课件54张PPT。第二章 平面向量2.2 平面向量的线性运算
2.2.3 向量数乘运算及其几何意义向量相同相反向量的线性运算 向量共线定理 用已知向量表示未知向量点击右图进入…Thank you for watching !2.2.3 向量数乘运算及其几何意义
学 习 目 标
核 心 素 养
1.了解向量数乘的概念并理解数乘运算的几何意义．(重点)
2.理解并掌握向量数乘的运算律，会进行向量的数乘运算．(重点)
3.理解并掌握两向量共线的性质和判断方法，并能熟练地运用这些知识处理有关向量共线问题．(难点)
4.理解实数相乘与向量数乘的区别．(易混点)
1.通过向量的加法得到向量数乘运算的直观感知，过渡出数乘运算，讲授出数乘运算律，养成了学生数学抽象和数学运算的核心素养.
2.通过向量共线判断的学习，培养了学生逻辑推理和数据分析的核心素养.
1．向量的数乘运算
(1)定义：规定实数λ与向量a的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘，记作：λa，它的长度和方向规定如下：
①|λa|＝|λ||a|；
②当λ＞0时，λa的方向与a的方向相同；
当λ＜0时，λa的方向与a的方向相反．
(2)运算律：设λ，μ为任意实数，则有：
①λ(μ a)＝(λμ)a；
②(λ＋μ)a＝λa＋μ a；
③λ(a＋b)＝λa＋λb；
特别地，有(－λ)a＝λ(－a)＝－(λa)；λ(a－b)＝λa－λb．
2．共线向量定理
向量a(a≠0)与b共线，当且仅当有唯一一个实数λ，使得b＝λa．
思考：定理中把“a≠0”去掉可以吗？
[提示] 定理中a≠0不能漏掉．若a＝b＝0，则实数λ可以是任意实数；若a＝0，b≠0，则不存在实数λ，使得b＝λa.
3．向量的线性运算
向量的加、减、数乘运算统称为向量的线性运算．对于任意向量a，b及任意实数λ，μ1，μ2，恒有λ(μ1a±μ2b)＝λμ1a＋λμ2b．
1．若|a|＝1，|b|＝2，且a与b方向相同，则下列关系式正确的是( )
A．b＝2a B．b＝－2a
C．a＝2b D．a＝－2b
A [因a，b方向相同，故b＝2a.]
2．点C是线段AB靠近点B的三等分点，下列正确的是( )
A．＝3 B．＝2
C．＝ D．＝2
D [由题意可知：＝－3；＝－2＝2.故只有D正确．]
3．化简：2(3a＋4b)－8a＝ ．
－2a＋8b [原式＝6a＋8b－8a＝－2a＋8b.]
4．如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，＋＝λ，则λ＝ .
2 [由向量加法的平行四边形法则知＋＝.
又∵O是AC的中点，∴AC＝2AO，
∴＝2，∴＋＝2，
∴λ＝2.]
向量的线性运算
【例1】 (1)若3(x＋a)＋2(x－2a)－4(x－a＋b)＝0，则x＝ ．
(2)化简下列各式：
①3(6a＋b)－9；
②－2；
③2(5a－4b＋c)－3(a－3b＋c)－7a.
(1)4b－3a [由已知得3x＋3a＋2x－4a－4x＋4a－4b＝0，所以x＋3a－4b＝0，所以x＝4b－3a.]
(2)[解] ①原式＝18a＋3b－9a－3b＝9a.
②原式＝－a－b＝a＋b－a－b＝0.
③原式＝10a－8b＋2c－3a＋9b－3c－7a＝b－c.
向量数乘运算的方法
(1)向量的数乘运算类似于多项式的代数运算，实数运算中的去括号、移项、合并同类项、提取公因式等变形手段在数与向量的乘积中同样适用，但是这里的“同类项”“公因式”指向量，实数看作是向量的系数．
(2)向量也可以通过列方程来解，把所求向量当作未知数，利用解代数方程的方法求解，同时在运算过程中要多注意观察，恰当运用运算律，简化运算．
1．(1)化简；
(2)已知向量为a，b，未知向量为x，y，向量a，b，x，y满足关系式3x－2y＝a，－4x＋3y＝b，求向量x，y.
[解] (1)原式
＝
＝
＝＝a－b.
(2)由①×3＋②×2得，x＝3a＋2b，代入①得3×(3a＋2b)－2y＝a，所以y＝4a＋3b.
所以x＝3a＋2b，y＝4a＋3b.
向量共线定理
[探究问题]
1．如何证明向量a与b共线？
提示：要证明向量a与b共线，只需证明存在实数λ，使得b＝λa(a≠0)即可，一般地，把a和b用相同的两个向量m，n表示出来，观察a与b具有倍数关系即可．
2．如何证明A，B，C三点在同一直线上？
提示：要证三点A，B，C共线，只需证明与或与共线即可．
【例2】 (1)已知e1，e2是两个不共线的向量，若＝2e1－8e2，＝e1＋3e2，＝2e1－e2，求证：A，B，D三点共线．
(2)已知A，B，P三点共线，O为直线外任意一点，若＝x＋y，求x＋y的值．
思路点拨：(1)→→
(2)→→
→
[解] (1)证明：∵＝e1＋3e2，＝2e1－e2，
∴＝－＝e1－4e2.
又＝2e1－8e2＝2(e1－4e2)，
∴＝2，∴∥.
∵AB与BD有交点B，
∴A，B，D三点共线．
(2)由于A，B，P三点共线，所以向量，在同一直线上，由向量共线定理可知，必定存在实数λ使＝λ，
即－＝λ(－)，
所以＝(1－λ)＋λ，
故x＝1－λ，y＝λ，即x＋y＝1.
1．本例(1)中把条件改为“＝e1＋2e2，＝－5e1＋6e2，＝7e1－2e2”，问A，B，C，D中哪三点共线？
[解] ∵＝e1＋2e2，＝＋＝－5e1＋6e2＋7e1－2e2＝2(e1＋2e2)＝2.
∴，共线，且有公共点B，
∴A，B，D三点共线．
2．本例(1)中条件“＝2e1－8e2”改为“＝2e1＋ke2”且A，B，D三点共线，如何求k的值？
[解] 因为A，B，D三点共线，则与共线．设＝λ(λ∈R)，
∵＝－＝2e1－e2－(e1＋3e2)＝e1－4e2，
∴2e1＋ke2＝λe1－4λe2.由e1与e2不共线可得
∴λ＝2，k＝－8.
3．试利用本例(2)中的结论判断下列三点共线吗？
①＝＋；
②＝－2＋3；
③＝－.
[解] ①中＋＝1，∴P，A，B三点共线；
②中－2＋3＝1，∴P，A，B三点共线；
③中＋＝≠1，∴P，A，B三点不共线．
1．证明或判断三点共线的方法
(1)一般来说，要判定A，B，C三点是否共线，只需看是否存在实数λ，使得＝λ(或＝λ等)即可．
(2)利用结论：若A，B，C三点共线，O为直线外一点?存在实数x，y，使＝x＋y且x＋y＝1.
2．利用向量共线求参数的方法
判断、证明向量共线问题的思路是根据向量共线定理寻求唯一的实数λ，使得a＝λb(b≠0)．而已知向量共线求λ，常根据向量共线的条件转化为相应向量系数相等求解．若两向量不共线，必有向量的系数为零，利用待定系数法建立方程，从而解方程求得λ的值．
用已知向量表示未知向量
【例3】 (1)如图，?ABCD中，E是BC的中点，若＝a，＝b，则＝( )
A．a－b B．a＋b C．a＋b D．a－b
(2)如图所示，D，E分别是△ABC的边AB，AC的中点，M，N分别是DE，BC的中点，已知＝a，＝b，试用a，b分别表示，，.
思路点拨：先用向量加减法的几何意义设计好总体思路，然后利用平面图形的特征和数乘向量的几何意义表示．
(1)D [＝＋＝＋
＝－＝a－b.]
(2)由三角形中位线定理，知DEBC，故＝，即＝a.
＝＋＋＝－a＋b＋a＝－a＋b.
＝＋＋＝＋＋＝－a－b＋a＝a－b.
1．本例(1)中，设AC与BD相交于点O，F是线段OD的中点，AF的延长线交DC于点G，试用a，b表示.
[解] 因为DG∥AB，
所以△DFG∽△BFA，
又因为DF＝OD＝×BD＝BD，
所以＝＝，
所以＝＋＝＋＝a＋b.
2．本例(1)中，若点F为边AB的中点，设a＝，b＝，用a，b表示.
[解] 由题意
解得
所以＝－＝a＋b.
用已知向量表示其他向量的两种方法
(1)直接法．
(2)方程法．
当直接表示比较困难时，可以首先利用三角形法则和平行四边形法则建立关于所求向量和已知向量的等量关系，然后解关于所求向量的方程．
提醒：用已知向量表示未知向量的关键是弄清向量之间的数量关系．
2.如图所示，四边形ABCD中，M，N分别是DC，AB的中点，已知＝a，＝b，＝c，试用a，b，c表示，.
[解] ＝＋＋＝－＋＋＝－a＋b＋c；
＝＋＋＝－－＋＝－c－b＋a＝a－b－c.
1．实数与向量可以进行数乘运算，但不能进行加减运算，例如λ＋a，λ－a是没有意义的．
2．λa几何意义就是把向量a沿着a的方向或反方向扩大或缩小为原来的|λ|倍，向量表示与向量a同向的单位向量．
3．判断两个向量是否共线，关键是能否找到一个实数λ，使b＝λa.若λ存在，则共线；λ不存在，则不共线．
4．共线向量定理的应用
①证明向量共线：对于向量a与b，若存在实数λ，使a＝λb，则a与b共线(平行)．
②证明三点共线：若存在实数λ，使＝λ，则A、B、C三点共线．
③求参数的值：利用共线向量定理及向量相等的条件列方程(组)求参数的值．
特别注意：①证明三点共线问题，应注意向量共线与三点共线的区别与联系，当两向量共线且有公共点时，才能得到三点共线．
②若a与b不共线且λa＝μb，则λ＝μ＝0.
5．注意记住以下结论并能运用
(1)若A，B，P三点共线，则＝x＋y且x＋y＝1.
(2)在△ABC中，若D为BC的中点，则＝(＋)．
(3)在△ABC中，若G为△ABC的重心，则＋＋＝0.
1．下列命题正确的是( )
A．若b＝λa，则a与b共线
B．若λa＝0，则a＝0
C．(－7)·6a＝－42a
D．若＝λ(λ≠0)，则A，B，C，D四点共线
C [A中λ≠0；B中可能λ＝0；D中A，B，C，D可能构成四边形．]
2．对于向量a，b有下列表示：
①a＝2e，b＝－2e；
②a＝e1－e2，b＝－2e1＋2e2；
③a＝4e1－e2，b＝e1－e2；
④a＝e1＋e2，b＝2e1－2e2.
其中，向量a，b一定共线的有( )
A．①②③ B．②③④ C．①③④ D．①②③④
A [对于①，b＝－a，有a∥b；
对于②，b＝－2a，有a∥b；
对于③，a＝4b，有a∥b；
对于④，a与b不共线．]
3．设a，b是两个不共线的向量．若向量ka＋2b与8a＋kb的方向相反，则k＝ ．
－4 [因为向量ka＋2b与8a＋kb的方向相反，所以ka＋2b＝λ(8a＋kb)??k＝－4(因为方向相反，所以λ＜0?k＜0)．]
4．如图所示，已知＝，用，表示.
[解] ＝＋＝＋＝＋(－)＝－＋.
课时分层作业(十七)
(建议用时：45分钟)
[基础达标练]
一、选择题
1.等于( )
A．2a－b B．2b－a
C．b－a D．a－b
B [原式＝(a＋4b－4a＋2b)
＝(－3a＋6b)
＝－a＋2b＝2b－a.]
2．已知m，n是实数，a，b是向量，则下列命题中正确的为( )
①m(a－b)＝ma－mb；②(m－n)a＝ma－na；③若ma＝mb，则a＝b；④若ma＝na，则m＝n.
A．①④ B．①②
C．①③ D．③④
B [①正确．②正确．③错误．由ma＝mb得m(a－b)＝0，当m＝0时也成立，推不出a＝b.④错误．由ma＝na得(m－n)a＝0，当a＝0时也成立，推不出m＝n.]
3．在四边形ABCD中，若＝3a，＝－5a，且||＝||，则四边形ABCD是( )
A．平行四边形 B．菱形
C．等腰梯形 D．非等腰梯形
C [由条件可知＝－，∴AB∥CD，又因为||＝||，所以四边形为等腰梯形．]
4．(2018·全国卷Ⅰ)在△ABC中，AD为BC边上的中线，E为AD的中点，则＝( )
A．－ B．－
C．＋ D．＋
A [如图所示，＝＋＝＋＝×(＋)＋(－)＝－，故选A.]
5．已知向量a，b是两个非零向量，在下列四个条件中，一定能使a，b共线的是( )
①2a－3b＝4e且a＋2b＝－2e；
②存在相异实数λ，μ，使λa－μb＝0；
③xa＋yb＝0(其中实数x，y满足x＋y＝0)；
④已知梯形ABCD，其中＝a，＝b.
A．①② B．①③ C．② D．③④
A [对于①，可解得a＝e，b＝－e，故a与b共线；对于②，由于λ≠μ，故λ，μ不全为0，不妨设λ≠0，则由λa－μb＝0得a＝b，故a与b共线；对于③，当x＝y＝0时，a与b不一定共线；对于④，梯形中没有条件AB∥CD，可能AC∥BD，故a与b不一定共线．]
二、填空题
6．已知a与b是两个不共线的向量，且向量a＋λb与－(b－3a)共线，则λ＝ ．
－ [由题意可以设a＋λb＝λ1(－b＋3a)＝3λ1a－λ1b，
因为a与b不共线，
所以有解得即λ＝－.]
7．已知平面上不共线的四点O，A，B，C，若－3＋2＝0，则＝ ．
2 [∵－3＋2＝0，
∴－＝2(－)，∴＝2，
∴＝2.]
8．已知在△ABC中，点M满足＋＋＝0，若存在实数m使得＋＝m成立，则m＝ ．
3 [∵＋＋＝0，∴＋＝－，
又由＋＝m得(＋)－2＝m，
即－3＝m＝－m，所以m＝3.]
三、解答题
9．如图，在△OAB中，延长BA到C，使AC＝BA，在OB上取点D，使DB＝OB，DC与OA交点为E，设＝a，＝b，用a，b表示向量，.
[解] ∵AC＝BA，∴A是BC的中点，
∴＝(＋)，
∴＝2－＝2a－b.
∴＝－＝－
＝2a－b－b＝2a－b.
10．设两个非零向量e1，e2不共线，已知＝2e1＋ke2，＝e1＋3e2，＝2e1－e2.
问：是否存在实数k，使得A，B，D三点共线，若存在，求出k的值；若不存在，说明理由．
[解] 设存在k∈R，使得A，B，D三点共线，
∵＝－＝(e1＋3e2)－(2e1－e2)＝－e1＋4e2，＝2e1＋ke2，
又∵A，B，D三点共线，∴＝λ，
∴2e1＋ke2＝λ(－e1＋4e2)，
∴∴k＝－8，
∴存在k＝－8，使得A，B，D三点共线．
[能力提升练]
1．设a，b都是非零向量．下列四个条件中，使＝成立的条件是( )
A．a＝－b B．a∥b
C．a＝2b D．a∥b且|a|＝|b|
C [，分别表示a，b的单位向量．对于A，当a＝－b时，≠；对于B，当a∥b时，可能有a＝－b，此时≠；对于C，当a＝2b时，＝＝；对于D，当a∥b且|a|＝|b|时，可能有a＝－b，此时≠.综上所述，使＝成立的条件是a＝2b，选C.]
2．如图，在△ABC中，延长CB到D，使BD＝BC，当点E在线段AD上移动时，若＝λ＋μ，则t＝λ－μ的最大值是 ．
3 [，共线，则＝k(0≤k≤1)，又B是CD的中点，则＝2－，＝2k－k，
又＝λ＋μ，∴∴λ－μ＝3k≤3，故最大值为3.]
