课件48张PPT。第二章 平面向量2.4 平面向量的数量积
2.4.1 平面向量数量积的物理背景及其含义00|a||b|－|a||b||a||b|向量数量积的计算及其几何意义 与向量模有关的问题 与向量垂直、夹角有关的问题 点击右图进入…Thank you for watching !2.4 平面向量的数量积
2.4.1 平面向量数量积的物理背景及其含义
学 习 目 标
核 心 素 养
1.平面向量的数量积．(重点)
2.平面向量的数量积的几何意义．(难点)
3.向量的数量积与实数的乘法的区别．(易混点)
1.通过平面向量的物理背景给出向量数量积的概念和几何意义的学习，培养了学生数学建模和数学抽象的核心素养.
2.通过向量数量积的运算学习，提升了学生数学运算和数据分析的核心素养.
1．平面向量数量积的定义
非零向量a，b的夹角为θ，数量|a||b|cos θ叫做向量a与b的数量积，记作a·b，即a·b＝|a||b|cos θ．特别地，零向量与任一向量的数量积等于0．
思考：向量的数量积的运算结果与线性运算的结果有什么不同？
[提示] 数量积的运算结果是实数，线性运算的运算结果是向量．
2．向量的数量积的几何意义
(1)投影的概念：
①b在a的方向上的投影为|b|cos θ；
②a在b的方向上的投影为|a|cos θ．
(2)数量积的几何意义：数量积a·b等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影|b|cos θ的乘积．
思考：投影一定是正数吗？
[提示] 投影可正、可负也可以为零．
3．向量数量积的性质
垂直向量
a·b＝0
平行向量
同向
a·b＝|a||b|
反向
a·b＝－|a||b|
向量的模
a·a＝|a|2或|a|＝
求夹角
cos θ＝
不等关系
a·b≤|a||b|
4.向量数量积的运算律
(1)a·b＝b·a(交换律)．
(2)(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)(结合律)．
(3)(a＋b)·c＝a·c＋b·c(分配律)．
思考：a·(b·c)＝(a·b)·c成立吗？
[提示] (a·b)·c≠a·(b·c)，因为a·b，b·c是数量积，是实数，不是向量，所以(a·b)·c与向量c共线，a·(b·c)与向量a共线．因此，(a·b)·c＝a·(b·c)在一般情况下不成立．
1．已知单位向量a，b，夹角为60°，则a·b＝( )
A． B．
C．1 D．－
A [a·b＝1×1×cos 60°＝.]
2．已知向量a，b满足|a|＝1，|b|＝4，且a·b＝2，则a与b的夹角θ为( )
A． B．
C． D．
C [由条件可知，cos θ＝＝＝，又∵0≤θ≤π，∴θ＝.]
3．已知向量a，b满足|a|＝2，|b|＝，且a与b的夹角为60°，那么a·b等于 ．
[a·b＝|a||b|cos 60°＝2××＝.]
4．已知|b|＝3，a在b方向上的投影是，则a·b为 ．
2 [设a与b的夹角为θ，则a在b方向上的投影|a|cos θ＝，
所以a·b＝|b||a|cos θ＝3×＝2.]
向量数量积的计算及其几何意义
【例1】 (1)已知单位向量e1，e2的夹角为，a＝2e1－e2，则a在e1上的投影是 ．
(2)已知向量a与b满足|a|＝10，|b|＝3，且向量a与b的夹角为120°.求：
①(a－b)·(a－b)； ②(2a＋b)·(a－b)．
思路点拨：根据数量积的定义、性质、运算律及投影的定义解答．
(1) [设a与e1的夹角为θ，则a在e1上的投影为|a|cos θ＝＝a·e1＝(2e1－e2)·e1
＝2e－e1·e2
＝2－1×1×cos＝.]
(2)[解] ①(a－b)·(a－b)
＝a2－b2＝|a|2－|b|2＝100－9＝91.
②因为|a|＝10，|b|＝3，且向量a与b的夹角为120°，
所以a·b＝10×3×cos 120°＝－15，
所以(2a＋b)·(a－b)＝2a2－a·b－b2
＝200＋15－9＝206.
求平面向量数量积的步骤
(1)求a与b的夹角θ，θ∈[0，π]；(2)分别求|a|和|b|；(3)求数量积，即a·b＝|a||b|cos θ，要特别注意书写时a与b之间用实心圆点“·”连接，而不能用“×”连接，也不能省去．
求投影的两种方法：
(1)b在a方向上的投影为|b|cos θ(θ为a，b的夹角)，a在b方向上的投影为|a|cos θ.
(2)b在a方向上的投影为，a在b方向上的投影为.
1．(1)已知|a|＝2，|b|＝3，a与b的夹角θ为60°，求：
①a·b；②(2a－b)·(a＋3b)．
(2)设正三角形ABC的边长为，＝c，＝a，＝b，求a·b＋b·c＋c·a.
[解] (1)①a·b＝|a||b|cos θ＝2×3×cos 60°＝3.
②(2a－b)·(a＋3b)＝2a2＋5a·b－3b2
＝2|a|2＋5a·b－3|b|2＝2×22＋5×3－3×32＝－4.
(2)∵|a|＝|b|＝|c|＝，且a与b，b与c，c与a的夹角均为120°，
∴a·b＋b·c＋c·a＝××cos 120°×3＝－3.
与向量模有关的问题
【例2】 (1)已知向量a，b的夹角为60°，|a|＝2，|b|＝1，则|a＋2b|＝ ．
(2)已知向量a与b夹角为45°，且|a|＝1，|2a＋b|＝，求|b|.
思路点拨：灵活应用a2＝|a|2求向量的模．
(1)2 [|a＋2b|2＝(a＋2b)2＝|a|2＋2·|a|·|2b|·cos 60°＋(2|b|)2
＝22＋2×2×2×＋22＝4＋4＋4＝12，
所以|a＋2b|＝＝2.]
(2)[解] 因为|2a＋b|＝，
所以(2a＋b)2＝10，
所以4a2＋4a·b＋b2＝10.
又因为向量a与b的夹角为45°且|a|＝1，
所以4×12＋4×1×|b|×＋|b|2＝10，
整理得|b|2＋2|b|－6＝0，
解得|b|＝或|b|＝－3(舍去)．
求向量的模的常见思路及方法
(1)求模问题一般转化为求模平方，与向量数量积联系，并灵活应用a2＝|a|2，勿忘记开方．
(2)a·a＝a2＝|a|2或|a|＝，此性质可用来求向量的模，可以实现实数运算与向量运算的相互转化．
(3)一些常见的等式应熟记，如(a±b)2＝a2±2a·b＋b2，(a＋b)·(a－b)＝a2－b2等．
2．已知|a|＝|b|＝5，向量a与b的夹角θ为，求|a＋b|，|a－b|.
[解] ∵|a|＝|b|＝5且夹角θ为，
∴ |a＋b|2＝a2＋2a·b＋b2＝52＋2×5×5×cos＋52＝75，
|a－b|2＝a2－2a·b＋b2＝52－2×5×5×cos＋52＝25，
∴|a＋b|＝5，|a－b|＝5.
与向量垂直、夹角有关的问题
[探究问题]
1．设a与b都是非零向量，若a⊥b，则a·b等于多少？反之成立吗？
提示：a⊥b?a·b＝0.
2．|a·b|与|a||b|的大小关系如何？为什么？对于向量a，b，如何求它们的夹角θ？
提示：|a·b|≤|a||b|，设a与b的夹角为θ，则a·b＝|a||b|cos θ.
两边取绝对值得：|a·b|＝|a||b||cos θ|≤|a||b|.
当且仅当|cos θ|＝1，
即cos θ＝±1，θ＝0°或π时，取“＝”，
所以|a·b|≤|a||b|，cos θ＝.
【例3】 (1)已知e1与e2是两个互相垂直的单位向量，若向量e1＋ke2与ke1＋e2的夹角为锐角，则k的取值范围为 ．
(2)已知非零向量a，b满足a＋3b与7a－5b互相垂直，a－4b与7a－2b互相垂直，求a与b的夹角．
思路点拨：(1)两个向量夹角为锐角等价于这两个向量数量积大于0且方向不相同．
(2)由互相垂直的两个向量的数量积为0列方程，推出|a|与|b|的关系，再求a与b的夹角．
(1)(0，1)∪(1，＋∞) [∵e1＋ke2与ke1＋e2的夹角为锐角，
∴(e1＋ke2)·(ke1＋e2)
＝ke＋ke＋(k2＋1)e1·e2
＝2k＞0，∴k＞0.
当k＝1时，e1＋ke2＝ke1＋e2，它们的夹角为0°，不符合题意，舍去．
综上，k的取值范围为k＞0且k≠1.]
(2)[解] 由已知条件得
即
②－①得23b2－46a·b＝0，
∴2a·b＝b2，代入①得a2＝b2，
∴|a|＝|b|，∴cos θ＝＝＝.
∵θ∈[0，π]，∴θ＝.
1．将本例(1)中的条件“锐角”改为“钝角”，其他条件不变，求k的取值范围．
[解] ∵e1＋ke2与ke1＋e2的夹角为钝角，
∴(e1＋ke2)·(ke1＋e2)＝ke＋ke＋(k2＋1)e1·e2＝2k＜0，
∴k＜0.
当k＝－1时，e1＋ke2与ke1＋e2方向相反，它们的夹角为π，不符合题意，舍去．
综上，k的取值范围是k＜0且k≠－1.
2．将本例(1)中的条件“锐角”改为“”，求k的值．
[解] 由已知得|e1＋ke2|＝＝，
|ke1＋e2|＝＝，
(e1＋ke2)·(ke1＋e2)＝ke＋ke＋(k2＋1)e1·e2＝2k，
则cos＝＝，
即＝，整理得k2－4k＋1＝0，
解得k＝＝2±.
1．求向量夹角的方法
(1)求出a·b，|a|，|b|，代入公式cos θ＝求解．
(2)用同一个量表示a·b，|a|，|b|，代入公式求解．
(3)借助向量运算的几何意义，数形结合求夹角．
2．要注意夹角θ的范围θ∈[0，π]，当cos θ＞0时，θ∈；当cos θ＜0时，θ∈，当cos θ＝0时，θ＝.
1．两向量a与b的数量积是一个实数，不是一个向量，其值可以为正(当a≠0，b≠0，0°≤θ＜90°时)，也可以为负(当a≠0，b≠0，90°＜θ≤180°时)，还可以为0(当a＝0或b＝0或θ＝90°时)．
2．两非零向量a，b，a⊥b?a·b＝0，求向量模时要灵活运用公式|a|＝.
3．要注意区分向量数量积与实数运算的区别
(1)在实数运算中，若ab＝0，则a与b中至少有一个为0.而在向量数量积的运算中，不能从a·b＝0推出a＝0或b＝0.实际上由a·b＝0可推出以下四种结论：
①a＝0，b＝0；②a＝0，b≠0；③a≠0，b＝0；④a≠0，b≠0，但a⊥b.
(2)在实数运算中，若a，b∈R，则|ab|＝|a|·|b|，但对于向量a，b，却有|a·b|≤|a||b|，当且仅当a∥b时等号成立．这是因为|a·b|＝|a||b||cos θ|，而|cos θ|≤1.
(3)实数运算满足消去律：若bc＝ca，c≠0，则有b＝a.在向量数量积的运算中，若a·b＝a·c(a≠0)，则向量c，b在向量a方向上的投影相同，因此由a·b＝a·c(a≠0)不能得到b＝c.
(4)实数运算满足乘法结合律，但向量数量积的运算不满足乘法结合律，即(a·b)·c不一定等于a·(b·c)，这是由于(a·b)·c表示一个与c共线的向量，而a·(b·c)表示一个与a共线的向量，而c与a不一定共线.
1．对于向量a，b，c和实数λ，下列命题中真命题是( )
A．若a·b＝0，则a＝0或b＝0
B．若λa＝0，则λ＝0或a＝0
C．若a2＝b2，则a＝b或a＝－b
D．若a·b＝a·c，则b＝c
B [A错，当a与b夹角为时，a·b＝0；C错，a2＝b2即|a|＝|b|；D错，数量积不能约分；只有B对．]
2．(2018·全国卷Ⅱ)已知向量a，b满足|a|＝1，a·b＝－1，则a·(2a－b)＝( )
A．4 B．3 C．2 D．0
B [因为a·(2a－b)＝2a2－a·b＝2|a|2－(－1)＝2＋1＝3，所以选B.]
3．已知|a|＝3，|b|＝5，且a·b＝12，则向量a在向量b的方向上的投影为 ．
[设a与b的夹角为θ，
因为a·b＝|a||b|cos θ＝12，
又|b|＝5，所以|a|cos θ＝，
即a在b方向上的投影为.]
4．已知|a|＝|b|＝5，向量a与b的夹角为，求|a＋b|，|a－b|.
[解] a·b＝|a||b|cos θ＝5×5×＝.
|a＋b|＝
＝
＝＝5.
|a－b|＝
＝
＝＝5.
课时分层作业(二十一)
(建议用时：60分钟)
[基础达标练]
一、选择题
1．若向量a，b满足|a|＝|b|＝1，a与b的夹角为60°，则a·a＋a·b等于( )
A． B．
C．1＋ D．2
B [a·a＋a·b＝|a|2＋|a||b|cos 60°＝1＋＝.]
2．已知单位向量a，b的夹角为，那么|a＋2b|＝( )
A．2 B．
C．2 D．4
B [|a|＝|b|＝1，|a＋2b|2＝a2＋4a·b＋4b2
＝1＋4×1×1×＋4×1＝7，∴|a＋2b|＝.]
3．若向量a，b，c，满足a∥b且a⊥c，则c·(a＋2b)＝( )
A．4 B．3
C．2 D．0
D [∵a∥b，a⊥c，
∴b⊥c，
∴a·c＝0，b·c＝0，
c·(a＋2b)＝a·c＋2b·c＝0＋0＝0.]
4．已知平面向量a，b是非零向量，|a|＝2，a⊥(a＋2b)，则向量b在向量a方向上的投影为( )
A．1 B．－1
C．2 D．－2
B [因为a⊥(a＋2b)，所以a·(a＋2b)＝a2＋2a·b＝|a|2＋2a·b＝4＋2a·b＝0，
所以a·b＝－2，
所以向量b在向量a方向上的投影为＝＝－1.]
5．已知非零向量a，b满足2|a|＝3|b|，|a－2b|＝|a＋b|，则a与b的夹角的余弦值为( )
A． B．
C． D．
C [|a－2b|＝|a＋b|?(a－2b)2＝(a＋b)2?a·b＝b2?cos〈a，b〉＝＝＝.]
二、填空题
6．已知|a|＝3，|b|＝5，且a与b的夹角θ为45°，则向量a在向量b上的投影为 ．
[由已知得向量a在向量b上的投影|a|cos θ＝3×＝.]
7．已知向量|a|＝，a·b＝10，|a＋b|＝5，则|b|＝ ．
5 [|a|2＝5，|a＋b|＝5，∴|a＋b|2＝50，即|a|2＋|b|2＋2a·b＝50，∴5＋|b|2＋20＝50，∴|b|＝5，故答案为5.]
8．若a，b均为非零向量，且(a－2b)⊥a，(b－2a)⊥b，则a，b的夹角为 ．
[由题知(a－2b)·a＝0，(b－2a)·b＝0，即|a|2－2b·a＝|a|2－2|a||b|cos θ＝0，
|b|2－2b·a＝|b|2－2|a||b|cos θ＝0，故|a|2＝|b|2，即|a|＝|b|，所以
|a|2－2|a||a|cos θ＝0，故cos θ＝，因为 0≤θ≤π，故θ＝.]
三、解答题
9．如图所示，在平行四边形ABCD中，||＝4，||＝3，∠DAB＝60°.
求：(1)·；(2)·；(3)·.
[解] (1)·＝||2＝9；
(2)·＝－||2＝－16；
(3)·＝||||cos(180°－60°)＝4×3×＝－6.
10．已知非零向量a，b满足|a|＝1，且(a－b)·(a＋b)＝.
(1)求|b|.
(2)当a·b＝－时，求向量a与a＋2b的夹角θ的值．
[解] (1)因为(a－b)·(a＋b)＝，
即a2－b2＝，即|a|2－|b|2＝，
所以|b|2＝|a|2－＝1－＝，
故|b|＝.
(2)因为|a＋2b|2＝|a|2＋4a·b＋|2b|2＝1－1＋1＝1，故|a＋2b|＝1.
又因为a·(a＋2b)＝|a|2＋2a·b＝1－＝，所以cos θ＝＝，
又θ∈[0，π]，故θ＝.
[能力提升练]
1．已知平面向量a，b都是单位向量，若b⊥(2a－b)，则a与b的夹角等于( )
A． B．
C． D．
C [设向量a，b的夹角为θ，
∵b⊥(2a－b)，∴b·(2a－b)＝2a·b－b2＝2×1×1×cos θ－12＝0，
解得cos θ＝，
又θ∈[0，π]，∴θ＝，
即a与b的夹角为，故选C.]
2．如图，在△ABC中，AD⊥AB，＝，||＝1，则·等于( )
A．2 B．
C． D．
D [·＝||||cos∠DAC
＝||cos
＝||sin∠BAC＝||sin B
＝||sin B＝||＝.]
3．设a，b，c是任意的非零向量，且它们相互不共线，给出下列结论：
①a·c－b·c＝(a－b)·c；
②(b·c)·a－(c·a)·b不与c垂直；
③|a|－|b|＜|a－b|；
④(3a＋2b)·(3a－2b)＝9|a|2－4|b|2.
其中正确的序号是 ．
①③④ [根据向量积的分配律知①正确；
因为[(b·c)·a－(c·a)·b]·c
＝(b·c)·(a·c)－(c·a)·(b·c)＝0，
所以(b·c)·a－(c·a)·b与c垂直，②错误；
因为a，b不共线，所以|a|，|b|，|a－b|组成三角形三边，
所以|a|－|b|＜|a－b|成立，③正确；
④正确．故正确命题的序号是①③④.]
4．已知|a|＝|b|＝|c|＝1且满足3a＋mb＋7c＝0，其中a，b的夹角为60°，则实数m＝ ．
5或－8 [因为3a＋mb＋7c＝0，
所以3a＋mb＝－7c，
所以(3a＋mb)2＝(－7c)2，即9＋m2＋6ma·b＝49，
又a·b＝|a||b|cos 60°＝，
所以m2＋3m－40＝0，
解得m＝5或m＝－8.]
5．已知|a|＝2，|b|＝1，(2a－3b)·(2a＋b)＝9.
(1)求a与b之间的夹角θ；
(2)求向量a在a＋b上的投影．
[解] (1)(2a－3b)·(2a＋b)＝4a2－4a·b－3b2＝9，即16－4a·b－3＝9，
∴a·b＝1，∴cos θ＝＝.
又∵θ∈[0，π]，∴θ＝.
(2)|a＋b|2＝a2＋2a·b＋b2＝7，
即|a＋b|＝.
设a与a＋b的夹角为α，
则向量a在a＋b上的投影为
|a|cos α＝|a|×＝
＝＝＝.
