课件55张PPT。第三章 三角恒等变换3.1 两角和与差的正弦、余弦和正切公式
3.1.1 两角差的余弦公式给角求值问题 给值(式)求值问题 给值求角问题 点击右图进入…Thank you for watching !
3.1 两角和与差的正弦、余弦和正切公式
3.1.1 两角差的余弦公式
学 习 目 标
核 心 素 养
1.了解两角差的余弦公式的推导过程．(重点)
2.理解用向量法导出公式的主要步骤．(难点)
3.熟练利用两角差余弦公式进行求值计算．(重点、易混点)
1.借助用向量法推导两角差的余弦公式，培养学生的数学建模的核心素养.
2.通过用两角差余弦公式进行化简、求值，提升学生的数学运算和数据分析的核心素养.
1．两角差的余弦公式
公式
cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β
适用条件
公式中的角α，β都是任意角
公式结构
公式右端的两部分为同名三角函数积，连接符号与左边角的连接符号相反
思考：cos(α－β)＝cos α－cos β成立吗？
[提示] 不一定成立，这是对公式的误解．
2．两角差的余弦公式的推导
在平面直角坐标系中作单位圆O，以Ox为始边作α，β，它们的终边与单位圆分别交A，B，则
＝(cos α，sin α)，＝(cos β，sin β)，
∴·＝cos αcos β＋sin αsin β，
设与的夹角为θ，则由数量积定义知
·＝||||cos θ＝cos θ，
∴cos θ＝cos αcos β＋sin αsin β.
∵α＝2kπ＋β＋θ(如图1)或α＝2kπ＋β－θ(k∈Z)(如图2)，∴α－β＝2kπ±θ(k∈Z)，
图1 图2
所以cos(α－β)＝cos θ，
所以cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β．
1．cos 65°cos 35°＋sin 65°sin 35°等于( )
A．cos 100° B．sin 100°
C． D．
C [原式＝cos(65°－35°)＝cos 30°＝.]
2．cos(－15°)的值是( )
A． B．
C． D．
D [cos(－15°)＝cos 15°＝cos(45°－30°)＝cos 45°cos 30°＋sin 45°sin 30°＝×＋×＝.]
3．cos(α－35°)cos(α＋25°)＋sin(α－35°)sin(α＋25°)＝ ．
[原式＝cos[(α－35°)－(α＋25°)]＝cos(－60°)＝cos 60°＝.]
4．已知α是锐角，sin α＝，则cos＝ ．
[由条件可求的cos α＝，∴cos＝coscos α＋sinsin α＝×＋×＝.]
给角求值问题
【例1】 (1)cos的值为( )
A． B． C． D．－
(2)求下列各式的值：
①cos 75°cos 15°－sin 75°sin 195°；
②sin 46°cos 14°＋sin 44°cos 76°；
③cos 15°＋sin 15°.
(1)D [cos＝cos＝－cos
＝－cos
＝－coscos－sinsin
＝－×－×＝－.]
(2)[解] ①cos 75°cos 15°－sin 75°sin 195°
＝cos 75°cos 15°－sin 75°sin(180°＋15°)
＝cos 75°cos 15°＋sin 75°sin 15°
＝cos(75°－15°)＝cos 60°＝.
②sin 46°cos 14°＋sin 44°cos 76°
＝sin(90°－44°)cos 14°＋sin 44°cos(90°－14°)
＝cos 44°cos 14°＋sin 44°sin 14°
＝cos(44°－14°)＝cos 30°＝.
③cos 15°＋sin 15°
＝cos 60°cos 15°＋sin 60°sin 15°
＝cos(60°－15°)＝cos 45°＝.
1．解含非特殊角的三角函数式的求值问题的一般思路是：
(1)把非特殊角转化为特殊角的和或差，正用公式直接求值．
(2)在转化过程中，充分利用诱导公式，构造两角差的余弦公式的结构形式，然后逆用公式求值．
2．两角差的余弦公式的结构特点：
(1)同名函数相乘：即两角余弦乘余弦，正弦乘正弦．
(2)把所得的积相加．
化简下列各式：
(1)cos(θ＋21°)cos(θ－24°)＋sin(θ＋21°)sin(θ－24°)；
(2)－sin 167°·sin 223°＋sin 257°·sin 313°.
[解] (1)原式＝cos[(θ＋21°)－(θ－24°)]
＝cos 45°＝.
(2)原式＝－sin(180°－13°)sin(180°＋43°)＋sin(180°＋77°)·sin(360°－47°)
＝sin 13°sin 43°＋sin 77°sin 47°
＝sin 13°sin 43°＋cos 13°cos 43°
＝cos(13°－43°)＝cos(－30°)＝.
给值(式)求值问题
[探究问题]
1．若已知α＋β和β的三角函数值，如何求cos α的值？
提示：cos α＝cos[(α＋β)－β]
＝cos(α＋β)cos β＋sin(α＋β)sin β.
2．利用α－(α－β)＝β可得cos β等于什么？
提示：cos β＝cos[α－(α－β)]＝cos αcos(α－β)＋sin αsin(α－β)．
【例2】 (1)已知sin α－sin β＝1－，cos α－cos β＝，则cos(α－β)＝( )
A．－ B．－ C． D．
(2)已知sin＝，α∈，求cos α的值．
思路点拨：(1)先将已知两式平方，再将所得两式相加，结合平方关系和公式C(α－β)求cos(α－β)．
(2)由已知角＋α与所求角α的关系即α＝－寻找解题思路．
(1)D [因为sin α－sin β＝1－，
所以sin2α－2sin αsin β＋sin2β＝， ①
因为cos α－cos β＝，所以cos2α－2cos αcos β＋cos2β＝， ②
由①②两式相加得1－2cos(α－β)＋1＝1－＋＋
所以－2cos(α－β)＝－，
所以cos(α－β)＝.]
(2)[解] ∵α∈，
∴＋α∈，
∴cos＝－
＝－＝－.
∵α＝－，
cos α＝cos
＝coscos＋sinsin＝－×＋×＝.]
1．将本例(2)的条件改为“sin＝，且<α<”，如何解答？
[解] ∵sin＝，且<α<，
∴<α＋<π，
∴cos＝－＝－，
∴cos α＝cos
＝coscos ＋sinsin
＝－×＋×＝.
2．将本例(2)的条件改为“sin＝－，α∈”，求cos的值．
[解] ∵＜α＜，∴－＜－α＜，
又sin＝－＜0，
∴－＜－α＜0，cos＝＝，
∴cos＝cos＝cos＝cos＋sin＝×＋×＝－.
给值求值问题的解题策略
(1)已知某些角的三角函数值，求另外一些角的三角函数值时，要注意观察已知角与所求表达式中角的关系，即拆角与凑角．
(2)由于和、差角与单角是相对的，因此解题过程中可以根据需要灵活地进行拆角或凑角．常见角的变换有：
①α＝(α－β)＋β；
②α＝＋；
③2α＝(α＋β)＋(α－β)；
④2β＝(α＋β)－(α－β)．
给值求角问题
【例3】 (1)已知α，β均为锐角，且sin α＝，sin β＝，则α－β＝
(2)已知cos α＝，cos(α＋β)＝－，α，β∈，则β＝ ．
思路点拨：(1)→→
(2)→→
(1) (2) [(1)∵α，β均为锐角，
∴cos α＝，cos β＝.
∴cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β＝×＋×＝.
又∵sin α＞sin β，∴0＜β＜α＜，
∴0＜α－β＜.故α－β＝.
(2)∵α，β∈，∴α＋β∈(0，π)．
∵cos α＝，cos(α＋β)＝－，
∴sin α＝，sin(α＋β)＝，
∴cos β＝cos[(α＋β)－α]＝cos(α＋β)cos α＋sin(α＋β)·sin α＝×＋×＝.∵0＜β＜，
∴β＝.]
1．本例(1)中“sin α”变为“cos α”，“sin β”变为“cos β”，α－β的值怎样？
[解] ∵α，β均为锐角，
∴sin α＝＝，
sin β＝＝，
∴cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β
＝×＋×＝.
∵sin α＜sin β，
∴0＜α＜β＜.
∴－＜α－β＜0.
∴α－β＝－.
2．若本例(2)变为：已知cos α＝，cos(α－β)＝，且0＜β＜α＜，结果怎样？
[解] 由cos α＝，0＜α＜，
得sin α＝
＝＝.
由0＜β＜α＜，得0＜α－β＜.
又因为cos(α－β)＝，
所以sin(α－β)＝＝＝.
由β＝α－(α－β)得cos β＝cos[α－(α－β)]
＝cos αcos(α－β)＋sin αsin(α－β)
＝×＋×＝，
所以β＝.
已知三角函数值求角的解题步骤
(1)界定角的范围，根据条件确定所求角的范围．
(2)求所求角的某种三角函数值．为防止增解最好选取在范围内单调的三角函数．
(3)结合三角函数值及角的范围求角．
提醒：在根据三角函数值求角时，易忽视角的范围而得到错误答案．
1．“给式求值”或“给值求值”问题，即由给出的某些函数关系式或某些角的三角函数值，求另外一些角的三角函数值，关键在于“变式”或“变角”，使“目标角”换成“已知角”．注意公式的正用、逆用、变形用，有时需运用拆角、拼角等技巧．
2．“给值求角”问题，实际上也可转化为“给值求值”问题，求一个角的值，可分以下三步进行：
(1)求角的某一三角函数值．
(2)确定角所在的范围(找区间)．
(3)确定角的值．
确定用所求角的哪种三角函数值，要根据具体题目而定.
1．下列命题正确的是( )
A．对于任意角α，β，都有cos(α－β)＝cos α－cos β
B．对于任意角α，β，都有cos(α－β)≠cos α－cos β
C．不存在角α，β，使得cos(α－β)＝cos αcos β－sin αsin β
D．存在α和β，使得cos(α＋β)＝cos αcos β＋sin αsin β
D [A明显不成立；B中当α＝，β＝时，等式成立，
∴B不成立；C中，当α＝kπ或β＝kπ时(k∈Z)等式成立，D正确，因为当α＝β＝0时，等式成立．]
2．cos 50°＝( )
A．cos 70°cos 20°－sin 70°sin 20°
B．cos 70°sin 20°－sin 70°cos 20°
C．cos 70°cos 20°＋sin 70°sin 20°
D．cos 70°sin 20°＋sin 70°cos 20°
C [50°＝70°－20°，根据两角差的余弦公式知C正确．]
3．若sin αsin β＝1，则cos(α－β)的值为 ．
1 [由sin αsin β＝1，得cos αcos β＝0，
cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β＝1.]
4．已知sin α＝－，sin β＝，且180°＜α＜270°，90°＜β＜180°，求cos(α－β)的值．
[解] 因为sin α＝－，180°＜α＜270°，
所以cos α＝－.
因为sin β＝，90°＜β＜180°，
所以cos β＝－.
所以cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β
＝×＋×
＝－＝.
课时分层作业(二十四)
(建议用时：45分钟)
[基础达标练]
一、选择题
1．cos 165°的值是( )
A． B．
C． D．
D [cos 165°＝－cos 15°＝，故选D.]
2．计算cos cos ＋sin sin的值是( )
A．0 B．
C． D．
C [原式＝cos＝cos＝.]
3．若a＝(cos 78°，sin 78°)，b＝(cos 18°，sin 18°)，则a·b＝( )
A． B．
C． D．－
B [a·b＝cos 78°cos 18°＋sin 78°sin 18°＝cos(78°－18°)＝cos 60°＝.]
4．已知sin α＝，α是第二象限角，则cos(α－60°)＝( )
A． B．
C． D．
B [因为sin α＝，α是第二象限角，
所以cos α＝－，故cos(α－60°)＝cos αcos 60°＋sin αsin 60°＝×＋×＝.]
5．已知点P(1，)是角α终边上一点，则cos等于( )
A． B．
C．－ D．
A [由题意可得sin α＝，cos α＝，
cos＝coscos α＋sinsin α
＝×＋×＝.]
二、填空题
6．化简：sin(α－β)sin(β－γ)＋cos(α－β)cos(γ－β)＝ ．
cos(α＋γ－2β) [原式＝sin(α－β)sin(β－γ)＋cos(α－β)cos(β－γ)
＝cos(α－β)cos(β－γ)＋sin(α－β)sin(β－γ)
＝cos[(α－β)－(β－γ)]＝cos(α＋γ－2β)．]
7．在△ABC中，sin A＝，cos B＝－，则cos(A－B)＝ .
－ [因为cos B＝－，且0
所以所以sin B＝＝＝，且0所以cos A＝＝＝，
所以cos(A－B)＝cos Acos B＋sin Asin B，
＝×＋×＝－.]
8．在平面直角坐标系xOy中，角α与角β均以Ox为始边，它们的终边关于y轴对称．若sin α＝，则cos(α－β)＝ ．
－ [因为角α与角β均以Ox为始边，终边关于y轴对称，
所以sin β＝sin α＝，cos β＝－cos α，
所以cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β
＝－cos2α＋sin2α
＝－(1－sin2α)＋sin2α
＝2sin2α－1
＝2×－1＝－.]
三、解答题
9．若x∈，且sin x＝，求2cos＋2cos x的值．
[解] ∵x∈，sin x＝，∴cos x＝－.
∴2cos＋2cos x
＝2＋2cos x
＝2＋2cos x
＝sin x＋cos x＝－＝.
10．已知cos(α－β)＝－，sin(α＋β)＝－，<α－β<π，<α＋β<2π，求β的值．
[解] ∵<α－β<π，cos(α－β)＝－，
∴sin(α－β)＝.∵<α＋β<2π，sin(α＋β)＝－，
∴cos(α＋β)＝，
∴cos 2β＝cos[(α＋β)－(α－β)]
＝cos(α＋β)cos(α－β)＋sin(α＋β)sin(α－β)
＝×＋×＝－1.
∵<α－β<π，<α＋β<2π，
∴<2β<，2β＝π，∴β＝.
[能力提升练]
1．若cos(α－β)＝，cos 2α＝，并且α，β均为锐角且α＜β，则α＋β的值为 ．
[sin(α－β)＝－，sin 2α＝，
∴cos(α＋β)＝cos[2α－(α－β)]
＝cos 2αcos(α－β)＋sin 2αsin(α－β)
＝×＋×＝－，
∵α＋β∈(0，π)，∴α＋β＝.]
2．已知向量a＝(cos α，sin α)，b＝(cos β，sin β)，|a－b|＝，cos(α－β)的值为 ．
[因为a＝(cos α，sin α)，
b＝(cos β，sin β)，
所以a－b＝(cos α－cos β，sin α－sin β)，
所以|a－b|＝
＝
＝＝，
所以2－2cos(α－β)＝，
所以cos(α－β)＝.]
