课件40张PPT。第二章 统计2.1 随机抽样
2.1.2 系统抽样逐个 编号简单随机抽样加上间隔kl+kl+2k系统抽样的概念 系统抽样中的计算问题 系统抽样的方案设计点击右图进入…Thank you for watching !2.1.2 系统抽样
学 习 目 标
核 心 素 养
1.理解系统抽样的概念．(重点)
2．掌握系统抽样的方法与步骤，能用系统抽样从总体中抽取样本．(难点、易错点)
1.通过系统抽样的学习，体现数学运算素养．
2．借助系统抽样步骤的理解，养成数学建模素养.
1．系统抽样的概念
先将总体中的个体逐一编号，然后按号码顺序以一定的间隔k进行抽取，先从第一个间隔中随机地抽取一个号码，然后按此间隔逐个抽取即得到所需样本．
2．系统抽样的步骤
一般地，假设要从容量为N的总体中抽取容量为n的样本，我们可以按下列步骤进行系统抽样：
思考：当总体中的个数较多时，为什么不宜用简单随机抽样．
[提示] 因为个体较多，采用简单随机抽样如制作号签等工作会耗费大量的人力、物力和时间，而且不容易做到“搅拌均匀”，从而使样本的代表性不强．
1．系统抽样适用的总体应是( )
A．容量较小的总体 B．容量较大的总体
C．个体数较多但均衡的总体 D．任何总体
C [根据系统抽样的概念，只能是个体数较多且个体之间均衡的总体才能使用系统抽样．]
2．在10 000个有机会中奖的号码(编号为0 000～9 999)中，有关部门按照随机抽样的方式确定后两位数字是68的号码为中奖号码．这是运用哪种抽样方法来确定中奖号码的( )
A．抽签法 B．系统抽样法
C．随机数表法 D．其他抽样方法
B [由题意，中奖号码分别为0 068，0 168，0 268，…，9 968.显然这是将10 000个中奖号码平均分成100组，从第一组抽0 068号，其余号码是在此基础上加100的整数倍得到的，是系统抽样．]
3．有20个同学，编号为1～20，现在从中抽取4人的作文卷进行调查，用系统抽样方法确定所抽的编号为( )
A．5，10，15，20 B．2，6，10，14
C．2，4，6，8 D．5，8，11，14
A [将20分成4组．每组5个号，间隔等距离为5.]
4．为了解1 200名学生对学校某项教改试验的意见，打算从中抽取一个容量为30的样本，考虑采用系统抽样，则分段的间隔k＝________．
40 [分段间隔k＝＝＝40.]
系统抽样的概念
【例1】 下列抽样中，最适宜用系统抽样的是( )
A．某市的4个区共有2 000名学生，且4个区的学生人数之比为3∶2∶8∶2，从中抽取200名入样
B．从某厂生产的2 000个电子元件中随机抽取5个入样
C．从某厂生产的2 000个电子元件中随机抽取200个入样
D．从某厂生产的20个电子元件中随机抽取5个入样
C [根据系统抽样的定义和特点判断，A项中的总体有明显的层次区别，不适宜用系统抽样；B项中样本容量很小，适合随机数表法；D项中总体容量较小，适合抽签法．]
系统抽样的判断方法
(1)首先看是否在抽样前知道总体是由什么组成，多少个个体．
(2)再看是否将总体分成几个均衡的部分，并在每一个部分中进行简单随机抽样．
(3)最后看是否等距抽样．
1．下列抽样方法不是系统抽样的是( )
A．从标有1～15号的15个球中，任选三个作样本，按从小号到大号的顺序，随机选起点i0，以后选i0＋5，i0＋10(超过15则从1再数起)号入选
B．工厂生产的产品用传送带将产品送入包装车间前，在一天时间内检验人员从传送带上每隔五分钟抽一件产品进行检验
C．做某项市场调查，规定在商场门口随机抽一个人进行询问调查，直到达到事先规定的调查人数为止
D．电影院调查观众的某一指标，通知每排(每排人数相等)座位号为14的观众留下来座谈
C [A编号间隔相同，B时间间隔相同．D相邻两排座位号的间隔相同，均满足系统抽样的特征．只有C项无明显的系统抽样的特征．]
系统抽样中的计算问题
【例2】 采用系统抽样方法从960人中抽取32人做问卷调查．为此将他们随机编号为1，2，…，960，分组后在第一组采用简单随机抽样的方法抽到的号码为9.抽到的32人中，编号落入区间[1，450]的人做问卷A，编号落入区间[451，750]的人做问卷B，其余的人做问卷C.则抽到的人中，做问卷B的人数为( )
A．7 B．9 C．10 D．15
思路点拨：求出第n组抽到的号码，然后解不等式即可．
C [从960人中用系统抽样的方法抽取32人，则抽样间隔为k＝＝30.
因为第一组号码为9，则第二组号码为9＋1×30＝39，…，第n组号码为9＋(n－1)×30＝30n－21.由451≤30n－21≤750，即15≤n≤25，所以n＝16，17，…，25，共有25－16＋1＝10(人)．]
系统抽样计算问题的解法及技巧
(1)若已知总体数，且样本容量已知，则采用系统抽样方法进行抽样时，如果要剔除一些个体，那么需要剔除的个体数为总体数除以样本容量所得的余数．
(2)利用系统抽样的概念与等距特点，若在第一段抽取的编号为m，分段间隔为d，则在第k段中抽取的第k个编号为m＋(k－1)d.
(3)若求落入区间[a，b]的样本个数，则可通过列出不等式a≤m＋(k－1)d≤b，解出满足条件的k的取值范围．再根据k∈N*，求出其范围内的正整数个数即可．
2．某单位有200名职工，现要从中抽取40名职工作为样本．用系统抽样法，将全体职工随机按1～200编号，并按编号顺序平均分为40组(1～5号，6～10号，…，196～200号)．若第5组抽出的号码为22，则第8组抽出的号码应是________．
37 [由系统抽样的知识可知，将总体分成均等的若干部分是将总体分段，且分段间隔为5.因为第5组抽出的号码为22，所以第6组抽出的号码为27，第7组抽出的号码为32，第8组抽出的号码为37.]
系统抽样的方案设计
[探究问题]
1．用系统抽样抽取样本时，每段各取一个号码，其中第一段的个体编号怎样抽取？
[提示] 使用简单随机抽样方法抽取．
2．用系统抽样抽取样本时，当不是整数时，随机剔除了多余的个体，这样还公平吗？
[提示] 因为剔除多余个体是用简单随机抽样的方法进行的，每一个个体被剔除的机会都一样，所以是公平的．
3．用系统抽样抽取样本时，第1段是随机取出的号码，其余各段都是由计算式算出来的，并没有抽签，这样公平吗？
[提示] 虽然除第1段外，后面的样本都是通过计算抽取的，但由于第1段号码确定是随机的，故后面各段号码的确定均是随机的，是公平的．
【例3】 某工厂有工人1 007名，现从中抽取100人进行体检，试写出抽样方案．
思路点拨：样本容量为100，总体容量为1 007，不能被100整除，因此首先需要剔除7个个体，然后确定分段间隔为＝10，利用系统抽样即可．
[解] 用系统抽样的方法抽取样本．
第一步，编号．将1 007名工人编号，号码为0001，0002，…，1007.
第二步，利用随机数表法抽取7个号码，将对应编号的工人剔除．
第三步，将剩余的1 000名工人重新编号，号码为0001，0002，…，1000.
第四步，确定分段间隔k＝＝10，将总体分成100段，每段10名工人．
第五步，在第1段中，利用抽签法或者随机数表法抽取一个号码m.
第六步，利用分段间隔，将m，m＋10，m＋20，…，m＋990共100个号码抽出．
1．(变条件)某工厂有102名工人，现从中抽取10人进行体检，请写出抽样方案．
[解] 根据条件，可采用抽签法抽取样本．
第一步：编号，把102名工人编号为1，2，3，…，102.
第二步：制签，做好大小、形状完全相同的号签，分别写上这102个数．
第三步：搅拌，将这些号签放入暗箱，充分摇匀．
第四步：入样，每次从中抽一个号签，不放回地连续抽10次，从而得到容量为10的入选样本．
2．(变结论)某工厂有1007名工人，现从中抽取100人进行调查工资收入情况，能否用系统抽样方法抽取样本？为什么？
[解] 不能用系统抽样抽取，因为工人的工资状况与其年龄、工种等因素有关，总体中个体有明显的分层．
系统抽样设计中的注意点
(1)当总体容量不能被样本容量整除时，可以先从总体中随机地剔除几个个体，使得总体中剩余的个体数能被样本容量整除．
(2)被剔除的部分个体可采用简单随机抽样法抽取．
(3)剔除部分个体后应重新编号．
(4)每个个体被抽到的机会均等，被剔除的机会也均等．
1．系统抽样的实质是“分组”抽样，适用于总体中的个体数较大的情况．
2．解决系统抽样问题的两个关键步骤为
(1)分组的方法应依据抽取比例而定，即根据定义每组抽取一个样本．
(2)用系统抽样法抽取样本，当不为整数时，取k＝，即先从总体中用简单随机抽样的方法剔除N－nk个个体，且剔除多余的个体不影响抽样的公平性．
1．判断下列结论的正误(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)总体个数较多时可以用系统抽样． ( )
(2)系统抽样的过程中，每个个体被抽到的概率不相等． ( )
(3)用系统抽样从N个个体中抽取一个容量为n的样本，要平均分成n段，每段各有个号码． ( )
[答案] (1)√ (2)× (3)×
2．为了了解参加某次知识竞赛的1 252名学生的成绩，决定采用系统抽样的方法抽取一个容量为50的样本，那么从总体中应随机剔除的个体数目为( )
A．2 B．3 C．4 D．5
A [1 252＝50×25＋2，故应从总体中随机剔除2个个体．]
3．为了了解某地参加计算机水平测试的5 008名学生的成绩，从中抽取了200名学生的成绩进行统计分析，运用系统抽样方法抽取样本时，每组的容量为( )
A．24 B．25
C．26 D．28
B [5 008＝200×25＋8，故每组容量为25.]
4．从2 003名学生中抽取一个容量为40的样本，应如何抽取？
[解] 先将2 003名学生按0 001到2 003编号，利用随机数表法从中剔除3名学生，再对剩余的2 000名学生重新从0001到2 000编号，按编号顺序分成40组，每组50人，先在第一组中用抽签法抽出某一号，如0 006，依次在其他组抽取0 056，0 106，…，1 956，这样就得到了一个容量为40的样本．
课时分层作业(十) 系统抽样
(建议用时：60分钟)
[基础达标练]
一、选择题
1．下列问题中，最适合用系统抽样法抽样的是( )
A．从某厂生产的30个零件中随机抽取6个入样
B．一个城市有210家超市，其中大型超市20家，中型超市40家，小型超市150家．为了掌握各超市的营业情况，要从中抽取一个容量为21的样本
C．从参加竞赛的1 500名初中生中随机抽取100人分析试题作答情况
D．从参加期末考试的2 400名高中生中随机抽取10人了解某些情况
C [A总体容量较小，样本容量也较小，可采用抽签法；B总体中的个体有明显的层次，不适宜用系统抽样法；C总体容量较大，样本容量也较大，可用系统抽样法；D总体容量较大，样本容量较小，可用随机数表法．故选C.]
2．采用系统抽样的方法从2 005个个体中抽取一个容量为50的样本，则抽样间隔和随机剔除的个体数分别为( )
A．40，5 B．50，5
C．5，40 D．5，50
A [因为2 005÷50＝40余5，所以用系统抽样的方法从2 005个个体中抽取一个容量为50的样本，抽样间隔是40，且应随机剔除的个体数为5.]
3．从编号为1～50的50枚最新研制的某种型号的导弹中随机抽取5枚进行发射实验，若采用每部分选取的号码间隔一样的系统抽样方法，则所选取5枚导弹的编号可能是( )
A．5，10，15，20，25 B．3，13，23，33，43
C．1，2，3，4，5 D．2，4，8，16，32
B [根据题意从50枚中抽取5枚，故分段间隔k＝＝10，故只有B符合．]
4．总体容量为524，若采用系统抽样，下列的抽取间隔不需要剔除个体的是( )
A．3 B．4
C．5 D．6
B [因为只有＝131，没有余数，所以当间隔为4时，不需要剔除个体．]
5．要从160名学生中抽取容量为20的样本，用系统抽样法将160名学生从1～160编号．按编号顺序平均分成20组(1～8号，9～16号，…，153～160号)，若第16组应抽出的号码为125，则第一组中按抽签方法确定的号码是( )
A．7 B．5
C．4 D．3
B [由公式125＝l＋(16－1)×，解得l＝5.]
二、填空题
6．为规范学校办学，省教育厅督察组对某所高中进行了抽样调查．抽到的班级一共有52名学生，现将该班学生随机编号，用系统抽样的方法抽取一个容量为4的样本，已知7号、33号、46号同学在样本中，那么样本中还有一位同学的编号应是________．
20 [由系统抽样原理知，抽样间隔k＝＝13，故抽取样本的编号分别为7、7＋13、7＋13×2、7＋13×3.故还有一位同学的编号应是20.]
7．某公司有52名员工，要从中抽取10名员工参加国庆联欢活动，若采用系统抽样，则该公司每个员工被抽到的机会是________．
[采用系统抽样，需先剔除2名员工，确定间隔k＝5，但每名员工被剔除的机会相等，即每名员工被抽到的机会也相等，故虽然剔除了2名员工，但这52名员工中每名员工被抽到的机会仍相等，且均为＝.]
8．已知标有1～20号的小球20个，若我们的目的是估计总体号码的平均值，即20个小球号码的平均数．试验者从中抽取4个小球，以这4个小球号码的平均数估计总体号码的平均值，按下面方法抽样(按小号到大号排序)：
(1)以编号2为起点，系统抽样抽取4个球，则这4个球的编号的平均值为________；
(2)以编号3为起点，系统抽样抽取4个球，则这4个球的编号的平均值为________．
(1)9.5 (2)10.5 [20个小球分4组，每组5个．(1)若以2号为起点，则另外三个球的编号依次为7，12，17，4球编号的平均值为＝9.5.(2)若以3号为起点，则另外三球编号为8，13，18，平均值为＝10.5.]
三、解答题
9.在下列问题中，各采用什么抽样方法抽取样本较为合适？
(1)从8台彩电中抽取2台进行质量检验；
(2)一个礼堂有32排座位，每排有40个座位(座位号为1～40)．一次报告会坐满了听众，会后为听取意见留下32名听众进行座谈．
[解] (1)总体容量为8，样本容量为2，因此适合利用抽签法进行样本的抽取．
(2)总体容量为32×40＝1 280，样本容量为32，由于座位数已经分为32排，因此选择系统抽样更合适．
10．某工厂有工人1 021人，其中高级工程师20人，现抽取普通工人40人，高级工程师4人组成代表队去参加某项活动，应怎样抽样？
[解] (1)将1 001名普通工人用随机方式编号．
(2)从总体中剔除1人(剔除方法可用随机数法)，将剩下的1 000名职工重新编号(分别为0 001，0 002，…，1 000)，并平均分成40段，其中每一段包含＝25个个体．
(3)在第一段0 001，0 002，…，0 025这25个编号中用简单随机抽样法抽出一个(如0 003)作为起始号码．
(4)将编号为0 003，0 028，0 053，…，0 978的个体抽出．
(5)将20名高级工程师用随机方式编号为1，2，…，20.
(6)将这20个号码分别写在大小、形状相同的小纸条上，揉成小球，制成号签．
(7)将得到的号签放入一个不透明的容器中，充分搅拌均匀．
(8)从容器中逐个抽取4个号签，并记录上面的编号．
(9)从总体中将与所抽号签的编号相一致的个体取出．
以上得到的个体便是代表队成员．
[能力提升练]
1．从2 019名学生中选取50名学生参加数学竞赛，若采用下面方法选取：先用简单随机抽样从2 019人中剔除19人，剩下的2 000人再按系统抽样的方法抽取50人，则在2 019人中，每个人入选的机会( )
A．都相等，且为 B．不全相等
C．均不相等 D．都相等，且为
A [因为在系统抽样中，若所给的总体个数不能被样本容量整除，则要先剔除几个个体，本题要先剔除19人，然后再分组，在剔除过程中，每个个体被剔除的机会相等，所以每个个体被抽到包括两个过程，一是不被剔除，二是被选中，这两个过程是相互独立的，所以，每个人入选的机会都相等，且为.]
2．将参加夏令营的600名学生编号为：001，002，…，600.采用系统抽样方法抽取一个容量为50的样本，且随机抽得的号码为003.这600名学生分住在三个营区，从001到300在第Ⅰ营区，从301到495在第Ⅱ营区，从496到600在第Ⅲ营区，三个营区被抽中的人数依次为( )
A．26，16，8 B．25，17，8
C．25，16，9 D．24，17，9
B [依题意及系统抽样的意义可知，将这600名学生按编号依次分成50组，每组有12名学生，第k(k∈N*)组抽中的号码是3＋12(k－1)．
令3＋12(k－1)≤300得k≤，因此第Ⅰ营区被抽中的人数是25；
令300＜3＋12(k－1)≤495，得＜k≤42，因此第Ⅱ营区被抽中的人数是42－25＝17.
从而第Ⅲ营区被抽中的人数是50－42＝8.]
3．某单位有职工72人，现需用系统抽样法从中抽取一个样本，若样本容量为n，则不需要剔除个体，若样本容量为n＋1，则需剔除2个个体，则n＝________．
4或6或9 [由题意知n为72的约数，n＋1为70的约数，其中72的约数有1，2，3，4，6，8，9，12，18，24，36，72，其中70能被加1整除的有1，4，6，9，其中n＝1不符合题意，故n＝4或6或9.]
4．一个总体中的80个个体的编号为0，1，2，…，79，并依次将其分为8个组，组号为0，1，…，7，用错位系统抽样的方法抽取一个容量为8的样本，即规定先在第0组随机抽取一个号码，记为i，依次错位地得到后面各组的号码，即在第k组中抽取个位数字为i＋k(当i＋k<10时)或i＋k－10(当i＋k≥10时)的号码．当i＝6时，所抽到的8个号码是________．
6，17，28，39，40，51，62，73 [由题意得，在第1组抽取的号码的个位数字是6＋1＝7，故应选17；在第2组抽取的号码的个位数字是6＋2＝8，故应选28；依此类推，应选39，40，51，62，73.]
5．下面给出某村委会调查本村各户收入情况作的抽样，阅读并回答问题．本村人口：1 200，户数300，每户平均人口数4人；
应抽户数：30；
抽样间隔：1 200/30＝40；
确定随机数字：取一张人民币，其编号后两位数为12；
确定第一样本户：编号12的住户为第一样本户；
确定第二样本户：12＋40＝52，52号为第二样本户．
……
(1)该村委会采用了何种抽样方法？
(2)抽样过程存在哪些问题，试修改；
(3)何处用了简单随机抽样？
[解] (1)系统抽样．
(2)本题是对某村各户进行抽样，而不是对某村人口抽样．抽样间隔应为300/30＝10，其他步骤相应改为确定随机数字：取一张人民币，其编号末位数为2.(假设)确定第一样本户：编号02的住户为第一样本户；确定第二样本户：2＋10＝12，12号为第二样本户……
(3)确定随机数字：取一张人民币，取其末位数2.
