课件67张PPT。第三章 三角恒等变换3.2 简单的三角恒等变换化简求值问题 三角恒等式的证明 三角恒等变换与三角函数图象性质的综合 三角函数在实际问题中的应用 点击右图进入…Thank you for watching !3.2 简单的三角恒等变换
学 习 目 标
核 心 素 养
1.能用二倍角公式推导出半角公式，体会三角恒等变换的基本思想方法，以及进行简单的应用．(重点)
2.了解三角恒等变换的特点、变换技巧，掌握三角恒等变换的基本思想方法．(重点)
3.能利用三角恒等变换的技巧进行三角函数式的化简、求值以及证明，进而进行简单的应用．(难点、易混点)
1.通过进行三角函数式的化简、求值，培养数学运算和数据分析的核心素养.
2.通过三角恒等式的证明，提升逻辑推理的核心素养.
3.通过三角函数的实际应用，培养数学建模的核心素养.
1．半角公式
2.辅助角公式
asin x＋bcos x＝sin(x＋θ)(其中tan θ＝)．
1．已知180°＜α＜360°，则cos的值等于( )
A．－ B．
C．－ D．
C [∵180°＜α＜360°，∴90°＜＜180°，
∴cos ＜0，故应选C.]
2．2sin θ＋2cos θ＝( )
A．sin B．2sin
C．2sin D．sin
C [原式＝2
＝2＝2sin.]
3．函数f(x)＝2sin x＋cos x的最大值为 ．
[f(x)＝sin(x＋θ)＝sin(x＋θ)≤.]
4．已知2π＜θ＜4π，且sin θ＝－，cos θ＜0，则tan的值等于 ．
－3 [由sin θ＝－，cos θ＜0得cos θ＝－，
∴tan＝＝＝
＝＝－3.]
化简求值问题
【例1】 (1)设5π＜θ＜6π，cos＝a，则sin等于( )
A． B．
C．－ D．－
(2)已知π<α<，化简：
＋.
思路点拨：(1)先确定的范围，再由sin2＝得算式求值．
(2)1＋cos α＝2cos2，1－cos α＝2sin2，去根号，确定的范围，化简．
(1)D [∵5π＜θ＜6π，∴∈，∈.
又cos＝a，
∴sin＝－＝－.]
(2)[解] 原式＝＋.
∵π＜α＜，∴＜＜，∴cos＜0，sin＞0，
∴原式＝＋
＝－＋＝－cos.
1．化简问题中的“三变”
(1)变角：三角变换时通常先寻找式子中各角之间的联系，通过拆、凑等手段消除角之间的差异，合理选择联系它们的公式．
(2)变名：观察三角函数种类的差异，尽量统一函数的名称，如统一为弦或统一为切．
(3)变式：观察式子的结构形式的差异，选择适当的变形途径，如升幂、降幂、配方、开方等．
2．利用半角公式求值的思路
(1)看角：看已知角与待求角的2倍关系．
(2)明范围：求出相应半角的范围为定符号作准备．
(3)选公式：涉及半角公式的正切值时，常用tan＝＝，涉及半角公式的正、余弦值时，常利用sin2＝，cos2＝计算．
(4)下结论：结合(2)求值．
提醒：已知cos α的值可求的正弦、余弦、正切值，要注意确定其符号．
1．已知sin α＝－，π＜α＜，求sin ，cos ，tan 的值．
[解] ∵π＜α＜，sin α＝－，
∴cos α＝－，且＜＜，
∴sin ＝＝，
cos ＝－＝－，
tan ＝＝－2.
(另tan＝＝＝－2.)
三角恒等式的证明
【例2】 求证：＝sin 2α.
思路点拨：法一：切化弦用二倍角公式由左到右证明；
法二：cos2α不变，直接用二倍角正切公式变形．
[证明] 法一：用正弦、余弦公式．
左边＝
＝＝
＝＝sincoscos α
＝sin αcos α＝sin 2α＝右边，
∴原式成立．
法二：用正切公式．
左边＝＝cos2α·＝cos2α·tan α＝cos αsin α＝sin 2α＝右边，
∴原式成立．
三角恒等式证明的常用方法
(1)执因索果法：证明的形式一般化繁为简；
(2)左右归一法：证明左右两边都等于同一个式子；
(3)拼凑法：针对题设和结论之间的差异，有针对性地变形，以消除它们之间的差异，简言之，即化异求同；
(4)比较法：设法证明“左边－右边＝0”或“左边/右边＝1”；
(5)分析法：从被证明的等式出发，逐步地探求使等式成立的条件，直到已知条件或明显的事实为止，就可以断定原等式成立．
2．求证：
＝.
[证明] 左边＝
＝＝
＝＝＝＝右边．
所以原等式成立.
三角恒等变换与三角函数图象性质的综合
【例3】 已知函数f(x)＝coscos－sin xcos x＋.
(1)求函数f(x)的最小正周期和最大值；
(2)求函数f(x)的单调递增区间．
思路点拨：三角函数问题，一般利用两角和与差的正弦、余弦公式、二倍角公式化为一个角的一个三角函数，然后利用正弦函数(或余弦函数)的性质得出结论．
[解] (1)∵f(x)＝coscos－sin 2x＋
＝－sin 2x＋
＝cos2x－sin2x－sin 2x＋
＝－－sin 2x＋
＝(cos 2x－sin 2x)＝cos.
∴函数f(x)的最小正周期为T＝π，函数f(x)的最大值为.
(2)由2kπ－π≤2x＋≤2kπ，k∈Z，
得kπ－π≤x≤kπ－，k∈Z.
函数f(x)的单调递增区间为，k∈Z.
应用公式解决三角函数综合问题的三个步骤
运用和、差、倍角公式化简
↓
统一化成f(x)＝asin ωx＋bcos ωx＋k的形式
↓
3．已知函数f(x)＝2cos2x＋sin 2x－＋1(x∈R)．
(1)求f(x)的最小正周期；
(2)求f(x)的单调递增区间；
(3)若x∈，求f(x)的值域．
[解] f(x)＝sin 2x＋(2cos2x－1)＋1＝sin 2x＋cos 2x＋1＝2sin＋1.
(1)函数f(x)的最小正周期为T＝＝π.
(2)由2kπ－≤2x＋≤2kπ＋(k∈Z)，
得2kπ－≤2x≤2kπ＋(k∈Z)，
∴kπ－≤x≤kπ＋(k∈Z)．
∴函数f(x)的单调递增区间为(k∈Z)．
(3)∵x∈，
∴2x＋∈，
∴sin∈.
∴f(x)∈[0，3].
三角函数在实际问题中的应用
[探究问题]
1．用三角函数解决实际问题时，通常选什么作为自变量？求定义域时应注意什么？
提示：通常选角作为自变量，求定义域时要注意实际意义和正弦、余弦函数有界性的影响．
2．建立三角函数模型后，通常要将函数解析式化为何种形式？
提示：化成y＝Asin(ωx＋φ)＋b的形式．
【例4】 如图所示，要把半径为R的半圆形木料截成长方形，应怎样截取，才能使△OAB的周长最大？
思路点拨：→→
[解] 设∠AOB＝α，△OAB的周长为l，则AB＝Rsin α，OB＝Rcos α，
∴l＝OA＋AB＋OB
＝R＋Rsin α＋Rcos α
＝R(sin α＋cos α)＋R
＝Rsin＋R.
∵0<α<，∴<α＋<，
∴l的最大值为R＋R＝(＋1)R，此时，α＋＝，即α＝，
即当α＝时，△OAB的周长最大．
1．在本例条件下，求长方形面积的最大值．
[解] 如图所示，设∠AOB＝α，则AB＝Rsin α，OA＝Rcos α.
设矩形ABCD的面积为S，则S＝2OA·AB，
∴S＝2Rcos α·Rsin α＝R2·2sin αcos α＝R2sin 2α.
∵α∈，∴2α∈(0，π)．
因此，当2α＝，
即α＝时，Smax＝R2.
这时点A，D到点O的距离为R，
矩形ABCD的面积最大值为R2.
2．若本例中的木料改为圆心角为的扇形，并将此木料截成矩形，(如图所示)，试求此矩形面积的最大值．
[解] 如图，作∠POQ的平分线分别交EF，GH于点M，N，连接OE，
设∠MOE＝α，α∈，在Rt△MOE中，ME＝Rsin α，OM＝Rcos α，
在Rt△ONH中，＝tan，
得ON＝NH＝Rsin α，
则MN＝OM－ON＝R(cos α－sin α)，
设矩形EFGH的面积为S，
则S＝2ME·MN＝2R2sin α(cos α－sin α)
＝R2(sin 2α＋cos 2α－)＝2R2sin－R2，
由α∈，则＜2α＋＜，
所以当2α＋＝，
即α＝时，Smax＝(2－)R2.
应用三角函数解实际问题的方法及注意事项
(1)方法：解答此类问题，关键是合理引入辅助角，确定各量之间的关系，将实际问题转化为三角函数问题，再利用三角函数的有关知识求解．
(2)注意：在求解过程中，要注意三点：①充分借助平面几何性质，寻找数量关系．②注意实际问题中变量的范围．③重视三角函数有界性的影响．
提醒：在利用三角变换解决实际问题时，常因忽视角的范围而致误．
1．学习三角恒等变换，千万不要只顾死记硬背公式，而忽视对思想方法的理解，要学会借助前面几个有限的公式来推导后继公式，立足于在公式推导过程中记忆公式和运用公式．
2．研究形如f(x)＝asin x＋bcos x的函数性质，都要运用辅助角公式化为一个整体角的正弦函数或余弦函数的形式．因此辅助角公式是三角函数中应用较为广泛的一个重要公式，也是高考常考的考点之一．对一些特殊的系数a，b应熟练掌握，
例如sin x±cos x＝sin；
sin x±cos x＝2sin等．
3．常用的三角恒等变换思想方法
(1)常值代换
用某些三角函数值或三角函数式来代替三角函数式中的某些常数，使之代换后能运用相关公式，化简得以顺利进行．我们把这种代换称为常值代换．
(2)切化弦
当待化简式中既含有正弦、余弦，又含有正切，利用同角的基本三角函数关系式tan α＝，将正切化为正弦和余弦，这就是“切化弦”的思想方法，切化弦的好处在于减少了三角函数名称．
(3)降幂与升幂
由C2α变形后得到公式：sin2α＝(1－cos 2α)，cos2α＝(1＋cos 2α)，运用它就是降幂．反过来，直接运用倍角公式或变形公式1＋cos 2α＝2cos2α，1－cos 2α＝2sin2α，就是升幂．
(4)角的变换
角的变换沟通了已知角与未知角之间的联系，使公式顺利运用，解题过程被简化．常见的角的变换有：α＝(α＋β)－β，α＝β－(β－α)，α＝[(α＋β)＋(α－β)]，α＝[(α＋β)－(β－α)]，α＋β＝(2α＋β)－α等.
1．下列叙述错误的是( )
A．若α≠kπ，k∈Z，则tan＝＝恒成立．
B．若函数f(x)＝A1sin(ωx＋φ1)，g(x)＝A2sin(ωx＋φ2)(其中A1＞0，A2＞0，ω＞0)，则h(x)＝f(x)＋g(x)的周期与f(x)和g(x)的一致．
C．辅助角公式asin x＋bcos x＝sin(x＋φ)，其中φ所在的象限由a，b的符号决定，φ与点(a，b)同象限．
D．sin x＋cos x＝2sin.
D [A、B、C均正确，D应该是sin x＋cos x＝2sin.]
2．(2018·全国卷Ⅱ)若f(x)＝cos x－sin x在[0，a]是减函数，则a的最大值是( )
A． B．
C． D．π
C [f(x)＝cos x－sin x＝cos(x＋)．当x∈[0，a]时，x＋∈[，a＋]，所以结合题意可知，a＋≤π，即a≤，故所求a的最大值是.故选C.]
3．函数f(x)＝sin2x的最小正周期为 ．
π [因为f(x)＝sin2x＝，
所以f(x)的最小正周期T＝＝π.]
4.北京召开的国际数学家大会，会标是以我国古代数学家赵爽的弦图为基础设计的．弦图是由四个全等直角三角形与一个小正方形拼成一个大正方形(如图所示)．如果小正方形的面积为1，大正方形的面积为25，直角三角形中较小的锐角为θ，求cos 2θ.
[解] 由题意，得5cos θ－5sin θ＝1，θ∈，
所以cos θ－sin θ＝.
由(cos θ＋sin θ)2＋(cos θ－sin θ)2＝2，
所以cos θ＋sin θ＝，
所以cos 2θ＝cos2θ－sin2θ
＝(cos θ＋sin θ)(cos θ－sin θ)＝.
课时分层作业(二十八)
(建议用时：60分钟)
[基础达标练]
一、选择题
1．函数f(x)＝cos2，x∈R，则f(x)( )
A．是奇函数
B．是偶函数
C．既是奇函数，也是偶函数
D．既不是奇函数，也不是偶函数
D [原式＝
＝(1－sin 2x)
＝－sin 2x，
此函数既不是奇函数也不是偶函数．]
2．在△ABC中，若cos A＝，则sin2＋cos 2A＝( )
A．－ B．
C．－ D．
A [sin2＋cos 2A
＝＋2cos2A－1
＝＋2cos2A－1
＝－.]
3．已知2sin α＝1＋cos α，则tan ＝( )
A． B．或不存在
C．2 D．2或不存在
B [∵2sin α＝1＋cos α，∴当cos α≠－1时，
tan ＝＝，当cos α＝－1时，α＝(2k＋1)π(k∈Z)
∴＝kπ＋(k∈Z)，这时tan不存在，故选B.]
4．将函数y＝f(x)sin x的图象向右平移个单位后再作关于x轴对称的曲线，得到函数y＝1－2sin2x的图象，则f(x)的表达式是( )
A．f(x)＝cos x B．f(x)＝2cos x
C．f(x)＝sin x D．f(x)＝2sin x
B [y＝1－2sin2x＝cos 2x的图象关于x轴对称的曲线是y＝－cos 2x，向左平移得y＝－cos＝sin 2x＝2sin xcos x，∴f(x)＝2cos x．]
5．已知f(x)＝2sin2x＋2sin xcos x，则f(x)的最小正周期和一个单调减区间分别为( )
A．2π， B．π，
C．2π， D．π，
B [∵f(x)＝1－cos 2x＋sin 2x
＝1＋sin，
∴f(x)的最小正周期T＝＝π，
由＋2kπ≤2x－≤＋2kπ，
得f(x)的单调减区间为
＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z，
当k＝0时，得f(x)的一个单调减区间，故选B.]
二、填空题
6．tan＝3，则tan α＝ ．
－2 [由tan＝＝3，
即＝3，解得tan α＝－2.]
7．若cos αcos β－sin αsin β＝，cos(α－β)＝，则tan α·tan β＝ ．
[cos αcos β－sin αsin β＝，①cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β＝②，解①②可得cos αcos β＝，
sin αsin β＝，∴tan αtan β＝＝.]
8．函数f(x)＝cos 2x＋4sin x的值域是 ．
[－5，3] [f(x)＝cos 2x＋4sin x＝1－2sin2x＋4sin x＝－2(sin x－1)2＋3.
当sin x＝1时，f(x)取得最大值3，
当sin x＝－1时，f(x)取得最小值－5，
所以函数f(x)的值域为[－5，3]．]
三、解答题
9．求证：tan－tan＝.
[证明] 法一：(由左推右)tan－tan
＝－
＝
＝
＝
＝
＝.
法二：(由右推左)
＝
＝
＝－＝tan－tan.
10．(2018·北京高考)已知函数f(x)＝sin2x＋sin xcos x.
(1)求f(x)的最小正周期；
(2)若f(x)在区间上的最大值为，求m的最小值．
[解] (1)原式＝＋sin 2x＝sin 2x－
cos 2x＋＝sin＋，
所以f(x)的最小正周期为T＝＝π.
(2)由(1)知f(x)＝sin＋.因为x∈，所以2x－∈.
要使得f(x)在上的最大值为，即sin在上的最大值为1.
所以2m－≥，即m≥.所以m的最小值为.
[能力提升练]
1．已知cos α＝，cos(α＋β)＝－，且α，β∈，则cos(α－β)的值等于( )
A．－ B．
C．－ D．
D [∵α∈，∴2α∈(0，π)．
∵cos α＝，∴cos 2α＝2cos2α－1＝－，
∴sin 2α＝＝，
而α，β∈，∴α＋β∈(0，π)
∴sin(α＋β)＝＝，
∴cos(α－β)＝cos[2α－(α＋β)]＝cos 2αcos(α＋β)＋sin 2αsin(α＋β)
＝×＋×＝.]
2．设α∈，β∈，且＝，则( )
A．2α＋β＝ B．2α－β＝
C．α＋2β＝ D．α－2β＝
B [由题意得sin α－sin αsin β＝cos αcos β，
sin α＝cos(α－β)，
∴cos＝cos(α－β)．
∵－α∈，α－β∈，
∴－α＝α－β或－α＋α－β＝0(舍去)，
∴2α－β＝.]
3．若函数f(x)＝(1＋tan x)cos x，0≤x<，则f(x)的最大值是( )
A．1 B．2
C．＋1 D．＋2
B [f(x)＝(1＋tan x)cos x
＝cos x＝sin x＋cos x
＝2sin.
∵0≤x<，
∴≤x＋<，
∴当x＋＝时，
f(x)取到最大值2.]
4．若θ是第二象限角，且25sin2 θ＋sin θ－24＝0，则cos ＝ .
± [由25sin2 θ＋sin θ－24＝0，
又θ是第二象限角，
得sin θ＝或sin θ＝－1(舍去)．
故cos θ＝－＝－，
由cos2 ＝得cos2 ＝.
又是第一、三象限角，
所以cos ＝±.]
5．如图，在直角坐标系xOy中，点P是单位圆上的动点，过点P作x轴的垂线与射线y＝x(x≥0)交于点Q，与x轴交于点M.记∠MOP＝α，且α∈.
(1)若sin α＝，求cos∠POQ；
(2)求△OPQ面积的最大值．
[解] (1)由题意知∠QOM＝，因为sin α＝，
且α∈，所以cos α＝，
所以cos∠POQ＝cos
＝coscos α＋sinsin α＝.
(2)由三角函数定义，得P(cos α，sin α)，
从而Q(cos α，cos α)，
所以S△POQ＝|cos α||cos α－sin α|
＝|cos2α－sin αcos α|
＝
＝
≤＝＋.
因为α∈，所以当α＝－时，等号成立，
所以△OPQ面积的最大值为＋.
