课件43张PPT。第二章 统计2.1 随机抽样
2.1.3 分层抽样互不交叉 一定的比例 各层独立地 各层 差异明显 各层总的个体数×抽样比 简单随机抽样分层抽样的概念 分层抽样的设计及应用 抽样方法的选择 点击右图进入…Thank you for watching !2.1.3 分层抽样
学 习 目 标
核 心 素 养
1.记住分层抽样的特点和步骤(重点)
2．会用分层抽样从总体中抽取样本．(重点、难点)
3．给定实际抽样问题会选择合适的抽样方法进行抽样．(易错易混点)
1.通过分层抽样的学习，培养数学运算素养．
2．借助多种抽样方法的选择，提升逻辑推理素养.
1．分层抽样
一般地，在抽样时，将总体分成互不交叉的层，然后按照一定的比例，从各层独立地抽取一定数量的个体，将各层取出的个体合在一起作为样本，这种抽样的方法是一种分层抽样．
当总体是由差异明显的几部分组成时，往往选用分层抽样的方法．
2．分层抽样的实施步骤
第一步，按某种特征将总体分成若干部分(层)．
第二步，计算抽样比．抽样比＝.
第三步，各层抽取的个体数＝各层总的个体数×抽样比．
第四步，依各层抽取的个体数，按简单随机抽样从各层抽取样本．
第五步，综合每层抽样，组成样本．
思考：什么情况下适用分层抽样？
[提示] 当总体中个体之间差异较大时可使用分层抽样．
1．为了解某地区的中小学生的视力情况，拟从该地区的中小学生中抽取部分学生进行调查，事先已了解到该地区小学、初中、高中三个学段学生的视力情况有较大差异，且男女生视力情况差异不大．在下面的抽样方法中，最合理的抽样方法是( )
A．简单随机抽样 B．按性别分层抽样
C．按学段分层抽样 D．系统抽样
C [依据题意，了解到该地区小学、初中、高中三个学段学生的视力情况有较大差异，且男女生视力情况差异不大，故要了解该地区学生的视力情况，应按学段分层抽样．]
2．为了保证分层抽样时每个个体被等可能地抽取，必须要求( )
A．每层等可能抽取
B．每层抽取的个体数相等
C．按每层所含个体在总体中所占的比例抽样
D．只要抽取的样本容量一定，每层抽取的个体数没有限制
C [分层抽样为等比例抽样．]
3．某校高三一班有学生54人，二班有学生42人，现在要用分层抽样的方法从两个班抽出16人参加军训表演，则一班和二班分别被抽取的人数是( )
A．8，8 B．10，6
C．9，7 D．12，4
C [抽样比＝，则一班被抽取人数为54×＝9人，二班被抽取人数为42×＝7人．]
4．在抽样过程中，每次抽取的个体不再放回总体的为不放回抽样，那么分层抽样、系统抽样、简单随机抽样三种抽样中，为不放回抽样的有________个．
三 [三种抽样方法均为不放回抽样．]
分层抽样的概念
【例1】 下列问题中，最适合用分层抽样抽取样本的是( )
A．从10名同学中抽取3人参加座谈会
B．某社区有500个家庭，其中高收入的家庭125个，中等收入的家庭280个，低收入的家庭95个，为了了解生活购买力的某项指标，要从中抽取一个容量为100的样本
C．从1 000名工人中，抽取100名调查上班途中所用时间
D．从生产流水线上，抽取样本检查产品质量
B [A中总体个体无明显差异且个数较少，适合用简单随机抽样；C中，D中总体个体无明显差异且个数较多，适合用系统抽样；B中总体个体差异明显，适合用分层抽样．]
分层抽样的特点
(1)适用于总体由差异明显的几部分组成的情况．
(2)样本能更充分地反映总体的情况．
(3)等可能抽样，每个个体被抽到的可能性都相等．
1．某校有在校高中生共1 600人，其中高一学生520人，高二学生500人，高三学生580人．如果想通过抽查其中的80人来调查学生的消费情况，考虑到学生的年级高低消费情况有明显差别，而同一年级内消费情况差异较小，问：应采用怎样的抽样方法？高三学生中应抽查多少人？
[解] 因为不同年级的学生消费情况有明显差别，所以应采用分层抽样．
因为520∶500∶580＝26∶25∶29.
所以将80分成26∶25∶29的三部分．
设三部分各抽取的个体数分别为26x，25x，29x，
由26x＋25x＋29x＝80得x＝1，
所以高三学生中应抽查29人．
分层抽样的设计及应用
[探究问题]
1．怎样确定分层抽样中各层入样的个体数？
[提示] 在实际操作时，应先计算出抽样比＝，获得各层入样数的百分比，再按抽样比确定每层需要抽取的个体数：抽样比×该层个体数目＝×该层个体数目．
2．计算各层所抽个体的个数时，如果算出的个数值不是整数怎么办？
[提示] 可四舍五入取整，也可先将该层等可能地剔除多余个体．
3．分层抽样公平吗？
[提示] 分层抽样中，每个个体被抽到的可能性是相同的，与层数、分层无关．
如果总体的个数为N，样本容量为n，Ni为第i层的个体数，则第i层抽取的个体数ni＝n·，每个个体被抽到的可能性是＝·n·＝.
【例2】 某政府机关有在编人员100人，其中副处级以上干部10人，一般干部70人，工人20人．上级机关为了了解政府机构改革的意见，要从中抽取一个容量为20的样本，试确定用何种方法抽取，请具体实施操作．
思路点拨：观察特征→确定抽样方法→求出比例→确定各层样本数→从各层中抽样→样本
[解] ∵机构改革关系到每个人的不同利益，故采用分层抽样方法较妥．
∵＝5，
∴＝2，＝14，＝4.
∴从副处级以上干部中抽取2人，从一般干部中抽取14人，从工人中抽取4人．
因副处级以上干部与工人数都较少，他们分别按1～10编号和1～20编号，然后采用抽签法分别抽取2人和4人；对一般干部70人进行00，01，…，69编号，然后用随机数表法抽取14人．这样便得到了一个容量为20的样本．
1．(变条件)某大型工厂有管理人员1 200人，销售人员2 000人，车间工人6 000人，若要了解改革意见，从全厂人员中抽取一个容量为46的样本，试确定用何种方法抽取，请具体实施操作．
[解] 改革关系到每个人的利益，采用分层抽样较好．抽样比：＝.
∵1 200×＝6(人)，2 000×＝10(人)，6 000×＝30(人)．
∴从管理人员中抽取6人，从销售人员中抽取10人，从车间工人中抽取30人．
因为各层中个体数目均较多，可以采用系统抽样的方法获得样本．
2．(变结论)在本例中的抽样方法公平合理吗？请说明理由．
[解] 从100人中抽取20人，总体中每一个个体的入样可能性都是＝，即抽样比，按此比例在各层中抽取个体；副处级以上干部抽取10×＝2人，一般干部抽70×＝14人，工人抽20×＝4人，以保证每一层中每个个体的入样可能性相同，均为，故这种抽样是公平合理的．
分层抽样的步骤
抽样方法的选择
【例3】 ①教育局督学组到校检查工作，临时需在每班各抽调两人参加座谈；②某班数学期中考试有14人在120分以上，35人在90～119分，7人不及格，现从中抽出8人研讨进一步改进教与学；③某班春节聚会，要产生两位“幸运者”．就这三件事，合适的抽样方法分别为( )
A．分层抽样，分层抽样，简单随机抽样
B．系统抽样，系统抽样，简单随机抽样
C．分层抽样，简单随机抽样，简单随机抽样
D．系统抽样，分层抽样，简单随机抽样
思路点拨：根据各抽样方法的特征、适用范围判断．
D [①每班各抽两人需用系统抽样．②由于学生分成了差异比较大的几层，应用分层抽样．③由于总体与样本容量较小，应用简单随机抽样．故选D.]
抽样方法的选取
(1)若总体由差异明显的几个层次组成，则选用分层抽样；
(2)若总体没有差异明显的层次，则考虑采用简单随机抽样或系统抽样．
当总体容量较小时宜用抽签法；当总体容量较大，样本容量较小时宜用随机数表法；当总体容量较大，样本容量也较大时宜用系统抽样；
2．为了解某地区的“微信健步走”活动情况，拟从该地区的人群中抽取部分人员进行调查．事先已了解到该地区老、中、青三个年龄段人员的“微信健步走”活动情况有较大差异，而男女“微信健步走”活动情况差异不大．在下面的抽样方法中，最合理的抽样方法是( )
A．简单随机抽样 B．按性别分层抽样
C．按年龄分层抽样 D．系统抽样
C [因为不同年龄段人员的“微信健步走”活动情况有较大差异．而男女对此活动差异不大，所以按年龄段分层抽样最合理．]
1．对于分层抽样中的比值问题，常利用以下关系式[解]
(1)＝；
(2)总体中各层容量之比＝对应层抽取的样本数之比．
2．选择抽样方法的规律
(1)当总体容量较小，样本容量也较小时，制签简单，号签容易搅匀，可采用抽签法．
(2)当总体容量较大，样本容量较小时，可采用随机数法．
(3)当总体容量较大，样本容量也较大时，可采用系统抽样法．
(4)当总体是由差异明显的几部分组成时，可采用分层抽样法．
1．判断下列结论的正误(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)当总体由差异明显的几部分组成时，往往采用分层抽样． ( )
(2)由于分层抽样是在各层中按比例抽取，故每个个体被抽到的可能性不一样． ( )
(3)分层抽样中不含系统抽样和简单随机抽样． ( )
[答案] (1)√ (2)× (3)×
2．甲校有3 600名学生，乙校有5 400名学生，丙校有1 800名学生，为统计三校学生某方面的情况，计划采用分层抽样法抽取一个容量为90的样本，应在这三校分别抽取学生( )
A．30人、30人、30人 B．30人、45人、15人
C．20人、30人、40人 D．30人、50人、10人
B [根据各校人数比例有3 600∶5 400∶1 800＝2∶3∶1，由于样本容量为90，不难求出甲校应抽取30人、乙校应抽取45人、丙校应抽取15人．]
3．某城区有农民、工人、知识分子家庭共计2 000家，其中农民家庭1 800户，工人家庭100户．现要从中抽取容量为40的样本，调查家庭收入情况，则在整个抽样过程中，可以用到的抽样方法有( )
①简单随机抽样；②系统抽样；③分层抽样
A．②③ B．①③
C．③ D．①②③
D [由三种抽样方法的特点知，应先采用分层抽样对农民家庭需用系统抽样得到样本，对工人家庭需用简单随机抽样．]
4．一个地区共有5个乡镇，人口3万人，其人口比例为3∶2∶5∶2∶3，从3万人中抽取一个300人的样本，分析某种疾病的发病率，已知这种疾病与不同的地理位置及水土有关，问应采取什么样的方法？并写出具体过程．
[解] 因为疾病与地理位置和水土均有关系，所以不同乡镇的发病情况差异明显，因而采用分层抽样的方法．
具体过程如下：
(1)将3万人分为5层，其中一个乡镇为一层．
(2)按照样本容量的比例求得各乡镇应抽取的人数分别为60人、40人、100人、40人、60人．
(3)按照各层抽取的人数随机抽取各乡镇应抽取的样本．
(4)将300人合到一起，即得到一个样本．
W
课时分层作业(十一) 分层抽样
(建议用时：60分钟)
[基础达标练]
一、选择题
1. 某单位有老年人28人，中年人54人，青年人81人，为了调查他们的身体情况，需从中抽取一个容量为36的样本，则适合的抽样方法是( )
A．简单随机抽样
B．系统抽样
C．直接运用分层抽样
D．先从老年人中剔除1人，再用分层抽样
C [因为总体由差异明显的三部分组成，所以考虑用分层抽样．]
2．某中学有高中生3 500人，初中生1 500人，为了解学生的学习情况，用分层抽样的方法从该校学生中抽取一个容量为n的样本，已知从高中生中抽取70人，则n为( )
A．100 B．150
C．200 D．250
A [由题意得，＝，解得n＝100.]
3．一批灯泡400只，其中20 W、40 W、60 W的数目之比是4∶3∶1，现用分层抽样的方法产生一个容量为40的样本，三种灯泡依次抽取的个数为( )
A．20，15，5 B．4，3，1
C．16，12，4 D．8，6，2
A [40×＝20.40×＝15，40×＝5.]
4．对一个容量为N的总体抽取容量为n的样本，当选取简单随机抽样、系统抽样和分层抽样三种不同方法抽取样本时，总体中每个个体被抽中的概率分别为p1，p2，p3，则( )
A．p1＝p2
C．p1＝p3D [不管是简单随机抽样、系统抽样还是分层抽样，它们都是等可能抽样，每个个体被抽中的概率均为.]
5．某校做了一次关于“感恩父母”的问卷调查，从8～10岁，11～12岁，13～14岁，15～16岁四个年龄段回收的问卷依次为：120份，180份，240份，x份．因调查需要，从回收的问卷中按年龄段分层抽取容量为300的样本，其中在11～12岁学生问卷中抽取60份，则在15～16岁学生中抽取的问卷份数为( )
A．60 B．80
C．120 D．180
C [11～12岁回收180份，其中在11～12岁学生问卷中抽取60份，抽样比为，因为分层抽取样本的容量为300，故回收问卷总数为＝900份，故x＝900－120－180－240＝360份，360×＝120份．]
二、填空题
6．在120个零件中，一级品24个，二级品36个，三级品60个，用分层抽样的方法从中抽取容量为20的样本，则每个个体被抽取的可能性是________．
[在分层抽样中，每个个体被抽取的可能性相等，且为.所以每个个体被抽取的可能性是＝.]
7．某企业三月中旬生产A，B，C三种产品共3 000件，根据分层抽样的结果，企业统计员制作了如下的统计表格：
产品类型
A
B
C
产品数量(件)
1 300
样本容量
130
由于不小心，表格中A，C两种产品的有关数据已被污染看不清楚了，统计员只记得A产品的样本容量比C产品的样本容量多10，根据以上信息，可得C产品的数量是________件．
800 [抽样比130∶1 300＝1∶10，即每10个产品中取1个个体，又A产品的样本容量比C产品的多10，故A产品比C产品多100件，故(3 000－1300－100)＝800(件)为C产品数量．]
8．下列问题中，采用怎样的抽样方法较为合理？
(1)从10台电冰箱中抽取3台进行质量检查；
(2)某学校有160名教职工，其中教师120名，行政人员16名，后勤人员24名，为了了解教职工对学校在校务公开方面的意见，拟抽取一个容量为20的样本；
(3)体育彩票000 001～100 000编号中，凡彩票号码最后三位数为345的中一等奖．
(1)________ (2)________ (3)________．
(1)抽签法 (2)分层抽样 (3)系统抽样
题号
判断
原因分析
(1)
抽签法
总体容量较小，宜用抽签法
(2)
分层抽样
由于学校各类人员对这一问题的看法可能差异较大，用分层抽样
(3)
系统抽样
总体容量大，样本容量较大，等距抽取，用系统抽样
三、解答题
9．某单位有2 000名职工，老年、中年、青年分布在管理、技术开发、营销、生产各部门中，如下表所示：
人数
管理
技术开发
营销
生产
合计
老年
40
40
40
80
200
中年
80
120
160
240
600
青年
40
160
280
720
1 200
合计
160
320
480
1 040
2 000
(1)若要抽取40人调查身体状况，则应怎样抽样？
(2)若要开一个25人的讨论单位发展与薪金调整方面的座谈会，则应怎样抽选出席人？
[解] (1)按老年、中年、青年分层抽样，
抽取比例为＝.
故老年人，中年人，青年人各抽取4人，12人，24人，
(2)按管理、技术开发、营销、生产进行分层，用分层抽样，抽取比例为＝，
故管理，技术开发，营销，生产各抽取2人，4人，6人，13人．
10．为了考察某校的教学水平，抽查了该学校高三年级部分学生的本年度考试成绩．为了全面地反映实际情况，采取以下三种考察方式(已知该校高三年级共有14个教学班，并且每个班内的学生都已经按随机方式编好了学号，假定该校每班人数都相同)．
①从全年级14个班中任意抽取一个班，再从该班中任意抽取14人，考察他们的学习成绩；
②每个班都抽取1人，共计14人，考察这14个学生的成绩；
③把该校高三年级的学生按成绩分成优秀，良好，普通三个级别，从中抽取100名学生进行考查(已知若按成绩分，该校高三学生中优秀学生有105名，良好学生有420名，普通学生有175名)．
根据上面的叙述，试回答下列问题：
(1)上面三种抽取方式中，其总体、个体、样本分别指什么？每一种抽取方式抽取的样本中，其样本容量分别是多少？
(2)上面三种抽取方式各自采用何种抽取样本的方法？
(3)试分别写出上面三种抽取方法各自抽取样本的步骤．
[解] (1)这三种抽取方式中，其总体都是指该校高三全体学生本年度的考试成绩，个体都是指高三年级每个学生本年度的考试成绩．其中第一种抽取方式中样本为所抽取的14名学生本年度的考试成绩，样本容量为14；第二种抽取方式中样本为所抽取的14名学生本年度的考试成绩，样本容量为14；第三种抽取方式中样本为所抽取的100名学生本年度的考试成绩，样本容量为100.
(2)第一种方式采用的方法是简单随机抽样法；第二种方式采用的方法是系统抽样法和简单随机抽样法；第三种方式采用的方法是分层抽样法和简单随机抽样法．
(3)第一种方式抽样的步骤如下：
第一步：在这14个班中用抽签法任意抽取一个班；
第二步：从这个班中按学号用随机数表法或抽签法抽取14名学生，考察其考试成绩．
第二种方式抽样的步骤如下：
第一步：在第一个班中，用简单随机抽样法任意抽取某一学生，记其学号为x；
第二步：在其余的13个班中，选取学号为x＋50k(1≤k≤12，k∈Z)的学生，共计14人．
第三种方式抽样的步骤如下：
第一步：分层，因为若按成绩分，其中优秀生共105人，良好生共420人，普通生共175人，所以在抽取样本中，应该把全体学生分成三个层次；
第二步：确定各个层次抽取的人数，因为样本容量与总体数的比为100∶700＝1∶7，所以在每个层抽取的个体数依次为，，，即15，60，25；
第三步：按层分别抽取，在优秀生中用简单随机抽样法抽取15人，在良好生中用简单随机抽样法抽取60人，在普通生中用简单随机抽样法抽取25人．
第四步：将所抽取的个体组合在一起构成样本．
[能力提升练]
1．已知某地区中小学生人数和近视情况分别如图①和图②所示．为了解该地区中小学生的近视形成原因，用分层抽样的方法抽取2%的学生进行调查，则样本容量和抽取的高中生近视人数分别为( )
A．200，20 B．100，20
C．200，10 D．100，10
A [该地区中小学生总人数为
3 500＋2 000＋4 500＝10 000人，
则样本容量为10 000×2%＝200人，其中抽取的高中生近视人数为2 000×2%×50%＝20.]
2．某初级中学共有学生270人，其中一年级108人，二、三年级各81人，现要利用抽样方法抽取10人进行某项调查，考虑选用简单随机抽样、分层抽样和系统抽样三种方案．使用简单随机抽样和分层抽样时，将学生按一、二、三年级依次统一编号为001，002，003，…，270；使用系统抽样时，将学生统一随机编号为001，002，003，…，270，并将整个编号平均分为10段．如果抽得的号码有下列四种情况：
①007，034，061，088，115，142，169，196，223，250；
②005，009，100，107，111，121，180，195，200，265；
③011，038，065，092，119，146，173，200，227，254；
④036，062，088，114，140，166，192，218，244，270.
关于上述样本的下列结论中，正确的是( )
A．②③都不能为系统抽样
B．②④都不能为分层抽样
C．①④都可能为系统抽样
D．①③都可能为分层抽样
D [系统抽样又称为“等距抽样”，做到等距的有①③④，但只做到等距还不一定是系统抽样，还应做到10段中每段要抽1个，检查这一点只需看第一个元素是否在001～027范围内，结果发现④不符合，同时，若为系统抽样，则分段间隔k＝＝27，④也不符合这一要求，所以可能是系统抽样的为①③，因此排除A，C；若采用分层抽样，一、二、三年级的人数比例为4∶3∶3，由于共抽取10人，所以三个年级应分别抽取4人、3人、3人，即在001～108范围内要有4个编号，在109～189和190～270范围内要分别有3个编号，符合此要求的有①②③，即它们都可能为分层抽样(其中①③在每一层内采用了系统抽样，②在每一层内采用了简单随机抽样)，所以排除B.]
3．某高中针对学生发展要求，开设了富有地方特色的“泥塑”与“剪纸”两个社团，已知报名参加这两个社团的学生共有800人，按照要求每人只能参加一个社团，各年级参加社团的人数情况如下表：
高一年级
高二年级
高三年级
泥塑
a
b
c
剪纸
x
y
z
其中x∶y∶z＝5∶3∶2，且“泥塑”社团的人数占两个社团总人数的，为了了解学生对两个社团活动的满意程度，从中抽取一个50人的样本进行调查，则从高二年级“剪纸”社团的学生中应抽取________人．
6 [因为“泥塑”社团的人数占总人数的，故“剪纸”社团的人数占总人数的，所以“剪纸”社团的人数为800×＝320.因为“剪纸”社团中高二年级人数比例为＝＝，所以“剪纸”社团中高二年级人数为320×＝96.由题意知，抽样比为＝，所以从高二年级“剪纸”社团中抽取的人数为96×＝6.]
4．某机关老年、中年、青年的人数分别为18，12，6，现从中抽取一个容量为n的样本，若采用系统抽样和分层抽样，则不用剔除个体．当样本容量增加1时，若采用系统抽样，需在总体中剔除1个个体，则样本容量n＝________．
6 [当样本容量为n时，因为采用系统抽样时不用剔除个体，所以n是18＋12＋6＝36的约数，n可能为1，2，3，4，6，9，12，18，36.因为采用分层抽样时不用剔除个体，所以×18＝，×12＝，×6＝均是整数，所以n可能为6，12，18，36.又因为当样本容量增加1时，需要剔除1个个体，才能用系统抽样，所以n＋1是35的约数，而n＋1可能为7，13，19，37，所以n＋1＝7，所以n＝6.]
5．某中学举行了为期3天的新世纪体育运动会，同时进行全校精神文明擂台赛．为了解这次活动在全校师生中产生的影响，分别在全校500名教职员工、3 000名初中生、4 000名高中生中作问卷调查，如果要在所有答卷中抽出120份用于评估．
(1)应如何抽取才能得到比较客观的评价结论？
(2)要从3 000份初中生的答卷中抽取一个容量为48的样本，如果采用简单随机抽样，应如何操作？
(3)为了从4 000份高中生的答卷中抽取一个容量为64的样本，如何使用系统抽样抽取到所需的样本？
[解] (1)由于这次活动对教职员工、初中生和高中生产生的影响不会相同，所以应当采取分层抽样的方法进行抽样．
因为样本容量为120，总体个数为500＋3 000＋4 000＝7 500，则抽样比：＝，
所以有500×＝8，3 000×＝48，
4 000×＝64，所以在教职员工、初中生、高中生中抽取的个体数分别是8，48，64.
分层抽样的步骤是
①分层：分为教职员工、初中生、高中生，共三层．
②确定每层抽取个体的个数：在教职员工、初中生、高中生中抽取的个体数分别是8，48，64.
③各层分别按简单随机抽样或系统抽样的方法抽取样本．
④综合每层抽样，组成样本．
这样便完成了整个抽样过程，就能得到比较客观的评价结论．
(2)由于简单随机抽样有两种方法：抽签法和随机数法．如果用抽签法，要作3 000个号签，费时费力，因此采用随机数法抽取样本，步骤是
①编号：将3 000份答卷都编上号码：0 001，0 002，0 003，…，3 000.
②在随机数表上随机选取一个起始位置．
③规定读数方向：向右连续取数字，以4个数为一组，如果读取的4位数大于3 000，则去掉，如果遇到相同号码则只取一个，这样一直到取满48个号码为止．
(3)由于4 000÷64＝62.5不是整数，则应先使用简单随机抽样从4 000名学生中随机剔除32个个体，再将剩余的3 968个个体进行编号：1，2，…，3 968，然后将整体分为64个部分，其中每个部分中含有62个个体，如第1部分个体的编号为1，2，…，62.从中随机抽取一个号码，若抽取的是23，则从第23号开始，每隔62个抽取一个，这样得到容量为64的样本：23，85，147，209，271，333，395，457，…，3 929.
