课件48张PPT。第二章 平面向量2.2 平面向量的线性运算
2.2.1 向量加法运算及其几何意义两个向量和0aa＋(b＋c)b＋a向量加法的三角形法则和平行四边形法则 向量加法运算律的应用 向量加法的实际应用 点击右图进入…Thank you for watching !2.2 平面向量的线性运算
2.2.1 向量加法运算及其几何意义
学 习 目 标
核 心 素 养
1.理解并掌握向量加法的概念，了解向量加法的几何意义及运算律．(难点)
2.掌握向量加法运算法则，能熟练地进行向量加法运算．(重点)
3.能区分数的加法与向量的加法的联系与区别．(易混点)
1.教材从几何角度给出向量加法的三角形法则和平行四边形法则，结合了对应的物理模型，提升了学生的直观想象和数学建模的核心素养.
2.对比数的加法，给出了向量的加法运算律，培养学生的数学运算的核心素养.
1．向量加法的定义
定义：求两个向量和的运算，叫做向量的加法．
对于零向量与任一向量a，规定＝a＋0＝a．
2．向量求和的法则
三角形法则
已知非零向量a，b，在平面内任取一点A，作＝a，＝b，则向量叫做a与b的和，记作a＋b，即a＋b＝＋＝.
平行四边形法则
已知两个不共线向量a，b，作＝a，＝b，以，为邻边作?ABCD，则对角线上的向量＝a＋b.
思考：两个向量相加就是两个向量的模相加吗？
[提示] 不是，向量的相加满足三角形法则，而模相加是数量的加法．
3．向量加法的运算律
(1)交换律：a＋b＝b＋a．
(2)结合律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)．
1．下列各式不一定成立的是( )
A．a＋b＝b＋a B．0＋a＝a
C．＋＝ D．|a＋b|＝|a|＋|b|
D [A，B，C项满足运算律，而D项向量和的模不一定与向量模的和相等，满足三角形法则．]
2.＋＋等于( )
A． B．
C． D．
C [＋＋＝＋＋＝.]
3．如图，在平行四边形ABCD中，＋＝ ．
[由平行四边形法则可知＋＝.]
4．小船以10 km/h的速度按垂直于对岸的方向行驶，同时河水的流速为10 km/h，则小船实际航行速度的大小为 km/h.
20 [根据平行四边形法则，因为水流方向与船速方向垂直，所以小船实际速度大小为＝20(km/h)．]
向量加法的三角形法则和平行四边形法则
[探究问题]
1．求作两个向量和的法则有哪些？这些法则的物理模型是什么？
提示：(1)平行四边形法则，对应的物理模型是力的合成等．
(2)三角形法则，对应的物理模型是位移的合成等．
2．设A1，A2，A3，…，An(n∈N，且n≥3)是平面内的点，则一般情况下，＋＋＋…＋的运算结果是什么？
提示：将三角形法则进行推广可知＋＋＋…＋＝.
【例1】 (1)如图，在△ABC中，D，E分别是AB，AC上的点，F为线段DE延长线上一点，DE∥BC，AB∥CF，连接CD，那么(在横线上只填上一个向量)：
①＋＝ ；
②＋＝ ；
③＋＋＝ ．
(2)①如图甲所示，求作向量和a＋b；
②如图乙所示，求作向量和a＋b＋c.
甲 乙
思路点拨：(1)先由平行四边形的性质得到有关的相等向量，并进行代换，然后用三角形法则化简．
(2)用三角形法则或平行四边形法则画图．
(1)① ② ③ [如题图，由已知得四边形DFCB为平行四边形，由向量加法的运算法则可知：
①＋＝＋＝.
②＋＝＋＝.
③＋＋＝＋＋＝.]
(2)[解] ①首先作向量＝a，然后作向量＝b，则向量＝a＋b.如图所示．
②法一(三角形法则)：如图所示，首先在平面内任取一点O，作向量＝a，再作向量＝b，则得向量＝a＋b，然后作向量＝c，则向量＝(a＋b)＋c＝a＋b＋c即为所求．
法二(平行四边形法则)：如图所示，首先在平面内任取一点O，作向量＝a，＝b，＝c，以OA，OB为邻边作?OADB，连接OD，则＝＋＝a＋b.再以OD，OC为邻边作?ODEC，连接OE，则＝＋＝a＋b＋c即为所求．
1．在本例(1)条件下，求＋.
[解] 因为BC∥DF，BD∥CF，所以四边形BCFD是平行四边形，
所以＋＝.
2．在本例(1)图形中求作向量＋＋.
[解] 过A作AG∥DF交CF的延长线于点G，
则＋＝，作＝，连接，
则＝＋＋，如图所示．
1．向量求和的注意点
(1)三角形法则对于两个向量共线时也适用．
(2)两个向量的和向量仍是一个向量．
(3)平行四边形法则对于两个向量共线时不适用．
2．利用三角形法则时，要注意两向量“首尾顺次相连”，其和向量为“起点指向终点”的向量；利用平行四边形法则要注意两向量“共起点”，其和向量为共起点的“对角线”向量．
提醒：(1)当两个向量不共线时，向量加法的三角形法则和平行四边形法则是统一的；(2)三角形法则作出的图形是平行四边形法则作出的图形的一半．
向量加法运算律的应用
【例2】 (1)化简：
①＋；
②＋＋；
③＋＋＋＋.
(2)如图，E，F，G，H分别是梯形ABCD的边AB，BC，CD，DA的中点，化简下列各式：
①＋＋；
②＋＋＋.
思路点拨：根据向量加法的交换律使各向量首尾连接，再运用向量的结合律调整向量顺序后相加．
[解] (1)①＋＝＋＝；
②＋＋＝＋＋＝0；
③＋＋＋＋＝＋＋＋＋＝0.
(2)①＋＋＝＋＋＝＋＋＝＋＝；
②＋＋＋＝＋＋＋＝＋＋＝＋＝0.
向量加法运算律的意义和应用原则
(1)意义：
向量加法的运算律为向量加法提供了变形的依据，实现恰当利用向量加法法则运算的目的．
实际上，由于向量的加法满足交换律和结合律，故多个向量的加法运算可以按照任意的次序、任意的组合来进行．
(2)应用原则：
利用代数方法通过向量加法的交换律，使各向量“首尾相连”，通过向量加法的结合律调整向量相加的顺序．
1．向量(＋)＋(＋)＋化简后等于( )
A． B．
C． D．
D [原式＝(＋)＋(＋＋)＝＋0＝.]
向量加法的实际应用
【例3】 如图，用两根绳子把重10 N的物体W吊在水平杆子AB上，∠ACW＝150°，∠BCW＝120°，求A和B处所受力的大小(绳子的重量忽略不计)．
思路点拨：→
→
[解] 如图所示，设，分别表示A，B所受的力，10 N的重力用表示，则＋＝.
易得∠ECG＝180°－150°＝30°，
∠FCG＝180°－120°＝60°.
∴||＝||·cos 30°＝10×＝5，
||＝||·cos 60°＝10×＝5.
∴A处所受的力的大小为5 N，B处所受的力的大小为5 N.
利用向量的加法解决实际应用题的三个步骤
2．在某地抗震救灾中，一架飞机从A地按北偏东35°的方向飞行800 km到达B地接到受伤人员，然后又从B地按南偏东55°的方向飞行800 km送往C地医院，求这架飞机飞行的路程及两次位移的和．
[解] 设，分别表示飞机从A地按北偏东35°的方向飞行800 km，从B地按南偏东55°的方向飞行800 km，则飞机飞行的路程指的是||＋||；
两次飞行的位移的和是＋＝.
依题意，有||＋||＝800＋800＝1 600(km)，
又α＝35°，β＝55°，∠ABC＝35°＋55°＝90°，
所以||＝＝＝800(km)．
其中∠BAC＝45°，所以方向为北偏东35°＋45°＝80°.
从而飞机飞行的路程是1 600 km，两次飞行的位移和的大小为800 km，方向为北偏东80°.
1．三角形法则和平行四边形法则都是求向量和的基本方法，两个法则是统一的，当两个向量首尾相连时，常选用三角形法则；当两个向量共起点时，常选用平行四边形法则．
2．向量的加法满足交换律，因此在进行多个向量的加法运算时，可以按照任意的次序和任意的组合去进行．
3．使用向量加法的三角形法则时要特别注意“首尾相接”．和向量的特征是从第一个向量的起点指向第二个向量的终点．向量相加的结果是向量，如果结果是零向量，一定要写成0，而不应写成0.
1．下列判断正确的是( )
A．任意两个向量的和仍然是一个向量．
B．两个向量相加实际上就是两个向量的模相加．
C．任意两个向量的和向量不可能与这两个向量共线．
D．|a|＋|b|＞|a＋b|
A [任意两个向量的和仍是一个向量，根据向量加法的几何意义知B，C，D均错误．]
2．对于任意一个四边形ABCD，下列式子不能化简为的是( )
A．＋＋ B．＋＋
C．＋＋ D．＋＋
C [在A中，＋＋＝＋＝；在B中，＋＋＝＋＝；在C中，＋＋＝＋＝；在D中，＋＋＝＋＝＋＝.]
3．若a表示“向东走8 km”，b表示“向北走8 km”，则|a＋b|＝ ，a＋b的方向是 ．
8 km 东北方向 [如图所示，作＝a，＝b，
则a＋b＝＋＝.
所以|a＋b|＝||
＝＝8(km)，
因为∠AOB＝45°，
所以a＋b的方向是东北方向．]
4．如图所示，设O为正六边形ABCDEF的中心，求下列向量：
(1)＋；
(2)＋.
[解] (1)由题图可知，四边形OABC为平行四边形．由向量加法的平行四边形法则，得＋＝.
(2)由题图可知，＝＝＝，
∴＋＝＋＝.
课时分层作业(十五)
(建议用时：45分钟)
[基础达标练]
一、选择题
1．下列等式不正确的是( )
①a＋(b＋c)＝(a＋c)＋b；②＋＝0；
③＝＋＋.
A．②③ B．② C．① D．③
B [②错误，＋＝0，①③正确．]
2．已知向量a∥b，且|a|＞|b|＞0，则向量a＋b的方向( )
A．与向量a方向相同 B．与向量a方向相反
C．与向量b方向相同 D．与向量b方向相反
A [因为a∥b，且|a|＞|b|＞0，由三角形法则知向量a＋b与a同向．]
3．若向量a表示“向东航行1 km”，向量b表示“向北航行km”，则向量a＋b表示( )
A．向东北方向航行2 km
B．向北偏东30°方向航行2 km
C．向北偏东60°方向航行2 km
D．向东北方向航行(1＋)km
B [＝a表示“向东航行1 km，＝b表示“向北航行km”，根据三角形法则，
∴＝a＋b，∵tan A＝，∴A＝60°，且＝＝2，
所以a＋b表示向北偏东30°方向航行2 km.]
4.如图所示的方格中有定点O，P，Q，E，F，G，H，则＋＝( )
A． B．
C． D．
C [设a＝＋，以OP，OQ为邻边作平行四边形(图略)，则夹在OP，OQ之间的对角线对应的向量即为向量a＝＋，则a与长度相等，方向相同，所以a＝.]
5．a，b为非零向量，且|a＋b|＝|a|＋|b|，则( )
A．a∥b，且a与b方向相同
B．a，b是共线向量且方向相反
C．a＝b
D．a，b无论什么关系均可
A [根据三角形法则可知，a∥b，且a与b方向相同．]
二、填空题
6．设a0，b0分别是a，b的单位向量，则下列结论中正确的是 (填序号)．
①a0＝b0；②a0＝－b0；③|a0|＋|b0|＝2；④a0∥b0.
③ [单位向量不一定相等或相反，也不一定共线，但其模为1，故只有③正确．]
7.如图，在平行四边形ABCD中，＋＝ ，＋＝ ，＋＝ ．
(或) [利用三角形法则和平行四边形法则求解．]
8.如图所示，在正六边形ABCDEF中，若AB＝1，则|＋＋|等于 ．
2 [正六边形ABCDEF中，＝，＝，∴＋＋＝＋＋＝＋＋＝，∵||＝1，
∴||＝2.]
三、解答题
9．如图所示，试用几何法分别作出向量＋，＋.
[解] 以BA，BC为邻边作?ABCE，根据平行四边形法则，可知就是＋.以CB，CA为邻边作?ACBF，根据平行四边形法则，可知就是＋.
10．如图所示，P，Q是△ABC的边BC上两点，且＋＝0.
求证：＋＝＋.
[证明] ∵＝＋，＝＋，
∴＋＝＋＋＋.
又∵＋＝0，∴＋＝＋.
[能力提升练]
1．若a＝(＋)＋(＋)，b是任一非零向量，则在下列结论中：
①a∥b；②a＋b＝a；③a＋b＝b；④|a＋b|＜|a|＋|b|；⑤|a＋b|＝|a|＋|b|.
正确结论的序号是( )
A．①⑤ B．②④⑤
C．③⑤ D．①③⑤
D [a＝＋＋＋＝0，b为任一非零向量，∴a∥b，即①对；0＋b＝b，即②错，③对；④中|0＋b|＝|b|＝|0|＋|b|，即④错，⑤对．故选D.]
2．若在△ABC中，AB＝AC＝1，|＋|＝，则△ABC的形状是( )
A．正三角形 B．锐角三角形
C．斜三角形 D．等腰直角三角形
D [设线段BC的中点为O，由平行四边形法则和平行四边形对角线互相平分可知
|＋|＝2||，又|＋|＝，
故||＝，
又BO＝CO＝，
所以△ABO和△ACO都是等腰直角三角形，
所以△ABC是等腰直角三角形．]
