2.5 平面向量应用举例
2.5.1 平面几何中的向量方法
2.5.2 向量在物理中的应用举例
学 习 目 标
核 心 素 养
1.掌握用向量方法解决简单的几何问题、力学问题等一些实际问题．(重点)
2.体会向量是处理几何问题、物理问题的重要工具．(重点)
3.培养运用向量知识解决实际问题和物理问题的能力．(难点)
1.通过用向量方法解决几何问题的教学，提升了学生数学运算和直观想象的核心素养.
2.通过用向量方法解决物理问题的学习，提升了学生数学想象、数学建模的核心素养.
1．用向量方法解决平面几何问题的“三步曲”
(1)建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题；
(2)通过向量运算，研究几何元素之间的关系，如距离、夹角等问题；
(3)把运算结果“翻译”成几何关系．
2．向量在物理中的应用
(1)物理问题中常见的向量有力、速度、加速度、位移等．
(2)向量的加减法运算体现在力、速度、加速度、位移的合成与分解．
(3)动量mv是向量的数乘运算．
(4)功是力F与所产生的位移s的数量积．
1．已知平面内四边形ABCD和点O，若＝a，＝b，＝c，＝d，且a＋c＝b＋d，则四边形ABCD为( )
A．菱形 B．梯形 C．矩形 D．平行四边形
D [由条件知＋＝＋，则－＝－，即＝，∴四边形ABCD为平行四边形．]
2．已知△ABC中，＝a，＝b，且a·b＜0，则△ABC的形状为( )
A．钝角三角形 B．直角三角形
C．锐角三角形 D．不能确定
A [由条件知∠BAC为钝角，所以△ABC为钝角三角形．]
3．已知一个物体在大小为6 N的力F的作用下产生的位移s的大小为100 m，且F与s的夹角为60°，则力F所做的功W＝ J.
300 [W＝F·s＝6×100×cos 60°＝300(J)．]
4．已知三个力F1＝(3，4)，F2＝(2，－5)，F3＝(x，y)的合力F1＋F2＋F3＝0，则F3的坐标为 ．
(－5，1) [由F1＋F2＋F3＝0，则F3＝－(F1＋F2)，
∵F1＝(3，4)，F2＝(2，－5)，∴F1＋F2＝(5，－1)，即F3＝(－5，1)．]
向量在平面几何中的应用
[探究问题]
1．用向量法如何证明平面几何中AB⊥CD?
提示：法一：①选择一组向量作基底；②用基底表示和；③证明·的值为0；④给出几何结论AB⊥CD.
法二：先求，的坐标，＝(x1，y1)，＝(x2，y2)，再计算·的值为0，从而得到几何结论AB⊥CD.
2．用向量法如何证明平面几何中AB∥CD?
提示：法一：①选择一组向量作基底；②用基底表示和；③寻找实数λ，使＝λ，即∥；④给出几何结论AB∥CD.
法二：先求，的坐标，＝(x1，y1)，＝(x2，y2)．利用向量共线的坐标关系x1y2－x2y1＝0得到∥，再给出几何结论AB∥CD.
以上两种方法，都是建立在A，B，C，D中任意三点都不共线的基础上，才有∥得到AB∥CD.
【例1】 (1)已知非零向量与满足·＝0且·＝，则△ABC的形状是( )
A．三边均不相等的三角形 B．直角三角形
C．等腰三角形 D．等边三角形
(2)已知四边形ABCD是边长为6的正方形，E为AB的中点，点F在BC上，且BF∶FC＝2∶1，AF与EC相交于点P，求四边形APCD的面积．
思路点拨：(1)先由平行四边形法则分析＋的几何意义，由数量积为0推出垂直关系，再由·＝求∠BAC，最后判断△ABC的形状．
(2)先建系设点P坐标，再根据A，P，F和C，P，E分别共线求点P坐标，最后求四边形APCD的面积．
(1)C [由·＝0，得∠A的平分线垂直于BC，所以AB＝AC，设，的夹角为θ，
而·＝cos θ＝，
又θ∈[0，π]，所以∠BAC＝π－＝π，故△ABC为等腰三角形．]
(2)[解] 以A为坐标原点，AB为x轴，AD为y轴建立直角坐标系，如图所示，
∴A(0，0)，B(6，0)，C(6，6)，D(0，6)，
F(6，4)，E(3，0)，
设P(x，y)，＝(x，y)，
＝(6，4)，＝(x－3，y)，＝(3，6)．
由点A，P，F和点C，P，E分别共线，
得∴
∴S四边形APCD＝S正方形ABCD－S△AEP－S△CEB
＝36－×3×3－×3×6＝.
1．将本例(1)的条件改为(－)·(＋－2)＝0，试判断△ABC的形状．
[解] ∵(－)·(＋－2)＝0，
∴(－)·(－＋－)＝0，
∴·(＋)＝0，
∴(－)·(＋)＝0，
∴2－2＝0，即||2－||2＝0，
所以||＝||，
∴△ABC是等腰三角形．
2．将本例(2)的条件“BF∶FC＝2∶1”改为“BF∶FC＝1∶1”，求证：AF⊥DE.
[证明] 建立如图所示的平面直角坐标系，
则A(0，0)，B(6，0)，C(6，6)，D(0，6)，则中点E(3，0)，F(6，3)，
∴＝(6，3)，＝(3，－6)，
∴·＝6×3＋3×(－6)＝0，
∴⊥，∴AF⊥DE.
用向量法解决平面几何问题的两种思想
(1)几何法：选取适当的基底(基底中的向量尽量已知模或夹角)，将题中涉及的向量用基底表示，利用向量的运算法则、运算律或性质计算．
(2)坐标法：建立平面直角坐标系，实现向量的坐标化，将几何问题中的长度、垂直、平行等问题转化为代数运算．
向量在解析几何中的应用
【例2】 已知点A(1，0)，直线l：y＝2x－6，点R是直线l上的一点，若＝2，求点P的轨迹方程．
思路点拨：→
→→
[解] 设P(x，y)，R(x0，y0)，
则＝(1，0)－(x0，y0)＝(1－x0，－y0)，
＝(x，y)－(1，0)＝(x－1，y)．
由＝2，得
又∵点R在直线l：y＝2x－6上，∴y0＝2x0－6，
∴
由①得x0＝3－2x，代入②得6－2(3－2x)＝2y，整理得y＝2x，即为点P的轨迹方程．
用向量方法解决解析几何问题的步骤：一是把解析几何问题中的相关量用向量表示；二是转化为向量模型，通过向量运算解决问题；三是将结果还原为解析几何问题．
1．已知△ABC的三个顶点A(0，－4)，B(4，0)，C(－6，2)，点D，E，F分别为边BC，CA，AB的中点．
(1)求直线DE的方程；
(2)求AB边上的高线CH所在直线的方程．
[解] (1)设M(x，y)是直线DE上任意一点，
则∥，
因为点D，E分别为边BC，CA的中点，
所以点D，E的坐标分别为D(－1，1)，E(－3，－1)，
＝(x＋1，y－1)，＝(－2，－2)，
所以(－2)(x＋1)－(－2)(y－1)＝0，
即x－y＋2＝0为直线DE的方程．
(2)设点N(x，y)是CH所在直线上任意一点，则⊥，所以·＝0，
又＝(x＋6，y－2)，＝(4，4)，
所以4(x＋6)＋4(y－2)＝0，
即x＋y＋4＝0为所求直线CH的方程.
平面向量在物理中的应用
[探究问题]
1．向量的数量积与功有什么联系？
提示：物理上力做功的实质是力在物体前进方向上的分力与物体位移距离的乘积，它的实质是向量的数量积．
2．用向量方法解决物理问题的一般步骤是什么？
提示：用向量方法解决物理学中的相关问题，一般来说分为四个步骤：
①问题转化，即把物理问题转化为数学问题；②建立模型，即建立以向量为载体的数学模型；③求解参数，即求向量的模、夹角、数量积等；④回答问题，即把所得的数学结论回归到物理问题中．
【例3】 (1)一物体在力F1＝(3，－4)，F2＝(2，－5)，F3＝(3，1)的共同作用下从点A(1，1)移动到点B(0，5)．在这个过程中三个力的合力所做的功等于 ．
(2)设作用于同一点的三个力F1，F2，F3处于平衡状态，若|F1|＝1，|F2|＝2，且F1与F2的夹角为π，如图所示．
①求F3的大小；
②求F2与F3的夹角．
思路点拨：(1)
→
(2)①由三个力处于平衡状态用F1，F2表示F3
→
②用F1，F2表示F3→构造F2·F3→
(1)－40 [因为F1＝(3，－4)，F2＝(2，－5)，F3＝(3，1)，所以合力F＝F1＋F2＋F3＝(8，－8)，＝(－1，4)，
则F·＝－1×8－8×4＝－40，
即三个力的合力所做的功为－40.]
(2)[解] ①由题意|F3|＝|F1＋F2|，
因为|F1|＝1，|F2|＝2，且F1与F2的夹角为π，所以|F3|＝|F1＋F2|＝＝.
②设F2与F3的夹角为θ，
因为F3＝－(F1＋F2)，
所以F3·F2＝－F1·F2－F2·F2，
所以·2·cos θ＝－1×2×－4，
所以cos θ＝－，
所以θ＝π.
向量在物理中的应用
(1)求力向量、速度向量常用的方法：一般是向量几何化，借助于向量求和的平行四边形法则求解．
(2)用向量方法解决物理问题的步骤：
①把物理问题中的相关量用向量表示；
②转化为向量问题的模型，通过向量运算使问题解决；
③结果还原为物理问题．
2．一条宽为km的河，水流速度为2 km/h，在河两岸有两个码头A，B，已知AB＝km，船在水中最大航速为4 km/h；问怎样安排航行速度可使该船从A码头最快到达彼岸B码头？用时多少？
[解析] 如图所示，设为水流速度，为航行速度，以AC和AD为邻边作?ACED，
当AE与AB重合时能最快到达彼岸．
根据题意知AC⊥AE，
在Rt△ADE和?ACED中，
||＝||＝2，||＝4，∠AED＝90°，
∴||＝＝2，
÷2＝0.5(h)，sin ∠EAD＝，
∴∠EAD＝30°.
∴船实际航行速度大小为4 km/h，与水流成120°角时能最快到达B码头，用时0.5小时．
1．利用向量方法可以解决平面几何中的平行、垂直、夹角、距离等问题．利用向量解决平面几何问题时，有两种思路：一种思路是选择一组基底，利用基向量表示涉及的向量，另一种思路是建立坐标系，求出题目中涉及的向量的坐标．这两种思路都是通过向量的计算获得几何命题的证明．
2．用向量解决物理问题一般按如下步骤进行：①转化：把物理问题转化为数学问题；②建模：建立以向量为主体的数学模型；③求解：求出数学模型的相关解；④回归：回到物理现象中，用已获取的数值去解释一些物理现象.
1．下列命题正确的是( )
A．若∥，则直线AB与直线CD平行．
B．若△ABC是直角三角形，则必有·＝0
C．△ABC中，若·＋2＝0，则△ABC为等边三角形
D．||＝
D [A错，可能为同一条直线；B错，直角不一定是∠C；C错，由条件可得·(＋)＝·＝0，
∴∠BAC为直角，即△ABC为直角三角形，非等边三角形．]
2．过点M(2，3)，且垂直于向量u＝(2，1)的直线方程为( )
A．2x＋y－7＝0 B．2x＋y＋7＝0
C．x－2y＋4＝0 D．x－2y－4＝0
A [设P(x，y)是所求直线上任一点，则⊥u.又＝(x－2，y－3)，所以2(x－2)＋(y－3)＝0，即2x＋y－7＝0.]
3．已知作用在点A的三个力f1＝(3，4)，f2＝(2，－5)，f3＝(3，1)，且A(1，1)，则合力f＝f1＋f2＋f3的终点坐标为( )
A．(9，1) B．(1，9)
C．(9，0) D．(0，9)
A [f＝f1＋f2＋f3＝(3，4)＋(2，－5)＋(3，1)＝(8，0)，
设终点为B(x，y)，则(x－1，y－1)＝(8，0)，
所以所以所以终点坐标为(9，1)．]
4．已知△ABC是直角三角形，CA＝CB，D是CB的中点，E是AB上的一点，且AE＝2EB.求证：AD⊥CE.
[证明] 以C为原点，CA所在直线为x轴，CB所在直线为y轴，建立平面直角坐标系(略)．
设AC＝a，则A(a，0)，B(0，a)，
D，C(0，0)，E.
因为＝，＝，
所以·＝－a·a＋·a＝0，
所以⊥，即AD⊥CE.
课件53张PPT。第二章 平面向量2.5 平面向量应用举例
2.5.1 平面几何中的向量方法
2.5.2 向量在物理中的应用举例向量向量向量运算结果力、速度、加速度、位移力、速度、加速度、位移的合成与分解数乘力F所产生的位移s向量在平面几何中的应用 向量在解析几何中的应用 平面向量在物理中的应用 点击右图进入…Thank you for watching !课时分层作业(二十三)
(建议用时：45分钟)
[基础达标练]
一、选择题
1．在△ABC中，若(＋)·(－)＝0，则△ABC( )
A．是正三角形 B．是直角三角形
C．是等腰三角形 D．形状无法确定
C [由条件知2＝2，即||＝||，即△ABC为等腰三角形．]
2．当两人提起重量为G的旅行包时，夹角为θ，两人用力大小都为|F|，若|F|＝|G|，则θ的值为( )
A．30° B．60°
C．90° D．120°
D [由题意作出示意图，由|F|＝|G|知△AOC，△BOC都是等边三角形，
所以θ＝120°.]
3．在直角三角形ABC中，斜边BC长为2，O是平面ABC内一点，点P满足＝＋(＋)，则||等于( )
A．2 B．1
C． D．4
B [设BC边的中点为M，则(＋)＝，
∴＝＋＝，
∴P与M重合，
∴||＝||＝1.]
4．若向量＝(1，1)，＝(－3，－2)分别表示两个力F1，F2，则|F1＋F2|为( )
A．(5，0) B．(－5，0)
C． D．－
C [F1＋F2＝(1，1)＋(－3，－2)＝(－2，－1)，则|F1＋F2|＝＝.]
5．已知直角梯形ABCD中，AB⊥AD，AB＝2，DC＝1，AB∥DC，则当AC⊥BC时，AD＝( )
A．1 B．2 C．3 D．4
A [建立平面直角坐标系，如图所示．设AD＝t(t＞0)，则A(0，0)，C(1，t)，B(2，0)，
则＝(1，t)，＝(－1，t)．
由AC⊥BC知·＝－1＋t2＝0，解得t＝1，故AD＝1.]
二、填空题
6．一纤夫用牵绳拉船沿直线方向前进60 m，若牵绳与行进方向夹角为30°，纤夫的拉力为50 N，则纤夫对船所做的功为 J.
1 500 [所做的功W＝60×50×cos 30°＝1 500(J)．]
7．在平面直角坐标系xOy中，若定点A(1，2)与动点P(x，y)满足·＝4.则点P的轨迹方程是 ．
x＋2y－4＝0 [·＝(x，y)·(1，2)＝x＋2y＝4，
∴x＋2y－4＝0，故填x＋2y－4＝0.]
8．在四边形ABCD中，已知＝(4，－2)，＝(7，4)，＝(3，6)，则四边形ABCD的面积是 ．
30 [＝－＝(3，6)＝.
又因为·＝(4，－2)·(3，6)＝0，
所以四边形ABCD为矩形，
所以||＝＝2，
||＝＝3，
所以S＝||||＝2×3＝30.]
三、解答题
9．如图，平行四边形ABCD中，已知AD＝1，AB＝2，对角线BD＝2，求对角线AC的长．
[解] 设＝a，＝b，则＝a－b，＝a＋b，
而||＝|a－b|＝＝＝＝2，
所以5－2a·b＝4，所以a·b＝，又||2＝|a＋b|2＝a2＋2a·b＋b2＝1＋4＋2a·b＝6，
所以||＝，
即AC＝.
10．质量m＝2.0 kg的木块，在平行于斜面向上的拉力F＝10 N的作用下，沿倾斜角θ＝30°的光滑斜面向上滑行|s|＝2.0 m的距离(g取9.8 N/kg)．
(1)分别求物体所受各力对物体所做的功；
(2)在这个过程中，物体所受各力对物体做功的代数和是多少？
[解] (1)木块受三个力的作用，重力G，拉力F和支持力FN，如图所示．拉力F与位移s方向相同，所以拉力对木块所做的功为WF＝F·s＝|F||s|cos 0°＝20(J)．
支持力FN的方向与位移方向垂直，不做功，
所以WN＝FN·s＝0.
重力G对物体所做的功为
WG＝G·s＝|G||s|cos(90°＋θ)＝－19.6(J)．
(2)物体所受各力对物体做功的代数和为W＝WF＋WN＋WG＝0.4(J)．
[能力提升练]
1．△ABC中，若动点D满足2－2＋2·＝0，则点D的轨迹一定通过△ABC的( )
A．外心 B．内心
C．垂心 D．重心
A [取AB的中点E，则2－2＋2·＝(＋)·(－)＋2·＝2·＋2·＝2·(－)＝2·＝0，
∴AB⊥ED，即点D在AB的垂直平分线上，
∴点D的轨迹一定通过△ABC的外心．]
2．河水的流速为5 m/s，一艘小船想沿垂直于河岸方向以12 m/s的速度驶向对岸，则小船的静水速度大小为( )
A．13 m/s B．12 m/s
C．17 m/s D．15 m/s
A [设小船的静水速度为v1，
河水的流速为v2，
静水速度与河水速度的合速度为v，
为了使航向垂直河岸，船头必须斜向上游方向，
即静水速度v1斜向上游方向，河水速度v2平行于河岸，
静水速度与河水速度的合速度v指向对岸，
即静水速度|v1|＝＝＝13(m/s)．]
