2.3.2 平面向量的正交分解及坐标表示
2.3.3 平面向量的坐标运算
学 习 目 标
核 心 素 养
1.了解平面向量的正交分解，掌握向量的坐标表示．(难点)
2.理解向量坐标的概念，掌握两个向量和、差及数乘向量的坐标运算法则．(重点)
3.向量的坐标与平面内的点的坐标的区别与联系．(易混点)
1.通过力的分解引进向量的正交分解，从而得出向量的坐标表示，提升了学生数学建模和数学抽象的核心素养.
2.向量运算的完全代数化，将数与形紧密结合，培养了学生数学运算的核心素养.
1．平面向量的正交分解及坐标表示
(1)平面向量的正交分解：
把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把向量正交分解．
(2)平面向量的坐标表示：
在平面直角坐标系中，分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量i、j作为基底．对于平面内的一个向量a，由平面向量基本定理知，有且只有一对实数x，y，使得a＝xi＋yj，我们把有序数对(x，y)叫做向量a的坐标，记作a＝(x，y)，其中x叫做a在x轴上的坐标，y叫做a在y轴上的坐标，a＝(x，y)叫做向量的坐标表示．显然，i＝(1，0)，j＝(0，1)，0＝(0，0)．
2．平面向量的坐标运算
设向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，λ∈R，则有下表：
文字描述
符号表示
加法
两个向量和的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和
a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2)
减法
两个向量差的坐标分别等于这两个向量相应坐标的差
a－b＝(x1－x2，y1－y2)
数乘
实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标
λa＝(λx1，λy1)
重要结论
一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标
已知A(x1，y1)，B(x2，y2)，则＝(x2－x1，y2－y1)
思考：向量是可以平行移动的，那么它的坐标与位置有关吗？
[提示] 向量的坐标只与起点和终点的相对位置有关，是终点坐标减去起点坐标，而与它们的具体位置没有关系．
1．已知M(2，3)，N(3，1)，则的坐标是( )
A．(2，－1) B．(－1，2)
C．(－2，1) D．(1，－2)
B [＝(2，3)－(3，1)＝(2－3，3－1)＝(－1，2)．]
2．已知向量a＝(－1，2)，b＝(1，0)，那么向量3b－a的坐标是( )
A．(－4，2) B．(－4，－2)
C．(4，2) D．(4，－2)
D [3b－a＝3(1，0)－(－1，2)＝(4，－2)．]
3．如图，在平面直角坐标系中，分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量i，j作为基底，对于平面内的一个向量a，若|a|＝2，θ＝45°，则向量a的坐标为 ．
(，) [由题意知
a＝(2cos 45°i，2sin 45°j)
＝(i，j)
＝(，)．]
4．已知A(3，－5)，B(－1，3)，点C在线段AB上，且＝3，则点C的坐标是 ．
(0，1) [由＝3得－＝3－3，∴4＝＋3，
即＝＋，
∴C的坐标为(3，－5)＋(－1，3)＝(0，1)．]
平面向量的坐标表示
【例1】 如图，在平面直角坐标系xOy中，OA＝4，AB＝3，∠AOx＝45°，∠OAB＝105°，＝a，＝b.四边形OABC为平行四边形．
(1)求向量a，b的坐标；
(2)求向量的坐标；
(3)求点B的坐标．
[解] (1)作AM⊥x轴于点M，
则OM＝OA·cos 45°＝4×＝2，
AM＝OA·sin 45°＝4×＝2，
∴A(2，2)，故a＝(2，2)．
∵∠AOC＝180°－105°＝75°，∠AOy＝45°，
∴∠COy＝30°.又OC＝AB＝3，
∴C，
∴＝＝，
即b＝.
(2)＝－＝.
(3)＝＋
＝(2，2)＋
＝.
∴点B的坐标为.
求点、向量坐标的常用方法：
(1)求一个点的坐标：可利用已知条件，先求出该点相对应坐标原点的位置向量的坐标，该坐标就等于相应点的坐标．
(2)求一个向量的坐标：首先求出这个向量的始点、终点坐标，再运用终点坐标减去始点坐标即得该向量的坐标．
1．如图，取与x轴、y轴同向的两个单位向量i，j作为基底，分别用i，j表示，，，并求出它们的坐标．
[解] 由图形可知，＝6i＋2j，＝2i＋4j，＝－4i＋2j，它们的坐标表示为＝(6，2)，＝(2，4)，＝(－4，2).
平面向量的坐标运算
【例2】 (1)已知a＝(－1，2)，b＝(2，1)，求：
①2a＋3b；②a－3b；③a－b.
(2)已知A(－2，4)，B(3，－1)，C(－3，－4)，且＝3，＝2，求M，N及的坐标．
思路点拨：(1)运用向量坐标运算的公式进行求解．
(2)法一：设点M，N的坐标，用向量相等的坐标表示列方程求值．
法二：用向量线性运算的几何意义直接计算，的坐标．
[解] (1)∵a＝(－1，2)，b＝(2，1)，
∴2a＋3b＝2(－1，2)＋3(2，1)
＝(－2＋6，4＋3)
＝(4，7)．
a－3b＝(－1，2)－3(2，1)
＝(－1－6，2－3)＝(－7，－1)
a－b＝(－1，2)－(2，1)
＝
＝
(2)法一：(待定系数法)由A(－2，4)，B(3，－1)，C(－3，－4)，
可得＝(－2，4)－(－3，－4)＝(1，8)，
＝(3，－1)－(－3，－4)＝(6，3)，
所以＝3＝3(1，8)＝(3，24)，
＝2＝2(6，3)＝(12，6)．
设M(x1，y1)，N(x2，y2)，
则＝(x1＋3，y1＋4)＝(3，24)，所以x1＝0，y1＝20；
＝(x2＋3，y2＋4)＝(12，6)，所以x2＝9，y2＝2，
所以M(0，20)，N(9，2)，
＝(9，2)－(0，20)＝(9，－18)．
法二：(几何意义法)设点O为坐标原点，则由＝3，＝2，
可得－＝3(－)，－＝2(－)，
从而＝3－2，＝2－，
所以＝3(－2，4)－2(－3，－4)＝(0，20)，
＝2(3，－1)－(－3，－4)＝(9，2)，
即点M(0，20)，N(9，2)，
故＝(9，2)－(0，20)＝(9，－18)．
平面向量坐标的线性运算的方法：
(1)若已知向量的坐标，则直接应用两个向量和、差及向量数乘的运算法则进行．
(2)若已知有向线段两端点的坐标，则可先求出向量的坐标，然后再进行向量的坐标运算．
(3)向量的线性坐标运算可完全类比数的运算进行．
2．若A，B，C三点的坐标分别为(2，－4)，(0，6)，(－8，10)，求＋2，－的坐标．
[解] ∵＝(－2，10)，＝(－8，4)，＝(－10，14)，
∴＋2＝(－2，10)＋2(－8，4)
＝(－2，10)＋(－16，8)
＝(－18，18)，
－＝(－8，4)－(－10，14)
＝(－8，4)－(－5，7)
＝(－3，－3).
向量坐标运算的综合应用
[探究问题]
1．已知A，B点坐标，O为坐标原点，若＝＋t，如何求点P在坐标轴上，在某象限内时的t值或范围．
提示：＝＋t＝＋t(－)＝(1－t)＋t，
把A，B点坐标代入上式，从而求出P点坐标(x，y)．
若P在x轴上，则y＝0，
若P在y轴上，则x＝0，
若P在第一、三象限角平分线内，则x＝y，
若P在第一象限，则x＞0且y＞0，
求其他范围时，只要x，y满足关系式或不等式即可．
2．对于探究1条件不变，O，A，B，P能否为四边形？请说明理由．
提示：由条件可知，＝(1－t)＋t，而(1－t)＋t＝1，所以点P，A，B三点共线，故O，A，B，P不能构成四边形．
【例3】 (1)已知向量a＝(2，－3)，b＝(1，2)，p＝(9，4)，若p＝ma＋nb，则m＋n＝ ．
(2)已知点A(2，3)，B(5，4)，C(7，10)．若＝＋λ(λ∈R)，试求λ为何值时，
①点P在一、三象限角平分线上；
②点P在第三象限内．
思路点拨：(1)求向量ma＋
nb的坐标→→
(2)→→
(1)7 [由已知得ma＋nb＝m(2，－3)＋n(1，2)＝(2m＋n，－3m＋2n)．
又p＝(9，4)且p＝ma＋nb，
所以解得
所以m＋n＝7.]
(2)[解] 设点P的坐标为(x，y)，
则＝(x，y)－(2，3)＝(x－2，y－3)，
＋λ＝[(5，4)－(2，3)]＋λ[(7，10)－(2，3)]
＝(3，1)＋λ(5，7)＝(3＋5λ，1＋7λ)．
∵＝＋λ，
∴则
①若点P在一、三象限角平分线上，
则5＋5λ＝4＋7λ，∴λ＝，
∴当λ＝时，点P在一、三象限角平分线上．
②若点P在第三象限内，则∴λ<－1，
∴当λ<－1时，点P在第三象限内．
1．若本例(2)条件不变，试求λ为何值时，点P在第四象限．
[解] 若P在第四象限，由本例(2)的解析得解得－1＜λ＜－.
2．若本例(2)条件“＝＋λ”改为“＝＋λ”，其他条件不变，应如何解答？
[解] 设点P的坐标为(x，y)，
则＝(x－5，y－4)，
＋λ＝(－3，－1)＋λ(2，6)＝(－3＋2λ，－1＋6λ)．
因为＝＋λ，
所以则
①若点P在一、三象限角平分线上，
则2＋2λ＝3＋6λ，解得λ＝－.
②若点P在第三象限内，则解得λ＜－1.
1．解答本题可用待定系数法．此法是最基本的数学方法之一，实质是先将未知量设出来，建立方程(组)求出未知数的值，是待定系数法的基本形式，也是方程思想的一种基本应用．
2．坐标形式下向量相等的条件：相等向量的对应坐标相等；对应坐标相等的向量是相等向量．由此可建立相等关系求某些参数的值．
1．向量的正交分解是把一个向量分解为两个互相垂直的向量，是向量坐标表示的理论依据．向量的坐标表示，沟通了向量“数”与“形”的特征，使向量运算完全代数化．
2．要区分向量终点的坐标与向量的坐标．由于向量的起点可以任意选取，如果一个向量的起点是坐标原点，这个向量终点的坐标就是这个向量的坐标；若向量的起点不是原点，则向量的终点坐标不是向量的坐标，若A(xA，yA)，B(xB，yB)，则＝(xB－xA，yB－yA)．
3．向量和、差的坐标就是它们对应向量坐标的和、差，数乘向量的坐标等于这个实数与原来向量坐标的积．
1．给出下面几种说法：
①相等向量的坐标相同；
②平面上一个向量对应于平面上唯一的坐标；
③一个坐标对应于唯一的一个向量；
④平面上一个点与以原点为始点，该点为终点的向量一一对应．
其中正确说法的个数是( )
A．1 B．2
C．3 D．4
C [由向量坐标的定义不难看出一个坐标可对应无数个相等的向量，故③错误．]
2．已知向量a＝(1，2)，2a＋b＝(3，2)，则b＝( )
A．(1，－2) B．(1，2)
C．(5，6) D．(2，0)
A [令b＝(x，y)，则2＋x＝3且4＋y＝2，解得x＝1，y＝－2，故选A.]
3．已知A(2，－3)，＝(3，－2)，则点B和线段AB的中点M坐标分别为( )
A．B(5，－5)，M(0，0) B．B(5，－5)，M
C．B(1，1)，M(0，0) D．B(1，1)，M
B [＝＋＝(2，－3)＋(3，－2)＝(5，－5)，
＝＋＝(2，－3)＋(3，－2)＝.]
4．已知点A(1，3)，B(4，－1)，则与向量同方向的单位向量为 ．
[＝(3，－4)，则与同方向的单位向量为＝(3，－4)＝.]
5．在平行四边形ABCD中，若＝(2，4)，＝(1，3)，则用坐标表示 ．
(－1，－1) [根据平行四边形法则，＝－＝(1，3)－(2，4)＝(－1，－1)．]
课件55张PPT。第二章 平面向量2.3 平面向量的基本定理及坐标表示
2.3.2 平面向量的正交分解及坐标表示
2.3.3 平面向量的坐标运算
垂直
相同单位基底有且只有(x，y)(1，0)(0，1)(0，0)和差终点起点平面向量的坐标表示 平面向量的坐标运算 向量坐标运算的综合应用 点击右图进入…Thank you for watching !课时分层作业(十九)
(建议用时：45分钟)
[基础达标练]
一、选择题
1．如果用i，j分别表示x轴和y轴方向上的单位向量，且A(2，3)，B(4，2)，则可以表示为( )
A．2i＋3j B．4i＋2j
C．2i－j D．－2i＋j
C [＝(4i＋2j)－(2i＋3j)＝2i－j.]
2．若向量a＝(1，1)，b＝(－1，1)，c＝(4，2)，则c等于( )
A．3a－b B．3a＋b
C．－a＋3b D．a＋3b
A [令c＝xa＋yb，则解得x＝3，y＝－1，故c＝3a－b.]
3．已知a－b＝(1，2)，a＋b＝(4，－10)，则a等于( )
A．(－2，－2) B．(2，2)
C．(－2，2) D．(2，－2)
D [由已知得2a－b＝(2，4)，a＋b＝(4，－10)，
所以3a＝(6，－6)，a＝(2，－2)．]
4．设向量a＝(1，－3)，b＝(－2，4)，若表示向量4a，3b－2a，c的有向线段首尾相接能构成三角形，则向量c等于( )
A．(1，－1) B．(－1，1)
C．(－4，6) D．(4，－6)
D [因为4a，3b－2a，c对应有向线段首尾相接，所以4a＋3b－2a＋c＝0，故有c＝－2a－3b＝－2(1，－3)－3(－2，4)＝(4，－6)．]
5．已知点A(1，2)，B(2，4)，C(－3，5)．若＝＋m，且点P在y轴上，则m＝( )
A．－2 B．
C．－ D．2
B [设P(x，y)，由题意＝m，
∴∴P(－5m＋1，m＋2)，又点P在y轴上，∴－5m＋1＝0，m＝.]
二、填空题
6．已知O是坐标原点，点A在第二象限，||＝6，∠xOA＝150°，向量的坐标为 ．
(－3，3) [设＝(x，y)，则x＝6cos 150°＝－3，y＝6sin 150°＝3，故向量的坐标为(－3，3)．]
7．已知点A(－1，－5)和向量a＝(2，3)，若＝3a，则点B的坐标为 ．
(5，4) [令B(x，y)，则＝(x＋1，y＋5)．又＝3a＝(6，9)，所以所以所以点B的坐标为(5，4)．]
8.向量a，b，c在正方形网格中的位置如图所示，若c＝λa＋μb(λ，μ∈R)，则＝ ．
4 [以向量a的终点为原点，过该点的水平和竖直的网格线所在直线为x轴、y轴建立平面直角坐标系，设一个
小正方形网格的边长为1，则a＝(－1，1)，b＝(6，2)，c＝(－1，－3)．由c＝λa＋μb，即(－1，－3)＝λ(－1，1)＋μ(6，2)，得－λ＋6μ＝－1，λ＋2μ＝－3，故λ＝－2，μ＝－，则＝4.]
三、解答题
9．已知点A(－1，2)，B(2，8)及＝，＝－，求的坐标．
[解] 因为A(－1，2)，B(2，8)，
所以＝(2，8)－(－1，2)＝(3，6)，
＝(－3，－6)，
所以＝＝(1，2)，＝－＝(1，2)，
＝(－1，－2)，
所以＝－＝(－1，－2)－(1，2)＝(－2，－4)．
10．已知A(－2，4)，B(3，－1)，C(－3，－4)，
设＝a，＝b，＝c，且＝3c，＝－2b.
(1)求3a＋b－3c；
(2)求满足a＝mb＋nc的实数m，n；
(3)求M，N的坐标及向量的坐标．
[解] 由已知得a＝(5，－5)，b＝(－6，－3)，c＝(1，8)．
(1)3a＋b－3c＝3(5，－5)＋(－6，－3)－3(1，8)
＝(15－6－3，－15－3－24)＝(6，－42)．
(2)∵mb＋nc＝(－6m＋n，－3m＋8n)，
∴解得
(3)设O为坐标原点，∵＝－＝3c，
∴＝3c＋＝(3，24)＋(－3，－4)＝(0，20)，
∴M(0，20)．
又∵＝－＝－2b，
∴＝－2b＋＝(12，6)＋(－3，－4)＝(9，2)，
∴N(9，2)，∴＝(9，－18)．
[能力提升练]
1．设向量a＝(1，－3)，b＝(－2，4)，c＝(－1，－2)，若表示向量4a，4b－2c，2(a－c)，d的有向线段首尾相接能构成四边形，则向量d为( )
A．(2，6) B．(－2，6)
C．(2，－6) D．(－2，－6)
D [由条件可知，d＝－[4a＋4b－2c＋2(a－c)]＝－(6a＋4b－4c)＝(－2，－6)，故d＝(－2，－6)．]
2．已知A(－3，0)，B(0，)，O 为坐标原点，C在第二象限，且∠AOC＝30°，＝λ＋，则实数λ的值为 ．
1 [由题意知＝(－3，0)，＝(0，)，
则＝(－3λ，)．
由∠AOC＝30°知，以x轴的非负半轴为始边，OC为终边的一个角为150°，
所以tan 150°＝－，
即－＝－，所以λ＝1.]
