课件50张PPT。第二章 平面向量2.4 平面向量的数量积
2.4.2 平面向量数量积的坐标表示、模、夹角平面向量数量积的坐标运算 向量模的坐标表示 向量的夹角与垂直问题 点击右图进入…Thank you for watching !2.4.2 平面向量数量积的坐标表示、模、夹角
学 习 目 标
核 心 素 养
1.掌握平面向量数量积的坐标表示及其运算．(重点)
2.会运用向量的坐标运算求解向量垂直、夹角等相关问题．(难点)
3.分清向量平行与垂直的坐标表示．(易混点)
1.通过平面向量数量积的坐标表示，培养了学生数学运算和数据分析的核心素养.
2.借助向量的坐标运算求向量的夹角、长度以及论证垂直问题，提升了学生逻辑推理和数学运算的核心素养.
1．平面向量数量积的坐标表示
设向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，a与b的夹角为θ.
数量积
a·b＝x1x2＋y1y2
向量垂直
a⊥b?x1x2＋y1y2＝0
2.向量模的公式
设a＝(x1，y1)，则|a|＝．
3．两点间的距离公式
若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则||＝．
4．向量的夹角公式
设两非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，a与b 夹角为θ，则
cos θ＝＝.
思考：已知向量a＝(x，y)，你知道与a共线的单位向量的坐标是什么吗？与a垂直的单位向量的坐标又是什么？
[提示] 设与a共线的单位向量为a0，则a0＝±a＝±＝±，其中正号、负号分别表示与a同向和反向．
易知b＝(－y，x)和a＝(x，y)垂直，
所以与a垂直的单位向量b0的坐标为
±，其中正、负号表示不同的方向．
1．若向量a＝(x，2)，b＝(－1，3)，a·b＝3，则x等于( )
A．3 B．－3
C． D．－
A [a·b＝－x＋6＝3，x＝3，故选A.]
2．已知a＝(2，－1)，b＝(2，3)，则a·b＝ ，|a＋b|＝ ．
1 2 [a·b＝2×2＋(－1)×3＝1，a＋b＝(4，2)，|a＋b|＝＝2.]
3．已知向量a＝(1，3)，b＝(－2，m)，若a⊥b，则m＝ ．
[因为a⊥b，所以a·b＝1×(－2)＋3m＝0，
解得m＝.]
4．已知a＝(3，4)，b＝(5，12)，则a与b夹角的余弦值为 ．
[因为a·b＝3×5＋4×12＝63，|a|＝＝5，|b|＝＝13，
所以a与b夹角的余弦值为＝＝.]
平面向量数量积的坐标运算
【例1】 (1)如图，在矩形ABCD中，AB＝，BC＝2，点E为BC的中点，点F在边CD上，若·＝，则·的值是 ．
(2)已知a与b同向，b＝(1，2)，a·b＝10.
①求a的坐标；
②若c＝(2，－1)，求a(b·c)及(a·b)c.
思路点拨：(1)→→
(2) ①先由a＝λb设点a坐标，再由a·b＝10求λ.
②依据运算顺序和数量积的坐标公式求值．
(1) [以A为坐标原点，AB为x轴、AD为y轴建立平面直角坐标系，
则B(，0)，D(0，2)，C(，2)，E(，1)．
可设F(x，2)，因为·＝(，0)·(x，2)＝x＝，
所以x＝1，所以·＝(，1)·(1－，2)＝.]
(2)[解] ①设a＝λb＝(λ，2λ)(λ＞0)，
则有a·b＝λ＋4λ＝10，∴λ＝2，
∴a＝(2，4)．
②∵b·c＝1×2－2×1＝0，a·b＝10，
∴a(b·c)＝0a＝0，
(a·b)c＝10(2，－1)＝(20，－10)．
数量积运算的途径及注意点
(1)进行向量的数量积运算，前提是牢记有关的运算法则和运算性质，解题时通常有两条途径：一是先将各向量用坐标表示，直接进行数量积运算；二是先利用数量积的运算律将原式展开，再依据已知计算．
(2)对于以图形为背景的向量数量积运算的题目，只需把握图形的特征，并写出相应点的坐标即可求解．
1．向量a＝(1，－1)，b＝(－1，2)，则(2a＋b)·a＝( )
A．－1 B．0
C．1 D．2
C [∵a＝(1，－1)，b＝(－1，2)，
∴(2a＋b)·a＝(1，0)·(1，－1)＝1.]
2．在平面直角坐标系xOy中，已知四边形ABCD是平行四边形，＝(1，－2)，＝(2，1)，则·＝( )
A．5 B．4
C．3 D．2
A [由＝＋＝(1，－2)＋(2，1)＝(3，－1)，得·＝(2，1)·(3，－1)＝5.]
向量模的坐标表示
【例2】 (1)设平面向量a＝(1，2)，b＝(－2，y)，若a∥b，则|2a－b|等于( )
A．4 B．5
C．3 D．4
(2)若向量a的始点为A(－2，4)，终点为B(2，1)，求：
①向量a的模；
②与a平行的单位向量的坐标；
③与a垂直的单位向量的坐标．
思路点拨：综合应用向量共线、垂直的坐标表示和向量模的坐标表示求解．
(1)D [由a∥b得y＋4＝0，
∴y＝－4，b＝(－2，－4)，
∴2a－b＝(4，8)，∴|2a－b|＝4.故选D.]
(2)[解] ①∵a＝＝(2，1)－(－2，4)＝(4，－3)，
∴|a|＝＝5.
②与a平行的单位向量是±＝±(4，－3)，
即坐标为或.
③设与a垂直的单位向量为e＝(m，n)，则a·e＝4m－3n＝0，∴＝.
又∵|e|＝1，∴m2＋n2＝1.
解得或
∴e＝或e＝.
求向量的模的两种基本策略
(1)字母表示下的运算：
利用|a|2＝a2，将向量模的运算转化为向量与向量的数量积的问题．
(2)坐标表示下的运算：
若a＝(x，y)，则a·a＝a2＝|a|2＝x2＋y2，于是有|a|＝.
3．已知平面向量a＝(3，5)，b＝(－2，1)．
(1)求a－2b及其模的大小；
(2)若c＝a－(a·b)b，求|c|.
[解] (1)a－2b＝(3，5)－2(－2，1)＝(7，3)，
|a－2b|＝＝.
(2)a·b＝(3，5)·(－2，1)＝3×(－2)＋5×1＝－1，
∴c＝a－(a·b)b
＝(3，5)＋(－2，1)＝(1，6)，
∴|c|＝＝.
向量的夹角与垂直问题
[探究问题]
1．设a，b都是非零向量，a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，θ是a与b的夹角，那么cos θ如何用坐标表示？
提示：cos θ＝＝.
2．已知向量a＝(1，2)，向量b＝(x，－2)，且a⊥(a－b)，则实数x等于？
提示：由已知得a－b＝(1－x，4)．
∵a⊥(a－b)，∴a·(a－b)＝0.
∵a＝(1，2)，∴1－x＋8＝0，∴x＝9.
【例3】 (1)已知向量a＝(2，1)，b＝(1，k)，且a与b的夹角为锐角，则实数k的取值范围是( )
A．(－2，＋∞) B．∪
C．(－∞，－2) D．(－2，2)
(2)已知在△ABC中，A(2，－1)，B(3，2)，C(－3，－1)，AD为BC边上的高，求||与点D的坐标．
思路点拨：(1)可利用a，b的夹角为锐角?求解．
(2)设出点D的坐标，利用与共线，⊥列方程组求解点D的坐标．
(1)B [当a与b共线时，2k－1＝0，k＝，此时a，b方向相同，夹角为0°，所以要使a与b的夹角为锐角，则有a·b>0且a，b不同向．由a·b＝2＋k>0得k>－2，且k≠，即实数k的取值范围是∪，选B.]
(2)[解] 设点D的坐标为(x，y)，则＝(x－2，y＋1)，＝(－6，－3)，＝(x－3，y－2)．
∵点D在直线BC上，即与共线，
∴存在实数λ，使＝λ，
即(x－3，y－2)＝λ(－6，－3)，
∴
∴x－3＝2(y－2)，即x－2y＋1＝0.①
又∵AD⊥BC，∴·＝0，
即(x－2，y＋1)·(－6，－3)＝0，
∴－6(x－2)－3(y＋1)＝0，②
即2x＋y－3＝0.
由①②可得
即D点坐标为(1，1)，＝(－1，2)，
∴||＝＝，
综上，||＝，D(1，1)．
1．将本例(1)中的条件“a＝(2，1)”改为“a＝(－2，1)”，“锐角”改为“钝角”，求实数k的取值范围．
[解] 当a与b共线时，－2k－1＝0，k＝－，
此时a与b方向相反，夹角为180°，
所以要使a与b的夹角为钝角，则有a·b＜0，且a与b不反向．
由a·b＝－2＋k＜0得k＜2.
由a与b不反向得k≠－，
所以k的取值范围是∪.
2．将本例(1)中的条件“锐角”改为“”，求k的值．
[解] cos＝＝，
即＝，整理得3k2－8k－3＝0，
解得k＝－或3.
1．利用数量积的坐标表示求两向量夹角的步骤
(1)求向量的数量积．利用向量数量积的坐标表示求出这两个向量的数量积．
(2)求模．利用|a|＝计算两向量的模．
(3)求夹角余弦值．由公式cos θ＝求夹角余弦值．
(4)求角．由向量夹角的范围及cos θ求θ的值．
2．涉及非零向量a，b垂直问题时，一般借助a⊥b?a·b＝x1x2＋y1y2＝0来解决．
1．平面向量数量积的定义及其坐标表示，提供了数量积运算的两种不同的途径．准确地把握这两种途径，根据不同的条件选择不同的途径，可以优化解题过程．同时，平面向量数量积的两种形式沟通了“数”与“形”转化的桥梁，成为解决距离、角度、垂直等有关问题的有力工具．
2．应用数量积运算可以解决两向量的垂直、平行、夹角以及长度等几何问题，在学习中要不断地提高利用向量工具解决数学问题的能力．
3．注意区分两向量平行与垂直的坐标形式，二者不能混淆，可以对比学习、记忆．若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a∥b?x1y2－x2y1＝0，a⊥b?x1x2＋y1y2＝0.
4．事实上应用平面向量的数量积公式解答某些平面向量问题时，向量夹角问题却隐藏了许多陷阱与误区，常常会出现因模糊“两向量的夹角的概念”和忽视“两向量夹角”的范围，稍不注意就会带来失误与错误.
1．若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，下列命题错误的是( )
A．a⊥b?x1x2＋y1y2＝0
B．a·b＜0?a与b的夹角为钝角
C．若a·b≠0，则a与b不垂直
D．||表示A，B两点之间的距离
B [当a与b共线且反向时，a·b＜0，故B不正确．]
2．已知a＝(3，－1)，b＝(1，－2)，则a与b的夹角为( )
A． B． C． D．
B [a·b＝3×1＋(－1)×(－2)＝5，|a|＝＝，|b|＝＝，
设a与b的夹角为θ，则cos θ＝＝＝.又0≤θ≤π，∴θ＝.]
3．设a＝(2，4)，b＝(1，1)，若b⊥(a＋mb)，则实数m＝ ．
－3 [a＋mb＝(2＋m，4＋m)，
∵b⊥(a＋mb)，
∴(2＋m)×1＋(4＋m)×1＝0，
得m＝－3.]
4．已知平面向量a＝(1，x)，b＝(2x＋3，－x)，x∈R.
(1)若a⊥b，求x的值；
(2)若a∥b，求|a－b|.
[解] (1)若a⊥b，
则a·b＝(1，x)·(2x＋3，－x)
＝1×(2x＋3)＋x(－x)＝0，
即x2－2x－3＝0，解得x＝－1或x＝3.
(2)若a∥b，则1×(－x)－x(2x＋3)＝0，
即x(2x＋4)＝0，解得x＝0或x＝－2.
当x＝0时，a＝(1，0)，b＝(3，0)，
a－b＝(－2，0)，|a－b|＝2.
当x＝－2时，a＝(1，－2)，b＝(－1，2)，
a－b＝(2，－4)，|a－b|＝＝2.
综上，|a－b|＝2或2.
课时分层作业(二十二)
(建议用时：60分钟)
[基础达标练]
一、选择题
1．已知向量a＝(1，2)，b＝(3，－4)，则a在b上的投影为( )
A． B．－
C．1 D．－1
D [向量a＝(1，2)，b＝(3，－4)，则a在b上的投影为：＝＝－1，故选D.]
2．已知平面向量a＝(1，m)，b＝(2，5)，c＝(m，0)，且(a＋c)⊥(a－b)，则m＝( )
A．3＋ B．3－
C．3± D．－3±
C [∵a＝(1，m)，b＝(2，5)，c＝(m，0)，∴a＋c＝(1＋m，m)，a－b＝(－1，m－5)，
∵(a＋c)⊥(a－b)，∴－1－m＋m(m－5)＝m2－6m－1＝0，解得：m＝3±.]
3．a＝(－4，3)，b＝(5，6)，则3|a|2－4a·b等于( )
A．23 B．57
C．63 D．83
D [因为|a|2＝(－4)2＋32＝25，
a·b＝(－4)×5＋3×6＝－2，
所以3|a|2－4a·b＝3×25－4×(－2)＝83.]
4．设向量a与b的夹角为θ，a＝(2，1)，a＋3b＝(5，4)，则sin θ等于( )
A． B．
C． D．
A [设b＝(x，y)，则
a＋3b＝(2＋3x，1＋3y)＝(5，4)，
所以解得
即b＝(1，1)，
所以cos θ＝＝，
所以sin θ＝＝.]
5．已知向量a＝(1，－1)，b＝(1，2)，向量c满足(c＋b)⊥a，(c－a)∥b，则c等于( )
A．(2，1) B．(1，0)
C． D．(0，－1)
A [设向量c＝(x，y)，则c＋b＝(x＋1，y＋2)，c－a＝(x－1，y＋1)，
因为(c＋b)⊥a，所以(c＋b)·a＝x＋1－(y＋2)＝x－y－1＝0，
因为(c－a)∥b，所以＝，即2x－y－3＝0.
由解得所以c＝(2，1)．]
二、填空题
6．已知向量a＝(－1，x)，b＝(x＋2，x)，若|a＋b|＝|a－b|，则x＝ ．
－1或2 [已知向量a＝(－1，x)，b＝(x＋2，x)，因为|a＋b|＝|a－b|，两边平方得到a·b＝0，根据向量的坐标运算公式得到：x2－x－2＝0?x＝－1或2，故答案为：－1或2.]
7．已知a＝(1，2)，b＝(－3，2)，若ka＋b与a－3b垂直，则k的值为 ．
19 [ka＋b＝k(1，2)＋(－3，2)＝(k－3，2k＋2)，
a－3b＝(1，2)－3(－3，2)＝(10，－4)．
又ka＋b与a－3b垂直，故(ka＋b)·(a－3b)＝0，
即(k－3)·10＋(2k＋2)·(－4)＝0，得k＝19.]
8．如图，在2×4的方格纸中，若起点和终点均在格点的向量a，b，则向量a＋b，a－b的夹角余弦值是 ．
－ [不妨设每个小正方形的边长为1，建立如图所示的平面直角坐标系，
则a＝(2，－1)，b＝(3，2)，
所以a＋b＝(5，1)，a－b＝(－1，－3)，
所以(a＋b)·(a－b)＝－5－3＝－8，
|a＋b|＝，|a－b|＝，
所以向量a＋b，a－b的夹角余弦值为＝－.]
三、解答题
9．已知向量a，b满足|a|＝，b＝(1，－3)，且(2a＋b)⊥b.
(1)求向量a的坐标．
(2)求向量a与b的夹角．
[解] (1)设a＝(x，y)，
因为|a|＝，则＝，①
又因为b＝(1，－3)，且(2a＋b)⊥b，
2a＋b＝2(x，y)＋(1，－3)＝(2x＋1，2y－3)，
所以(2x＋1，2y－3)·(1，－3)＝2x＋1＋(2y－3)×(－3)＝0，即x－3y＋5＝0，②
由①②解得或
所以a＝(1，2)或a＝(－2，1)．
(2)设向量a与b的夹角为θ，
所以cos θ＝＝＝－或cos θ＝＝＝－，
因为0≤θ≤π，所以向量a与b的夹角θ＝.
10．在△ABC中，＝(2，3)，＝(1，k)，若△ABC是直角三角形，求k的值．
[解] ∵＝(2，3)，＝(1，k)，
∴＝－＝(－1，k－3)．
若∠A＝90°，
则·＝2×1＋3×k＝0，
∴k＝－；
若∠B＝90°，则·＝2×(－1)＋3(k－3)＝0，
∴k＝；
若∠C＝90°，则·＝1×(－1)＋k(k－3)＝0，
∴k＝.
综上，k的值为－或或.
[能力提升练]
1．已知a＝(1，－1)，b＝(λ，1)，a与b的夹角为钝角，则λ的取值范围是( )
A．λ＞1 B．λ＜1
C．λ＜－1 D．λ＜－1或－1＜λ＜1
D [由题意可得：a·b＝λ－1＜0，解得：λ＜1，且a与b的夹角不能为180°，即≠，∴λ≠－1，据此可得：λ的取值范围是λ＜－1或－1＜λ＜1.]
2．已知在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ADC＝90°，AD＝2，BC＝1，P是腰DC上的动点，则|＋3|的最小值为( )
A．3 B．5
C．7 D．8
B [如图，以D为原点，DA，DC分别为x，y轴建立平面直角坐标系，设DC＝a，DP＝x，则A(2，0)，B(1，a)，C(0，a)，D(0，0)，P(0，x)(0≤x≤a)，则＋3＝(2，－x)＋3(1，a－x)＝(5，3a－4x)，
所以|＋3|＝≥5.]
3．如图所示，已知点A(1，1)，单位圆上半部分上的点B满足·＝0，则向量的坐标为 ．
[根据题意可设B(cos θ，sin θ)(0＜θ＜π)，
＝(1，1)，＝(cos θ，sin θ)．
由·＝0得sin θ＋cos θ＝0，tan θ＝－1，
所以θ＝，cos＝－，sin＝，
所以＝.]
4．已知向量＝(2，2)，＝(4，1)，在x轴上存在一点P使·有最小值，则点P的坐标是 ．
(3，0) [设点P的坐标是(x，0)，则＝(x－2，－2)，＝(x－4，－1)，
所以·＝(x－2)(x－4)＋2＝x2－6x＋10＝(x－3)2＋1，
当x＝3时·取得最小值，故点P的坐标为(3，0)．]
5．已知三个点A(2，1)，B(3，2)，D(－1，4)，
(1)求证：AB⊥AD；
(2)要使四边形ABCD为矩形，求点C的坐标并求矩形ABCD两对角线所成的锐角的余弦值．
[解] (1)证明：∵A(2，1)，B(3，2)，D(－1，4)，
∴＝(1，1)，＝(－3，3)，
又∵·＝1×(－3)＋1×3＝0，
∴⊥，即AB⊥AD.
(2)⊥，四边形ABCD为矩形，
∴＝.
设C点坐标为(x，y)，则＝(1，1)，＝(x＋1，y－4)，
∴得
∴C点坐标为(0，5)．
由于＝(－2，4)，＝(－4，2)，
所以·＝8＋8＝16＞0，
||＝2，||＝2.
设与夹角为θ，则
cos θ＝＝＝＞0，
∴矩形的两条对角线所成的锐角的余弦值为.
