝1－0.2－0.45－0.1－0.15＝0.1.
所以a＝0.1，b＝0.15，c＝0.1.
(2)从x1，x2，x3，y1，y2这5件日用品中任取2件，所有可能的结果为(x1，x2)，(x1，x3)，(x1，y1)，(x1，y2)，(x2，x3)，(x2，y1)，(x2，y2)，(x3，y1)，(x3，y2)，(y1，y2)，共10个．
设事件A表示“从x1，x2，x3，y1，y2这5件日用品中任取2件，其等级系数相等”，则事件A所包含的基本事件为(x1，x2)，(x1，x3)，(x2，x3)，(y1，y2)，共4个．
故所求的概率P(A)＝＝0.4.
22．(本小题满分12分)一条笔直街道上的A，B两盏路灯之间的距离为120米，由于光线较暗，想在中间再随意安装两盏路灯C，D，路灯次序为A，C，D，B，求A与C，B与D之间的距离都不小于40米的概率．
[解] 设A与C之间的距离为x米，B与D之间的距离为y米，(x，y)可以看成平面中的点，在如图所示的平面直角坐标系xOy中，(x，y)的所有可能结果构成的区域为Ω＝{(x，y)|00，y>0}，即两直角边边长都为120米的等腰直角三角形区域(不包括边界)．而“A与C，B与D之间的距离都不小于40米”(记为事件M)的所有可能结果构成的区域为M＝{(x，y)|x≥40，y≥40，x∈Ω且y∈Ω}，即图中的阴影部分．
由几何概型的概率计算公式得P(M)＝＝.故A与C，B与D之间的距离都不小于40米的概率为.
用频率估计概率
【例1】 为了为奥运会做准备，某射击运动员在相同条件下进行射击训练，结果如下表：
射击次数n
10
20
50
100
200
500
击中靶心次数m
8
19
44
92
178
455
击中靶心的频率
0.8
0.95
0.88
0.92
0.89
0.91
(1)该射击运动员射击一次，击中靶心的概率大约是多少？
(2)假设该射击运动员射击了300次，则击中靶心的次数大约是多少？
(3)假设该射击运动员射击了10次，前9次中有8次击中靶心，那么第10次一定击中靶心吗？
[解] (1)由表可知，击中靶心的频率在0.9附近，故击中靶心的概率大约是0.9.
(2)击中靶心的次数大约是300×0.9＝270(次)．
(3)由概率的意义，可知概率是个常数，不因试验次数的变化而变化．最后一次击中靶心的概率仍是0.9，所以不一定击中靶心．
概率是一个常数，但除了特殊几类概型，概率并不易知，故可以用频率来估计．
1．对一批U盘进行抽检，结果如下表：
抽出件数a
50
100
200
300
400
500
次品件数b
3
4
5
5
8
9
次品频率
(1)计算表中次品的频率；
(2)从这批U盘中任意抽取一个是次品的概率约是多少？
(3)为保证买到次品的顾客能够及时更换，要销售2 000个U盘，至少需进货多少个U盘？
[解] (1)表中次品频率从左到右依次为0.06，0.04，0.025，0.017，0.02，0.018.
(2)当抽取件数a越来越大时，出现次品的频率在0.02附近摆动，所以从这批U盘中任意抽取一个是次品的概率约是0.02.
(3)设需要进货x个U盘，为保证其中有2 000个正品U盘，则x(1－0.02)≥2 000，因为x是正整数，所以x≥2 041，即至少需进货2 041个U盘．
互斥事件与对立事件的概率
【例2】 某商场有奖销售中，购满100元商品得一张奖券，多购多得，每1 000张奖券为一个开奖单位．设特等奖1个，一等奖10个，二等奖50个．设1张奖券中特等奖、一等奖、二等奖的事件分别为A，B，C，求：
(1)P(A)，P(B)，P(C)；
(2)抽取1张奖券中奖的概率；
(3)抽取1张奖券不中特等奖或一等奖的概率．
[解] 由题意事件A、B、C为互斥事件．
(1)∵每1 000张奖券中设特等奖1个，一等奖10个，二等奖50个，
∴P(A)＝，P(B)＝＝，
P(C)＝＝.
(2)设“抽取1张奖券中奖”为事件D，则
P(D)＝P(A)＋P(B)＋P(C)
＝＋＋
＝.
(3)设“抽取1张奖券不中特等奖或一等奖”为事件E，则
P(E)＝1－P(A)－P(B)＝1－－＝.]
求复杂事件的概率通常有两种方法
一是将所求事件转化成彼此互斥的事件的和；二是先求其对立事件的概率，若A与B互为对立事件，则利用公式P(A)＝1－P(B)求解．
2．根据以往统计资料，某地车主购买甲种保险的概率为0.5，购买乙种保险但不购买甲种保险的概率为0.3.
(1)求该地1位车主至少购买甲、乙两种保险中的1种的概率；
(2)求该地1位车主甲、乙两种保险都不购买的概率．
[解] 记A表示事件：该车主购买甲种保险；B表示事件：该车主购买乙种保险但不购买甲种保险；C表示事件：该车主至少购买甲、乙两种保险中的1种；D表示事件：该车主甲、乙两种保险都不购买．
(1)由题意得P(A)＝0.5，P(B)＝0.3，又C＝A∪B，
所以P(C)＝P(A∪B)＝P(A)＋P(B)＝0.5＋0.3＝0.8.
(2)因为D与C是对立事件，所以P(D)＝1－P(C)＝1－0.8＝0.2.
古典概型
【例3】 从含有两件正品a1，a2和一件次品b的三件产品中每次任取一件，每次取出后不放回，连续取两次．
(1)求取出的两件产品中恰有一件次品的概率；
(2)如果将“每次取出后不放回”这一条件换成“每次取出后放回”，则取出的两件产品中恰有一件次品的概率是多少？
[解] (1)每次取一件，取出后不放回，则连续取两次的所有基本事件共有6个，分别是(a1，a2)，(a1，b)，(a2，a1)，(a2，b)，(b，a1)，(b，a2)，其中小括号内左边的字母表示第1次取出的产品，右边的字母表示第2次取出的产品．可以确定这些基本事件的出现是等可能的．用A表示“取出的两件产品中恰有一件次品”，则A包含的基本事件是(a1，b)，(a2，b)，(b，a1)，(b，a2)．因为A中的基本事件的个数为4，所以P(A)＝＝.
(2)有放回地连续取出两件，则所有的基本事件共有9个，分别是(a1，a1)，(a1，a2)，(a1，b)，(a2，a1)，(a2，a2)，(a2，b)，(b，a1)，(b，a2)，(b，b)．由于每一件产品被取到的机会均等，因此可以确定这些基本事件的出现是等可能的．用B表示“取出的两件产品中恰有一件次品”，则B包含的基本事件是(a1，b)，(a2，b)，(b，a1)，(b，a2)．
因为B中的基本事件的个数为4，所以P(B)＝.
古典概型求解需注意的问题
解题时要紧紧抓住古典概型的两个基本特点，即有限性和等可能性．另外，在求古典概型问题的概率时，往往需要我们将所有基本事件一一列举出来，以便确定基本事件总数及事件所包含的基本事件数．这就是我们常说的穷举法．在列举时应注意按一定的规律、标准，不重不漏．
3．甲、乙二人用4张扑克牌(分别是红桃2、红桃3、红桃4、方片4)玩游戏，他们将扑克牌洗匀后，背面朝上放在桌面上．甲先抽，乙后抽，各抽一张，抽到的牌不放回．
(1)设(i，j)表示甲、乙抽到的牌的数字，写出甲、乙二人抽到的牌的所有情况；
(2)若甲抽到红桃3，则乙抽出的牌的牌面数字比3大的概率是多少？
(3)甲、乙约定：若甲抽到的牌的牌面数字比乙大，则甲胜；反之，则乙胜．你认为此游戏是否公平，说明你的理由．
[解] (1)甲、乙二人抽到的牌的所有情况(方片4用4′表示，红桃2、红桃3、红桃4分别用2，3，4表示)为：(2，3)，(2，4)，(2，4′)，(3，2)，(3，4)，(3，4′)，(4，2)，(4，3)，(4，4′)，(4′，2)，(4′，3)，(4′，4)，共12种情况．
(2)甲抽到3，乙抽到的牌只能是2或4或4′，因此乙抽到的牌的牌面数字大于3的概率为.
(3)甲抽到的牌的牌面数字比乙抽到的牌的牌面数字大的情况有(3，2)，(4，2)，(4，3)，(4′，2)，(4′，3)，共5种，所以甲胜的概率为p1＝，乙胜的概率为p2＝1－p1＝.因为<，所以此游戏不公平．
几何概型
【例4】 在半径为1的圆上随机地取两点，连成一条弦，则弦长超过圆内接等边三角形的边长的概率是多少？
思路点拨：密切注意题目条件，搞清几何概型的“测度”类型．
[解] 在圆上随机地取两点，可以看成先取定一点后，再随机地取另一点，如图所示，△BCD为单位圆O的内接等边三角形，在圆O上可取定点B，当另一点E取在劣弧CD上时，BE>BC.
记事件A＝{弦长超过圆内接等边三角形的边长}，劣弧CD的弧长是圆周长的，所以由几何概型的概率计算公式得P(A)＝.
1．过半径为1的圆内一条直径上的任意一点作垂直于该直径的弦，求弦长超过圆内接等边三角形的边长的概率．
[解] 记事件A＝{弦长超过圆内接等边三角形的边长}，如图所示，不妨在过圆内接等边三角形BCD的顶点B的直径BE上任取一点作垂直于直径的弦，显然当弦为CD时等于边长，弦长大于CD的条件是圆心O到弦的距离小于OF，由几何概型的概率公式得P(A)＝＝，即弦长超过圆内接等边三角形的边长的概率是.
2.以半径为1的圆内任一点为中点作弦，求弦长超过圆内接等边三角形的边长的概率．
[解] 记事件A＝{弦长超过圆内接等边三角形的边长}，如图所示，作圆内接等边三角形BCD的内切圆，当以内切圆(小圆)上任一点为中点作弦时，弦长等于圆(大圆)内接等边三角形BCD的边长，所以弦长超过圆(大圆)内接等边三角形的边长时，弦的中点在小圆内，易得小圆半径为，所以由几何概型的概率公式得P(A)＝＝，即弦长超过圆内接等边三角形的边长的概率是.
几何概型问题的解题方法
(1)由于基本事件的个数和结果的无限性，其概率就不能应用P(A)＝求解，因此需转化为几何度量(如长度、面积、体积等)的比值求解．
(2)在解题时要准确把握，要把实际问题作合理的转化；要注意古典概型和几何概型的区别，正确地选用几何概型的类型解题．
