课件54张PPT。第一章 三角函数1.1 任意角和弧度制
1.1.1 任意角一个射线旋转起始终止端点逆时针顺时针没有作任何原点x轴的非负半轴
第几象限角坐标轴任意角和象限角的概念 终边相同的角的表示及应用 任意角终边位置的确定和表示 点击右图进入…Thank you for watching !
1.1 任意角和弧度制
1.1.1 任意角
学 习 目 标
核 心 素 养
1.理解任意角的概念.
2.掌握终边相同角的含义及其表示．(重点、难点)
3.掌握轴线角、象限角及区间角的表示方法．(难点、易错点)
1.通过对任意角的学习、提升了学生对角概念的内涵的理解，培养了学生数学抽象的核心素养.
2.借助角范围的形成与深入，在掌握知识的同时，形成和发展了数学运用，提升了学生数学运算和直观抽象的核心素养.
1．角的概念
角可以看成平面内一个射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所形成的图形．
2．角的表示
如图，
(1)始边：射线的起始位置OA，
(2)终边：射线的终止位置OB，
(3)顶点：射线的端点O.
图中的角α可表示为“角α”或“∠α”或“α”．
3．任意角的分类
(1)按旋转方向分
(2)按角的终边位置分
①前提：把角放在平面直角坐标系中，角的顶点与原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合．
②分类：
4．终边相同的角
所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S＝{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}，即任一与角α终边相同的角，都可以表示成角α与整数个周角的和．
1．下列说法中正确的是( )
A．第二象限角大于第一象限角
B．第二象限角是钝角
C．终边相同的角不一定相等，但相等的角终边一定相同
D．以上说法皆错
C [A错误．如第二象限角100°小于第一象限角361°.
B错误．如第二象限角－181°不是钝角．
C正确．]
2．50°角的始边与x轴的非负半轴重合，把终边按顺时针方向旋转2周，所得角是________．
－670° [由题意知，所得角是50°－2×360°＝－670°.]
3．已知0°≤α＜360°，且α与600°角终边相同，则α＝________，它是第________象限角．
240° 三 [因为600°＝360°＋240°，所以240°角与600°角终边相同，且180°＜240°＜270°，故α＝240°，它是第三象限角．]
任意角和象限角的概念
【例1】 (1)给出下列说法：
①锐角都是第一象限角；②第一象限角一定不是负角；③小于180°的角是钝角、直角或锐角；④始边和终边重合的角是零角．
其中正确说法的序号为________(把正确说法的序号都写上)．
(2)已知角的顶点与坐标原点重合，始边与x轴的非负半轴重合，作出下列各角，并指出它们是第几象限角．
①420°，②855°，③－510°.
(1)① [①锐角是大于0°且小于90°的角，终边落在第一象限，是第一象限角，所以①正确；
②－350°角是第一象限角，但它是负角，所以②错误；
③0°角是小于180°的角，但它既不是钝角，也不是直角或锐角，所以③错误；
④360°角的始边与终边重合，但它不是零角，所以④错误．]
(2)[解] 作出各角的终边，如图所示：
由图可知：
①420°是第一象限角．
②855°是第二象限角．
③－510°是第三象限角．
1．判断角的概念问题的关键与技巧．
(1)关键：正确的理解角的有关概念，如锐角、平角等；
(2)技巧：注意“旋转方向决定角的正负，旋转幅度决定角的绝对值大小．
2．象限角的判定方法．
(1)图示法：在坐标系中画出相应的角，观察终边的位置，确定象限．
(2)利用终边相同的角：第一步，将α写成α＝k·360°＋β(k∈Z，0°≤β<360°)的形式；
第二步，判断β的终边所在的象限；
第三步，根据β的终边所在的象限，即可确定α的终边所在的象限．
1．已知集合A＝{第一象限角}，B＝{锐角}，C＝{小于90°的角}，则下面关系正确的是( )
A．A＝B＝C B．A?C
C．A∩C＝B D．B∪C?C
D [由已知得BC，所以B∪C?C，故D正确．]
2．给出下列四个命题：①－75°是第四象限角；②225°是第三象限角；③475°是第二象限角；④－315°是第一象限角．其中正确的命题有( )
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
D [－90°＜－75°＜0°，180°＜225°＜270°，
360°＋90°＜475°＜360°＋180°，－315°＝－360°＋45°且0°＜45°＜90°.所以这四个命题都是正确的．]
终边相同的角的表示及应用
【例2】 (1)将－885°化为k·360°＋α(0°≤α＜360°，k∈Z)的形式是________．
(2)写出与α＝－910°终边相同的角的集合，并把集合中适合不等式－720°＜β＜360°的元素β写出来．
思路点拨：利用终边相同的角的集合与角α终边相同的角的集合为S＝{β|β＝k·360°＋α，k∈Z}．
(1)(－3)×360°＋195° [－885°＝－1 080°＋195°＝(－3)×360°＋195°.]
(2)[解] 与α＝－910°终边相同的角的集合为{β|β＝k·360°－910°，k∈Z}，
∵－720°＜β＜360°，即－720°＜k·360°－910°＜360°，k∈Z，
∴k取1，2，3.
当k＝1时，β＝360°－910°＝－550°；
当k＝2时，β＝2×360°－910°＝－190°；
当k＝3时，β＝3×360°－910°＝170°.
1．在0°到360°范围内找与给定角终边相同的角的方法
(1)一般地，可以将所给的角α化成k·360°＋β的形式(其中0°≤β＜360°，k∈Z)，其中β就是所求的角．
(2)如果所给的角的绝对值不是很大，可以通过如下方法完成：当所给角是负角时，采用连续加360°的方式；当所给角是正角时，采用连续减360°的方式，直到所得结果达到所求为止．
2．运用终边相同的角的注意点
所有与角α终边相同的角，连同角α在内可以用式子k·360°＋α，k∈Z表示，在运用时需注意以下四点：
(1)k是整数，这个条件不能漏掉．
(2)α是任意角．
(3)k·360°与α之间用“＋”连接，如k·360°－30°应看成k·360°＋(－30°)，k∈Z.
(4)终边相同的角不一定相等，但相等的角终边一定相同，终边相同的角有无数个，它们相差周角的整数倍．
提醒：表示终边相同的角，k∈Z这一条件不能少．
3．下面与－850°12′终边相同的角是( )
A．230°12′ B．229°48′
C．129°48′ D．130°12′
B [与－850°12′终边相同的角可表示为α＝－850°12′＋k·360°(k∈Z)，当k＝3时，α＝－850°12′＋1 080°＝229°48′.]
4．写出角α的终边落在第二、四象限角平分线上的角的集合为________．
{α|α＝k·180°＋135°，k∈Z} [落在第二象限时，表示为k·360°＋135°.落在第四象限时，表示为k·360°＋180°＋135°，故可合并为{α|α＝k·180°＋135°，k∈Z}．]
5．已知角α＝2 018°.
(1)把α改写成k·360°＋β(k∈Z，0°≤β＜360°)的形式；
(2)求θ，使θ与α终边相同，且－360°≤θ＜720°.
[解] (1)由2 018°除以360°，得商为5，余数为218°，
∴取k＝5，β＝218°，α＝5×360°＋218°.
(2)与2 018°角终边相同的角为k·360°＋2 018°(k∈Z)．
令－360°≤k·360°＋2 018°＜720°，k∈Z，
∴k取－6，－5，－4.将k的值代入k·360°＋2 018°中，得角θ的值为－142°，218°，578°.
任意角终边位置的确定和表示
[探究问题]
1．若射线OA的位置是k·360°＋10°，k∈Z，射线OA绕点O逆时针旋转90°经过的区域为D，则终边落在区域D(包括边界)的角的集合应如何表示？
提示：终边落在区域D包括边界的角的集合可表示为{α|k·360°＋10°≤α≤k·360°＋100°，k∈Z}．
2．若角α与β的终边关于x轴、y轴、原点、直线y＝x对称，则角α与β分别具有怎样的关系？
提示：(1)关于x轴对称：若角α与β的终边关于x轴对称，则角α与β的关系是β＝－α＋k·360°，k∈Z.
(2)关于y轴对称：若角α与β的终边关于y轴对称，则角α与β的关系是β＝180°－α＋k·360°，k∈Z.
(3)关于原点对称：若角α与β的终边关于原点对称，则角α与β的关系是β＝180°＋α＋k·360°，k∈Z.
(4)关于直线y＝x对称：若角α与β的终边关于直线y＝x对称，则角α与β的关系是β＝－α＋90°＋k·360°，k∈Z.
【例3】 (1)若α是第一象限角，则是( )
A．第一象限角 B．第一、三象限角
C．第二象限角 D．第二、四象限角
(2)已知，如图所示．
①分别写出终边落在OA，OB位置上的角的集合；
②写出终边落在阴影部分(包括边界)的角的集合．
思路点拨：(1)→→
(2)①→
②→
(1)B [因为α是第一象限角，所以k·360°＜α＜k·360°＋90°，k∈Z，
所以k·180°＜＜k·180°＋45°，k∈Z，
当k为偶数时，为第一象限角；当k为奇数时，为第三象限角．
所以是第一、三象限角．]
(2)[解] ①终边落在OA位置上的角的集合为{α|α＝90°＋45°＋k·360°，k∈Z}＝{α|α＝135°＋k·360°，k∈Z}；
终边落在OB位置上的角的集合为{β|β＝－30°＋k·360°，k∈Z}．
②由题干图可知，阴影部分(包括边界)的角的集合是由所有介于[－30°，135°]之间的与之终边相同的角组成的集合，故该区域可表示为{γ|－30°＋k·360°≤γ≤135°＋k·360°，k∈Z}．
1．在本例(1)中，条件不变，问－是第几象限角？
[解] 由k·360°＜α＜k·360°＋90°，k∈Z，
∴k·180°＜＜k·180°＋45°，k∈Z，
∴是第一、三象限角．
又因为－与的终边关于x轴对称，
所以－是第二、四象限角．
2.若将本例(2)改为如图所示的图形，那么终边落在阴影部分(包括边界)的角的集合如何表示？
[解] 在0°～360°范围内，终边落在阴影部分(包括边界)的角为60°≤β＜105°与240°≤β＜285°，所以所有满足题意的角β为{β|k·360°＋60°≤β＜k·360°＋105°，k∈Z}∪{β|k·360°＋240°≤β＜k·360°＋285°，k∈Z}
＝{β|2k·180°＋60°≤β＜2k·180°＋105°，k∈Z}∪{β|(2k＋1)·180°＋60°≤β＜(2k＋1)·180°＋105°，k∈Z}
＝{β|n·180°＋60°≤β＜n·180°＋105°，n∈Z}．
故角β的取值集合为{β|n·180°＋60°≤β＜n·180°＋105°，n∈Z}．
1．表示区间角的三个步骤：
第一步：先按逆时针的方向找到区域的起始和终止边界；
第二步：按由小到大分别标出起始和终止边界对应的－360°～360°范围内的角α和β，写出最简区间{x|α第三步：起始、终止边界对应角α，β再加上360°的整数倍，即得区间角集合．
2．nα或所在象限的判断方法：
(1)用不等式表示出角nα或的范围；
(2)用旋转的观点确定角nα或所在象限．
例如：k·120°＜＜k·120°＋30°，k∈Z.
由0°＜＜30°，每次逆时针旋转120°可得终边的位置．
提醒：表示区间角时要注意实线边界与虚线边界的差异．
6.若角的终边落在如图所示的图形范围内，那么阴影部分(包括边界)表示的终边相同的角的集合如何表示？
[解] 在0°～360°范围内，阴影部分(包括边界)表示的范围为：150°≤β≤225°，则所有满足条件的角β为{β|k·360°＋150°≤β≤k·360°＋225°，k∈Z}．
1．本节课的重点是象限角的判断、终边相同角及区域角的表示，难点是nα及所在象限的判定．
2．本节课要重点掌握以下规律方法
(1)关于终边相同的角的认识
一般地，所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S＝{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}．
注意：①α为任意角；
②k·360°与α之间是“＋”号，k·360°－α可理解为k·360°＋(－α)；
③相等的角终边一定相同；终边相同的角不一定相等，终边相同的角有无数多个，它们相差360°的整数倍；
④k∈Z这一条件不能少.
1．下列说法正确的是( )
A．三角形的内角是第一象限角或第二象限角
B．第四象限的角一定是负角
C．60°角与600°角是终边相同的角
D．将表的分针拨慢10分钟，则分针转过的角为60°
D [A错误，90°角既不是第一象限角也不是第二象限角；
B错误，280°角是第四象限角，但它不是负角；
C错误，600°－60°＝540°不是360°的整数倍；
D正确，分针转一周为60分钟，转过的角度为－360°，将分针拨慢是逆时针旋转，拨慢10分钟转过的角为360°×＝60°.]
2．下列各个角中与2 017°终边相同的是( )
A．－147° B．677°
C．317° D．217°
D [因为2 017°＝360°×5＋217°，所以与2 017°终边相同的角是217°.]
3．已知角α的终边在如图阴影表示的范围内(不包含边界)，那么角α的集合是________．
{α|k·360°＋45°＜α＜k·360°＋150°，k∈Z} [观察图形可知，角α的集合是{α|k·360°＋45°＜α＜k·360°＋150°，k∈Z}．]
4．在0°到360°范围内，找出与下列各角终边相同的角，并判断它们是第几象限的角．
(1)－120°；(2)640°.
[解] (1)与－120°终边相同的角的集合为M＝{β|β＝－120°＋k·360°，k∈Z}．
当k＝1时，β＝－120°＋1×360°＝240°，
∴在0°到360°范围内，与－120°终边相同的角是240°，它是第三象限的角．
(2)与640°终边相同的角的集合为M＝{β|β＝640°＋k·360°，k∈Z}．
当k＝－1时，β＝640°－360°＝280°，
∴在0°到360°范围内，与640°终边相同的角为280°，它是第四象限的角．
课时分层作业(一)
(建议用时：45分钟)
[基础达标练]
一、选择题
1．角－870°的终边所在的象限是( )
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
C [－870°＝－3×360°＋210°，∴－870°是第三象限角，故选C.]
2．在－360°～0°范围内与角1 250°终边相同的角是( )
A．170° B．190°
C．－190° D．－170°
C [与1 250°角的终边相同的角为α＝1 250°＋k·360°，k∈Z，因为－360°＜α＜0°，所以－＜k＜－，因为k∈Z，所以k＝－4，所以α＝－190°.]
3．把－1 485°转化为α＋k·360°(0°≤α＜360°，k∈Z)的形式是( )
A．45°－4×360° B．－45°－4×360°
C．－45°－5×360° D．315°－5×360°
D [∵1 485°÷360°＝4.125，∴－1 485°＝－4×360°－45°或写成－1 485°＝－5×360°＋315°.
∵0°≤α＜360°，故－1 485°＝315°－5×360°.]
4．若α＝k·180°＋45°，k∈Z，则α所在象限是( )
A．第一或第三象限 B．第一或第二象限
C．第二或第四象限 D．第三或第四象限
A [当k＝0时，α＝45°为第一象限角，当k＝1时，α＝225°为第三象限角．]
5．已知角α＝45°，β＝315°，则角α与β的终边( )
A．关于x轴对称 B．关于y轴对称
C．关于直线y＝x对称 D．关于原点对称
A [α是第一象限角，β是第四象限角且45°＝0°＋45°与360°＋45°终边相同，315°＝360°－45°.]
二、填空题
6．若时针走过2小时40分，则分针走过的角是________．
－960° [40分＝小时，×360°＝240°，因为时针按顺时针旋转，故形成负角，－360°×2－240°＝－960°.]
7．与2 013°角的终边相同的最小正角是________，绝对值最小的角是________．
213° －147° [与2 013°角的终边相同的角为2 013°＋k·360°(k∈Z)．当k＝－5时，213°为最小正角；当k＝－6时，－147°为绝对值最小的角．]
8．若α，β两角的终边互为反向延长线，且α＝－120°，则β＝________．
k·360°＋60°(k∈Z) [在0°～360°范围内与α＝－120°的终边互为反向延长线的角是60°，所以β＝k·360°＋60°(k∈Z)．]
三、解答题
9．已知角β的终边在直线x－y＝0上．
(1)写出角β的集合S；
(2)写出集合S中适合不等式－360°＜β＜720°的元素．
[解] (1)因为角β的终边在直线x－y＝0上，
且直线x－y＝0的倾斜角为60°，
所以角β的集合S＝{β|β＝60°＋k·180°，k∈Z}．
(2)在S＝{β|β＝60°＋k·180°，k∈Z}中，
取k＝－2，得β＝－300°，
取k＝－1，得β＝－120°，
取k＝0，得β＝60°，
取k＝1，得β＝240°，
取k＝2，得β＝420°，
取k＝3，得β＝600°.
所以S中适合不等式－360°＜β＜720°的元素分别是－300°，－120°，60°，240°，420°，600°.
10．已知集合A＝{α|k·180°＋45°＜α＜k·180°＋60°，k∈Z}，集合B＝{β|k·360°－55°＜β＜k·360°＋55°，k∈Z}．
(1)在平面直角坐标系中，表示出角α终边所在区域；
(2)在平面直角坐标系中，表示出角β终边所在区域；
(3)求A∩B.
[解] (1)角α终边所在区域如图①所示．
(2)角β终边所在区域如图②所示．
图① 图②
(3)由(1)(2)知A∩B＝{γ|k·360°＋45°＜γ＜k·360°＋55°，k∈Z} .
[能力提升练]
1．角α与角β的终边关于y轴对称，则α与β的关系为( )
A．α＋β＝k·360°，k∈Z
B．α＋β＝k·360°＋180°，k∈Z
C．α－β＝k·360°＋180°，k∈Z
D．α－β＝k·360°，k∈Z
B [法一：(特殊值法)令α＝30°，β＝150°，则α＋β＝180°.故α与β的关系为α＋β＝k·360°＋180°，k∈Z.
法二：(直接法)因为角α与角β的终边关于y轴对称，所以β＝180°－α＋k·360°，k∈Z，即α＋β＝k·360°＋180°，k∈Z.]
2．若角α满足180°<α<360°，角5α与α有相同的始边，且又有相同的终边，那么角α＝________．
270° [由于5α与α的始边和终边相同，所以这两角的差应是360°的整数倍，即5α－α＝4α＝k·360°.又180°<α<360°，令k＝3，得α＝270°.]
