课件52张PPT。模块复习课依次执行条件是否成立反复执行机会都相等随机数法简单随机抽样互不交叉最大值 最小值组距组数分组频率分布表频率分布直方图中点所分组数组距出现次数最多最中间线性相关关系回归直线正相关负相关正相关负相关越强0.75频率fn(A)发生一定发生B?AA?BB?AA?BA＝B当且仅当事件A发生或事件B发生A∪B当且仅当事件A发生且事件B发生A∩BAB不可能不可能必然事件0≤P(A)≤110P(A)＋P(B)11－P(B)有限有限性相等等可能性长度(面积或体积)×
×
×
√√
√
×
√
×
×√
×
×
√×
√
×√
×
√√
√
×
√
××
√
×√
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1．算法与程序框图
名称
内容
顺序结构
条件结构
循环结构
定义
由若干个依次执行的步骤组成，这是任何一个算法都离不开的基本结构
算法的流程根据条件是否成立有不同的流向，条件结构就是处理这种过程的结构
从某处开始，按照一定的条件反复执行某些步骤的结构，反复执行的步骤称为循环体
程序框图
2.简单随机抽样
(1)定义：一般地，设一个总体含有N个个体，从中逐个不放回地抽取n个个体作为样本(n≤N)，且每次抽取时各个个体被抽到的机会都相等，就称这样的抽样方法为简单随机抽样．
(2)常用方法：抽签法和随机数法．
3．系统抽样
(1)步骤：①先将总体的N个个体编号；
②根据样本容量n，当是整数时，取分段间隔k＝；
③在第1段用简单随机抽样确定第一个个体编号l(l≤k)；
④按照一定的规则抽取样本．
(2)适用范围：适用于总体中的个体数较多时．
4．分层抽样
(1)定义：在抽样时，将总体分成互不交叉的层，然后按照一定的比例，从各层独立地抽取一定数量的个体，将各层取出的个体合在一起作为样本，这种抽样方法是一种分层抽样．
(2)适用范围：适用于总体由差异比较明显的几个部分组成时．
5．统计图表
(1)频率分布直方图的画法步骤
①求极差(即一组数据中最大值与最小值的差)；
②决定组距与组数；
③将数据分组；
④列频率分布表；
⑤画频率分布直方图．
(2)频率分布折线图和总体密度曲线
①频率分布折线图：连接频率分布直方图中各小长方形上端的中点，就得到频率分布折线图．
②总体密度曲线：随着样本容量的增加，作图时所分组数增加，组距减小，相应的频率折线图会越来越接近于一条光滑曲线，统计中称这条光滑曲线为总体密度曲线．
(3)茎叶图的画法步骤
第一步：将每个数据分为茎(高位)和叶(低位)两部分；
第二步：将最小茎与最大茎之间的数按大小次序排成一列；
第三步：将各个数据的叶依次写在其茎的两侧．
6．样本的数字特征
(1)众数：一组数据中出现次数最多的那个数据，叫做这组数据的众数．
(2)中位数：把n个数据按大小顺序排列，处于最中间位置的一个数据(或最中间两个数据的平均数)叫做这组数据的中位数．
(3)平均数：把称为a1，a2，…，an这n个数的平均数．
(4)标准差与方差：设一组数据x1，x2，x3，…，xn的平均数为x，则这组数据的标准差和方差分别是
s＝
s2＝[(x1－)2＋(x2－)2＋…＋(xn－)2]
7．两个变量的线性相关
(1)从散点图上看，如果这些点从整体上看大致分布在通过散点图中心的一条直线附近，称两个变量之间具有线性相关关系，这条直线叫回归直线．
(2)从散点图上看，点分布在从左下角到右上角的区域内，两个变量的这种相关关系称为正相关，点分布在左上角到右下角的区域内，两个变量的相关关系为负相关．
(3)回归方程为＝x＋，其中，＝y－x.
(4)相关系数
当r>0时，表明两个变量正相关；
当r<0时，表明两个变量负相关．
r的绝对值越接近于1，表明两个变量的线性相关性越强．r的绝对值越接近于0，表明两个变量之间几乎不存在线性相关关系，通常|r|大于0.75时，认为两个变量有很强的线性相关性．
8．概率与频率
(1)在相同的条件S下重复n次试验，观察某一事件A是否出现，称n次试验中事件A出现的次数nA为事件A出现的频数，称事件A出现的比例fn(A)＝为事件A出现的频率．
(2)对于给定的随机事件A，由于事件A发生的频率fn(A)随着试验次数的增加稳定于概率P(A)，因此可以用频率fn(A)来估计概率P(A)．
9．事件的关系与运算
定义
符号表示
包含关系
如果事件A发生，则事件B一定发生，这时称事件B包含事件A(或称事件A包含于事件B)
B?A(或A?B)
相等关系
若B?A且A?B，那么称事件A与事件B相等
A＝B
并事件(和事件)
若某事件发生当且仅当事件A发生或事件B发生，则称此事件为事件A与事件B的并事件(或和事件)
A∪B(或A＋B)
交事件(积事件)
若某事件发生当且仅当事件A发生且事件B发生，则称此事件为事件A与事件B的交事件(或积事件)
A∩B(或AB)
互斥事件
若A∩B为不可能事件，那么称事件A与事件B互斥
A∩B＝?
对立事件
若A∩B为不可能事件，A∪B为必然事件，那么称事件A与事件B互为对立事件
A∩B＝?且A∪B＝Ω
10.概率的几个基本性质
(1)概率的取值范围：0≤P(A)≤1．
(2)必然事件的概率：P(A)＝1．
(3)不可能事件的概率：P(A)＝0．
(4)概率的加法公式
如果事件A与事件B互斥，则P(A∪B)＝P(A)＋P(B)．
(5)对立事件的概率
若事件A与事件B互为对立事件，则A∪B为必然事件．
P(A∪B)＝1，P(A)＝1－P(B)．
11．古典概型
(1)特点
①试验中所有可能出现的基本事件只有有限个，即有限性．
②每个基本事件发生的可能性相等，即等可能性．
(2)概率公式
P(A)＝.
12．几何概型
(1)如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度(面积或体积)成比例，则称这样的概率模型为几何概率模型，简称几何概型．
(2)几何概型的概率公式
P(A)＝.
1．算法只能解决一个问题，不能重复使用． (×)
2．程序框图中的图形符号可以由个人来确定． (×)
3．输入框只能紧接开始框，输出框只能紧接结束框． (×)
4．条件结构的出口有两个，但在执行时，只有一个出口是有效的． (√)
5．输入语句可以同时给多个变量赋值． (√)
6．“当型”循环与“直到型”循环退出循环的条件不同． (√)
7．在算法语句中，X＝X＋1是错误的． (×)
8．简单随机抽样是一种不放回抽样． (√)
9．简单随机抽样每个个体被抽到的机会不一样，与先后有关． (×)
10．抽签法中，先抽的人抽中的可能性大． (×)
11．系统抽样在第1段抽样时采用简单随机抽样． (√)
12．要从1 002个学生中用系统抽样的方法选取一个容量为20的样本，需要剔除2个学生，这样对被剔除者不公平． (×)
13．分层抽样中，每个个体被抽到的可能性与层数及分层有关． (×)
14．平均数、众数与中位数从不同的角度描述了一组数据的集中趋势． (√)
15．一组数据的众数可以是一个或几个，那么中位数也具有相同的结论． (×)
16．从频率分布直方图中得不出原始的数据内容，把数据表示成直方图后，原有的具体数据信息就被抹掉了． (√)
17．茎叶图一般左侧的叶按从大到小的顺序写，右侧的叶按从小到大的顺序写，相同的数据可以只记一次． (×)
18．在频率分布直方图中，最高的小长方形底边中点的横坐标是众数． (√)
19．在频率分布直方图中，众数左边和右边的小长方形的面积和是相等的． (×)
20．“名师出高徒”可以解释为教师的教学水平与学生的水平成正相关关系． (√)
21．通过回归直线方程＝x＋可以估计预报变量的取值和变化趋势． (√)
22．在大量重复试验中，概率是频率的稳定值． (√)
23．两个事件的和事件是指两个事件都得发生． (×)
24．对立事件一定是互斥事件，互斥事件不一定是对立事件． (√)
25．两互斥事件的概率和为1.(×)
26．掷一枚硬币两次，出现“两个正面”“一正一反”“两个反面”，这三个结果是等可能事件． (×)
27．从－3，－2，－1，0，1，2中任取一数，取到的数小于0与不小于0的可能性相同． (√)
28．利用古典概型的概率可求“在边长为2的正方形内任取一点，这点到正方形中心距离小于或等于1”的概率． (×)
29．在几何概型定义中的区域可以是线段、平面图形、立体图形． (√)
30．随机模拟方法是以事件发生的频率估计概率． (√)
1．(2018·全国Ⅱ卷)从2名男同学和3名女同学中任选2人参加社会服务，则选中的2人都是女同学的概率为( )
A．0.6 B．0.5
C．0.4 D．0.3
D [将2名男同学分别记为x，y，3名女同学分别记为a，b，c.设“选中的2人都是女同学”为事件A，则从5名同学中任选2人参加社区服务的所有可能情况有(x，y)，(x，a)，(x，b)，(x，c)，(y，a)，(y，b)，(y，c)，(a，b)，(a，c)，(b，c)，共10种，其中事件A包含的可能情况有(a，b)，(a，c)，(b，c)，共3种，故P(A)＝＝0.3.故选D.]
2．(2018·全国Ⅲ卷)若某群体中的成员只用现金支付的概率为0.45，既用现金支付也用非现金支付的概率为0.15，则不用现金支付的概率为( )
A．0.3 B．0.4
C．0.6 D．0.7
B [设“只用现金支付”为事件A，“既用现金支付也用非现金支付”为事件B，“不用现金支付”为事件C，则P(C)＝1－P(A)－P(B)＝1－0.45－0.15＝0.4.故选B.]
3．(2018·全国Ⅲ卷)某公司有大量客户，且不同年龄段客户对其服务的评价有较大差异．为了解客户的评价，该公司准备进行抽样调查，可供选择的抽样方法有简单随机抽样、分层抽样和系统抽样，则最合适的抽样方法是________．
分层抽样 [因为不同年龄段的客户对公司的服务评价有较大差异，所以需按年龄进行分层抽样，才能了解到不同年龄段的客户对公司服务的客观评价．]
4．(2018·全国Ⅰ卷)某家庭记录了未使用节水龙头50天的日用水量数据(单位：m3)和使用了节水龙头50天的日用水量数据，得到频数分布表如下：
未使用节水龙头50天的日用水量频数分布表
日用水量
[0，0.1)
[0.1，0.2)
[0.2，0.3)
[0.3，0.4)
[0.4，0.5)
[0.5，0.6)
[0.6，0.7)
频数
1
3
2
4
9
26
5
使用了节水龙头50天的日用水量频数分布表
日用水量
[0，0.1)
[0.1，0.2)
[0.2，0.3)
[0.3，0.4)
[0.4，0.5)
[0.5，0.6)
频数
1
5
13
10
16
5
(1)在下图中作出使用了节水龙头50天的日用水量数据的频率分布直方图；
(2)估计该家庭使用节水龙头后，日用水量小于0.35 m3的概率；
(3)估计该家庭使用节水龙头后，一年能节省多少水？(一年按365天计算，同一组中的数据以这组数据所在区间中点的值作代表．)
[解] (1)
(2)根据以上数据，该家庭使用节水龙头后50天日用水量小于0.35 m3的频率为0.2×0.1＋1×0.1＋2.6×0.1＋2×0.05＝0.48，
因此该家庭使用节水龙头后，日用水量小于0.35 m3的概率的估计值为0.48.
(3)该家庭未使用节水龙头50天日用水量的平均数为
1＝×(0.05×1＋0.15×3＋0.25×2＋0.35×4＋0.45×9＋0.55×26＋0.65×5)＝0.48.
该家庭使用了节水龙头后50天日用水量的平均数为
2＝×(0.05×1＋0.15×5＋0.25×13＋0.35×10＋0.45×16＋0.55×5)＝0.35.
估计使用节水龙头后，一年可节省水(0.48－0.35)×365＝47.45(m3)．
5．(2018·全国Ⅱ卷)如图是某地区2000年至2016年环境基础设施投资额y(单位：亿元)的折线图．
为了预测该地区2018年的环境基础设施投资额，建立了y与时间变量t的两个线性回归模型．根据2000年至2016年的数据(时间变量t的值依次为1，2，…，17)建立模型①：＝－30.4＋13.5t；根据2010年至2016年的数据(时间变量t的值依次为1，2，…，7)建立模型②：＝99＋17.5t.
(1)分别利用这两个模型，求该地区2018年的环境基础设施投资额的预测值；
(2)你认为用哪个模型得到的预测值更可靠？并说明理由．
[解] (1)利用模型①，该地区2018年的环境基础设施投资额的预测值为＝－30.4＋13.5×19＝226.1(亿元)．
利用模型②，该地区2018年的环境基础设施投资额的预测值为＝99＋17.5×9＝256.5(亿元)．
(2)利用模型②得到的预测值更可靠．
理由如下：
(i)从折线图可以看出，2000年至2016年的数据对应的点没有随机散布在直线y＝－30.4＋13.5t上下，这说明利用2000年至2016年的数据建立的线性模型①不能很好地描述环境基础设施投资额的变化趋势.2010年相对2009年的环境基础设施投资额有明显增加，2010年至2016年的数据对应的点位于一条直线的附近，这说明从2010年开始环境基础设施投资额的变化规律呈线性增长趋势，利用2010年至2016年的数据建立的线性模型＝99＋17.5t可以较好地描述2010年以后的环境基础设施投资额的变化趋势，因此利用模型②得到的预测值更可靠．
(ⅱ)从计算结果看，相对于2016年的环境基础设施投资额220亿元，由模型①得到的预测值226.1亿元的增幅明显偏低，而利用模型②得到的预测值的增幅比较合理，说明利用模型②得到的预测值更可靠．
以上给出了2种理由，考生答出其中任意一种或其他合理理由均可得分.
模块综合测评
(满分：150分，时间：120分钟)
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，满分60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．某产品共有三个等级，分别为一等品、二等品和不合格品．从一箱产品中随机抽取1件进行检测，设“抽到一等品”的概率为0.65，“抽到二等品”的概率为0.3，则“抽到不合格品”的概率为( )
A．0.95 B．0.7 C．0.35 D．0.05
D [“抽到一等品”与“抽到二等品”是互斥事件，所以“抽到一等品或二等品”的概率为0.65＋0.3＝0.95，“抽到不合格品”与“抽到一等品或二等品”是对立事件，故其概率为1－0.95＝0.05.]
2．从2 006名世博会志愿者中选取50名组成一个志愿者团，若采用下面的方法选取：先用简单随机抽样从2 006人中剔除6人，余下的2 000人再按系统抽样的方法进行，则每人入选的机会( )
A．不全相等 B．均不相等
C．都相等 D．无法确定
C [剔除的6人是从2 006人中随机选出的，故每人入选的机会相同．]
3．我国古代数学名著《数书九章》有“米谷粒分”题：粮仓开仓收粮，有人送来米1 534石，验得米内夹谷，抽样取米一把，数得254粒内夹谷28粒，则这批米内夹谷约为( )
A．134石 B．169石 C．338石 D．1 365石
B [由题意，这批米内夹谷为×1 534≈169(石)．]
4．输入x＝－2 017，按如图所示的程序框图运行后，输出的结果是( )
A．－1 B．0 C．1 D．2
C [若输入x＝－2 017，则x>0不成立，执行“否”，再判断x<0成立，执行“是”，输出y＝1.]
5．把389化为四进制数，则该数的末位是( )
A．1 B．2 C．3 D．4
A [由389＝4×97＋1，97＝4×24＋1，24＝4×6＋0，6＝4×1＋2，1＝4×0＋1，可知389化为四进制数为12 011(4)，故该数的末位是1.]
6．在线段[0，3]上任取一点，则此点坐标大于1的概率是( )
A． B． C. D．
B [由几何概型知，在线段[0，3]上任取一点，则此点坐标大于1的坐标在17．已知x，y的取值如下表所示：
x
2
3
4
y
6
4
5
如果y与x线性相关，且回归直线方程为＝x＋，则的值为( )
A．－ B． C．－ D．
A [计算得＝3，＝5，代入到＝x＋中，可得＝－.]
8．某校对高三年级的学生进行体检，现将高三男生的体重(单位：kg)数据进行整理后分为五组，并绘制频率分布直方图(如图所示)．根据一般标准，高三男生的体重超过65 kg属于偏胖，低于55 kg属于偏瘦．已知图中从左到右第一、第三、第四、第五小组的纵坐标分别为0.05，0.04，0.02，0.01，第二小组的频数为400，则该校高三年级的男生总数和体重正常的频率分别为( )
A．1 000，0.50 B．800，0.50
C．800，0.60 D．1 000，0.60
D [第二小组的频率为0.40，所以该校高三年级的男生总数为＝1 000人，体重正常的频率为0.40＋0.20＝0.60.]
9．现有甲、乙两颗骰子，从1点到6点出现的概率都是，掷甲、乙两颗骰子，设分别出现的点数为a，b，则满足a<|b2－2a|<的概率为( )
A． B． C. D．
B [因为试验发生包含的总的基本事件有36种，满足条件的事件要讨论，若a＝1时，b＝2或3；若a＝2时，b＝1.所以共有3种情况满足条件，故概率为＝.]
10.甲、乙两名选手参加歌手大赛时，5名评委打的分数用茎叶图表示(如图)．s1，s2分别表示甲、乙选手分数的标准差，则s1与s2的关系是( )
A．s1>s2 B．s1＝s2 C．s1C [由茎叶图知，甲得分为78，81，84，85，92；乙得分为76，77，80，94，93，则甲＝84，乙＝84，s1＝，s2＝，所以s111．如图是把二进制的数11 111(2)化成十进制的数的一个程序框图，则判断框内应填入的条件是( )
A．i>5? B．i≤5? C．i>4? D．i≤4?
D [由程序框图，使输出的结果是1＋1×2＋1×22＋1×23＋1×24，那么判断框内条件应为“i≤4？”．]
12．某公司共有职工8 000名，从中随机抽取了100名，调查上、下班乘车所用时间，得下表：
所用时间(分钟)
[0，20)
[20，40)
[40，60)
[60，80)
[80，100)
人数
25
50
15
5
5
公司规定，按照乘车所用时间每月发给职工路途补贴，补贴金额y(元)与乘车时间t(分钟)的关系是y＝200＋40，其中表示不超过的最大整数．以样本频率为概率，则公司一名职工每月用于路途补贴不超过300元的概率为( )
A．0.5 B．0.7 C．0.8 D．0.9
D [由题意知y≤300，即200＋40≤300，即≤2.5，解得0≤t＜60，由表知t∈[0，60)的人数为90人，故所求概率为＝0.9.]
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题纸的横线上)
13．下面的程序输出的结果是________．
11 [该程序运行过程是x＝6，y＝3，x＝6÷3＝2，y＝4×2＋1＝9，x＋y＝2＋9＝11.所以输出11.]
14．从3男3女共6名同学中任取2名，这两名同学都是女同学的概率为________．
[基本事件共为(男1男2)，(男1男3)，(男1女1)，(男1女2)，(男1女3)，(男2男3)，(男2女1)，(男2女2)，(男2女3)，(男3女1)，(男3女2)，(男3女3)，(女1女2)，(女1女3)，(女2女3)，共15种，两名同学都是女同学的基本事件有3种，故所求概率为＝.]
15.在圆心角为直角的扇形OAB中，分别以OA，OB为直径作两个半圆．在扇形OAB内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率是________．
1－ [设扇形的半径为2，则其面积为＝π.阴影部分的面积可转化为扇形的面积减去△AOB的面积，即阴影部分的面积为π－×2×2＝π－2.因此任取一点，此点取自阴影部分的概率为＝1－.]
16．某班运动队由足球运动员18人、篮球运动员12人、乒乓球运动员6人组成(每人只参加一项)．现从这些运动员中抽取一个容量为n的样本．如果分别采用系统抽样法和分层抽样法，都不用剔除个体，那么样本容量n的最小值为________．
6 [总体容量为6＋12＋18＝36.当样本容量为n时，由题意可知，系统抽样的分段间隔为，则n是36的因数，分层抽样的抽样比是.则采用分层抽样法抽取的乒乓球运动员人数为6×＝，篮球运动员人数为12×＝，足球运动员人数为18×＝，可知n应是6的倍数，故n＝6，12，18，则样本容量n的最小值为6.]
三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．(本小题满分10分)下面程序的功能是输出1～100之间(含1和100)的所有偶数．
(1)试将上面的程序补充完整；
(2)将该程序改写为含有WHILE型循环语句的程序．
[解] (1)m＝0 i＝i＋1
(2)用WHILE语句编写程序如下：
18．(本小题满分12分)某电视台在一次对收看文艺节目和新闻节目的抽样调查中，随机抽取了100名电视观众，相关的数据如下表所示：
文艺节目
新闻节目
总计
20至40岁
40
18
58
大于40岁
15
27
42
总计
55
45
100
(1)由表中数据直观分析，收看新闻节目的观众是否与年龄有关？
(2)用分层抽样方法在收看新闻节目的观众中随机抽取5名，则大于40岁的观众应该抽取几名？
(3)在上述抽取的5名观众中任取2名，求恰有1名观众的年龄在20至40岁的概率．
[解] (1)由于大于40岁的42人中有27人收看新闻节目，而20至40岁的58人中，只有18人收看新闻节目，故收看新闻节目的观众与年龄有关．
(2)27×＝3(名)，∴大于40岁的观众应抽取3名．
(3)由题意设抽取的5名观众中，年龄在20至40岁的为a1，a2，大于40岁的为b1，b2，b3，从中随机取2名，基本事件有(a1，a2)，(a1，b1)，(a1，b2)，(a1，b3)，(a2，b1)，(a2，b2)，(a2，b3)，(b1，b2)，(b1，b3)，(b2，b3)，共10个，设恰有1名观众年龄在20至40岁为事件A，则A中含有基本事件6个：(a1，b1)，(a1，b2)，(a1，b3)，(a2，b1)，(a2，b2)，(a2，b3)，
∴P(A)＝＝.
19．(本小题满分12分)在某次测验中，有6位同学的平均成绩为76分，用xn(分)表示编号为n(n＝1，2，3，…，6)的同学的成绩，且前5位同学的成绩如下：
编号n
1
2
3
4
5
成绩xn(分)
71
77
73
71
73
(1)求第6位同学的成绩x6及这6位同学成绩的标准差s；
(2)从6位同学中随机地选2位同学，求恰有1位同学的成绩在区间(70，75)内的概率．
[解] (1)∵＝xn＝76，∴x6＝6－xn＝6×76－71－77－73－71－73＝91(分)．
∴s2＝(xn－)2＝49，∴s＝7.
(2)从6位同学中随机选取2位同学，包含的基本事件为(1，2)，(1，3)，(1，4)，(1，5)，(2，3)，(2，4)，(2，5)，(3，4)，(3，5)，(4，5)，(1，6)，(2，6)，(3，6)，(4，6)，(5，6)，共15个．
记“选出的2位同学中，恰有1位同学的成绩在(70，75)内”为事件A，则事件A包含的基本事件为(1，2)，(2，3)，(2，4)，(2，5)，(1，6)，(3，6)，(4，6)，(5，6)，共8个，则P(A)＝，故从6位同学中随机地选2位同学，恰有1位同学成绩在区间(70，75)内的概率为.
20．(本小题满分12分)下面是60名男生每分钟脉搏跳动次数的频率分布表．
分组
频数
频率
频率/组距
[51.5，57.5)
4
0.067
0.011
[57.5，63.5)
6
0.1
0.017
[63.5，69.5)
11
0.183
0.031
[69.5，75.5)
20
0.334
0.056
[75.5，81.5)
11
0.183
0.031
[81.5，87.5)
5
0.083
0.014
[87.5，93.5]
3
0.05
0.008
(1)作出频率分布直方图；
(2)根据直方图的各组中值估计总体平均数；
(3)估计每分钟脉搏跳动次数的范围．
[解] (1)作出频率分布直方图如下图．
(2)由组中值估计总体平均数为(54.5×4＋60.5×6＋66.5×11＋72.5×20＋78.5×11＋84.5×5＋90.5×3)÷60＝72.
(3)由(2)中组中值构成的样本数据可求得s≈8.78，
∴每分钟脉搏跳动次数的范围大致为[－s，＋s]，即[63.22，80.78]，取整数为[64，81]．
21．(本小题满分12分)一个盒子里装有三张卡片，分别标记有数字1，2，3，这三张卡片除标记的数字外完全相同．随机有放回地抽取3次，每次抽取1张，将抽取的卡片上的数字依次记为a，b，c.
(1)求“抽取的卡片上的数字满足a＋b＝c”的概率；
(2)求“抽取的卡片上的数字a，b，c不完全相同”的概率．
[解] (1)由题意知，(a，b，c)所有的可能结果为
(1，1，1)，(1，1，2)，(1，1，3)，(1，2，1)，(1，2，2)，(1，2，3)，(1，3，1)，(1，3，2)，(1，3，3)，(2，1，1)，(2，1，2)，(2，1，3)，(2，2，1)，(2，2，2)，(2，2，3)，(2，3，1)，(2，3，2)，(2，3，3)，(3，1，1)，(3，1，2)，(3，1，3)，(3，2，1)，(3，2，2)，(3，2，3)，(3，3，1)，(3，3，2)，(3，3，3)，共27种．
设“抽取的卡片上的数字满足a＋b＝c”为事件A，
则事件A包含的基本事件有(1，1，2)，(1，2，3)，(2，1，3)，共3种．
所以P(A)＝＝，
即“抽取的卡片上的数字满足a＋b＝c”的概率为.
(2)设“抽取的卡片上的数字a，b，c不完全相同”为事件B，则事件B的对立事件包含的基本事件有(1，1，1)，(2，2，2)，(3，3，3)，共3种．
所以P(B)＝1－P()＝1－＝，
即“抽取的卡片上的数字a，b，c不完全相同”的概率为.
22．(本小题满分12分)一台机器由于使用时间较长，生产的零件有一些缺损，按不同转速生产出来的零件有缺损的统计数据如下表：
转速 x(转/秒)
16
14
12
8
每小时生产缺损零件数y(个)
11
9
8
5
(1)作出散点图；
(2)如果y与x线性相关，求出回归直线方程；
(3)若实际生产中，允许每小时的产品中有缺损的零件最多为10个，那么，机器的运转速度应控制在什么范围？(参考公式：回归方程＝x＋中斜率和截距最小＝估计公式分别为＝
[解] (1)根据题表中的数据画出散点图如下图.
(2)设回归直线方程为＝x＋，列表如下
i
1
2
3
4
xi
16
14
12
8
yi
11
9
8
5
x
256
196
144
64
xiyi
176
126
96
40
＝12.5，＝8.25，x＝660，xiyi＝438，
∴＝≈0.73，
＝8.25－0.73×12.5＝－0.875，
∴＝0.73x－0.875.
(3)令0.73x－0.875≤10，显然x<14.9≈15.
故机器的运转速度应控制在15转/秒内．
