课件50张PPT。第三章 三角恒等变换3.1 两角和与差的正弦、余弦和正切公式
3.1.3 二倍角的正弦、余弦、正切公式给角求值 给值求值、求角问题 化简、证明问题 点击右图进入…Thank you for watching !3.1.3 二倍角的正弦、余弦、正切公式
学 习 目 标
核 心 素 养
1.能推导并记住二倍角的正弦、余弦和正切公式．(重点)
2.能利用二倍角的正弦、余弦和正切公式化简、求值和证明．(重点)
3.掌握二倍角公式的主要变形，并能熟练应用．(难点、易混点)
1.借助二倍角公式的推导，培养学生的数学建模和逻辑推理的核心素养.
2.通过利用二倍角公式进行化简、求值和证明，提升学生的数学运算、数据分析和逻辑推理的核心素养.
1．二倍角的正弦、余弦、正切公式
记法
公式
S2α
sin 2α＝2sin αcos α
C2α
cos 2α＝cos2α－sin2α
T2α
tan 2α＝
2.余弦的二倍角公式的变形
3．正弦的二倍角公式的变形
(1)sin αcos α＝sin 2α，cos α＝．
(2)1±sin 2α＝(sin α±cos α)2．
思考：用tan α能表示sin 2α和cos 2α吗？
[提示] 可以．sin 2α＝2sin αcos α＝.
cos 2α＝cos2α－sin2α＝.
1.＝( )
A．－ B．－
C． D．
D [原式＝cos2－sin2＝cos＝.]
2．sin 15°cos 15°＝ ．
[sin 15°cos 15°＝×2sin 15°cos 15°＝sin 30°＝.]
3．－cos2＝ ．
－ [－cos2＝＝－cos＝－.]
4．若tan θ＝2则tan 2θ＝ ．
－ [tan 2θ＝＝＝－.]
给角求值
【例1】 (1)cos4－sin4等于( )
A．－ B．－ C． D．
(2)求下列各式的值．
①1－2sin2750°； ②； ③coscos.
(1)D [原式＝＝cos2－sin2＝cos＝.]
(2)[解] ①原式＝cos(2×750°)＝cos 1 500°
＝cos
＝cos 60°＝.
②原式＝tan(2×150°)＝tan 300°＝tan(360°－60°)＝－tan 60°＝－.
③原式＝
＝＝
＝＝.
对于给角求值问题，一般有两类：
(1)直接正用、逆用二倍角公式，结合诱导公式和同角三角函数的基本关系对已知式子进行转化，一般可以化为特殊角．
(2)若形式为几个非特殊角的三角函数式相乘，则一般逆用二倍角的正弦公式，在求解过程中，需利用互余关系配凑出应用二倍角公式的条件，使得问题出现可以连用二倍角的正弦公式的形式．
1．求下列各式的值
(1)cos 72°cos 36°；
(2)＋.
[解] (1)cos 36°cos 72°＝＝＝＝.
(2)原式＝
＝
＝＝＝4.
给值求值、求角问题
[探究问题]
1．公式的变形应用是打开解题突破口的关键，二倍角公式有哪些主要变形？
提示：主要变形有：
1±sin 2α＝sin2α＋cos2α±2sin αcos α＝(sin α±cos α)2，
1＋cos 2α＝2cos2α，cos2α＝，sin2α＝.
2．如何在倍角公式中用2α±＝2(α±)解题？
提示：(1)sin 2α＝cos＝cos
＝2cos2－1＝1－2sin2；
(2)cos 2α＝sin＝sin
＝2sincos；
(3)cos 2α＝sin＝sin
＝2sincos.
【例2】 (1)已知α∈，且sin 2α＝sin，求α.
(2)已知sin＝，0＜x＜，求的值．
思路点拨：(1)－2α＝，用诱导公式联系求解．
(2)用余弦二倍角公式和诱导公式求解．
[解] (1)∵sin 2α＝－cos
＝－
＝1－2cos2，
sin＝－sin
＝－cos
＝－cos，
∴原式可化为1－2cos2
＝－cos，
解得cos＝1或cos＝－.
∵α∈，
∴α＋∈，
故α＋＝0或α＋＝，
即α＝－或α＝.
(2)∵0＜x＜，sin＝，
∴－x∈，cos＝，
＝
＝(cos x＋sin x)＝2cos＝.
1．若本例(2)中的条件不变，则的值是什么？
[解] sin＝cos x－sin x＝，
平方得sin 2x＝，
sin＝cos＝cos＝，
所以＝×＝.
2．若本例(2)中的条件变为tan＝，其他条件不变，结果如何？
[解] 因为tan＝，
所以sin＝cos，
又sin2＋cos2＝1，
故可解得cos＝，
原式＝2cos＝.
解决条件求值问题的方法
(1)有方向地将已知式或未知式化简，使关系明朗化；寻找角之间的关系，看是否适合相关公式的使用，注意常见角的变换和角之间的二倍关系．
(2)当遇到±x这样的角时可利用互余角的关系和诱导公式，将条件与结论沟通．
cos 2x＝sin＝2sincos.
类似的变换还有：
cos 2x＝sin＝2sincos，
sin 2x＝cos＝2cos2－1，
sin 2x＝－cos＝1－2cos2等．
化简、证明问题
【例3】 (1)化简：＋＝ ．
(2)证明：＝－4.
思路点拨：(1)通分变形．
(2)→→
(1)－tan 2θ [原式＝＝＝－＝－tan 2θ.]
(2)证明：左边＝
＝
＝＝
＝－4＝右边，所以原等式成立．]
证明三角恒等式的原则与步骤
(1)观察恒等式两端的结构形式，处理原则是从复杂到简单，高次降低，复角化单角，如果两端都比较复杂，就将两端都化简，即采用“两头凑”的思想．
(2)证明恒等式的一般步骤：
①先观察，找出角、函数名称、式子结构等方面的差异；
②本着“复角化单角”“异名化同名”“变换式子结构”“变量集中”等原则，设法消除差异，达到证明的目的．
2．求证：(1)cos2(A＋B)－sin2(A－B)＝cos 2Acos 2B；
(2)cos2θ(1－tan2θ)＝cos 2θ.
[证明] (1)左边＝－
＝
＝(cos 2Acos 2B－sin 2Asin 2B＋cos 2Acos 2B＋sin 2Asin 2B)
＝cos 2Acos 2B＝右边，
∴等式成立．
(2)法一：左边＝cos2θ
＝cos2θ－sin2θ＝cos 2θ＝右边．
法二：右边＝cos 2θ＝cos2θ－sin2θ
＝cos2θ＝cos2θ(1－tan2θ)＝左边．
1．对于“二倍角”应该有广义上的理解，如：
8α是4α的二倍；6α是3α的二倍；4α是2α的二倍；3α是α的二倍；是的二倍；是的二倍；是的二倍(n∈N*)．
2．二倍角余弦公式的运用
在二倍角公式中，二倍角的余弦公式最为灵活多样，应用广泛．常用形式：
①1＋cos 2α＝2cos2α；②cos2α＝；
③1－cos 2α＝2sin2α；④sin2α＝.
1．下列说法错误的是( )
A．6α是3α的倍角，3α是的倍角
B．二倍角的正弦、余弦公式的适用范围是任意角
C．存在角α，使得sin 2α＝2sin α成立
D．对任意角α，总有tan 2α＝
D [A正确，β中二倍角的正弦、余弦公式适用任意角，正切公式的适用范围是α，2α≠kπ＋(k∈Z)，故B对，D错；C中若α＝kπ(k∈Z)时等式成立．]
2．若sin α＝3cos α，则＝ ．
6 [＝＝＝＝6.]
3．设sin 2α＝－sin α，α∈，则tan 2α的值是 ．
[∵sin 2α＝－sin α，
∴2sin αcos α＝－sin α.
由α∈知sin α≠0，
∴cos α＝－，∴α＝，
∴tan 2α＝tan＝tan＝.]
4．已知＜α＜π，cos α＝－.
(1)求tan α的值；
(2)求sin 2α＋cos 2α的值．
[解] (1)因为cos α＝－，＜α＜π，
所以sin α＝，
所以tan α＝＝－.
(2)因为sin 2α＝2sin αcos α＝－，
cos 2α＝2cos2α－1＝，
所以sin 2α＋cos 2α＝－＋＝－.
课时分层作业(二十七)
(建议用时：60分钟)
[基础达标练]
一、选择题
1．(2018·全国卷Ⅲ)若sin α＝，则cos 2α＝( )
A． B．
C．－ D．－
B [cos 2α＝1－2sin2α＝1－2×＝.]
2.－＝( )
A．4 B．2
C．－2 D．－4
D [－＝－
＝＝＝＝－4.故选D.]
3．已知tan α＝4，则的值为( )
A．18 B．
C．16 D．
D [＝＝＝，选D.]
4．已知函数f(x)＝2cos2x－sin2x＋2，则( )
A．f(x)的最小正周期为π，最大值为3
B．f(x)的最小正周期为π，最大值为4
C．f(x)的最小正周期为2π，最大值为3
D．f(x)的最小正周期为2π，最大值为4
B [根据题意有f(x)＝cos 2x＋1＋cos 2x＋＝cos 2x＋，
所以函数f(x)的最小正周期为T＝＝π，
且最大值为f(x)max＝＋＝4，故选B.]
5．已知等腰三角形底角的正弦值为，则顶角的正弦值是( )
A． B．
C．－ D．－
A [设底角为θ，则θ∈，顶角为180°－2θ.
∵sin θ＝，∴cos θ＝＝，
∴sin(180°－2θ)＝sin 2θ＝2sin θcos θ
＝2××＝.]
二、填空题
6．已知sin 2α＝，则cos2＝ ．
[cos2＝＝＝＝.]
7．已知α是第二象限角，且sin(π＋α)＝－，则tan 2α的值为 ．
－ [sin α＝，cos α＝－，tan 2α＝－.]
8．已知角θ满足sin＝，则cos的值为 ．
[sin＝，∴sin2＝＝，∴cos＝.]
三、解答题
9．求证：＝tan.
[证明]
＝
＝＝tan.
10．已知cos x＝，且x∈，求cos＋sin2x的值．
[解] ∵cos x＝，x∈，
∴sin x＝－＝－，
∴sin 2x＝2sin xcos x＝－，
∴cos＋sin2x
＝＋＝－sin 2x＝－×＝.
[能力提升练]
1．若＝－，则cos α＋sin α的值为( )
A．－ B．－
C． D．
C [因为＝＝－(sin α＋cos α)＝－，
所以cos α＋sin α＝，故选C.]
2．已知α，β均为锐角，且3sin α＝2sin β，3cos α＋2cos β＝3，则α＋2β的值为( )
A． B．
C． D．π
D [由题意得
①2＋②2得cos β＝，cos α＝，
由α，β均为锐角知，sin β＝，sin α＝，
∴tan β＝2，tan α＝，∴tan 2β＝－，
∴tan(α＋2β)＝0.又α＋2β∈，
∴α＋2β＝π.故选D.]
3．化简：tan 70°cos 10°(tan 20°－1)＝ ．
－1 [原式＝·cos 10°·
＝·cos 10°·
＝·cos 10°·
＝－·
＝－1.]
4．已知sin22α＋sin 2αcos α－cos 2α＝1，则锐角α＝ ．
[由原式，得sin22α＋sin 2αcos α－2cos2α＝0，
∴(2sin αcos α)2＋2sin αcos2α－2cos2α＝0，
∴2cos2α(2sin2α＋sin α－1)＝0，
∴2cos2α(2sin α－1)(sin α＋1)＝0.
∵α为锐角，
∴cos2α≠0，sin α＋1≠0，
∴2sin α－1＝0，
∴sin α＝，
∴α＝.]
5．已知向量p＝(cos α－5，－sin α)，q＝(sin α－5，cos α)，p∥q，且α∈(0，π)．
(1)求tan 2α的值；
(2)求2sin2－sin.
[解] (1)由p∥q，
可得(cos α－5)cos α－(sin α－5)(－sin α)＝0，
整理得sin α＋cos α＝.
因为α∈(0，π)，所以α∈，
所以sin α－cos α
＝＝，
解得sin α＝，cos α＝－，
故tan α＝－，
所以tan 2α＝＝.
(2)2sin2－sin
＝1－cos－sin
＝1－cos α＋sin α－sin α－cos α＝1－cos α＝.
