课件45张PPT。第一章 算法初步1.1 算法与程序框图
1.1.1 算法的概念算术运算一定规则 明确 有限 计算机程序 有限 确定 步骤序列 算法 明确的步骤 算法 “语言” 算法的概念理解算法的阅读及应用算法的设计点击右图进入…Thank you for watching !
1.1 算法与程序框图
1.1.1 算法的概念
学 习 目 标
核 心 素 养
1.通过回顾解二元一次方程组的方法，了解算法的思想．(重点)
2．了解算法的含义和特征．(难点)
3．会用自然语言表述简单的算法．(易错易混点)
1.通过算法概念的理解，培养逻辑推理素养．
2．借助算法的设计，养成数学建模素养.
1．算法的概念
12世纪的算法
指的是用阿拉伯数字进行算术运算的过程
数学中的算法
通常是指按照一定规则解决某一类问题的明确和有限的步骤
现代算法
通常可以编成计算机程序，让计算机执行并解决问题
思考：解决一个问题的算法是唯一的吗？
[提示] 不唯一．如解二元一次方程组的算法有加减消元法和代入消元法两种，但不同的算法有优劣之分．
2．算法的特征
(1)有限性：一个算法的步骤是有限的，它应在有限步骤操作之后停止．
(2)确定性：算法中的每一步应该是确定的，并且能有效地执行且得到确定的结果，而不是模棱两可的．
(3)逻辑性：算法从初始步骤开始，分为若干个明确的步骤，前一步是后一步的前提，只有完成前一步，才能进行下一步，而且每一步都是正确无误的，从而组成具有很强逻辑性的步骤序列．
(4)普遍性：一个确定的算法，应该能够解决一类问题．
(5)不唯一性：求解某一个问题的算法不一定只有唯一的一个，也可以有不同的算法．
3．算法的设计目的
计算机解决任何问题都要依赖于算法，只有将解决问题的过程分解为若干个明确的步骤，即算法，并用计算机能够接受的“语言”准确地描述出来，计算机才能够解决问题．
1．下列可以看成算法的是( )
A．学习数学时，课前预习，课上认真听讲并记好笔记，课下先复习再做作业，之后做适当的练习题
B．今天餐厅的饭真好吃
C．这道数学题难做
D．方程2x2－x＋1＝0无实数根
A [A是学习数学的一个步骤，所以是算法．]
2．下列对算法的理解不正确的是( )
A．算法可以无止境地运行下去
B．算法的步骤是不可逆的
C．同一个问题可以有不同的算法
D．算法中的每一步都应当有效地执行，并得到确定的结果
A [A项中，由于算法具有有限性，因此不可能无止境地运行下去，不正确；B项中，算法中的步骤是按照顺序一步步进行下去的，因此是不可逆的，正确；C、D项符合算法的特征，正确．]
3．下列问题中，不可以设计一个算法求解的是( )
A．二分法求方程x2－3＝0的近似解
B．解方程组
C．求半径为3的圆的面积
D．判断函数y＝x2在R上的单调性
D [A、B、C选项中的问题都可以设计算法解决，D选项中的问题由于x在R上取值无穷尽，所以不能设计一个算法求解．]
4．下面是某人出家门先打车去火车站，再坐火车去北京的一个算法，请补充完整．
第一步，出家门．
第二步，______________．
第三步，坐火车去北京．
[答案] 打车去火车站
算法的概念理解
【例1】 计算下列各式中S的值，能设计算法求解的是( )
①S＝＋＋＋…＋；
②S＝＋＋＋…＋＋…；
③S＝＋＋＋…＋(n≥1且n∈N*)．
A．①② B．①③ C．②③ D．①②③
B [算法是用来求解一类问题的，在实际算法中n的值是具体确定的，算法会根据具体确定的n来求值计算，所以①③能设计算法．算法的步骤是有限的，即执行有限步后一定能解决问题，而②显然不符合有限性，所以②不能设计算法．]
解答这类问题的方法为特征判断法
主要从以下三个方面判断：
(1)看是否满足可执行性；
(2)看是否满足确定性；
(3)看是否满足有限性．此外，算法的不唯一性也要考虑到．
1．下列描述不能看作算法的是( )
A．做米饭需要刷锅，淘米，添水，加热这些步骤
B．洗衣机的使用说明书
C．解方程2x2＋x－1＝0
D．利用公式S＝πr2计算半径为4的圆的面积，就是计算π×42
C [A、B、D项都描述了解决问题的过程，可以看作算法，而C项只描述了一个事实，没说明怎么解决问题，不是算法．]
算法的阅读及应用
【例2】 下面给出了一个问题的算法：
第一步，输入三个数，并分别用a，b，c表示．
第二步，比较a与b的大小，如果a第三步，比较a与c的大小，如果a第四步，比较b与c的大小，如果b第五步，输出a，b，c.
以上算法要解决的问题是________，如果输入的三个数分别是6，28，14，则输出三数的顺序为________．
思路点拨：可尝试先赋a，b，c的值为6，28，14，用具体数值去执行算法步骤，从而得到启示．
输入三个数a，b，c，并按从大到小的顺序输出 28，14，6
[法一：特殊值法：
第一步，输入a＝6，b＝28，c＝14.
第二步，因为a第三步，因为a>c，不做变化．
第四步，因为b第五步，输出28，14，6.
通过上述过程可知，此算法解决的问题是：对任意输入的三个数a，b，c，按从大到小的顺序输出．
法二：一般方法：
第一步是给a，b，c赋值．
第二步运行后a>b.
第三步运行后a>c.
第四步运行后b>c，所以a>b>c.
第五步运行后，显示a，b，c的值，且从大到小排列．]
算法作用的理解方法
一个算法的作用往往并不显而易见，这时我们可以结合具体数值去执行一下并从中得出规律．
2．下面给出了一个问题的算法：
第一步，输入三角形的底边长a，底边上的高h.
第二步，计算S＝.
第三步，输出S.
这个算法解决的问题是__________________________________
__________________________________________________________.
[答案] 已知三角形的底边长a，底边上的高为h，求这个三角形的面积
算法的设计
[探究问题]
假设家中生火烧水泡茶有以下几个步骤：
a．生火；b.将凉水倒入锅中；c.找茶叶；d.洗茶壶、茶碗；e.用开水冲茶．
1．你能说出在家中泡茶的步骤吗？
[提示] b→a→c→d→e
2．从上述例子分析，你能说出设计算法步骤的要求吗？
[提示] (1)算法必须要解决一类问题．
(2)要保证算法步骤合理有效．
(3)要使算法步骤尽量简洁实用．
【例3】 已知函数y＝试设计一个算法输入x的值，求对应的函数值．
思路点拨：
已知条件→分段函数的解析式
↓
条件分析→给定不同的x值有不同的对应关系
↓
解决问题→根据不同的x的取值依次判断求解
[解] 算法如下：
第一步，输入x的值．
第二步，当x≤－1时，计算y＝－x2－1；否则执行第三步．
第三步，计算y＝x3.
第四步，输出y.
1．(变条件)该例条件若改为“已知函数y＝”试设计一个算法输入x的值，求对应的函数值．
[解] 算法如下：
第一步，输入x的值．
第二步，若x>0，则y＝－x＋1，然后执行第四步；否则执行第三步．
第三步，若x＝0，则y＝0，然后执行第四步，否则y＝x＋1.
第四步；输出y的值．
2．(变结论)已知函数y＝，下面是输入x的值，求对应的函数值的一个算法，请填空：
第一步，输入x.
第二步，若x>－1，输出________；否则执行第三步．
第三步，输出________．
当输入x的值为1时，输出的结果为________．
[答案] x3 －x2－1 1
分段函数求值问题的算法设计
分段函数求值的算法要运用分类讨论思想进行设计，对算法中可能遇到的情况一定要考虑周全，满足与不满足都要有相应的步骤．
1．算法的特点：有限性、确定性、逻辑性、普遍性、不唯一性．
2．算法设计的要求
(1)写出的算法必须能够解决一类问题(如判断一个整数是否为质数，求任意一个方程的近似解等)，并且能够重复使用．
(2)要使算法尽量简单，步骤尽量少．
(3)要保证算法正确，且算法步骤能够一步一步执行，每步执行的操作必须确切，不能含混不清，而且在有限步后能得到结果.
1．判断下列结论的正误(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)求解一类问题的算法是唯一的． ( )
(2)算法必须在有限步骤操作之后解决问题． ( )
(3)算法执行后一定产生确定的结果． ( )
[答案] (1)× (2)√ (3)√
2．下列叙述中，
①植树需要运苗、挖坑、栽苗、浇水这些步骤；
②按顺序进行下列运算：1＋1＝2，2＋1＝3，3＋1＝4，…99＋1＝100；
③从青岛乘火车到济南，再从济南乘飞机到广州；
④3x>x＋1；
⑤求所有能被3整除的正数，即3，6，9，12，….
能称为算法的个数为( )
A．2 B．3 C．4 D．5
B [由算法的含义与特征知：①②③都是算法；④中，3x>x＋1不是明确的步骤，不满足确定性；⑤中步骤是无穷的，与有限性矛盾．]
3．已知一个学生的语文成绩为89分，数学成绩为96分，外语成绩为99分．求他的总分和平均分的一个算法为：
第一步，取A＝89，B＝96，C＝99.
第二步，____________________________________________.
第三步，____________________________________________.
第四步，输出计算的结果．
[答案] 计算总分D＝A＋B＋C
计算平均分E＝
4．设计一个算法，求表面积为16π的球的体积．
[解] 法一：第一步，取S＝16π.
第二步，计算R＝(由于S＝4πR2)．
第三步，计算V＝πR3.
第四步，输出运算结果．
法二：第一步，取S＝16π.
第二步，计算V＝π.
第三步，输出运算结果．
课时分层作业(一) 算法的概念
(建议用时：60分钟)
[基础达标练]
一、选择题
1．下列关于算法的描述正确的是( )
A．算法与求解一个问题的方法相同
B．算法只能解决一个问题，不能重复使用
C．算法过程要一步一步执行，每步执行的操作必须确切
D．有的算法执行完后，可能无结果
C [算法与求解一个问题的方法既有区别又有联系，故A不对；算法能重复使用，故B不对；每个算法执行后必须有结果，故D不对；由算法的有序性和确定性可知C正确．]
2．早上从起床到出门需要洗脸刷牙(5 min)、刷水壶(2 min)、烧水(8 min)、泡面(3 min)、吃饭(10 min)、听广播(8 min)几个过程．从下列选项中选出最好的一种算法( )
A．第一步，洗脸刷牙．第二步，刷水壶．第三步，烧水．第四步，泡面．第五步，吃饭．第六步，听广播
B．第一步，刷水壶．第二步，烧水同时洗脸刷牙．第三步，泡面．第四步，吃饭．第五步，听广播
C．第一步，刷水壶．第二步，烧水同时洗脸刷牙．第三步，泡面．第四步，吃饭同时听广播
D．第一步，吃饭同时听广播．第二步，泡面．第三步，烧水同时洗脸刷牙．第四步，刷水壶
C [A选项共用36 min，B选项共用31 min，C选项共用23 min，D选项不符合常理，应选C.]
3．使用配方法解方程x2－4x＋3＝0的算法的正确步骤是( )
①配方得(x－2)2＝1；②移项得x2－4x＝－3；③解得x＝1或x＝3；④开方得x－2＝±1.
A．①②③④ B．②①④③
C．②③④① D．④③②①
B [使用配方法的步骤应按移项、配方、开方、求解的顺序进行，B选项正确．]
4．阅读下面的算法：
第一步，输入两个实数a，b.
第二步，若a>b，则交换a，b的值，否则执行第三步．
第三步，输出a.
这个算法输出的是( )
A．a，b中的较大数 B．a，b中的较小数
C．原来的a的值 D．原来的b的值
B [第二步中，若a>b，则交换a、b的值，那么a是a、b中的较小数，若a≤b，则a也是a、b中的较小数．]
5．如下算法：
第一步，输入x的值．
第二步，若x≥0，则y＝x.
第三步，否则，y＝x2.
第四步，输出y的值．
若输出的y值为9，则x的值是( )
A．3 B．－3
C．3或－3 D．－3或9
D [由题意知，此为分段函数y＝的算法，当x≥0时，x＝9；当x<0时，x2＝9，x＝－3.所以x的值是－3或9.]
二、填空题
6．以下是解二元一次方程组的一个算法，请将该算法补充完整．
第一步，①②两式相加得3x＋9＝0.③
第二步，由③式可得________．④
第三步，将④式代入①式，得y＝0.
第四步，输出方程组的解________．
x＝－3 [由3x＋9＝0得x＝－3，即④处应填x＝－3；把x＝－3代入2x－y＋6＝0得y＝0，即方程组的解为.]
7．阅读下面的三段话，其中是解决问题的算法的是________(填序号)．
①求2×3×6的值，先计算2×3＝6，再计算6×6＝36，最终结果为36；
②求1＋3＋5＋7＋9的值，先计算1＋3＝4，再计算4＋5＝9，再计算9＋7＝16，再计算16＋9＝25，最终结果为25；
③解一元一次方程(3x－1)＝x＋1的一般步骤是去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1.
①②③ [根据算法的概念，①②③都是解决问题的步骤，故都是算法．]
8．下面算法运行后输出的结果为________．
第一步，令i＝1，P＝1.
第二步，如果i≤6，则执行第三步，否则，执行第五步．
第三步，计算P×i，并将结果代替P的值．
第四步，用i＋1的值代替i的值，转去执行第二步．
第五步，输出P.
720 [第一次循环：i＝1，P＝1；
第二次循环：i＝2，P＝2；
第三次循环：i＝3，P＝6；
第四次循环：i＝4，P＝24；
第五次循环：i＝5，P＝120；
第六次循环：i＝6，P＝720.
当i＝7>6时，终止循环，输出P＝720.]
三、解答题
9．下面给出一个问题的算法：
第一步，输入x.
第二步，若x≥4，则输出2x－1，算法结束；否则执行第三步．
第三步，输出x2－3x＋5.
(1)这个算法解决的问题是什么？
(2)当输入x的值为1时，输出的结果为多少？
[解] (1)这个算法是求分段函数f(x)＝的函数值．
(2)x＝1<4，则f(1)＝12－3×1＋5＝3，故输出结果为3.
10．用二分法设计一个求方程2x＋3x＝7在区间(1，2)内的近似解(精确度0.01)的算法．
[解] 算法如下：
第一步，令f(x)＝2x＋3x－7.因为f(1)<0，f(2)>0，所以设a＝1，b＝2.
第二步，令m＝，判断f(m)是否为0，若是，则输出m是方程的解，否则执行第三步．
第三步，若f(a)·f(m)>0，则令a＝m，否则令b＝m.
第四步，判断|a－b|<0.01是否成立，若是，则输出是方程的近似解；否则返回第二步．
[能力提升练]
1．下面算法的功能是( )
第一步，令i＝1.
第二步，i除以3，得余数r.
第三步，若r＝0，则输出i；否则，执行第四步．
第四步，令i的值增加1.
第五步，若i≤1 000，则返回第二步；否则，算法结束．
A．求3的倍数
B．求1至1 000中3的倍数
C．求i除以3
D．求i除以3的余数
B [由第二步和第三步可知输出的是3的倍数，由第四步与第五步知输出的是1至1 000中的数．]
2．对于求18的正因数，给出下面的两种算法：
算法1：
第一步，1是18的正因数，将1列出．
第二步，2是18的正因数，将2列出．
第三步，3是18的正因数，将3列出．
第四步，4不是18的正因数，将4剔除．
…
第十八步，18是18的正因数，将18列出．
算法2：
第一步，18＝2×9.
第二步，18＝2×32.
第三步，列出所有的正因数1，2，3，32，2×3，2×32.
则这两个算法( )
A．都正确
B．算法1正确，算法2不正确
C．算法1不正确，算法2正确
D．都不正确
A [算法1是用1～18的整数逐一验证，得出8的正因数；算法2利用因数分解得到18的正因数；两种算法都正确．故选A.]
3．下面给出了解决问题的算法：
第一步，输入x.
第二步，若x≤1，则y＝2x－1，否则y＝x2＋3.
第三步，输出y.
当输入的x值为________时，输入值与输出值相等．
1 [该算法的作用是求分段函数y＝的函数值，由题意解，得x＝1；解无解，故填1.]
4．下面是求15和18的最小公倍数的算法，其中不恰当的一步是________．
第一步，先将15分解素因数：15＝3×5.
第二步，然后将18分解素因数：18＝32×2.
第三步，确定它们的所有素因数：2，3，5.
第四步，计算出它们的最小公倍数：2×3×5＝30.
第四步 [素因数2、3、5的最高指数是1、2、1，
故它们的最小公倍数应为2×32×5＝90.]
5．某商场举办优惠促销活动．若购物金额在800元以上(不含800元)，打7折；若购物金额在400元以上(不含400元)，800元以下(含800元)，打8折；否则，不打折．请为商场收银员设计一个算法，要求输入购物金额x，输出实际交款额y.
[解] 算法步骤如下：
第一步，输入购物金额x(x>0)．
第二步，判断“x>800”是否成立，若是，则y＝0.7x，转第四步；否则，执行第三步．
第三步，判断“x>400”是否成立，若是，则y＝0.8x；否则，y＝x.
第四步，输出y，结束算法．
