课件59张PPT。第二章 平面向量2.3 平面向量的基本定理及坐标表示
2.3.4 平面向量共线的坐标表示向量共线的判定与证明 已知平面向量共线求参数 向量共线的综合应用共线向量与线段分点点坐标的计算 点击右图进入…Thank you for watching !2.3.4 平面向量共线的坐标表示
学 习 目 标
核 心 素 养
1.理解用坐标表示两向量共线的条件．(难点)
2.能根据平面向量的坐标判断向量是否共线，并掌握三点共线的判断方法．(重点)
3.两直线平行与两向量共线的判定．(易混点)
1.通过向量的坐标运算进行向量的线性运算，提升了学生的数学运算的核心素养；
2.通过平面向量共线的坐标表示培养了学生逻辑推理的核心素养.
平面向量共线的坐标表示
(1)设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，其中b≠0，a，b共线，当且仅当存在实数λ，使a＝λb．
(2)如果用坐标表示，可写为(x1，y1)＝λ(x2，y2)，当且仅当x1y2－x2y1＝0时，向量a，b(b≠0)共线．
思考：两向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)共线的坐标条件能表示成＝吗？
[提示] 不一定，x2，y2有一者为零时，比例式没有意义，只有x2y2≠0时，才能使用．
1．已知A(2，－1)，B(3，1)，则与平行且方向相反的向量a是( )
A．(2，1) B．(－6，－3) C．(－1，2) D．(－4，－8)
D [＝(1，2)，根据平行条件知选D.]
2．下列各对向量中，共线的是( )
A．a＝(2，3)，b＝(3，－2)
B．a＝(2，3)，b＝(4，－6)
C．a＝(，－1)，b＝(1，)
D．a＝(1，)，b＝(，2)
D [A，B，C中各对向量都不共线，D中b＝a，两个向量共线．]
3．已知a＝(－3，2)，b＝(6，y)，且a∥b，则y＝ ．
－4 [∵a∥b，∴＝，解得y＝－4.]
4．若A(3，－6)，B(－5，2)，C(6，y)三点共线，则y＝ ．
－9 [＝(－8，8)，＝(3，y＋6)，∵A，B，C三点共线，即∥，∴－8(y＋6)－8×3＝0，解得y＝－9.]
向量共线的判定与证明
【例1】 (1)下列各组向量中，共线的是( )
A．a＝(－2，3)，b＝(4，6)
B．a＝(2，3)，b＝(3，2)
C．a＝(1，－2)，b＝(7，14)
D．a＝(－3，2)，b＝(6，－4)
(2)已知A(－1，－1)，B(1，3)，C(1，5)，D(2，7)，向量与平行吗？直线AB平行于直线CD吗？
思路点拨：(1)利用“纵横交错积相减”判断．
(2)→→
(1)D [A中，－2×6－3×4≠0，B中3×3－2×2≠0，C中1×14－(－2)×7≠0，D中(－3)×(－4)－2×6＝0.故选D.]
(2)[解] ∵＝(1－(－1)，3－(－1))＝(2，4)，
＝(2－1，7－5)＝(1，2)．
又2×2－4×1＝0，
∴∥.
又＝(2，6)，＝(2，4)，
∴2×4－2×6≠0，
∴A，B，C不共线，
∴AB与CD不重合，
∴AB∥CD.
向量共线的判定方法
提醒：向量共线的坐标表达式极易写错，如写成x1y1－x2y2＝0或x1x2－y1y2＝0都是不对的，因此要理解并记熟这一公式，可简记为：纵横交错积相减．
1．已知A(1，－3)，B，C(9，1)，求证：A，B，C三点共线．
[证明] ＝＝，＝(9－1，1＋3)＝(8，4)，
∵7×4－×8＝0，
∴∥，且，有公共点A，
∴A，B，C三点共线.
已知平面向量共线求参数
【例2】 已知a＝(1，2)，b＝(－3，2)，当k为何值时，ka＋b与a－3b平行？平行时它们是同向还是反向？
思路点拨：法一：可利用b与非零向量a共线等价于b＝λa(λ>0，b与a同向；λ<0，b与a反向)求解；
法二：可先利用坐标形式的等价条件求k，再利用b＝λa判定同向还是反向．
[解] 法一：(共线向量定理法)ka＋b＝k(1，2)＋(－3，2)＝(k－3，2k＋2)，
a－3b＝(1，2)－3(－3，2)＝(10，－4)，
当ka＋b与a－3b平行时，存在唯一实数λ，
使ka＋b＝λ(a－3b)．
由(k－3，2k＋2)＝λ(10，－4)，
所以
解得k＝λ＝－.
当k＝－时，ka＋b与a－3b平行，这时ka＋b＝－a＋b＝－(a－3b)，
因为λ＝－<0，
所以ka＋b与a－3b反向．
法二：(坐标法)由题知ka＋b＝(k－3，2k＋2)，
a－3b＝(10，－4)，
因为ka＋b与a－3b平行，
所以(k－3)×(－4)－10×(2k＋2)＝0，
解得k＝－.
这时ka＋b＝＝－(a－3b)，
所以当k＝－时，ka＋b与a－3b平行，并且反向．
利用向量平行的条件处理求值问题的思路：
(1)利用共线向量定理a＝λb(b≠0)列方程组求解．
(2)利用向量平行的坐标表达式x1y2－x2y1＝0直接求解．
2．已知向量a＝(1，2)，b＝(2，－2)，c＝(1，λ)，若c∥(2a＋b)，则λ＝ ．
[由题可得2a＋b＝(4，2)，
∵c∥(2a＋b)，c＝(1，λ)，
∴4λ－2＝0，即λ＝.
故答案为.]
向量共线的综合应用
【例3】 (1)已知向量a＝(cos α，－2)，b＝(sin α，1)，且a∥b，则2sin αcos α等于( )
A．3 B．－3
C．－ D．
(2)如图所示，已知点A(4，0)，B(4，4)，C(2，6)，求AC与OB的交点P的坐标．
思路点拨：(1)先由a∥b推出sin α与cos α的关系，求tan α，再用“1”的代换求2sin αcos α.
(2)要求点P的坐标，只需求出向量的坐标，由与共线得到＝λ，利用与共线的坐标表示求出λ即可；也可设P(x，y)，由∥及∥，列出关于x，y的方程组求解．
(1)C [因为a∥b，所以cos α×1－(－2)sin α＝0，即cos α＝－2sin α，tan α＝－，
所以2sin αcos α＝＝＝＝－.]
(2)[解] 法一：(定理法)由O，P，B三点共线，可设＝λ＝(4λ，4λ)，则＝－＝(4λ－4，4λ)，＝－＝(－2，6)．
由与共线得(4λ－4)×6－4λ×(－2)＝0，解得λ＝，所以＝＝(3，3)，所以P点的坐标为(3，3)．
法二：(坐标法)设P(x，y)，则＝(x，y)，因为＝(4，4)，且与共线，所以＝，即x＝y.
又＝(x－4，y)，＝(－2，6)，且与共线，则得(x－4)×6－y×(－2)＝0，解得x＝y＝3，所以P点的坐标为(3，3)．
应用向量共线的坐标表示求解几何问题的步骤
3.如图所示，已知△AOB中，A(0，5)，O(0，0)，B(4，3)，＝，＝，AD与BC相交于点M，求点M的坐标．
[解] 因为＝＝(0，5)
＝，所以C.
因为＝＝(4，3)＝，
所以D.
设M(x，y)，则＝(x，y－5)，
＝＝.
因为∥，
所以－x－2(y－5)＝0，
即7x＋4y＝20. ①
又＝，＝，
因为∥，所以x－4＝0，
即7x－16y＝－20. ②
联立①②解得x＝，y＝2，故点M的坐标为.
共线向量与线段分点点坐标的计算
[探究问题]
1．设P1，P2的坐标分别是(x1，y1)，(x2，y2)，如何求线段P1P2的中点P的坐标？
提示：如图所示，∵P为P1P2的中点，
∴＝，
∴－＝－，
∴＝(＋)＝，
∴线段P1P2的中点坐标是.
2．设P1，P2的坐标分别是(x1，y1)，(x2，y2)，点P是线段P1P2的一个三等分点，则P点坐标是什么？
提示：点P是线段P1P2的一个三等分点，分两种情况：
①当＝时，＝＋＝＋＝＋(－)＝＋＝；
②当＝时，
＝＋＝＋
＝＋(－)
＝＋
＝.
3．当＝λ时，点P的坐标是什么？
提示：∵＝＋＝＋λ＝＋λ(－)＝＋λ－λ，
∴＝
＝(x1，y1)＋(x2，y2)
＝＋
＝，
∴P.
【例4】 已知点A(3，－4)与点B(－1，2)，点P在直线AB上，且||＝2||，求点P的坐标．
思路点拨：点P在直线AB上，包括点P在线段AB内和在线段AB的延长线上，因此应分类讨论．
[解] 设P点坐标为(x，y)，
||＝2||.
当P在线段AB上时，＝2，
∴(x－3，y＋4)＝2(－1－x，2－y)，
∴解得
∴P点坐标为.
当P在线段AB延长线上时，＝－2，
∴(x－3，y＋4)＝－2(－1－x，2－y)，
∴解得
∴P点坐标为(－5，8)．
综上所述，点P的坐标为或(－5，8)．
1．若将本例条件“||＝2||”改为“＝3”其他条件不变，求点P的坐标．
[解] 因为＝3，所以(x－3，y＋4)＝3(－1－x，2－y)，
所以解得
所以点P的坐标为.
2．若将本例条件改为“经过点P(－2，3)的直线分别交x轴、y轴于点A，B，且||＝3||”，求点A，B的坐标．
[解] 由题设知，A，B，P三点共线，且||＝3||，设A(x，0)，B(0，y)，
①点P在A，B之间，则有＝3，
∴(－x，y)＝3(－2－x，3)，
解得x＝－3，y＝9，
点A，B的坐标分别为(－3，0)，(0，9)．
②点P不在A，B之间，
则有＝－3，同理，
可求得点A，B的坐标分别为，(0，－9)．
综上，点A，B的坐标分别为(－3，0)，(0，9)或，(0，－9)．
求点的坐标时注意的问题
(1)设P1(x1，y1)，P2(x2，y2)．若点P是P1P2的中点时，则P(x，y)为.
(2)求线段P1P2上或延长线上的点的坐标时，不必过分强调公式的记忆，可以转化为向量问题后列出方程组求解，同时要注意分类讨论．
(3)若＝λ，(λ≠0)
①0＜λ＜1时，P在线段P1P2上；
②λ＝1时，P与P2重合；
③λ＞1时，点P在线段P1P2延长线上；
④λ＜0时，点P在线段P1P2反向延长线上．
1．两个向量共线条件的表示方法
已知a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)
(1)当b≠0时，a＝λb.
(2)x1y2－x2y1＝0.
(3)当x2y2≠0时，＝，即两向量的相应坐标成比例．
2．向量共线的坐标表示的应用
两向量共线的坐标表示的应用，可分为两个方面．
(1)已知两个向量的坐标判定两向量共线．联系平面几何平行、共线知识，可以证明三点共线、直线平行等几何问题．要注意区分向量的共线、平行与几何中的共线、平行的不同．
(2)已知两个向量共线，求点或向量的坐标，求参数的值，求轨迹方程，要注意方程思想的应用，向量共线的条件，向量相等的条件等都可作为列方程的依据．
1．下列说法不正确的是( )
A．若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，且a与b共线，则＝.
B．若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，且x1y2≠x2y1，则a与b不共线．
C．若A，B，C三点共线，则向量，，都是共线向量．
D．若A(3，－6)，B(－5，2)，C(6，y)三点共线，则y＝－9.
A [A中，x2或y2为零时，比例式无意义，B、C很明显都正确；D中∥，由＝(－8，8)，＝(11，y－2)，则－8(y－2)－8×11＝0，解得y＝－9.∴D正确．]
2．已知两点A(2，－1)，B(3，1)，则与平行且方向相反的向量a可以是( )
A．(1，－2) B．(9，3)
C．(－2，4) D．(－4，－8)
D [由题意，得＝(1，2)，所以a＝λ＝(λ，2λ)(其中λ＜0)．符合条件的只有D项，故选D.]
3．已知平面向量a＝(1，2)，b＝(－2，m)，且a∥b，则2a＋3b等于 ．
(－4，－8) [∵a∥b，∴1×m－(－2)×2＝0，
∴m＝－4，∴a＝(1，2)，b＝(－2，－4)，
∴2a＋3b＝2(1，2)＋3(－2，－4)＝(－4，－8)．]
4．设O是坐标原点，＝(k，12)，＝(4，5)，＝(10，k)，当k为何值时，A，B，C三点共线？
[解] ∵＝－＝(4－k，－7)，
＝－＝(10－k，k－12)，
又A，B，C三点共线，
∴由两向量平行，得(4－k)(k－12)＋7(10－k)＝0，
解得k＝－2或k＝11.
即当k＝－2或k＝11时，A，B，C三点共线．
课时分层作业(二十)
(建议用时：60分钟)
[基础达标练]
一、选择题
1．在下列向量组中，可以把向量a＝(3，2)表示出来的是( )
A．e1＝(0，0)，e2＝(1，2)
B．e1＝(－1，2)，e2＝(5，－2)
C．e1＝(3，5)，e2＝(6，10)
D．e1＝(2，－3)，e2＝(－2，3)
B [只有选项B中两个向量不共线可以表示向量a.]
2．若向量a＝(－1，x)与b＝(－x，2)共线且方向相同，则x的值为( )
A． B．－
C．2 D．－2
A [由a∥b得－x2＋2＝0，
得x＝±.
当x＝－时，a与b方向相反．]
3．已知a＝(sin α，1)，b＝(cos α，2)，若b∥a，则tan α＝( )
A． B．2
C．－ D．－2
A [∵b∥a，∴2sin α－cos α＝0，即tan α＝.]
4．已知向量a＝(2，1)，b＝(3，4)，c＝(k，2)．若(3a－b)∥c，则实数k的值为( )
A．－8 B．－6
C．－1 D．6
B [由题意得3a－b＝(3，－1)，因为(3a－b)∥c，所以6＋k＝0，k＝－6.故选B.]
5．已知向量a＝(1－sin θ，1)，b＝，且a∥b，则锐角θ等于( )
A．30° B．45°
C．60° D．75°
B [由a∥b，可得(1－sin θ)(1＋sin θ)－＝0，即cos θ＝±，而θ是锐角，故θ＝45°.]
二、填空题
6．已知点A(1，－2)，若线段AB的中点坐标为(3，1)，且与向量a＝(1，λ)共线，则λ＝ ．
[由题意得，点B的坐标为(3×2－1，1×2＋2)＝(5，4)，则＝(4，6)．
又与a＝(1，λ)共线，
则4λ－6＝0，解得λ＝.]
7．若三点A(1，－3)，B，C(x，1)共线，则x＝ ．
9 [∵＝，＝(x－1，4)，∥，∴7×4－×(x－1)＝0，∴x＝9.]
8．已知向量a＝(－2，3)，b∥a，向量b的起点为A(1，2)，终点B在坐标轴上，则点B的坐标为 ．
或 [由b∥a，可设b＝λa＝(－2λ，3λ)．设B(x，y)，则＝(x－1，y－2)＝b.
由?
又B点在坐标轴上，则1－2λ＝0或3λ＋2＝0，
所以B或.]
三、解答题
9．已知a＝(1，0)，b＝(2，1)．
(1)求a＋3b的坐标．
(2)当k为何实数时，ka－b与a＋3b平行，平行时它们是同向还是反向？
[解] (1)因为a＝(1，0)，b＝(2，1)，
所以a＋3b＝(1，0)＋(6，3)＝(7，3)．
(2)ka－b＝(k－2，－1)，a＋3b＝(7，3)，
因为ka－b与a＋3b平行，
所以3(k－2)＋7＝0，解得k＝－，
所以ka－b＝，a＋3b＝(7，3)，
即k＝－时，ka－b与a＋3b平行，方向相反．
10．已知A(－1，0)，B(3，－1)，C(1，2)，并且＝，＝，求证：∥.
[证明] 设E(x1，y1)，F(x2，y2)，
依题意有＝(2，2)，＝(－2，3)，
＝(4，－1)．因为＝，
所以＝，
所以(x1＋1，y1)＝，
故E.
因为＝，
所以＝，
所以(x2－3，y2＋1)＝，
故F.
所以＝.
又因为4×－×(－1)＝0，
所以∥.
[能力提升练]
1．已知向量a＝(1，2)，a－b＝(4，5)，c＝(x，3)，若∥c，则x＝( )
A．－1 B．－2
C．－3 D．－4
C [向量a＝(1，2)，a－b＝(4，5)，c＝(x，3)，
则b＝a－(a－b)＝(1，2)－(4，5)＝(－3，－3)，
∴(2a＋b)＝2(1，2)＋(－3，－3)＝(－1，1)，∵(2a＋b)∥c，∴－3－x＝0，∴x＝－3，故选C.]
2．已知△ABC的三个内角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，设向量p＝(a＋c，b)，q＝(b，c－a)，若p∥q，则角C为( )
A． B．
C． D．
C [因为p＝(a＋c，b)，q＝(b，c－a)，且p∥q，所以(a＋c)(c－a)－b·b＝0，即c2＝a2＋b2，所以角C为.故选C.]
3．向量a＝(2，3)，b＝(－1，2)，若ma＋b与a－2b平行，则m等于( )
A．－2 B．2
C． D．－
D [∵ma＋b＝(2m－1，3m＋2)，a－2b＝(4，－1)，
∴－(2m－1)＝4(3m＋2)?m＝－，选D.]
4．已知向量＝(3，－4)，＝(6，－3)，＝(5－m，－3－m)，若点A，B，C能构成三角形，则实数m应满足的条件为 ．
m≠ [＝－＝(6，－3)－(3，－4)＝(3，1)，＝－＝(5－m，－3－m)－(3，－4)＝(2－m，1－m)，由于点A，B，C能构成三角形，则与不共线，则3(1－m)－(2－m)≠0，解得m≠.]
5．已知四边形ABCD是正方形，BE∥AC，AC＝CE，EC的延长线交BA的延长线于点F，求证：AF＝AE.
[证明] 建立如图所示的直角坐标系，为了研究方便，
不妨设正方形ABCD的边长为1，则A(0，0)，B(1，0)，C(1，1)，D(0，1)，设E(x，y)，这里y＞0，
于是＝(1，1)，＝(x－1，y)．
∵∥，
∴1×y－(x－1)×1＝0?y＝x－1.①
∵AC＝OC＝CE，
∴CE2＝OC2?(x－1)2＋(y－1)2＝2.②
由y＞0，联立①②解得
即E.
AE＝OE＝＝＋1.
设F(t，0)，则＝(1－t，1)，＝.
∵F，C，E三点共线，∴∥.
∴(1－t)×－×1＝0，解得t＝－1－.
∴AF＝OF＝1＋，∴AF＝AE.
