课件51张PPT。第一章 三角函数1.1 任意角和弧度制
1.1.2 弧度制度
弧度半径长正数负数060°90°180°270°0角度与弧度的互化与应用 用弧度数表示角 弧长公式与扇形面积公式的应用 点击右图进入…Thank you for watching !1.1.2 弧度制
学 习 目 标
核 心 素 养
1.了解弧度制下，角的集合与实数集之间的一一对应关系．
2．理解“弧度的角”的定义，掌握弧度与角度的换算、弧长公式和扇形面积公式，熟悉特殊角的弧度数．(重点、难点)
3．了解“角度制”与“弧度制”的区别与联系．(易错点)
1.通过本节课的学习，了解引入弧度制的必要性，理解定义，熟练角度制与弧度制的转换，提升学生数学抽象的核心素养．
2．在类比和数学运用过程中，更好形成弧度概念，建立角的集合与实数集的一一对应关系，培养了学生数学建模和数学运算的核心素养.
1．度量角的两种单位制
(1)角度制
①定义：用度作为单位来度量角的单位制．
②1度的角：周角的．
(2)弧度制
①定义：以弧度作为单位来度量角的单位制．
②1弧度的角：长度等于半径长的弧所对的圆心角．
2．弧度数的计算
思考：比值与所取的圆的半径大小是否有关？
提示：一定大小的圆心角α所对应的弧长与半径的比值是唯一确定的，与半径大小无关．
3．角度制与弧度制的换算
4．一些特殊角与弧度数的对应关系
度
0°
30°
45°
60°
90°
120°
135°
150°
180°
270°
360°
弧
度
0
π
2π
5．扇形的弧长和面积公式
设扇形的半径为R，弧长为l，α(0＜α＜2π)为其圆心角，则：
(1)弧长公式：l＝αR．
(2)扇形面积公式：S＝lR＝αR2．
1．下列说法中错误的是( )
A．1弧度的角是周角的
B．弧度制是十进制，而角度制是六十进制
C．1弧度的角大于1度的角
D．根据弧度的定义，180°一定等于π弧度
A [A错误，1弧度的角是周角的.B、C、D都正确．]
2．(1)化为角度是________．
(2)105°的弧度数是________．
(1)252° (2) [(1)＝＝252°；
(2)105°＝105× rad＝ rad.]
3．半径为2，圆心角为的扇形的面积是________．
[由已知得S扇＝××22＝.]
4．－π是第________象限的角．
三 [－π＝－8π＋，∵是第三象限角，
∴－π也是第三象限角．]
角度与弧度的互化与应用
【例1】 (1)①将112°30′化为弧度为________；
②将－rad化为角度为________．
(2)设α1＝510°，α2＝－750°，β1＝，β2＝－.
①将α1，α2用弧度表示出来，并指出它们各自终边所在的象限；
②将β1，β2用角度表示出来，并在－360°～360°范围内找出与它们终边相同的所有的角．
(1)①rad ②－75° [①因为1°＝rad，
所以112°30′＝×112.5 rad＝rad.
②因为1 rad＝，
所以－rad＝－＝－75°.]
(2)[解] ①∵1°＝rad，
∴α1＝510°＝510×＝π，
α2＝－750°＝－750×＝－π.
∴α1的终边在第二象限，α2的终边在第四象限．
②β1＝＝＝144°.
设θ1＝k·360°＋144°(k∈Z)．
∵－360°≤θ1＜360°，
∴－360°≤k·360°＋144°＜360°.
∴k＝－1或k＝0.
∴在－360°～360°范围内与β1终边相同的角是－216°.
β2＝－＝＝－330°.
设θ2＝k·360°－330°(k∈Z)．
∵－360°≤θ2＜360°，
∴－360°≤k·360°－330°＜360°.
∴k＝0或k＝1.
∴在－360°～360°范围内与β2终边相同的角是30°.
角度制与弧度制互化的关键与方法
(1)关键：抓住互化公式π rad＝180°是关键；
(2)方法：度数×＝弧度数；弧度数×＝度数；
(3)角度化弧度时，应先将分、秒化成度，再化成弧度．
1．(1)将－157°30′化成弧度为________；
(2)将－化为度是________．
(1)－π rad (2)－396° [(1)－157°30′＝－157.5°＝－× rad＝－π rad.
(2)－＝＝－396°.]
2．在[2π，4π]中，与72°角终边相同的角是________．(用弧度表示)
π [因为终边与72°角相同的角为θ＝72°＋k·360°(k∈Z)．
当k＝1时，θ＝432°＝π，
所以在[2π，4π]中与72°角终边相同的角是π.]
用弧度数表示角
【例2】 (1)把－1 480°写成2kπ＋α(k∈Z)的形式，其中0≤α＜2π，并判断它是第几象限角？
(2)用弧度表示终边落在如图所示阴影部分内(不包括边界)的角θ的集合．
思路点拨：(1)→
→
(2)→
→
[解] (1)－1 480°＝－1 480×＝－＝－10π＋，其中0≤＜2π，因为是第四象限角，
所以－1 480°是第四象限角．
(2)因为30°＝ rad，210°＝ rad，
这两个角的终边所在的直线相同，因为终边在直线AB上的角为α＝kπ＋，k∈Z，而终边在y轴上的角为β＝kπ＋，k∈Z，从而终边落在阴影部分内的角的集合为.
1．弧度制下与角α终边相同的角的表示．
在弧度制下，与角α的终边相同的角可以表示为{β|β＝2kπ＋α，k∈Z}，即与角α终边相同的角可以表示成α加上2π的整数倍．
2．根据已知图形写出区域角的集合的步骤．
(1)仔细观察图形．
(2)写出区域边界作为终边时角的表示．
(3)用不等式表示区域范围内的角．
提醒：角度制与弧度制不能混用.
3．下列与的终边相同的角的表达式中，正确的是( )
A．2kπ＋45°(k∈Z) B．k·360°＋(k∈Z)
C．k·360°－315°(k∈Z) D．kπ＋(k∈Z)
C [A，B中弧度与角度混用，不正确．
π＝2π＋，所以π与终边相同．－315°＝－360°＋45°，所以－315°也与45°终边相同．故选C.]
4．用弧度写出终边落在如图阴影部分(不包括边界)内的角的集合．
[解] 30°＝，150°＝.
终边落在题干图中阴影区域内角的集合(不包括边界)是.
弧长公式与扇形面积公式的应用
[探究问题]
1．用公式|α|＝求圆心角时，应注意什么问题？
提示：应注意结果是圆心角的绝对值，具体应用时既要注意其大小，又要注意其正负．
2．在使用弧度制下的弧长公式及面积公式时，若已知的角是以“度”为单位，需注意什么问题？
提示：若已知的角是以“度”为单位，则必须先把它化成弧度后再计算，否则结果易出错．
【例3】 (1)如图，以正方形ABCD中的点A为圆心，边长AB为半径作扇形EAB，若图中两块阴影部分的面积相等，则∠EAD的弧度数大小为________；
(2)已知扇形OAB的周长是60 cm，面积是20 cm2，求扇形OAB的圆心角的弧度数．
思路点拨：(1)先根据两块阴影部分的面积相等列方程，再解方程求∠EAD的弧度数．
(2)先根据题意，列关于弧长和半径的方程组，再解方程组求弧长和半径，最后用弧度数公式求圆心角的弧度数．
(1)2－ [设AB＝1，∠EAD＝α，
∵S扇形ADE＝S阴影BCD，
由题意可得×12×α＝12－，
∴解得α＝2－.]
(2)[解] 设扇形的弧长为l，半径为r，
则
∴或
∴扇形的圆心角的弧度数为
＝43－3或43＋3.
1．(变条件)将本例(2)中的条件“60”改为“10”，“20”改为“4”，其他条件不变，求扇形圆心角的弧度数．
[解] 设扇形圆心角的弧度数为θ(0＜θ＜2π)，弧长为l，半径为r，
依题意有
由①得l＝10－2r，代入②得r2－5r＋4＝0，
解得r1＝1，r2＝4.
当r＝1时，l＝8(cm)，
此时，θ＝8 rad＞2π rad(舍去)．
当r＝4时，l＝2(cm)，此时，θ＝＝ rad.
2．(变结论)将本例(2)中的条件“面积是20 cm2”删掉，求扇形OAB的最大面积及此时弧长AB.
[解] 设弧长为l，半径为r，由已知l＋2r＝60，
所以l＝60－2r，|α|＝＝，
从而S＝|α|r2＝··r2＝－r2＋30r＝－(r－15)2＋225，
当r＝15时，S取最大值为225，这时圆心角α＝＝＝2，
可得弧长AB＝αr＝2×15＝30.
1．弧度制下解决扇形相关问题的步骤：
(1)明确弧长公式和扇形的面积公式：l＝|α|r，S＝|α|r2和S＝lr.(这里α必须是弧度制下的角)
(2)分析题目的已知量和待求量，灵活选择公式．
(3)根据条件列方程(组)或建立目标函数求解．
提醒：看清角的度量制，恰当选用公式．
2．通过弧度制的引入，使弧长公式及扇形面积公式均有了弧度制的新形式，体现了核心素养下两种公式的比较及弧度的渗透．
角度制下
l＝，S＝
弧度制下
l＝|α|r，S＝|α|r2＝lr
1．角的概念推广后，在弧度制下，角的集合与实数集R之间建立起一一对应的关系：每一个角都有唯一的一个实数(即这个角的弧度数)与它对应；反过来，每一个实数也都有唯一的一个角(即弧度数等于这个实数的角)与它对应．
2．弧度制下涉及扇形问题的解题策略
(1)明确弧度制下扇形的面积公式是S＝lr＝|α|r2(其中l是扇形的弧长，r是扇形的半径，α(0＜α＜2π)是扇形的圆心角)．
(2)涉及扇形的周长、弧长、圆心角、面积等的计算，关键是先分析题目已知哪些量求哪些量，然后灵活运用弧长公式、扇形面积公式直接求解或列方程(组)求解．
注意：运用弧度制下的弧长公式及扇形面积公式的前提是α为弧度.
1．下列说法正确的是( )
A．1弧度就是1度的圆心角所对的弧
B．1弧度是长度为半径的弧
C．1弧度是1度的弧与1度的角之和
D．1弧度是长度等于半径长的弧所对的圆心角的大小
D [利用弧度的概念判断，易知D正确．]
2．下列转化结果错误的是( )
A．60°化成弧度是
B．－π化成度是－600°
C．－150°化成弧度是－π
D．化成度是15°
C [对于A，60°＝60×＝；对于B，－π＝－×180°＝－600°；对于C，－150°＝－150×＝－π；对于D，＝×180°＝15°.故选C.]
3．若把－570°写成2kπ＋α(k∈Z，0≤α＜2π)的形式，则α＝________．
[－570°＝－＝－4π＋.]
4．求半径为π cm，圆心角为120°的扇形的弧长及面积．
[解] 因为r＝π，α＝120×＝，
所以l＝αr＝ cm，S＝lr＝ cm2.
课时分层作业(二)
(建议用时：45分钟)
[基础达标练]
一、选择题
1．下列说法中，错误的是( )
A．“度”与“弧度”是度量角的两种不同的度量单位
B．1°的角是周角的，1 rad的角是周角的
C．1 rad的角比1°的角要大
D．用角度制和弧度制度量角，都与圆的半径有关
D [ 无论是角度制度量角还是弧度制度量角，都与圆的半径没有关系．]
2.是( )
A．第一象限角 B．第二象限角
C．第三象限角 D．第四象限角
B [＝4π＋.∵π是第二象限角，∴是第二象限角．]
3．在0到2π范围内，与角－终边相同的角是( )
A． B． C． D．
C [与角－终边相同的角是2kπ＋，k∈Z，令k＝1，可得与角－终边相同的角是，故选C.]
4．下列表示中不正确的是( )
A．终边在x轴上角的集合是{α|α＝kπ，k∈Z}
B．终边在y轴上角的集合是
C．终边在坐标轴上角的集合是
D．终边在直线y＝x上角的集合是
D [对于A，终边在x轴上角的集合是，故A正确；
对于B，终边在y轴上的角的集合是，故B正确；
对于C，终边在x轴上的角的集合为，终边在y轴上的角的集合为，
故合在一起即为∪＝，故C正确；对于D，终边在直线y＝x上的角的集合是，故D不正确．]
5．已知扇形的弧长是4 cm，面积是2 cm2，则扇形的圆心角的弧度数是( )
A．1 B．2
C．4 D．1或4
C [因为扇形的弧长为4 cm，面积为2 cm2，
所以扇形的面积为×4×r＝2，解得r＝1(cm)，
则扇形的圆心角的弧度数为＝4.故选C.]
二、填空题
6．把角－π用角度制表示为________．
－1 215° [－π＝－×180°＝－1 215°.]
7．在△ABC中，若A∶B∶C＝3∶5∶7，则角A，B，C的弧度数分别为______________．
，， [因为A＋B＋C＝π，
又A∶B∶C＝3∶5∶7，
所以A＝＝，B＝＝，C＝.]
8．圆的一段弧长等于该圆外切正三角形的外边，则这段弧所对圆心角的弧度数是________．
2 [设圆的半径为r，外切正三角形边长为a，则a×＝r，则r＝a，又弧长为a，所以圆心角为：＝＝＝2.]
三、解答题
9．已知角α＝2 010°.
(1)将α改写成β＋2kπ(k∈Z，0≤β＜2π)的形式，并指出α是第几象限的角；
(2)在区间[－5π，0)上找出与α终边相同的角．
[解] (1)2 010°＝2 010×＝＝5×2π＋.
又π＜＜，
∴α与终边相同，是第三象限的角．
(2)与α终边相同的角可以写成γ＝＋2kπ(k∈Z)，
又－5π≤γ＜0，
∴当k＝－3时，γ＝－π；
当k＝－2时，γ＝－π；
当k＝－1时，γ＝－π.
∴在区间[－5π，0)上与α终边相同的角为－π，－π，－π.
10．已知半径为10的圆O中，弦AB的长为10.
(1)求弦AB所对的圆心角α的大小；
(2)求α所在的扇形的弧长l及弧所在的弓形的面积S.
[解] (1)由⊙O的半径r＝10＝AB，
知△AOB是等边三角形，
∴α＝∠AOB＝60°＝.
(2)由(1)可知α＝，r＝10，
∴弧长l＝α·r＝×10＝，
∴S扇形＝lr＝××10＝，
而S△AOB＝·AB·5＝×10×5＝25，
∴S＝S扇形－S△AOB＝25.
[能力提升练]
1．若角α与角x＋有相同的终边，角β与角x－有相同的终边，那么α与β间的关系为( )
A．α＋β＝0 B．α－β＝0
C．α＋β＝2kπ(k∈Z) D．α－β＝＋2kπ(k∈Z)
D [∵α＝2k1π＋x＋，β＝2k2π＋x－(k1，k2∈Z)，
∴α－β＝2(k1－k2)π＋，也即α－β＝＋2kπ(k∈Z)．]
2．已知集合A＝{x|2kπ≤x≤2kπ＋π，k∈Z}，集合B＝{x|－4≤x≤4}，则A∩B＝________________．
[－4，－π]∪[0，π] [如图所示，
∴A∩B＝[－4，－π]∪[0，π]．]
