课件53张PPT。第二章 平面向量2.2 平面向量的线性运算
2.2.2 向量减法运算及其几何意义相等相反0－b0零向量相反向量≤≤≤≤向量减法的几何意义 向量减法的运算及简单应用 向量减法几何意义的应用 点击右图进入…Thank you for watching !2.2.2 向量减法运算及其几何意义
学 习 目 标
核 心 素 养
1.理解相反向量的含义，能用相反向量说出向量减法的意义．(难点)
2.掌握向量减法的运算及其几何意义，能熟练地进行向量的加减运算．(重点)
3.能将向量的减法运算转化为向量的加法运算．(易混点)
1.类比数的运算，自然引入向量的减法运算是加法运算的逆运算，顺利给出向量减法的三角形法则，培养了学生的数学抽象和数学建模的核心素养.
2.通过加法进行向量的加法的学习，提升学生的数学运算和逻辑推理能力.
1．相反向量
(1)定义：如果两个向量长度相等，而方向相反，那么称这两个向量是相反向量．
(2)性质：①对于相反向量有：a＋(－a)＝0．
②若a，b互为相反向量，则a＝－b，a＋b＝0．
③零向量的相反向量仍是零向量．
2．向量的减法
(1)定义：a－b＝a＋(－b)，即减去一个向量相当于加上这个向量的相反向量．
(2)作法：在平面内任取一点O，作＝a，＝b，则向量a－b＝，如图所示．
3．|a|、|a±b|与|b|三者之间的关系
||a|－|b||≤|a＋b|≤|a|＋|b|；
||a|－|b||≤|a－b|≤|a|＋|b|.
思考：在什么条件下，|a－b|＝|a|＋|b|?
[提示] 当a，b至少有一者为0或a，b非零且反向时成立．
1．非零向量m与n是相反向量，下列不正确的是( )
A．m＝n B．m＝－n
C．|m|＝|n| D．方向相反
A [由条件可知，当m≠0且n≠0时B，C，D项都成立，故选A.]
2．在菱形ABCD中，下列等式中不成立的是( )
A．－＝
B．－＝
C．－＝
D．－＝
C [如图，根据向量减法的三角形法则知A、B、D均正确，C中，－＝－－(＋)＝－2≠，故选C.]
3．化简－＋＋的结果等于( )
A． B．
C． D．
B [原式＝(＋)＋(＋)＝＋0.]
4．如图，在?ABCD中，＝a，＝b，用a，b表示向量，，则＝ ，＝ ．
a＋b b－a [由向量加法的平行四边形法则，及向量减法的运算法则可知＝a＋b，＝b－a.]
向量减法的几何意义
【例1】 (1)如图所示，四边形ABCD中，若＝a，＝b，＝c，则＝( )
A．a－b＋c
B．b－(a＋c)
C．a＋b＋c
D．b－a＋c
(2)如图所示，已知向量a，b，c不共线，求作向量a＋b－c.
思路点拨：(1)利用向量减法和加法的几何意义，将向，，转化；
(2)利用几何意义法与定义法求出a＋b－c的值．
(1)A [＝－＝(＋)－＝a＋c－b.]
(2)[解] 法一：(几何意义法)如图①所示，在平面内任取一点O，作＝a，＝b，则＝a＋b，再作＝c，则＝a＋b－c.
法二：(定义法)如图②所示，在平面内任取一点O，作＝a，＝b，则＝a＋b，再作＝－c，连接OC，则＝a＋b－c.
图① 图②
求作两个向量的差向量的两种思路
(1)可以转化为向量的加法来进行，如a－b，可以先作－b，然后作a＋(－b)即可．
(2)可以直接用向量减法的三角形法则，即把两向量的起点重合，则差向量为连接两个向量的终点，指向被减向量的终点的向量．
1．如图，已知向量a，b，c，求作向量a－b－c.
[解] 法一：先作a－b，再作a－b－c即可．
如图①所示，以A为起点分别作向量和，使＝a，＝b.连接CB，得向量＝a－b，再以C为起点作向量，使＝c，连接DB，得向量.则向量即为所求作的向量a－b－c.
图① 图②
法二：先作－b，－c，再作a＋(－b)＋(－c)，如图②.
(1)作＝－b和＝－c；
(2)作＝a，则＝a－b－c.
向量减法的运算及简单应用
【例2】 (1)如图所示，
①用a，b表示；
②用b，c表示.
(2)化简下列各向量的表达式：
①＋－；
②(－)－(－)；
③(＋＋)－(－－)．
思路点拨：按照向量加法和减法的运算法则进行化简，进行减法运算时，必须保证两个向量的起点相同．
[解] (1)∵＝a，＝b，＝c.
①＝－＝－－＝－a－b.
②＝－＝－(＋)＝－b－c.
(2)①＋－＝－＝.
②(－)－(－)＝(＋)－(＋)＝－＝0.
③(＋＋)－(－－)
＝(＋)－(－)＝－＝0.
[一题多解]
(2)②法一：(加法法则)
原式＝－－＋
＝(＋)－(＋)
＝－＝0；
法二：减法法则(利用相反向量)
原式＝－－＋
＝(－)＋(－)
＝＋＝0；
法三：减法法则(创造同一起点)
原式＝－－＋
＝(－)－(－)－(－)＋(－)
＝－－＋－＋＋－＝0.
1．向量减法运算的常用方法
2．向量加减法化简的两种形式
(1)首尾相连且为和．
(2)起点相同且为差．
解题时要注意观察是否有这两种形式，同时注意逆向应用．
3．与图形相关的向量运算化简
首先要利用向量加减的运算法则、运算律，其次要分析图形的性质，通过图形中向量的相等、平行等关系辅助化简运算．
2．化简下列向量表达式：
(1)－＋－；
(2)(－)＋(－)．
[解] (1)－＋－＝＋－＝－＝.
(2)(－)＋(－)＝＋＋＋＝＋(＋＋)＝＋0＝.
向量减法几何意义的应用
[探究问题]
1．以向量加法的平行四边形法则为基础，能否构造一个图形将a＋b和a－b放在这个图形中？
提示：如图所示平行四边形ABCD中，＝a，＝b，则a＋b＝，a－b＝.
2．已知向量a，b，那么|a|－|b|与|a±b|及|a|＋|b|三者具有什么样的大小关系？
提示：它们之间的关系为||a|－|b||≤|a±b|≤|a|＋|b|.
(1)当a，b有一个为零向量时，不等式显然成立．
(2)当a，b不共线时，作＝a，＝b，则a＋b＝，如图①所示，根据三角形的性质，有||a|－|b||<|a＋b|<|a|＋|b|.同理可证||a|－|b||<|a－b|<|a|＋|b|.
(3)当a，b非零且共线时，①当向量a与b同向时，作法同上，如图②所示，此时|a＋b|＝|a|＋|b|.②当向量a，b反向时，不妨设|a|>|b|，作法同上，如图③所示，此时|a＋b|＝|a|－|b|.
综上所述，得不等式||a|－|b||≤|a±b|≤|a|＋|b|.
【例3】 (1)在四边形ABCD中，＝，若|－|＝|－|，则四边形ABCD是( )
A．菱形 B．矩形
C．正方形 D．不确定
(2)已知||＝6，||＝9，求|－|的取值范围．
思路点拨：(1)先由＝判断四边形ABCD是平行四边形，再由向量减法的几何意义将|－|＝|－|变形，进一步判断此四边形的形状．
(2)由|||－|||≤|－|≤||＋||求范围．
(1)B [∵＝，
∴四边形ABCD为平行四边形，
又∵|－|＝|－|，∴||＝||.
∴四边形ABCD为矩形．]
(2)[解] ∵|||－|||≤|－|≤||＋||，
且||＝9，||＝6，∴3≤|－|≤15.
当与同向时，|－|＝3；
当与反向时，|－|＝15.
∴|－|的取值范围为[3，15]．
1．将本例(2)的条件改为“||＝8，||＝5”，求||的取值范围．
[解] 因为＝－，||＝8，||＝5，
|||－|||≤|－|≤||＋||，
所以3≤||≤13，
当与同向时，||＝3；
当与反向时，||＝13.
所以||的取值范围是[3，13]．
2．在本例(2)条件不变的条件下，求：|＋|的取值范围．
[解] 由|||－|||≤|＋|≤||＋||，
∵||＝6，||＝9，
∴3≤|＋|≤15.
当与同向时，|＋|＝15；
当与反向时，|＋|＝3.
3．本例(2)中条件“||＝9”改为“||＝9”，求||的取值范围．
[解] ＝－，又||＝||，
由|||－|||≤|－|≤||＋||，
∴3≤||≤15.
1．用向量法解决平面几何问题的步骤
(1)将平面几何问题中的量抽象成向量．
(2)化归为向量问题，进行向量运算．
(3)将向量问题还原为平面几何问题．
2．用向量法证明四边形为平行四边形的方法和解题关键
(1)利用向量证明线段平行且相等，从而证明四边形为平行四边形，只需证明对应有向线段所表示的向量相等即可．
(2)根据图形灵活应用向量的运算法则，找到向量之间的关系是解决此类问题的关键．
1．向量减法的实质是向量加法的逆运算．利用相反向量的定义，－＝就可以把减法转化为加法．即减去一个向量等于加上这个向量的相反向量．如a－b＝a＋(－b)．
2．在用三角形法则作向量减法时，要注意“差向量连接两向量的终点，箭头指向被减向量”．解题时要结合图形，准确判断，防止混淆．
3．以平行四边形ABCD的两邻边AB，AD分别表示向量＝a，＝b，则两条对角线表示的向量为＝a＋b，＝b－a，＝a－b，这一结论在以后应用非常广泛，应该加强理解并掌握.
1．下列等式：
①0－a＝－a；②－(－a)＝a；③a＋(－a)＝0；④a＋0＝a；⑤a－b＝a＋(－b)；⑥a＋(－a)＝0.
正确的个数是( )
A．3 B．4 C．5 D．6
C [由向量减法、相反向量的定义可知①②③④⑤都正确，⑥错误．]
2．化简－＋－＝ ．
0 [－＋－
＝(＋)＋(－)
＝＋
＝0.]
3．若a，b为相反向量，且|a|＝1，|b|＝1，则|a＋b|＝ ，|a－b|＝ ．
0 2 [因为a，b为相反向量，∴a＋b＝0，
即|a＋b|＝0，又a＝－b，∴|a－b|＝|2a|＝2.]
4．若a≠0，b≠0且|a|＝|b|＝|a－b|，求a与a＋b所在直线的夹角．
[解] 如图，设＝a，
＝b，
则a－b＝，
因为|a|＝|b|＝|a－b|，
所以||＝||＝||，
所以△OAB是等边三角形，
所以∠BOA＝60°.
因为＝a＋b，且在菱形OACB中，
对角线OC平分∠BOA.
所以a与a＋b所在直线的夹角为30°.
课时分层作业(十六)
(建议用时：45分钟)
[基础达标练]
一、选择题
1．在平行四边形ABCD中，下列结论错误的是( )
A．－＝0 B．－＝
C．－＝ D．＋＝0
C [因为四边形ABCD是平行四边形，
所以＝，－＝0，
－＝＋＝，
－＝，
＋＝＋＝0，故只有C错误．]
2．在△ABC中，＝a，＝b，则等于( )
A．a＋b B．－a＋(－b)
C．a－b D．b－a
B [如图，∵＝＋＝a＋b，
∴＝－＝－a－b.]
3．已知非零向量a与b同向，则a－b( )
A．必定与a同向
B．必定与b同向
C．必定与a是平行向量
D．与b不可能是平行向量
C [a－b必定与a是平行向量．]
4．下列各式中不能化简为的是( )
A．(－)－
B．－(＋)
C．－(＋)－(＋)
D．－－＋
D [选项A中，(－)－＝＋＋＝＋＋＝；选项B中，－(＋)＝－0；选项C中，－(＋)－(＋)＝－－－－＝＋＋＋＝(＋＋)＋＝.]
5．若a，b为非零向量，则下列命题错误的是( )
A．若|a|＋|b|＝|a＋b|，则a与b方向相同
B．若|a|＋|b|＝|a－b|，则a与b方向相反
C．若|a|＋|b|＝|a－b|，则|a|＝|b|
D．若||a|－|b||＝|a－b|，则a与b方向相同
C [当a，b方向相同时，有|a|＋|b|＝|a＋b|，||a|－|b||＝|a－b|；当a，b方向相反时，有|a|＋|b|＝|a－b|，||a|－|b||＝|a＋b|，故A，B，D均正确．]
二、填空题
6．如图，在△ABC中，若D是边BC的中点，E是边AB上一点，则－＋＝ ．
0 [因为D是边BC的中点，
所以－＋
＝＋－
＝－＝0.]
7．如图所示，已知O为平行四边形ABCD内一点，＝a，＝b，＝c，则＝ .(用a，b，c表示)
a－b＋c [由题意，在平行四边形ABCD中，因为＝a，＝b，所以＝－＝a－b，
所以＝＝a－b，
所以＝＋＝a－b＋c.]
8．已知向量|a|＝2，|b|＝4，且a，b不是方向相反的向量，则|a－b|的取值范围是 ．
[2，6) [根据题意得||a|－|b||≤|a－b|＜|a|＋|b|，即2≤|a－b|＜6.]
三、解答题
9．如图，O为△ABC内一点，＝a，＝b，＝c.求作：
(1)b＋c－a；(2)a－b－c.
[解] (1)以，为邻边作?OBDC，连接OD，AD，则＝＋＝b＋c，所以b＋c－a＝－＝，如图所示．
(2)由a－b－c＝a－(b＋c)，如图，作?OBEC，连接OE，则＝＋＝b＋c，
连接AE，则＝a－(b＋c)＝a－b－c.
10．已知△OAB中，＝a，＝b，满足|a|＝|b|＝|a－b|＝2，求|a＋b|与△OAB的面积．
[解] 由已知得||＝||，以，为邻边作平行四边形OACB，则可知其为菱形，
且＝a＋b，＝a－b，
由于|a|＝|b|＝|a－b|，则OA＝OB＝BA，
∴△OAB为正三角形，
∴|a＋b|＝||＝2×＝2，
S△OAB＝×2×＝.
[能力提升练]
1．设点M是线段BC的中点，点A在直线BC外，||2＝16，|＋|＝|－|，则||＝( )
A．8 B．4
C．2 D．1
C [根据|＋|＝|－|可知，三角形ABC是以A为直角的Rt△，∵||2＝16，∴||＝4，又∵M是BC的中点，∴||＝||＝×4＝2.]
2．对于菱形ABCD，给出下列各式：
①＝；②||＝||；③|－|＝|＋|；
④|＋|＝|－|.
其中正确的个数为( )
A．1 B．2
C．3 D．4
C [菱形ABCD中，如图，||＝||，∴②正确．
又|－|＝|＋|＝|＋|＝2||，
|＋|＝|＋|＝2||＝2||，
∴③正确；又|＋|＝|＋|＝||，|－|＝||＝||，∴④正确；①肯定不正确，故选C.]
