课件49张PPT。第二章 平面向量2.3 平面向量的基本定理及坐标表示
2.3.1 平面向量基本定理不共线向量不共线∠AOB0°≤θ≤180°同向反向90°a⊥b用基底表示向量 向量的夹角 平面向量基本定理的唯一性及其应用点击右图进入…Thank you for watching !2.3 平面向量的基本定理及坐标表示
2.3.1 平面向量基本定理
学 习 目 标
核 心 素 养
1.了解基底的含义，理解并掌握平面向量基本定理，会用基底表示平面内任一向量．(重点)
2.掌握两个向量共线的定义以及两向量垂直的定义．(难点)
3.两个向量的夹角与两条直线所成的角．(易混点)
1.通过作图教学引导学生自主得出平面向量基本定理，培养学生直观想象和数据分析的核心素养.
2.通过向量夹角和基底的学习，培养了学生直观想象和逻辑推理的核心素养.
1．平面向量基本定理
条件
e1，e2是同一平面内的两个不共线向量
结论
对于这一平面内的任意向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2
基底
不共线的向量e1，e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底
思考：0能与另外一个向量a构成基底吗？
[提示] 不能，0不能作为基向量．
2.两向量夹角的概念
已知两个非零向量a和b，作＝a，＝b，则∠AOB＝θ，叫作向量a与b的夹角．
(1)范围：向量a与b的夹角的范围是0°≤θ≤180°．
(2)当θ＝0°时，a与b同向．
(3)当θ＝180°时，a与b反向．
3．垂直
如果a与b的夹角是90°，我们说a与b垂直，记作a⊥b．
1．若e1，e2是平面内的一组基底，则下列四组向量能作为平面向量的基底的是( )
A．e1－e2，e2－e1 B．2e1－e2，e1－e2
C．2e2－3e1，6e1－4e2 D．e1＋e2，e1－e2
D [A、B、C中两个向量都满足a＝λb，故选D.]
2．给出下列三种说法：
①一个平面内只有一组不共线的向量可作为表示该平面内所有向量的基底；②一个平面内有无数组不共线向量可作为表示该平面内所有向量的基底；③零向量不可作为基底中的向量．
其中，说法正确的为( )
A．①② B．②③ C．①③ D．①②③
B [根据基底的概念，可知②③正确．]
3．若△ABC是等边三角形，则与的夹角的大小为 ．
120° [由向量夹角的定义知与的夹角与∠B互补，大小为120°.]
4．如图所示，向量可用向量e1，e2表示为 ．
4e1＋3e2 [由图可知，＝4e1＋3e2.]
用基底表示向量
【例1】 (1)D，E，F分别为△ABC的边BC，CA，AB上的中点，且＝a，＝b，给出下列结论：
①＝－a－b；②＝a＋b；
③＝－a＋b；④＝a.
其中正确的结论的序号为 ．
(2)如图所示，?ABCD中，点E，F分别为BC，DC边上的中点，DE与BF交于点G，若＝a，＝b，试用a，b表示向量，.
思路点拨：用基底表示平面向量，要充分利用向量加减法的三角形法则和平行四边形法则．
(1)①②③ [如图，＝＋＝－b＋＝－b－a，①正确；
＝＋＝a＋b，②正确；
＝＋＝－b－a，＝＋＝b＋(－b－a)
＝b－a，③正确；
④＝＝－a，④不正确．]
(2)＝＋＋
＝－＋＋
＝－＋＋＝a－b.
＝＋＋
＝－＋＋＝b－a.
1．若本例(2)中条件不变，试用a，b表示.
[解] 由平面几何的知识可知＝，
故＝＋＝＋
＝a＋
＝a＋b－a
＝a＋b.
2．若本例(2)中的基向量“，”换为“，”，即若＝a，＝b，试用a，b表示向量，.
[解] ＝＋＝2＋＝－2＋＝－2b＋a.
＝＋＝2＋＝－2＋＝－2a＋b.
用基底表示向量的三个依据和两个“模型”
(1)依据：①向量加法的三角形法则和平行四边形法则；
②向量减法的几何意义；
③数乘向量的几何意义．
(2)模型：
向量的夹角
【例2】 (1)已知向量a，b，c满足|a|＝1，|b|＝2，c＝a＋b，c⊥a，则a，b的夹角等于 ．
(2)若a≠0，b≠0，且|a|＝|b|＝|a－b|，求a与a＋b的夹角．
思路点拨：可作出平面图形利用向量夹角定义及平面几何知识来解决．
(1)120° [作＝a，＝b，则c＝a＋b＝(如图所示)，
则a，b夹角为180°－∠C.
∵|a|＝1，|b|＝2，c⊥a，
∴∠C＝60°，
∴a，b的夹角为120°.]
(2)[解] 由向量运算的几何意义知a＋b，a－b是以a，b为邻边的平行四边形两条对角线．
如图，∵|a|＝|b|＝|a－b|，
∴∠BOA＝60°.
又∵＝a＋b，且在菱形OACB中，对角线OC平分∠BOA，
∴a与a＋b的夹角是30°.
两向量夹角的实质与求解方法：
(1)两向量夹角的实质：从同一起点出发的两个非零向量构成的不大于平角的角，结合平面几何知识加以解决．
(2)求解方法：利用平移的方法使两个向量起点重合，作出两个向量的夹角，按照“一作二证三算”的步骤求出．
提醒：寻找两个向量的夹角时要紧扣定义中“共起点”这一特征，避免出现错误．
在△ABC中，若∠A＝120°，AB＝AC，则与夹角的大小为 ．
150° [如图所示，因为∠A＝120°，AB＝AC，所以∠B＝30°，所以与的夹角为180°－∠B＝150°.]
平面向量基本定理的唯一性及其应用
[探究问题]
若存在实数λ1，λ2，μ1，μ2及不共线的向量e1，e2，使向量a＝λ1e1＋λ2e2，a＝μ1e1＋μ2e2，则λ1，λ2，μ1，μ2有怎样的大小关系？
提示：由题意λ1e1＋λ2e2＝μ1e1＋μ2e2，即(λ1－μ1)e1＝(μ2－λ2)e2，由于e1，e2不共线，故λ1＝μ1，λ2＝μ2.
【例3】 如图所示，在△OAB中，＝a，＝b，点M是AB上靠近B的一个三等分点，点N是OA上靠近A的一个四等分点．若OM与BN相交于点P，求.
思路点拨：可利用＝t及＝＋＝＋s两种形式来表示，并都转化为以a，b为基底的表达式．根据任一向量基底表示的唯一性求得s，t，进而得.
[解] ＝＋＝＋
＝＋(－)＝a＋b.
因为与共线，
故可设＝t＝a＋b.
又与共线，可设＝s，＝＋s＝＋s(－)＝(1－s)a＋sb，
所以解得
所以＝a＋b.
1．将本例中“点M是AB上靠近B的一个三等分点”改为“点M是AB上靠近A的一个三等分点”，“点N是OA上靠近A的一个四分点”改为“点N为OA的中点”，求BP∶PN的值．
[解] ＝－＝a－b，
＝＋＝＋＝＋(－)＝＋＝a＋b.
因为O，P，M和B，P，N分别共线，
所以存在实数λ，μ使＝λ＝a－λb，
＝μ＝a＋b，
所以＝＋＝－＝a＋b，
又＝b，所以解得
所以＝，即BP∶PN＝4∶1.
2．将本例中点M，N的位置改为“＝，N为OA的中点”，其他条件不变，试用a，b表示.
[解] ＝－＝－＝b－a，
＝－＝－＝a－b.
因为A，P，M三点共线，所以存在实数λ使得＝λ＝b－λa，
所以＝＋＝(1－λ)a＋b.
因为B，P，N三点共线，所以存在实数μ使得＝μ＝a－μb，
所以＝＋＝a＋(1－μ)b.
即解得
所以＝a＋b.
1．任意一向量基底表示的唯一性的理解：
条件一
平面内任一向量a和同一平面内两个不共线向量e1，e2
条件二
a＝λ1e1＋μ1e2且a＝λ2e1＋μ2e2
结论
2.任意一向量基底表示的唯一性的应用：
平面向量基本定理指出了平面内任一向量都可以表示为同一平面内两个不共线向量e1，e2的线性组合λ1e1＋λ2e2.在具体求λ1，λ2时有两种方法：
(1)直接利用三角形法则、平行四边形法则及向量共线定理．
(2)利用待定系数法，即利用定理中λ1，λ2的唯一性列方程组求解．
1．对基底的理解
(1)基底的特征
基底具备两个主要特征：①基底是两个不共线向量；②基底的选择是不唯一的．平面内两向量不共线是这两个向量可以作为这个平面内所有向量的一组基底的条件．
(2)零向量与任意向量共线，故不能作为基底．
2．准确理解平面向量基本定理
(1)平面向量基本定理的实质是向量的分解，即平面内任一向量都可以沿两个不共线的方向分解成两个向量和的形式，且分解是唯一的．
(2)平面向量基本定理体现了转化与化归的数学思想，用向量解决几何问题时，我们可以选择适当的基底，将问题中涉及的向量向基底化归，使问题得以解决.
1．下列四种说法正确的个数为( )
①平面内不共线的任意两个向量都可作为一组基底；
②基底中的向量可以是零向量；
③平面内的基底一旦确定，该平面内的向量关于基底的线性分解形式也是唯一确定的；
④e1，e2是平面α内两个不共线向量，若存在实数λ，μ使得λe1＋μe2＝0，则λ＝μ＝0.( )
A．1 B．2 C．3 D．4
C [零向量与任意向量共线，故零向量不能作为基底中的向量，故②错，根据平面向量基本定理可知①③④正确．]
2．已知平行四边形ABCD，则下列各组向量中，是该平面内所有向量基底的是( )
A．， B．，
C．， D．，
D [由于，不共线，所以是一组基底．]
3．若a与b的夹角为45°，那么2a与－3b的夹角是 ．
135° [2a与a方向相同，－3b与b方向相反，所以2a与－3b的夹角为45°的补角135°.]
4．如图，已知△ABC中，D为BC的中点，E，F为BC的三等分点，若＝a，＝b，用a，b表示，，.
[解] ＝＋＝＋
＝a＋(b－a)＝a＋b；
＝＋＝＋＝a＋(b－a)＝a＋b；
＝＋＝＋＝a＋(b－a)＝a＋b.
课时分层作业(十八)
(建议用时：45分钟)
[基础达标练]
一、选择题
1．设向量e1与e2不共线，若3xe1＋(10－y)e2＝(4y－7)e1＋2xe2，则实数x，y的值分别为( )
A．0，0 B．1，1
C．3，0 D．3，4
D [因为e1与e2不共线，所以解方程组得x＝3，y＝4.]
2．已知e1、e2是表示平面内所有向量的一组基底，则下列四个向量中，不能作为一组基底的是( )
A．e1＋e2和e1－e2 B．3e1－2e2和4e2－6e1
C．e1＋2e2和e2＋2e1 D．e2和e1＋e2
B [∵4e2－6e1＝－2(3e1－2e2)，∴3e1－2e2与4e2－6e1共线，∴它们不能作为一组基底，作为基底的两向量一定不共线．故应选B.]
3．锐角三角形ABC中，关于向量夹角的说法正确的是( )
A．与的夹角是锐角
B．与的夹角是锐角
C．与的夹角是钝角
D．与的夹角是锐角
B [因为△ABC是锐角三角形，所以∠A，∠B，∠C都是锐角．由两个向量夹角的定义知：与的夹角等于180°－∠B，是钝角；与的夹角是∠A，是锐角；与的夹角等于∠C，是锐角；与的夹角等于180°－∠C，是钝角，所以选项B说法正确．]
4．在△ABC中，＝，EF∥BC，EF交AC于F，设＝a，＝b，则等于( )
A．－a＋b B．a－b
C．a－b D．a＋b
A [∵＝，∴＝－.
又∵EF∥BC，∴＝＝(－)，
∴＝＋＝－＋(－)
＝－＝－a＋b.]
5．设点D为△ABC中BC边上的中点，O为AD边上靠近点A的三等分点，则( )
A．＝－＋
B．＝－
C．＝－
D．＝－＋
D [如图，D为中点，O为靠近A的三等分点，＝＋＝－＋＝－＋×(＋)＝－＋＋＝－＋.]
二、填空题
6．设e1，e2是平面内一组基向量，且a＝e1＋2e2，b＝－e1＋e2，则向量e1＋e2可以表示为以a，b为基向量的线性组合，即e1＋e2＝ ．
a－b [由a＝e1＋2e2①，b＝－e1＋e2②，由①＋②得e2＝a＋b，代入①可求得e1＝a－b，
所以e1＋e2＝a－b.]
7．若向量a＝4e1＋2e2与b＝ke1＋e2共线，其中e1，e2是同一平面内两个不共线的向量，则k的值为 ．
2 [∵向量a与b共线，
∴存在实数λ，使得b＝λa，
即ke1＋e2＝λ(4e1＋2e2)＝4λe1＋2λe2.
∵e1，e2是同一平面内两个不共线的向量，
∴∴k＝2.]
8．设D，E分别是△ABC的边AB，BC上的点，AD＝AB，BE＝BC，若＝λ1＋λ2(λ1，λ2为实数)，则λ1＋λ2的值为 ．
[如图，由题意知，D为AB的中点，
＝，
所以＝＋
＝＋
＝＋(－)＝－＋，
所以λ1＝－，λ2＝，
所以λ1＋λ2＝－＋＝.]
三、解答题
9．如图，平行四边形ABCD中，＝a，＝b，H，M分别是AD，DC的中点，BF＝BC，以a，b为基底表示向量与.
[解] 在平行四边形ABCD中，＝a，＝b，H，M分别是AD，DC的中点，BF＝BC，
∴＝＋＝＋＝＋＝b＋a，
＝－＝＋－＝a＋b－b＝a－b.
10．如图，在矩形OACB中，E和F分别是边AC和BC上的点，满足AC＝3AE，BC＝3BF，若＝λ＋μ，其中λ，μ∈R，求λ，μ的值．
[解] 在矩形OACB中，＝＋，
又＝λ＋μ
＝λ(＋)＋μ(＋)
＝λ＋μ
＝＋，
所以＝1，＝1，
所以λ＝μ＝.
[能力提升练]
1．已知O是平面上一定点，A，B，C是平面上不共线的三个点，动点P满足＝＋λ(λ∈[0，＋∞))，则点P的轨迹一定通过△ABC的( )
A．外心 B．内心
C．重心 D．垂心
B [为上的单位向量，
为上的单位向量，则＋的方向为∠BAC的角平分线的方向．又λ∈[0，＋∞)，
∴λ的方向与＋的方向相同．
而＝＋λ，
∴点P在上移动，
∴点P的轨迹一定通过△ABC的内心．]
2．若点M是△ABC所在平面内一点，且满足：＝＋.则△ABM与△ABC的面积之比 ．
1∶4 [如图，由＝＋可知M，B，C三点共线，
令＝λ?＝＋＝＋λ＝＋λ(－)＝(1－λ)＋λ?λ＝，所以＝，即面积之比为1∶4.]
