课件63张PPT。第三章 三角恒等变换3.1 两角和与差的正弦、余弦和正切公式
3.1.2 两角和与差的正弦、余弦、正切公式
第1课时 两角和与差的正弦、余弦公式给角求值问题 给值求值问题 给值求角 辅助角公式的应用 点击右图进入…Thank you for watching !课件52张PPT。第三章 三角恒等变换3.1 两角和与差的正弦、余弦和正切公式
3.1.2 两角和与差的正弦、余弦、正切公式
第2课时 两角和与差的正切公式两角和与差的正切公式的应用 两角和与差的正切公式的逆用 两角和与差的正切公式的变形运用 点击右图进入…Thank you for watching !3.1.2 两角和与差的正弦、余弦、正切公式
第1课时 两角和与差的正弦、余弦公式
学 习 目 标
核 心 素 养
1.掌握用两角差的余弦公式推导两角和的余弦公式和两角差与和的正弦公式．(重点)
2.会利用两角和与差的正弦、余弦公式进行简单的三角函数求值、化简和证明．(重点)
3.熟练两角和与差的正弦、余弦公式地灵活运用，了解公式的正用、逆用和变用等常用方法．(难点、易混点)
1.借助用两角差的余弦公式推导两角和的余弦公式以及两角和与差的正弦公式，培养学生的逻辑推理的核心素养.
2.通过用两角和与差的正弦、余弦公式进行化简、求值，提升学生的数学运算和数据分析的核心素养.
1．两角和与差的余弦公式
名称
简记符号
公式
使用条件
两角差的余弦公式
C(α－β)
cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β
α，β∈R
两角和的余弦公式
C(α＋β)
cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β
α，β∈R
2.两角和与差的正弦公式
名称
简记符号
公式
使用条件
两角和的正弦公式
S(α＋β)
sin(α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β
α，β∈R
两角差的正弦公式
S(α－β)
sin(α－β)＝sin αcos β－cos αsin β
α，β∈R
思考：sin(α＋β)＝sin α＋sin β成立吗？你能举出一例吗？
[提示] 不一定成立，如sin≠sin＋sin.
3．两角和余弦公式的推导
由α＋β＝α－(－β)，
∴cos(α＋β)＝cos[α－(－β)]
＝cos αcos(－β)＋sin αsin(－β)
＝cos α cosβ－sin αsin β．
1．sin 20°cos 10°－cos 160°sin 10°＝( )
A．－ B． C．－ D.
D [原式＝sin 20°cos 10°＋cos 20°sin 10°＝sin(20°＋10°)＝sin 30°＝.]
2．cos 57°cos 3°－sin 57°sin 3°的值为( )
A．0 B． C． D．cos 54°
B [原式＝cos(57°＋3°)＝cos 60°＝.]
3．若cos α＝－，α是第三象限的角，则sin＝ ．
－ [∵cos α＝－，α是第三象限的角，
∴sin α＝－＝－，
∴sin＝sin α－cos α＝×－×＝－.]
4.cos 15°＋sin 15°＝ ．
[原式＝sin 30°cos 15°＋cos 30°sin 15°＝sin 45°＝.]
给角求值问题
【例1】 (1)cos 70°sin 50°－cos 200°sin 40°的值为( )
A．－ B．－ C． D．
(2)若θ是第二象限角且sin θ＝，则cos(θ＋60°)＝ ．
(3)求值：(tan 10°－).
(1)D (2)－ [(1)∵cos 200°＝cos(180°＋20°)＝－cos 20°＝－sin 70°，
sin 40°＝cos 50°，
∴原式＝cos 70°sin 50°－(－sin 70°)cos 50°
＝sin(50°＋70°)＝sin 120°＝.
(2)∵θ是第二象限角且sin θ＝，
∴cos θ＝－＝－，
∴cos(θ＋60°)＝cos θ－sin θ
＝×－×
＝－.]
(3)[解] 原式＝(tan 10°－tan 60°)
＝
＝·
＝－2.
解决给角求值问题的策略
(1)对于非特殊角的三角函数式求值问题，一定要本着先整体后局部的基本原则，如果整体符合三角公式的形式，则整体变形，否则进行各局部的变形．
(2)一般途径有将非特殊角化为特殊角的和或差的形式，化为正负相消的项并消项求值，化分子、分母形式进行约分，解题时要逆用或变用公式．
提醒：在逆用两角和与差的正弦和余弦公式时，首先要注意结构是否符合公式特点，其次注意角是否满足要求．
1．化简求值：
(1)；
(2)sin(θ＋75°)＋cos(θ＋45°)－cos(θ＋15°)．
[解] (1)原式＝
＝
＝＝sin 30°＝.
(2)设α＝θ＋15°，
则原式＝sin(α＋60°)＋cos(α＋30°)－cos α
＝＋－cos α＝0.
给值求值问题
【例2】 (1)已知sin α＝，cos β＝－，且α为第一象限角，β为第二象限角，求sin(α＋β)和sin(α－β)的值；
(2)求值：sin＋cos；
(3)已知＜β＜α＜，cos(α－β)＝，sin(α＋β)＝－，求cos 2α与cos 2β的值．
思路点拨：(1)采用直接法：
→
(2)采用常值代换：转化逆用公式．
(3)采用角的代换
→
→
→
[解] (1)∵α为第一象限角且sin α＝，
∴cos α＝.
又β为第二象限角且cos β＝－，
∴sin β＝，
∴sin(α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β
＝×＋×＝.
sin(α－β)＝sin αcos β－cos αsin β
＝×－×＝－.
(2)sin ＋cos
＝2
＝2
＝2sin＝2sin＝.
(3)∵＜β＜α＜，
∴0＜α－β＜，π＜α＋β＜.
又∵cos(α－β)＝，sin(α＋β)＝－，
∴sin(α－β)＝
＝＝，
cos(α＋β)＝－
＝－＝－.
∴cos 2α＝cos [(α＋β)＋(α－β)]
＝cos(α＋β)cos(α－β)－sin(α＋β)sin(α－β)
＝－×－×＝－，
cos 2β＝cos[(α＋β)－(α－β)]
＝cos(α＋β)cos(α－β)＋sin(α＋β)sin(α－β)
＝－×＋×＝－.
给值求值的方法
(1)直接法：当“已知角”有两个时，“所求角”一般表示为两个“已知角”的和或差的形式．
(2)常值代换：用某些三角函数代替某些常数，使之代换后能运用相关的公式，我们把这种代换称为常值代换，其中特别要注意的是“1”的代换，如1＝sin2α＋cos2α，1＝tan 45°，1＝sin 90°等.1，，，，等均可视为某个特殊角的三角函数值，从而将常数换为三角函数使用．
(3)角的代换：将未知角用已知角表示出来，使之能直接运用公式，像这样的代换方法就是角的代换．
常见的有：α＝(α＋β)－β，α＝β－(β－α)，
α＝[(α＋β)＋(α－β)]＝[(α＋β)－(β－α)]，
＝－，α＋β＝(2α＋β)－α，
2α＝(α＋β)＋(α－β)，2β＝(α＋β)－(α－β)等．
2．若sin＝，cos＝，且0＜α＜＜β＜，求sin(α＋β)的值．
[解] ∵0＜α＜＜β＜，
∴＜＋α＜π，－＜－β＜0，
又sin＝，cos＝，
∴cos＝－，sin＝－.
∴sin(α＋β)＝－cos
＝－cos
＝－
＝－＝.
给值求角
【例3】 已知cos α＝，sin(α＋β)＝，0＜α＜，0＜β＜，求角β的值．
思路点拨：→→
→
[解] 因为0＜α＜，cos α＝，所以sin α＝.
又因为0＜β＜，
所以0＜α＋β＜π.
因为sin(α＋β)＝＜sin α，
所以＜α＋β＜π，
所以cos(α＋β)＝－，
所以sin β＝sin[(α＋β)－α]
＝sin(α＋β)cos α－cos(α＋β)sin α
＝×－×＝.
又因为0＜β＜，所以β＝.
求解给值求角的关键两点
(1)求出所求角的某种三角函数值；(2)确定角的范围．一旦做好这两个环节，结合三角函数的性质与图象，便可求解．
提醒：确定所求角的哪种三角函数值，要根据具体题目，结合所给角的范围确定．
3．已知cos α＝，sin(α－β)＝，且α，β∈.求：(1)cos(2α－β)的值；(2)β的值．
[解] (1)因为α，β∈，
所以α－β∈，又sin(α－β)＝＞0，
所以0＜α－β＜，
所以sin α＝＝，
cos(α－β)＝＝，
cos(2α－β)＝cos[α＋(α－β)]
＝cos αcos(α－β)－sin αsin(α－β)
＝×－×
＝.
(2)cos β＝cos[α－(α－β)]
＝cos αcos(α－β)＋sin αsin(α－β)
＝×＋×＝，
又因为β∈，所以β＝.
辅助角公式的应用
[探究问题]
1．能否将函数y＝sin x＋cos x(x∈R)化为y＝Asin(x＋φ)的形式？
提示：能．y＝sin x＋cos x＝sin.
2．如何推导asin x＋bcos x＝sin(x＋φ)公式？
提示：asin x＋bcos x
＝，
令cos φ＝，sin φ＝，则
asin x＋bcos x＝(sin xcos φ＋cos xsin φ)
＝sin(x＋φ)(其中φ角所在象限由a，b的符号确定，φ角的值由tan φ＝确定，或由sin φ＝和cos φ＝共同确定)．
【例4】 (1)sin－cos＝ ．
(2)已知a＝(，－1)，b＝(sin x，cos x)，x∈R，f(x)＝a·b，求函数f(x)的周期，值域，单调递增区间．
思路点拨：解答此类问题的关键是巧妙构建公式C(α－β)、C(α＋β)、S(α－β)、S(α＋β)的右侧，逆用公式化成一个角的一种三角函数值．
(1)－ [原式＝2.
法一：(化正弦)原式
＝2
＝2
＝2sin＝2sin＝－.
法二：(化余弦)原式
＝2
＝－2
＝－2cos＝－2cos＝－.]
(2)[解] f(x)＝sin x－cos x
＝2
＝2
＝2sin，
∴T＝＝2π，值域[－2，2]．
由－＋2kπ≤x－≤＋2kπ，得递增区间，k∈Z.
1．若将本例(2)中a＝(，－1)改为a＝(－1，)，其他条件不变，如何解答？
[解] f(x)＝－sin x＋cos x＝2＝2cos，
∴T＝2π，值域为[－2，2]，
由－π＋2kπ≤x＋≤2kπ，得递增区间
，k∈Z.
2．若将本例(2)中a＝(，－1)改为a＝(m，m)其中m＞0，其他条件不变，应如何解答？
[解] f(x)＝msin x＋mcos x＝msin，
∴T＝2π，值域为[－m，m]，
由－＋2kπ≤x＋≤＋2kπ，得递增区间，k∈Z.
辅助角公式及其运用
(1)公式形式：公式asin α＋bcos α＝sin(α＋φ)(或asin α＋bcos α＝cos(α－φ))将形如asin α＋bcos α(a，b不同时为零)的三角函数式收缩为同一个角的一种三角函数式．
(2)形式选择：化为正弦还是余弦，要看具体条件而定，一般要求变形后角α的系数为正，这样更有利于研究函数的性质．
提醒：在使用辅助角公式时常因把辅助角求错而致误．
1．公式的推导和记忆
(1)理顺公式间的逻辑关系
C(α－β)C(α＋β)S(α＋β)S(α－β)．
(2)注意公式的结构特征和符号规律
对于公式C(α－β)，C(α＋β)可记为“同名相乘，符号反”；对于公式S(α－β)，S(α＋β)可记为“异名相乘，符号同”．
(3)符号变化是公式应用中易错的地方，特别是公式C(α－β)，C(α＋β)，S(α－β)，且公式sin(α－β)＝sin αcos β－cos αsin β，角α，β的“地位”不同也要特别注意．
2．应用公式需注意的三点
(1)要注意公式的正用、逆用，尤其是公式的逆用，要求能正确地找出所给式子与公式右边的异同，并积极创造条件逆用公式．
(2)注意拆角、拼角的技巧，将未知角用已知角表示出来，使之能直接运用公式．
(3)注意常值代换：用某些三角函数值代替某些常数，使之代换后能运用相关公式，其中特别要注意的是“1”的代换，如1＝sin2α＋cos2α，1＝sin 90°，＝cos 60°，＝sin 60°等，再如：0，，，等均可视为某个特殊角的三角函数值，从而将常数换为三角函数.
1．下列说法不正确的是( )
A．存在角α，β，使得cos(α＋β)＝cos αcos β＋sin αsin β
B．任意角α，β，都有sin(α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β
C．存在角α，β，使sin(α－β)≠sin αcos β－cos αsin β
D．存在角α，β，使sin(α＋β)＝sin αcos β－cos αsin β
C [A对，当β＝2kπ时，cos β＝1，sin β＝0，等式成立；B对，这是恒等式，对任意α，β均成立；C错，sin(α－β)＝sin αcos β－cos αsin β恒成立；D对，β＝2kπ时，等式成立．]
2．化简cos x－sin x等于( )
A．2sin B．2cos
C．2sin D．2cos
D [cos x－sin x＝2
＝2
＝2cos.]
3．cos βcos(α－β)－sin βsin(α－β)＝ ．
cos α [cos βcos(α－β)－sin βsin(α－β)＝cos[β＋(α－β)]＝cos α.]
4．已知α，β均为锐角，sin α＝，cos β＝，求α－β.
[解] ∵α，β均为锐角，sin α＝，cos β＝，
∴sin β＝，cos α＝.
∵sin α∴sin(α－β)＝sin αcos β－cos αsin β
＝×－×＝－，∴α－β＝－.
第2课时 两角和与差的正切公式
学 习 目 标
核 心 素 养
1.能利用两角和与差的正弦、余弦公式推导出两角和与差的正切公式．(重点)
2.能利用两角和与差的正切公式进行化简、求值和证明．(重点)
3.熟练两角和与差的正切公式的常见变形，并能灵活应用．(难点)
1.借助两角和与差的正切公式的推导过程，培养学生数学建模和逻辑推理的核心素养.
2.通过利用两角和与差的正切公式进行化简、求值，提升学生的数学运算、数据分析和逻辑推理的核心素养.
两角和与差的正切公式
名称
简记符号
公式
使用条件
两角和的正切公式
T(α＋β)
tan(α＋β)＝
α，β，α＋β≠kπ＋(k∈Z)且tan α·tan β≠1
两角差的正切公式
T(α－β)
tan(α－β)＝
α，β，α－β≠kπ＋(k∈Z)且tan α·tan β≠－1
思考：两角和与差的正切公式对任意角α，β均成立吗？
[提示] 不是对任意角α，β均成立，必须使正切有意义，两角和的正切公式使用条件为α，β，α＋β≠kπ＋(k∈Z)，两角差的正切公式使用条件为α，β，α－β≠kπ＋(k∈Z)．
1．已知tan α＝4，tan β＝3，则tan(α＋β)＝( )
A． B．－ C. D．－
B [tan(α＋β)＝＝＝－.]
2．已知A＋B＝45°，则(1＋tan A)(1＋tan B)的值为( )
A．1 B．2 C．－2 D．不确定
B [∵A＋B＝45°，∴(1＋tan A)(1＋tan B)
＝1＋tan A＋tan B＋tan Atan B＝1＋tan(A＋B)(1－tan A tan B)＋tan Atan B＝1＋tan 45°(1－tan Atan B)＋tan Atan B＝2.]
3．已知tan α＝2，则tan＝ ．
－3 [tan＝＝＝－3.]
4.＝ ．
[原式＝tan(75°－15°)＝tan 60°＝.]
两角和与差的正切公式的应用
【例1】 (1)已知tan α＝，tan(α－β)＝－，则tan(β－2α)＝( )
A．－ B．－ C．－ D．
(2)如图，在△ABC中，AD⊥BC，D为垂足，AD在△ABC的外部，且BD∶CD∶AD＝2∶3∶6，则tan∠BAC＝ ．
思路点拨：(1)构造角2α－β＝α＋(α－β)．
(2)先求∠CAD，∠BAD的正切值，再依据tan∠BAC＝tan(∠CAD－∠BAD)求值．
(1)B (2) [(1)由已知可知tan(－α)＝－，又β－2α＝(－α)－(α－β)，所以tan(β－2α)＝tan[(－α)－(α－β)]＝＝＝－.
(2)∵AD⊥BC且BD∶CD∶AD＝2∶3∶6，
∴tan∠BAD＝＝，
tan∠CAD＝＝，
tan∠BAC＝tan(∠CAD－∠BAD)
＝
＝
＝.]
1．公式T(α±β)的结构特征和符号规律：
(1)结构特征：公式T(α±β)的右侧为分式形式，其中分子为tan α与tan β的和或差，分母为1与tan αtan β的差或和．
(2)符号规律：分子同，分母反．
2．利用公式T(α＋β)求角的步骤：
(1)计算待求角的正切值．
(2)缩小待求角的范围，特别注意隐含的信息．
(3)根据角的范围及三角函数值确定角．
1．(1)(2018·全国卷Ⅱ)已知tan(α－)＝，则tan α＝ ．
(2)已知角α，β均为锐角，且cos α＝，tan(α－β)＝－，则tan β＝ ．
(1) (2)3 [(1)因为tan(α－)＝，
所以tan α＝tan[(α－)＋]
＝＝＝.
(2)因为cos α＝，α为锐角，所以sin α＝，tan α＝，
所以tan β＝tan[α－(α－β)]＝＝＝3.]
两角和与差的正切公式的逆用
【例2】 (1)＝ ．
(2)＝ ．
思路点拨：注意特殊角的正切值和公式T(α±β)的结构，适当变形后逆用公式求值．
(1) (2)－1 [(1)原式＝
＝tan(45°＋15°)
＝tan 60°＝.
(2)原式＝
＝
＝tan(30°－75°)＝－tan 45°＝－1.]
公式T(α±β)的逆用
一方面要熟记公式的结构，另一方面要注意常值代换．
如tan＝1，tan＝，tan＝等．
要特别注意tan＝，tan＝.
2．求值：(1)；
(2)tan 23°＋tan 37°＋tan 23°tan 37°.
[解] (1)原式＝tan(74°＋76°)＝tan 150°＝－.
(2)∵tan 60°＝＝，
∴tan 23°＋tan 37°＝－tan 23°tan 37°，
∴tan 23°＋tan 37°＋tan 23°tan 37°＝.
两角和与差的正切公式的变形运用
[探究问题]
1．两角和与差的正切公式揭示了tan αtan β与哪些式子的关系？
提示：揭示了tan αtan β与tan α＋tan β，tan αtan β与tan α－tan β之间的关系．
2．若tan α，tan β是关于x的方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0，b2－4ac≥0)的两个根，则如何用a，b，c表示tan(α＋β)?
提示：tan(α＋β)＝＝＝－.
【例3】 (1)tan 67°－tan 22°－tan 67°tan 22°＝ ．
(2)已知△ABC中，tan B＋tan C＋tan Btan C＝，且tan A＋tan B＝tan Atan B－1，试判断△ABC的形状．
思路点拨：(1)看到tan 67°－tan 22°与tan 67°tan 22°想到将tan(67°－22°)展开变形，寻找解题思路．
(2)先由关于角A，B的等式求出tan(A＋B)得角A＋B，然后求角C并代入关于角B，C的等式求角B，最后求角A，判断△ABC的形状．
(1)1 [∵tan 67°－tan 22°
＝tan(67°－22°)(1＋tan 67°tan 22°)
＝tan 45°(1＋tan 67°tan 22°)
＝1＋tan 67°tan 22°，
∴tan 67°－tan 22°－tan 67°tan 22°
＝1＋tan 67°tan 22°－tan 67°tan 22°＝1.]
(2)[解] ∵tan A＋tan B
＝tan Atan B－1，
∴(tan A＋tan B)＝tan Atan B－1，
∴＝－，
∴tan(A＋B)＝－.
又0＜A＋B＜π，∴A＋B＝，
∴C＝.
∵tan B＋tan C＋tan Btan C＝，
tan C＝，
∴tan B＋＋tan B＝，tan B＝，
∴B＝，∴A＝，
∴△ABC为顶角为的等腰三角形．
1．将本例(1)中的角同时增加1°结果又如何？
[解] ∵tan 45°＝tan(68°－23°)＝，
∴1＋tan 68°tan 23°＝tan 68°－tan 23°，
即tan 68°－tan 23°－tan 68°tan 23°＝1.
2．能否为本例(1)和探究1归纳出一个一般结论？若能，试证明．
[解] 一般结论：若α－β＝45°(α，β≠kπ＋，k∈Z)，则tan α－tan β－tan αtan β＝1.
证明：∵tan 45°＝tan(α－β)＝，
∴1＋tan αtan β＝tan α－tan β，
即tan α－tan β－tan αtan β＝1.
1．整体意识：若化简的式子中出现了“tan α±tan β”及“tan α·tan β”两个整体，常考虑tan(α±β)的变形公式．
2．熟知变形：两角和的正切公式的常见四种变形：
(1)tan α＋tan β＝tan(α＋β)(1－tan αtan β)；
(2)1－tan αtan β＝；
(3)tan α＋tan β＋tan α·tan β·tan(α＋β)＝tan(α＋β)；
(4)tan α·tan β＝1－.
提醒：当一个式子中出现两角正切的和或差时，常考虑使用两角和或差的正切公式．
1．应用公式T(α±β)时要注意的问题
(1)公式的适用范围
由正切函数的定义可知，公式的适用条件是α，β，α＋β(或α－β)≠kπ＋(k∈Z)．
(2)公式的变形应用
只要用到tan α±tan β，tan αtan β时，有灵活应用公式T(α±β)的意识，就不难想到解题思路．
特别提醒：tan α＋tan β，tan αtan β，容易与根与系数的关系联系，应注意此类题型．
2．活用公式巧变换
(1)“1”的代换：在T(α±β)中，如果分子中出现“1”常利用1＝tan来代换，以达到化简求值的目的．如＝tan.
(2)角的变换：看到两个角的正切值应想到T(α±β)公式看到α＋β，β，α－β应想到凑角，如α＝(α＋β)－β＝(α－β)＋β；β＝[(α＋β)－(α－β)]等．
(3)名的变换：常常用到同角关系，诱导公式，把正弦、余弦化为正切，或把正切化为正、余弦求解.
1．下列说法不正确的是( )
A．存在α，β∈R，使tan(α＋β)＝tan α＋tan β成立
B．对任意α，β∈R，tan(α＋β)＝都成立．
C．tan(α＋β)＝等价于tan α＋tan β＝tan(α＋β)·(1－tan αtan β)
D．△ABC中，若tan Atan B＜0，则三角形为钝角三角形
B [A对．当α＝0，β＝时，tan(α＋β)＝tan＝tan 0＋tan，但一般情况下不成立．B错．两角和的正切公式的适用范围是α，β，α＋β≠kπ＋(k∈Z)．C对．当α≠kπ＋(k∈Z)，β≠kπ＋(k∈Z)，α＋β≠kπ＋(k∈Z)时，由前一个式子两边同乘以1－tan αtan β可得后一个式子．D对．tan Atan B＜0，则A，B中必有一个为钝角，所以三角形必为钝角三角形．]
2．已知tan α＋tan β＝2，tan(α＋β)＝4，则tan αtan β等于( )
A．2 B．1
C． D．4
C [∵tan(α＋β)＝＝4，且tan α＋tan β＝2，
∴＝4，解得tan αtan β＝.]
3．若tan＝3，则tan α的值为 ．
[tan α＝tan
＝＝
＝＝＝.]
4．已知cos α＝，cos β＝，其中α，β都是锐角，求tan(α＋β)的值．
[解] 因为α，β都是锐角，所以sin α＝＝，sin β＝＝，
tan α＝＝2，tan β＝＝，
所以tan(α＋β)＝＝－2.
课时分层作业(二十五)
(建议用时：60分钟)
[基础达标练]
一、选择题
1．化简sin＋sin＝( )
A．－sin x B．sin x
C．－cos x D．cos x
B [sin＋sin
＝sin x＋cos x＋sin x－cos x
＝sin x．]
2．已知α，β∈，sin(α＋β)＝－，sin＝，则cos＝( )
A．－ B．
C．－ D．
C [由于α，β∈，∴α＋β∈，∴cos(α＋β)＝＝，
又β－∈，∴cos＝－，
∴cos＝cos＝
cos(α＋β)cos＋sin(α＋β)sin＝－.]
3．已知cos α＝，cos(α－β)＝，且0＜β＜α＜，那么β＝( )
A． B．
C． D．
C [∵0＜β＜α＜，
∴0＜α－β＜，
由cos α＝得sin α＝，
由cos(α－β)＝得sin(α－β)＝，
∴sin β＝sin[α－(α－β)]
＝sin αcos(α－β)－cos αsin(α－β)
＝×－×
＝＝，
∴β＝.]
4．4cos 50°－tan 40°＝( )
A． B．
C． D．2－1
C [4cos 50°－tan 40°＝4cos 50°－
＝－＝
＝＝
＝
＝
＝＝.]
5．如图，正方形ABCD的边长为1，延长BA至E，使AE＝1，连接EC，ED，则sin∠CED等于( )
A． B．
C． D．
B [由题意知sin∠BEC＝，
cos∠BEC＝.
又∠CED＝－∠BEC，
所以sin∠CED＝sincos∠BEC－cossin∠BEC＝×－×＝.]
二、填空题
6．若cos α＝－，sin β＝－，α∈，β∈，则sin(α＋β)的值为 ．
[∵cos α＝－，α∈，
∴sin α＝＝.
∵sin β＝－，β∈，
∴cos β＝＝，
∴sin(α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β
＝×＋×＝.]
7．已知cos＝－，则cos x＋cos＝ ．
－1 [cos x＋cos＝cos x＋cos x＋sin x＝ cos x＋sin x＝cos＝×＝－1.]
8．在△ABC中，3sin A＋4cos B＝6，4sin B＋3cos A＝1，则角C等于 ．
30° [已知两式两边分别平方相加，得
25＋24(sin Acos B＋cos Asin B)＝37，
即25＋24sin(A＋B)＝37，
∴sin C＝sin(A＋B)＝，
∴C＝30°或150°.
当C＝150°时，A＋B＝30°，
此时3sin A＋4cos B＜3sin 30°＋4cos 0°＝与已知矛盾，∴C＝30°.]
三、解答题
9．已知sin(α－β)cos α－cos(β－α)sin α＝，β是第三象限角，求sin的值．
[解] ∵sin(α－β)cos α－cos(β－α)sin α
＝sin(α－β)cos α－cos(α－β)sin α
＝sin(α－β－α)＝sin(－β)＝－sin β＝，
∴sin β＝－，又β是第三象限角，
∴cos β＝－＝－，
∴sin
＝sin βcos＋cos βsin
＝×＋×
＝－.
10．已知0＜β＜，＜α＜，cos＝，
sin＝，求sin(α＋β)的值．
[解] ∵＜α＜，∴－＜－α＜0.
∴sin＝－＝－.
又∵0＜β＜，
∴＜＋β＜π，
∴cos＝－＝－，
sin(α＋β)＝－cos
＝－cos
＝－coscos－sinsin
＝－×－×＝.
[能力提升练]
1．在△ABC中，若sin(A－B)＝1＋2cos(B＋C)sin(A＋C)，则△ABC的形状一定是( )
A．等边三角形 B．不含60°的等腰三角形
C．钝角三角形 D．直角三角形
D [∵A＋B＋C＝180°，∴cos(B＋C)＝cos(180°－A)＝－cos A，sin(A＋C)＝sin(180°－B)＝sin B，
由sin(A－B)＝1＋2cos(B＋C)sin(A＋C)
得sin Acos B－cos Asin B＝1－2cos Asin B，
∴sin(A＋B)＝1，即sin C＝1，
∴C＝，即△ABC是直角三角形．]
2．已知sin＋sin α＝，则sin的值是( )
A．－ B．
C． D．－
D [因为sin＋sin α＝，所以sincos α＋cossin α＋sin α＝，即cos α＋sin α＝，所以cos α＋sin α＝，即sin＝，所以sin＝sin＝－sin＝－，所以应选D.]
3．(2018·全国卷Ⅱ)已知sin α＋cos β＝1，cos α＋sin β＝0，则sin(α＋β)＝ ．
－ [∵sin α＋cos β＝1，cos α＋sin β＝0，∴sin2α＋cos2β＋2sin αcos β＝1①，cos2α＋sin2β＋2cos αsin β＝0②，①②两式相加可得sin2α＋cos2α＋sin2β＋cos2β＋2(sin αcos β＋cos αsin β)＝1，∴sin(α＋β)＝－.]
4．若tan α＝2tan，则＝ ．
3 [＝＝
＝＝
＝＝3.]
5．已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ)的图象关于直线x＝对称，且图象上相邻两个最高点的距离为π.
(1)求ω和φ的值；
(2)若f＝，求cos的值．
[解] (1)因为f(x)的图象上相邻两个最高点的距离为π，所以f(x)的最小正周期T＝π，从而ω＝＝2.
又因为f(x)的图象关于直线x＝对称，
所以2·＋φ＝kπ＋，k＝0，±1，±2，….
由－≤φ＜，得k＝0，
所以φ＝－＝－.
(2)由(1)得f
＝sin＝，
所以sin＝.
由＜α＜得0＜α－＜，
所以cos＝
＝＝.
因此cos＝sin α
＝sin
＝sincos＋cossin
＝×＋×＝.
课时分层作业(二十六)
(建议用时：60分钟)
[基础达标练]
一、选择题
1.的值为( )
A． B．
C．tan 6° D．
A [∵＝tan (27°＋33°)＝tan 60°＝，
∴＝.]
2．已知点P(1，a)在角α的终边上，tan＝－，则实数a的值是( )
A．2 B．
C．－2 D．－
C [∵tan＝＝＝－，
∴tan α＝－2，
∵点P(1，a)在角α的终边上，
∴tan α＝＝a，∴a＝－2.]
3．tan 10°＋tan 50°＋tan 10°tan 50°的值为( )
A．－ B．
C．3 D．
B [由tan(α＋β)＝
变形tan(α＋β)(1－tan αtan β)＝tan α＋tan β，
故tan 10°＋tan 50°＋tan 10°tan 50°
＝tan(10°＋50°)(1－tan 10°tan 50°)＋tan 10°tan 50°
＝(1－tan 10°tan 50°)＋tan 10°tan 50°
＝－tan 10°tan 50°＋tan 10°tan 50°
＝.]
4.A，B，C是△ABC的三个内角，且tan A，tan B是方程3x2－5x＋1＝0的两个实数根，则△ABC是( )
A．钝角三角形 B．锐角三角形
C．直角三角形 D．无法确定
A [由条件知tan A＋tan B＝，tan Atan B＝，
∴tan(A＋B)＝＝，∴tan C＝－tan(A＋B)＝－，
即C为钝角，故△ABC是钝角三角形．]
5．已知α，β为锐角，cos α＝，tan(α－β)＝－，则tan β＝( )
A． B．3
C． D．
B [∵α锐角，cos α＝，∴sin α＝，∴tan α＝＝，
又tan(α－β)＝－，∴tan β＝tan[α－(α－β)]
＝＝＝3，故选B.]
二、填空题
6．已知tan＝，则tan α＝ ．
[tan＝＝＝，
解方程得tan α＝.]
7．已知tan＝，tan＝－，则tan＝ ．
[tan＝tan
＝
＝＝.]
8．化简：tan 10°tan 20°＋tan 20°tan 60°＋tan 60°tan 10°的值等于 ．
1 [原式＝tan 10°tan 20°＋tan 60°(tan 20°＋tan 10°)
＝tan 10°tan 20°＋tan(20°＋10°)(1－tan 20°tan 10°)
＝tan 10°tan 20°＋1－tan 20°tan 10°
＝1.]
三、解答题
9．已知tan＝2，tan β＝，
(1)求tan α的值；
(2)求的值．
[解] (1)∵tan＝2，
∴＝2，
∴＝2，解得tan α＝.
(2)原式
＝
＝＝
＝tan(β－α)＝
＝＝.
10．如图，在平面直角坐标系xOy中，以Ox轴为始边作两个锐角α，β，它们的终边分别与单位圆相交于A，B两点，已知A，B的横坐标分别为，.
求：(1)tan(α＋β)的值；(2)α＋2β的大小．
[解] 由条件得cos α＝，cos β＝.
∵α，β为锐角，
∴sin α＝＝，
sin β＝＝.
因此tan α＝＝7，
tan β＝＝.
(1)tan(α＋β)＝
＝＝－3.
(2)∵tan 2β＝tan(β＋β)＝
＝＝，
∴tan(α＋2β)＝
＝＝－1.∵α，β为锐角，
∴0＜α＋2β＜，∴α＋2β＝.
[能力提升练]
1．设向量a＝(cos α，－1)，b＝(2，sin α)，若a⊥b，则tan等于( )
A．－ B．
C．－3 D．3
B [由a·b＝2cos α－sin α＝0，得tan α＝2，
所以tan＝＝＝.]
2．在△ABC中，tan A＋tan B＋tan C＝3，tan2B＝tan A·tan C，则角B等于( )
A．30° B．45°
C．120° D．60°
D [由公式变形得：
tan A＋tan B＝tan(A＋B)(1－tan Atan B)
＝tan(180°－C)(1－tan Atan B)
＝－tan C(1－tan Atan B)
＝－tan C＋tan Atan Btan C，
∴tan A＋tan B＋tan C
＝－tan C＋tan Atan Btan C＋tan C
＝tan Atan Btan C＝3.
∵tan2B＝tan Atan C，
∴tan3B＝3，
∴tan B＝，B＝60°.]
3．已知sin α＋cos α＝，α∈(0，π)，则的值为
[因为sin α＋cos α＝，所以两边平方可得：1＋2sin αcos α＝，可得2sin αcos α＝－.
又(sin α－cos α)2＝1－2sin αcos α＝1＋＝，α∈(0，π)，且2sin αcos α＜0，
可得：α∈，∴sin α＞0，cos α＜0，从而sin α－cos α＞0，
∴sin α－cos α＝，
又sin＝sin＝sincos＋cossin＝，
∴＝×＝.]
4．已知tan α＝lg 10a，tan β＝lg，且α＋β＝，则实数a的值为 ．
或1 [∵α＋β＝，
∴tan(α＋β)＝＝1，
tan α＋tan β＝1－tan αtan β，
即lg 10a＋lg＝1－lg 10alg，
1＝1－lg 10alg，
∴lg 10alg＝0，
∴lg 10a＝0或lg＝0，
解得a＝或a＝1.]
5．是否存在锐角α，β，使得(1)α＋2β＝，(2)tantan β＝2－同时成立？若存在，求出锐角α，β的值；若不存在，说明理由．
[解] 假设存在锐角α，β使得(1)α＋2β＝，(2)tantan β＝2－同时成立．
由(1)得＋β＝，
所以tan＝＝.
又tantan β＝2－，所以tan＋tan β＝3－，因此tan，tan β可以看成是方程x2－(3－)x＋2－＝0的两个根，
解得x1＝1，x2＝2－.
若tan＝1，则α＝，这与α为锐角矛盾，所以tan＝2－，tan β＝1，所以α＝，β＝，所以满足条件的α，β存在，且α＝，β＝.
