课件48张PPT。第一章 三角函数1.2 任意角的三角函数
1.2.1 任意角的三角函数
第1课时 任意角的三角函数的定义
yyxxRR正弦正切余弦三角函数的定义及应用 三角函数值符号的运用 诱导公式一的应用 点击右图进入…Thank you for watching !课件53张PPT。第一章 三角函数1.2 任意角的三角函数
1.2.1 任意角的三角函数
第2课时 三角函数线及其应用方向 MPOMAT作已知角的三角函数线 利用三角函数线比较大小 利用三角函数线解三角不等式 点击右图进入…Thank you for watching !1.2 任意角的三角函数
1.2.1 任意角的三角函数
第1课时 任意角的三角函数的定义
学 习 目 标
核 心 素 养
1.借助单位圆理解任意角三角函数(正弦、余弦、正切)的定义．(重点、难点)
2.掌握任意角三角函数(正弦、余弦、正切)在各象限的符号．(易错点)
3.掌握公式——并会应用．
1.借助单位圆给出任意角三角函数的定义，培养了学生数学抽象和数学建模的核心素养.
2.通过利用三角函数定义及符号特点求值，提升了学生直观想象和数学运算的核心素养.
1．任意角的三角函数的定义
前提
如图，设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P(x，y)
定义
正弦
y叫做α的正弦，记作sin α，即sin α＝y
余弦
x叫做α的余弦，记作cos α，即cos α＝x
正切
叫做α的正切，记作tan α，即tan α＝
三角函数
正弦、余弦、正切都是以角为自变量，以单位圆上的点的坐标或坐标的比值为函数值的函数，将它们统称为三角函数
2.正弦、余弦、正切函数在弧度制下的定义域
三角函数
定义域
sin α
R
cos α
R
tan α
3.正弦、余弦、正切函数值在各象限内的符号
(1)图示：
(2)口诀：“一全正，二正弦，三正切，四余弦”．
4．诱导公式一
思考：终边相同的角的同名三角函数值一定相等吗？
提示：一定相等．
1．若角α的终边经过点P(2，3)，则有( )
A．sin α＝ B．cos α＝
C．sin α＝ D．tan α＝
C [这里x＝2，y＝3，则r＝＝，
∴sin α＝，cos α＝，tan α＝，故选C.]
2．已知sin α＞0，cos α＜0，则角α是( )
A．第一象限角 B．第二象限角
C．第三象限角 D．第四象限角
B [由正弦、余弦函数值在各象限内的符号知，角α是第二象限角．]
3．sinπ＝ ．
[sinπ＝sin＝sin＝.]
4．角α终边与单位圆相交于点M，则cos α＋sin α的值为 ．
[cos α＝x＝，sin α＝y＝，
故cos α＋sin α＝.]
三角函数的定义及应用
[探究问题]
1．一般地，设角α终边上任意一点的坐标为(x，y)，它与原点的距离为r，则sin α，cos α，tan α为何值？
提示：sin α＝，cos α＝，tan α＝.
2．sin α，cos α，tan α的值是否随P点在终边上的位置的改变而改变？
提示：sin α，cos α，tan α的值只与α的终边位置有关，不随P点在终边上的位置的改变而改变．
【例1】 (1)已知角θ的终边上有一点P(x，3)(x＞0)，且cos θ＝x，求sin θ，tan θ的值为 ；
(2)已知角α的终边落在直线x＋y＝0上，求sin α，cos α，tan α的值．
思路点拨：(1)
→
(2)→
(1)，3 [由三角函数定义知，
cos θ＝＝＝x.
∵x＞0，∴x＝1，∴r＝.
∴sin θ＝，tan θ＝＝3.]
(2)[解] 直线x＋y＝0，即y＝－x，经过第二、四象限，在第二象限取直线上的点(－1，)，则r＝＝2，所以sin α＝，cos α＝－，tan α＝－；
在第四象限取直线上的点(1，－)，
则r＝＝2，
所以sin α＝－，cos α＝，tan α＝－.
1．将本例(1)中条件“x＞0”改为“x＜0”，结果如何？
[解] ∵x＜0，由＝x得x＝－1.
∴sin θ＝，tan θ＝－3.
2．将本例(1)中条件“x＞0”改为“x≠0”，结果又怎样？
[解] 因为r＝，cos θ＝，
所以x＝，
又x≠0，所以x＝±1，所以r＝.
当x＝1时，sin θ＝，tan θ＝3，
当x＝－1时，sin θ＝，tan θ＝－3.
3．将本例(1)中“P(x，3)”改为“P(x，3x)”，且把“cos θ＝”去掉，结果又怎样？
[解] ∵x≠0，∴r＝＝|x|.
当x＞0时，P在第一象限，θ为第一象限角，
这时r＝x，
则sin θ＝，cos θ＝，tan θ＝3.
当x＜0时，P在第三象限，θ为第三象限角，这时r＝－x.
则sin θ＝－，cos θ＝－，tan θ＝3.
4．将本例(2)的条件“x＋y＝0”改为“y＝2x”其他条件不变，结果又如何？
[解] 当角的终边在第一象限时，在角的终边上取点P(1，2)，由r＝|OP|＝＝，得sin α＝＝，cos α＝＝，tan α＝＝2.
当角的终边在第三象限时，在角的终边上取点Q(－1，－2)，
由r＝|OQ|＝＝，
得：sin α＝＝－，cos α＝＝－，
tan α＝＝2.
由角α终边上任意一点的坐标求其三角函数值的步骤：
(1)已知角α的终边在直线上时，常用的解题方法有以下两种：
①先利用直线与单位圆相交，求出交点坐标，然后再利用正、余弦函数的定义求出相应三角函数值．
②在α的终边上任选一点P(x，y)，P到原点的距离为r(r>0)．则sin α＝，cos α＝.已知α的终边求α的三角函数时，用这几个公式更方便．
(2)当角α的终边上点的坐标以参数形式给出时，一定注意对字母正、负的辨别，若正、负未定，则需分类讨论．
三角函数值符号的运用
【例2】 (1)已知点P(tan α，cos α)在第四象限，则角α终边在( )
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
(2)判断下列各式的符号：
①sin 145°cos(－210°)；②sin 3·cos 4·tan 5.
思路点拨：(1)先判断tan α，cos α的符号，再判断角α终边在第几象限．
(2)先判断已知角分别是第几象限角，再确定各三角函数值的符号，最后判断乘积的符号．
(1)C [因为点P在第四象限，所以有由此可判断角α终边在第三象限．]
(2)[解] ①∵145°是第二象限角．
∴sin 145°＞0.
∵－210°＝－360°＋150°，
∴－210°是第二象限角，
∴cos(－210°)＜0，
∴sin 145°cos(－210°)＜0.
②∵＜3＜π，π＜4＜，＜5＜2π，
∴sin 3＞0，cos 4＜0，tan 5＜0，
∴sin 3·cos 4·tan 5＞0.
判断三角函数值在各象限符号的攻略：
(1)基础：准确确定三角函数值中各角所在象限；
(2)关键：准确记忆三角函数在各象限的符号；
(3)注意：用弧度制给出的角常常不写单位，不要误认为角度导致象限判断错误．
提醒：注意巧用口诀记忆三角函数值在各象限符号．
1．已知角α的终边过点(3a－9，a＋2)且cos α≤0，sin α＞0，则实数a的取值范围是 ．
[－2，3] [因为cos α≤0，sin α＞0，
所以角α的终边在第二象限或y轴非负半轴上，因为α终边过(3a－9，a＋2)，
所以所以－2＜a≤3.]
2．设角α是第三象限角，且＝－sin，则角是第 象限角．
四 [角α是第三象限角，则角是第二、四象限角，
∵＝－sin，∴角是第四象限角．]
诱导公式一的应用
【例3】 求值：(1)tan 405°－sin 450°＋cos 750°；
(2)sincos＋tancos.
[解] (1)原式＝tan(360°＋45°)－sin(360°＋90°)＋cos(2×360°＋30°)
＝tan 45°－sin 90°＋cos 30°
＝1－1＋＝.
(2)原式＝sincos＋tan·cos
＝sincos＋tancos＝×＋1×＝.
利用诱导公式一进行化简求值的步骤
(1)定形：将已知的任意角写成2kπ＋α的形式，其中α∈[0，2π)，k∈Z.
(2)转化：根据诱导公式，转化为求角α的某个三角函数值．
(3)求值：若角为特殊角，可直接求出该角的三角函数值．
3．化简下列各式：
(1)a2sin(－1 350°)＋b2tan 405°－2abcos(－1 080°)；
(2)sin＋cosπ·tan 4π.
[解] (1)原式＝a2sin(－4×360°＋90°)＋b2tan(360°＋45°)－2abcos(－3×360°)
＝a2sin 90°＋b2tan 45°－2abcos 0°
＝a2＋b2－2ab＝(a－b)2.
(2)sin＋cosπ·tan 4π
＝sin＋cosπ·tan 0＝sin＋0＝.
1．通过三角函数的定义的学习，为以后学习一切三角函数知识打下了基础，要充分理解其内涵，把握住三角函数值只与角的终边所在位置有关，与所选取的点在终边上的位置无关这一关键点．
2．三角函数的定义域是学习三角函数图象与性质的基础，通过对角的集合与函数值之间的对应关系，加深对三角函数定义的理解．
3．三角函数值在各象限的符号取决于终边所在的位置，具体说取决于x，y的符号，记忆时结合三角函数定义式，也可用口诀只记正的：“一全正，二正弦，三正切，四余弦”．
1．有下列说法：
①终边相同的角的同名三角函数的值相等；
②sin α是“sin”与“α”的乘积；
③若sin α＞0，则α是第一、二象限的角；
④若α是第二象限的角，且P(x，y)是其终边上一点，则cos α＝－.
其中正确的个数是( )
A．0 B．1 C．2 D．3
B [①正确；②错误；sin α是整体；③错误，如sin ＝1＞0；④错误，cos α＝，故B选项正确．]
2．若sin θ·cos θ＞0，则θ在( )
A．第一或第四象限 B．第一或第三象限
C．第一或第二象限 D．第二或第四象限
B [因为sin θ·cos θ＞0，所以sin θ＜0，cos θ＜0或sin θ＞0，cos θ＞0，所以θ在第三象限或第一象限．]
3．在平面直角坐标系xOy中，角α与角β均以Ox为始边，它们的终边关于x轴对称，若sin α＝，则sin β＝ ．
－ [设角α的终边与单位圆相交于点P(x，y)，
则角β的终边与单位圆相交于点Q(x，－y)，
由题意知y＝sin α＝，所以sin β＝－y＝－.]
4．求值：(1)sin 180°＋cos 90°＋tan 0°；
(2)cos＋tan.
[解] (1)sin 180°＋cos 90°＋tan 0°＝0＋0＋0＝0.
(2)cos＋tan
＝cos＋tan
＝cos＋tan＝＋1＝.
第2课时 三角函数线及其应用
学 习 目 标
核 心 素 养
1.了解三角函数线的意义，能用三角函数线表示一个角的正弦、余弦和正切．(重点)
2.能利用三角函数线解决一些简单的三角函数问题．(难点)
通过三角函数线的学习，使三角函数赋予了几何意义，将代数与几何有机的结合，从而发现了自然界中周期现象的存在，养成用数学的眼光观察世界，培养了学生数学抽象，直观想象和数学建模的核心素养.
1．有向线段
(1)定义：带有方向的线段．
(2)表示：用大写字母表示，如有向线段OM，MP.
2．三角函数线
(1)作图：①α的终边与单位圆交于P，过P作PM垂直于x轴，垂足为M.
②过A(1，0)作x轴的垂线，交α的终边或其反向延长线于点T.
(2)图示：
(3)结论：有向线段MP、OM、AT，分别叫做角α的正弦线、余弦线、正切线，统称为三角函数线．
思考：当角的终边落在坐标轴上时，正弦线、余弦线、正切线变得怎样？
提示：当角的终边落在x轴上时，正弦线、正切线分别变成了一个点；终边落在y轴上时，余弦线变成了一个点，正切线不存在．
1．角和角有相同的( )
A．正弦线 B．余弦线
C．正切线 D．不能确定
C [角和角的终边互为反向线，所以正切线相同．]
2．如图，在单位圆中角α的正弦线、正切线完全正确的是( )
A．正弦线OM，正切线A′T′
B．正弦线OM，正切线A′T′
C．正弦线MP，正切线AT
D．正弦线MP，正切线A′T′
C [α为第三象限角，故正弦线为MP，正切线为AT，C正确．]
3．若角α的余弦线长度为0，则它的正弦线的长度为 ．
1 [若角α的余弦线长度为0时，α的终边落在y轴上，正弦线与单位圆的交点为(0，1)或(0，－1)，所以正弦线长度为1.]
作已知角的三角函数线
【例1】 作出下列各角的正弦线、余弦线、正切线．
(1)－；(2)；(3).
[解] 如图．
其中MP为正弦线，OM为余弦线，AT为正切线．
三角函数线的画法
(1)作正弦线、余弦线时，首先找到角的终边与单位圆的交点，然后过此交点作x轴的垂线，得到垂足，从而得正弦线和余弦线．
(2)作正切线时，应从A(1，0)点引x轴的垂线，交α的终边(α为第一或第四象限角)或α终边的反向延长线(α为第二或第三象限角)于点T，即可得到正切线AT.
1．作出－的正弦线、余弦线和正切线．
[解] 如图：
sin＝MP，
cos＝OM，
tan＝AT.
利用三角函数线比较大小
【例2】 (1)已知cos α＞cos β，那么下列结论成立的是( )
A．若α、β是第一象限角，则sin α＞sin β
B．若α、β是第二象限角，则tan α＞tan β
C．若α、β是第三象限角，则sin α＞sin β
D．若α、β是第四象限角，则tan α＞tan β
(2)利用三角函数线比较sin和sin，cos和cos，tan和tan的大小．
思路点拨：(1)→
(2)作出和的正弦线、余弦线和正切线→
(1)D [由图(1)可知，cos α＞cos β时，sin α＜sin β，故A错误；
图(1)
由图(2)可知，cos α＞cos β时，tan α＜tan β，故B错误；
图(2)
由图(3)可知，cos α＞cos β时，sin α＜sin β，C错误；
图(3)
由图(4)可知，cos α＞cos β时，tan α＞tan β，D正确．
]
图(4)
(2)解：如图，sin＝MP，cos＝OM，tan＝AT，sin＝M′P′，cos＝OM′，tan＝AT′.
显然|MP|＞|M′P′|，符号皆正，
∴sin＞sin；
|OM|＜|OM′|，符号皆负，∴cos＞cos；
|AT|＞|AT′|，符号皆负，∴tan＜tan.
(1)利用三角函数线比较大小的步骤：
①角的位置要“对号入座”；
②比较三角函数线的长度；
③确定有向线段的正负．
(2)利用三角函数线比较函数值大小的关键及注意点：
①关键：在单位圆中作出所要比较的角的三角函数线．
②注意点：比较大小，既要注意三角函数线的长短，又要注意方向．
2．已知a＝sin，b＝cos，c＝tan，则( )
A．a＜b＜c B．a＜c＜b
C．b＜c＜a D．b＜a＜c
D [由如图的三角函数线知：
MP＜AT，因为＞＝，
所以MP＞OM，
所以cos＜sin＜tan，
所以b＜a＜c.]
3．设＜α＜，试比较角α的正弦线、余弦线和正切线的长度．如果＜α＜，上述长度关系又如何？
[解] 如图所示，当＜α＜时，角α的正弦线为MP，余弦线为OM，正切线为AT，显然在长度上，AT＞MP＞OM；当＜α＜时，角α的正弦线为M′P′，余弦线为OM′，正切线为AT′，显然在长度上，AT′＞M′P′＞OM′.
利用三角函数线解三角不等式
[探究问题]
1．利用三角函数线如何解答形如sin α≥a，sin α≤a(|a|≤1)的不等式？
提示：对形如sin α≥a，sin α≤a(|a|≤1)的不等式：
图①
画出如图①所示的单位圆；在y轴上截取OM＝a，过点(0，a)作y轴的垂线交单位圆于两点P和P′，并作射线OP和OP′；写出终边在OP和OP′上的角的集合；图中阴影部分即为满足不等式sin α≤a的角α的范围，其余部分即为满足不等式sin α≥a的角α的范围．
2．利用三角函数线如何解答形如cos α≥a，cos α≤a(|a|≤1)的不等式？
提示：对形如cos α≥a，cos α≤a(|a|≤1)的不等式：
图②
画出如图②所示的单位圆；在x轴上截取OM＝a，过点(a，0)作x轴的垂线交单位圆于两点P和P′，作射线OP和OP′；写出终边在OP和OP′上的角的集合；图中阴影部分即为满足不等式cos α≤a的角α的范围，其余部分即为满足不等式cos α≥a的角α的范围．
【例3】 利用三角函数线确定满足下列条件的角α的取值范围．
(1)cos α＞－；(2)tan α≤；(3)|sin α|≤.
思路点拨：―→―→
[解] (1)如图，由余弦线知角α的取值范围是
.
(2)如图，由正切线知角α的取值范围是
.
(3)由|sin α|≤，得－≤sin α≤.
如图，由正弦线知角α的取值范围是
.
1．将本例(1)的不等式改为“cos α＜”，求α的取值范围．
[解] 如图，由余弦线知角α的取值范围是
.
2．将本例(3)的不等式改为“－≤sin θ＜”，求α的取值范围．
[解] 由三角函数线可知sin＝sin＝，sin＝sin＝－，且－≤sin θ＜，故θ的取值集合是
∪(k∈Z)．
3．利用本例的方法，求函数y＝的定义域．
[解] 要使函数有意义，只需2sin x－1≥0，
即sin x≥.
由正弦线可知定义域为(k∈Z)．
利用单位圆中的三角函数线解不等式的方法
(1)首先作出单位圆，然后根据各问题的约束条件，利用三角函数线画出角α满足条件的终边的位置．
(2)角的终边与单位圆交点的横坐标是该角的余弦值，与单位圆交点的纵坐标是该角的正弦值．
(3)写角的范围时，抓住边界值，然后再注意角的范围的写法要求．
提醒：在一定范围内先找出符合条件的角，再用终边相同的角的表达式写出符合条件的所有角的集合．
1．本节课的重点是三角函数线的画法，以及利用三角函数线解简单的不等式及比较大小问题，难点是对三角函数线概念的理解．
2．本节课应重点掌握三角函数线的以下三个问题
(1)三角函数线的画法，见类型1；
(2)利用三角函数线比较大小，见类型2；
(3)利用三角函数线解简单不等式，见类型3.
3．三角函数线是三角函数的几何表示，它们都是有向线段，线段的方向表示三角函数值的正负，与坐标轴同向为正，异向为负，线段的长度是三角函数的绝对值，这是本节重中之重．
4．利用三角函数线解三角不等式的方法
正弦、余弦型不等式的解法
对于sin x≥b，cos x≥a(sin x≤b，cos x≤a)，求解关键是寻求恰当的点，只需作直线y＝b或x＝a与单位圆相交，连接原点与交点即得角的终边所在的位置，此时再根据方向即可确定相应的范围
正切型不等式的解法
对于tan x≥c，取点(1，c)，连接该点和原点并反向延长，即得角的终边所在的位置，结合图象可确定相应的范围
1．下列判断中错误的是( )
A．α一定时，单位圆中的正弦线一定
B．在单位圆中，有相同正弦线的角相等
C．α和α＋π有相同的正切线
D．具有相同正切线的两个角的终边在同一条直线上
B [A正确；B错误，如与有相同正弦线；C正确，因为α与π＋α的终边互为反向延长线；D正确．]
2．如果OM，MP分别是角α＝的余弦线和正弦线，那么下列结论正确的是( )
A．MP＜OM＜0 B．MP＜0＜OM
C．MP＞OM＞0 D．OM＞MP＞0
D [角β＝的余弦线与正弦线相等，结合图象可知角α＝的余弦线和正弦线满足OM＞MP＞0.]
3．若a＝sin 4，b＝cos 4，则a，b的大小关系为 ．
a＜b [因为＜4＜，
画出4弧度角的正弦线和余弦线(如图)，
观察可知sin 4＜cos 4，即a＜b.]
4．在单位圆中画出适合下列条件的角α的终边范围，并由此写出角α的集合．
(1)sin α≥；(2)cos α≤－.
[解] (1)作直线y＝交单位圆于A，B两点，连接OA，OB，则角α的终边在如图①所示的阴影区域内(含边界)，角α的取值集合为.
图① 图②
(2)作直线x＝－交单位圆于C，D两点，连接OC，OD，则角α的终边在如图②所示的阴影区域内(含边界)，角α的取值集合为.
课时分层作业(三)
(建议用时：60分钟)
[基础达标练]
一、选择题
1．sin(－1 380°)的值为( )
A．－ B．
C．－ D．
D [sin(－1 380°)＝sin(－4×360°＋60°)＝sin 60°＝.]
2．如果角α的终边过点P(2sin 30°，－2cos 30°)，则sin α的值等于( )
A． B．－
C．－ D．－
C [sin 30°＝，cos 30°＝，∴P点坐标为(1，－)，
r＝＝2，∴sin α＝－.]
3．已知角α的终边在函数y＝－|x|的图象上，则cos α的值为( )
A． B．－
C．或－ D．
C [由y＝－|x|的图象知，α的终边落在第三、四象限的角平分线上，当α终边落在第三象限时，cos α＝－；当α终边落在第四象限时，cos α＝.]
4．θ是第二象限角，则下列选项中一定为正值的是( )
A．sin B．cos
C．tan D．cos 2θ
C [∵θ是第二象限角，则一定是第一或第三象限角，这时tan 一定为正值，故选C.]
5．某点从(1，0)出发，沿单位圆x2＋y2＝1按逆时针方向运动弧长到达Q点，则Q点的坐标为( )
A． B．
C． D．
A [点(1，0)在x轴正半轴，由题意可知，θ一定在α＝的终边上，∵OQ＝1，
∴Q点的坐标为即.]
二、填空题
6．在平面直角坐标系中，以x轴的非负半轴为角的始边，如果角α，β的终边分别与单位圆交于点和，那么sin α·tan β＝ ．
－ [由任意角的正弦、正切函数的定义知
sin α＝，tan β＝＝－，
所以sin α·tan β＝×＝－.]
7．点P(tan 2 018°，cos 2 018°)位于第 象限．
四 [因为2 018°＝5×360°＋218°，
所以2 018°与218°终边相同，是第三象限角，
所以tan 2 018°＞0，cos 2 018°＜0，
所以点P位于第四象限．]
8．已知角α的终边经过点P(x，－6)且cos α＝－，则x＝ ．
－8 [因为|OP|＝＝，
所以cos α＝，又cos α＝－，
所以＝－，整理得x＝－8.]
三、解答题
9．化简下列各式：
(1)sinπ＋cosπ＋cos(－5π)＋tan；
(2)a2sin 810°－b2cos 900°＋2abtan 1 125°.
[解] (1)原式＝sinπ＋cos＋cos π＋1
＝－1＋0－1＋1＝－1.
(2)原式＝a2sin 90°－b2cos 180°＋2abtan 45°＝a2＋b2＋2ab＝(a＋b)2.
10．已知＝－，且lg cos α有意义．
(1)试判断角α的终边所在的象限；
(2)若角α的终边上一点M，且|OM|＝1(O为坐标原点)，求m的值及sin α的值．
[解] (1)由＝－，可知sin α<0.
由lg cos α有意义，可知cos α>0，
∴角α的终边在第四象限．
(2)∵|OM|＝1，∴＋m2＝1，解得m＝±.
又α是第四象限角，故m<0，从而m＝－.
由正弦函数的定义可知
sin α＝＝＝＝－.
[能力提升练]
1．函数y＝＋的定义域是( )
A．(2kπ，2kπ＋π)，k∈Z
B．，k∈Z
C．，k∈Z
D．，k∈Z
B [由sin x≥0，－cos x≥0，得x为第二象限角或y轴正半轴上的角或x轴负半轴上的角，
所以2kπ＋≤x≤2kπ＋π，k∈Z.]
2．若角α满足sin α·cos α＜0，cos α－sin α＜0，则α在( )
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
B [由sin α·cos α＜0知α是第二或第四象限角，由cos α－sin α＜0，得cos α＜sin α，所以α是第二象限角．]
3．已知角α的终边过点(－3cos θ，4cos θ)，其中θ∈，则cos α＝ ．
[因为θ∈，所以cos θ＜0，
r＝＝5|cos θ|＝－5cos θ，
所以cos α＝＝.]
4．函数y＝＋的值域为 ．
{－2，0，2} [已知函数的定义域为，
即角x的终边不能落在坐标轴上，
当x是第一象限角时，cos x＞0，tan x＞0，y＝＋＝1＋1＝2；
当x是第二象限角时，cos x＜0，tan x＜0，y＝＋＝－1－1＝－2；
当x是第三象限角时，cos x＜0，tan x＞0，y＝＋＝－1＋1＝0；
当x是第四象限角时，cos x＞0，tan x＜0，y＝＋＝1－1＝0.
综上知原函数的值域是{－2，0，2}．]
5．已知sin θ＜0，tan θ＞0.
(1)求角θ的集合；
(2)求的终边所在的象限；
(3)试判断sincostan的符号．
[解] (1)因为sin θ＜0，所以θ为第三、四象限角或在y轴的负半轴上，
因为tan θ＞0，所以θ为第一、三象限角，
所以θ为第三象限角，θ角的集合为.
(2)由(1)可得，kπ＋＜＜kπ＋，k∈Z.
当k是偶数时，终边在第二象限；
当k是奇数时，终边在第四象限．
(3)由(2)可得
当k是偶数时，sin＞0，cos＜0，tan＜0，
所以sincostan＞0；
当k是奇数时sin＜0，cos＞0，tan＜0，
所以sincostan＞0.
综上知，sincostan＞0.
课时分层作业(四)
(建议用时：45分钟)
[基础达标练]
一、选择题
1．对三角函数线，下列说法正确的是( )
A．对任意角都能作出正弦线、余弦线和正切线
B．有的角的正弦线、余弦线和正切线都不存在
C．任意角的正弦线、正切线总是存在的，但余弦线不一定存在
D．任意角的正弦线、余弦线总是存在的，但正切线不一定存在
D [终边在y轴上的角的正切线不存在，故A，C错，对任意角都能作正弦线、余弦线，故B错，因此选D.]
2．有三个命题：①和的正弦线长度相等；②和的正切线相同；③和的余弦线长度相等．
其中正确说法的个数为( )
A．1 B．2 C．3 D．0
C [和的正弦线关于y轴对称，长度相等；和两角的正切线相同；和的余弦线长度相等．故①②③都正确，故选C.]
3．角α(0＜α＜2π)的正弦线、余弦线的长度相等，且正弦、余弦符号相异，那么α的值为( )
A． B． C． D．或
D [由已知得角α的终边应落在直线y＝－x上，
又0＜α＜2π，所以α＝或.]
4．cos 1，cos 2，cos 3的大小关系是( )
A．cos 1＞cos 2＞cos 3 B．cos 1＞cos 3＞cos 2
C．cos 3＞cos 2＞cos 1 D．cos 2＞cos 1＞cos 3
A [作出已知三个角的余弦线(如图)，
观察图形可知cos 1＞0＞cos 2＞cos 3.]
5．使sin x≤cos x成立的x的一个区间是( )
A． B．
C． D．[0，π]
A [如图，画出三角函数线sin x＝MP，cos x＝OM，由于sin＝cos，
sin＝cos，为使sin x≤cos x成立，由图可得在[－π，π]范围内，－≤x≤.]
二、填空题
6．已知θ∈，在单位圆中角θ的正弦线、余弦线、正切线分别是MP，OM，AT，则它们从大到小的顺序为 ．
AT>MP>OM [如图：因为θ∈，所以θ>，根据三角函数线的定义可知AT>MP>OM.]
7．利用三角函数线写出满足tan x＜且x∈(0，2π)的x的取值范围为 ．
∪ [由tan x＜得kπ－＜x＜kπ＋(k∈Z)，又∵x∈(0，2π)，
∴x的取值范围为∪.]
8．函数y＝的定义域为 ．
(k∈Z) [因为2cos x－1≥0，所以cos x≥.如图：
作出余弦值等于的角：－和，在图中所示的阴影区域内的每一个角x，其余弦值均大于或等于，因而满足cos x≥的角的集合为(k∈Z)．所以函数定义域为(k∈Z)．]
三、解答题
9．已知－≤sin θ＜，利用单位圆中的三角函数线，确定角θ的范围．
[解] 画出三角函数线如图．
由图可知角θ的范围是
.
10．求下列函数的定义域：
(1)f(x)＝；
(2)f(x)＝lg sin x＋.
[解] (1)∵要使函数f(x)有意义，
∴sin x·tan x≥0，
∴sin x与tan x同号或sin x·tan x＝0，
故x是第一、四象限的角或终边在x轴上的角．
∴函数的定义域为
.
(2)由题意，要使f(x)有意义，则
由sin x＞0得2kπ＜x＜2kπ＋π(k∈Z)， ①
由9－x2≥0得－3≤x≤3， ②
由①②得：f(x)的定义域为{x|0＜x≤3}．
[能力提升练]
1．在(0，2π)内，使得|sin x|＞|cos x|成立的x的取值范围是( )
A．∪
B．
C．∪
D．∪
C [|sin x|＞|cos x|可转化为x的正弦线的长度大于余弦线的长度，观察图形可知：
在(0，2π)内，使得|sin x|＞|cos x|成立的x的取值范围是∪.]
2．点P(sin 3－cos 3，sin 3＋cos 3)所在的象限为( )
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
D [∵π＜3＜π，作出单位圆如图所示．
设MP，OM分别为a，b.
sin 3＝a＞0，cos 3＝b＜0，
所以sin 3－cos 3＞0.
因为|MP|＜|OM|，即|a|＜|b|，
所以sin 3＋cos 3＝a＋b＜0.
故点P(sin 3－cos 3，sin 3＋cos 3)在第四象限．]
