课件62张PPT。第一章 三角函数1.2 任意角的三角函数
1.2.2 同角三角函数的基本关系11yx直接应用同角三角函数关系求值 灵活应用同角基本关系式求值 应用同角三角函数关系式化简 应用同角三角函数关系式证明 点击右图进入…Thank you for watching !1.2.2 同角三角函数的基本关系
学 习 目 标
核 心 素 养
1.理解并掌握同角三角函数基本关系式的推导及应用．(重点)
2.会利用同角三角函数的基本关系式进行化简、求值与恒等式证明．(难点)
1.通过把单位圆的对称几何关系用坐标表示，抽象出三角函数的基本关系，培养学生逻辑推理和直观想象素养.
2.通过同角基本关系式的运用，提升运用联系的观点获得研究思路，这也是数学研究中的常用思想.
1．平方关系
(1)公式：sin2α＋cos2α＝1．
(2)语言叙述：同一个角α的正弦、余弦的平方和等于1．
思考：对任意的角α，sin22α＋cos22α＝1是否成立？
[提示] 成立．平方关系中强调的同一个角且是任意的，与角的表达形式无关．
2．商数关系
(1)公式：＝tan α.
(2)语言叙述：同一个角α的正弦、余弦的商等于角α的正切．
平方关系公式的推导
如图，
设P(x，y)根据单位圆中三角函数定义知，sin α＝y，cos α＝x，在Rt△OPM中，OM2＋MP2＝1，
因此x2＋y2＝1，
即sin2α＋cos2α＝1.
1．化简的结果是( )
A．cos B．－cos
C．sin D．－sin
A [＝＝＝cos.]
2．若sin α＝，且α是第二象限角，则tan α的值等于( )
A．－ B．
C．± D．±
A [∵sin α＝且α是第二象限角，∴cos α＝－＝－，∴tan α＝＝－.]
3．已知tan α＝，且α∈，则sin α的值是 ．
－ [由tan α＝得＝，
即cos α＝2sin α.
又sin2α＋cos2α＝1，∴5sin2α＝1，
∴sin α＝±，又∵α∈，∴sin α＝－.]
4．已知＝2，则sin αcos α的值为 ．
[由已知得＝2，解得tan α＝3，
∴sin αcos α＝＝＝＝.]
直接应用同角三角函数关系求值
【例1】 (1)已知α∈，tan α＝2，则cos α＝ ．
(2)已知cos α＝－，求sin α，tan α的值．
思路点拨：(1)根据tan α＝2和sin2α＋cos2α＝1列方程组求cos α.
(2)先由已知条件判断角α是第几象限角，再分类讨论求sin α，tan α.
(1)－ [由已知得
由①得sin α＝2cos α代入②得4cos2α＋cos2α＝1，
所以cos2α＝，又α∈，
所以cos α＜0，
所以cos α＝－.]
(2)[解] ∵cos α＝－＜0，
∴α是第二或第三象限的角．
如果α是第二象限角，那么
sin α＝＝＝，
tan α＝＝＝－.
如果α是第三象限角，同理可得
sin α＝－＝－，tan α＝.
利用同角三角函数的基本关系解决给值求值问题的方法：
(1)已知角α的某一种三角函数值，求角α的其余三角函数值，要注意公式的合理选择，一般是先选用平方关系，再用商数关系．
(2)若角α所在的象限已经确定，求另两种三角函数值时，只有一组结果；若角α所在的象限不确定，应分类讨论，一般有两组结果．
提醒：应用平方关系求三角函数值时，要注意有关角终边位置的判断，确定所求值的符号．
1．已知sin α＋3cos α＝0，求sin α，cos α的值．
[解] ∵sin α＋3cos α＝0，
∴sin α＝－3cos α.
又sin2α＋cos2α＝1，
∴(－3cos α)2＋cos2α＝1，
即10cos2α＝1，
∴cos α＝±.
又由sin α＝－3cos α，可知sin α与cos α异号，
∴角α的终边在第二或第四象限．
当角α的终边在第二象限时，cos α＝－，sin α＝；
当角α的终边在第四象限时，cos α＝，sin α＝－.
灵活应用同角基本关系式求值
[探究问题]
1．齐次式包含齐次分式和齐次关系式，如何由某角的正切值求该角的齐次分式或齐次关系的值？
提示：在已知某角的正切值的情况下，把齐次式转化为含正切的关系式代入求值．
2．sin α±cos α与sin αcos α有怎样的关系，在求值中能否相互转化？
提示：(sin α±cos α)2＝1±2sin αcos α，若含sin α＋cos α＝t，则sin αcos α＝.这三者在求值中是可以转化的．
【例2】 (1)已知sin α＋cos α＝，α∈(0，π)，则tan α＝ ．
(2)已知＝2，计算下列各式的值：
①；
②sin2α－2sin αcos α＋1.
思路点拨：(1)法一：→
→→
法二：→→
(2)→
(1)－ [法一：(构建方程组)
因为sin α＋cos α＝，①
所以sin2α＋cos2α＋2sin αcos α＝，
即2sin αcos α＝－.
因为α∈(0，π)，所以sin α＞0，cos α＜0.
所以sin α－cos α＝＝＝.②
由①②解得sin α＝，cos α＝－，
所以tan α＝＝－.
法二：(弦化切)
同法一求出sin αcos α＝－，＝－，＝－，
整理得60tan2α＋169tan α＋60＝0，解得tan α＝－或tan α＝－.
由sin α＋cos α＝＞0知|sin α|＞|cos α|，故tan α＝－.]
(2)[解] 由＝2，
化简得sin α＝3cos α，
所以tan α＝3.
①法一(换元)原式＝＝＝.
法二(弦化切)原式＝＝＝.
②原式＝＋1
＝＋1＝＋1＝.
1．将本例(1)条件“α∈(0，π)”改为“α∈，”其他条件不变，结果又如何？
[解] 由例(1)求出2sin αcos α＝－，
因为α∈，所以sin α＜0，cos α＞0，
所以sin α－cos α＝－
＝－＝－.
与sin α＋cos α＝联立解得sin α＝－，cos α＝，
所以tan α＝＝－.
2．将本例(1)的条件“sin α＋cos α＝”改为“sin αcos α＝－”，其他条件不变，求cos α－sin α.
[解] 因为sin αcos α＝－＜0，所以α∈，所以cos α－sin α＜0，
cos α－sin α＝－＝－＝－.
1．sin α＋cos α，sin α－cos α，sin αcos α三个式子中，已知其中一个，可以求其他两个，即“知一求二”，它们之间的关系是：(sin α±cos α)2＝1±2sin αcos α.
2．已知tan α＝m，求关于sin α，cos α的齐次式的值：
解决这类问题需注意以下两点：(1)一定是关于sin α，cos α的齐次式(或能化为齐次式)的三角函数式；(2)因为cos α≠0，所以可除以cos α，这样可将被求式化为关于tan α的表达式，然后代入tan α＝m的值，从而完成被求式的求值．
提醒：求sin α＋cos α或sin α－cos α的值，要注意根据角的终边位置，利用三角函数线判断它们的符号．
应用同角三角函数关系式化简
【例3】 (1)化简＝ ．
(2)化简·.(其中α是第三象限角)
思路点拨：(1)将cos2α＝1－sin2α代入即可化简．
(2)首先将tan α化为，然后化简根式，最后约分．
(1)1 [原式＝＝＝1.]
(2)原式＝·
＝·
＝·
＝·.
又因为α是第三象限角，所以sin α＜0.
所以原式＝·＝－1.
三角函数式化简的常用方法
(1)化切为弦，即把正切函数都化为正、余弦函数，从而减少函数名称，达到化简的目的．
(2)对于含有根号的，常把根号里面的部分化成完全平方式，然后去根号达到化简的目的．
(3)对于化简含高次的三角函数式，往往借助于因式分解，或构造sin2α＋cos2α＝1，以降低函数次数，达到化简的目的．
提醒：在应用平方关系式求sin α或cos α时，其正负号是由角α所在的象限决定，不可凭空想象．
2．化简下列各式：
(1)tan α·(α是第二象限角)；
(2).
[解] (1)tan α·＝tan α·
＝tan α·＝·.
因为α为第二象限角，
所以sin α＞0，cos α＜0，
所以原式＝·＝－1.
(2)
＝
＝＝－2.
应用同角三角函数关系式证明
[探究问题]
1．证明三角恒等式常用哪些方法？
提示：(1)从右证到左．
(2)从左证到右．
(3)证明左右归一．
(4)变更命题法．如：欲证明＝，则可证MQ＝NP或证＝等．
2．在证明＝sin α＋cos α时如何巧用“1”的代换．
提示：在求证＝sin α＋cos α时，观察等式左边有2sin αcos α，它和1相加应该想到“1”的代换，即1＝sin2α＋cos2α，
所以等式左边＝
＝
＝
＝sin α＋cos α＝右边．
【例4】 求证：＝.
思路点拨：解答本题可由关系式tan α＝将两边“切”化“弦”来证明，也可由右至左或由左至右直接证明．
[证明] 法一：(切化弦)
左边＝＝，
右边＝＝.
因为sin2α＝1－cos2α＝(1＋cos α)(1－cos α)，
所以＝，所以左边＝右边．
所以原等式成立．
法二：(由右至左)
因为右边＝
＝
＝
＝＝
＝左边，
所以原等式成立．
1．证明恒等式常用的思路是：(1)从一边证到另一边，一般由繁到简；(2)左右开弓，即证左边、右边都等于第三者；(3)比较法(作差，作比法)．
2．技巧感悟：朝目标奔．常用的技巧有：(1)巧用“1”的代换；(2)化切为弦；(3)多项式运算技巧的应用(分解因式)．
提醒：解决此类问题要有整体代换思想．
3．求证：(1)1＋tan2α＝；
(2)＝.
[证明] (1)左边＝1＋＝＝＝右边．
∴1＋tan2α＝.
(2)左边＝
＝
＝＝
＝＝右边．
故等式成立．
1．同角三角函数基本关系式的实质
同角三角函数的基本关系式揭示了“同角不同名”的三角函数的运算规律，这里，“同角”有两层含义：一是“角相同”，二是对“任意”一个角(在使函数有意义的前提下)，关系式成立与角的表达形式无关，如sin23α＋cos23α＝1.
2．同角基本关系式的主要变形形式有
sin2α＋cos2α＝1(
tan α＝(
3．在三角函数的变换求值中，已知sin α＋cos α，sin αcos α，sin α－cos α中的一个，可以利用方程思想，求出另外两个的值．
1．下列各式中成立的是( )
A．sin2α＋cos2β＝1 B．tan α＝(α任意)
C．cos2＝1－sin2 D．sin α＝
C [A中不是同角；B中α≠kπ＋(k∈Z)；D中符号不能确定；只有C正确．]
2．已知α∈，cos α＝，则tan α＝( )
A．± B．
C．－ D．
A [因为cos α＝，且α∈，所以sin α＝±，所以tan α＝＝±.]
3．已知tan α＝－，则的值是 ．
[因为tan α＝－，所以＝＝＝.]
4．(1)化简，其中α是第二象限角；
(2)求证：1＋tan2α＝.
[解] (1)因为α是第二象限角，所以sin α＞0，cos α＜0，
所以sin αcos α＜0，
所以＝
＝＝－sin αcos α.
(2)证明：1＋tan2α＝1＋＝＝.
课时分层作业(五)
(建议用时：45分钟)
[基础达标练]
一、选择题
1．已知α是第三象限角，且sin α＝－，则3cos α＋4tan α＝( )
A．－ B．
C．－ D．
A [因为α是第三象限角，且sin α＝－，
所以cos α＝－＝－＝－，
所以tan α＝＝＝，
所以3cos α＋4tan α＝－2＋＝－.]
2．化简sin2α＋cos4α＋sin2αcos2α的结果是( )
A． B． C．1 D．
C [原式＝sin2α＋cos2α(cos2α＋sin2α)＝sin2α＋cos2α＝1.]
3．若α是三角形的一个内角，且sin α＋cos α＝，则这个三角形是( )
A．正三角形 B．直角三角形
C．锐角三角形 D．钝角三角形
D [sin α＋cos α＝得1＋2sin αcos α＝，
所以sin αcos α＝－＜0，又因α∈(0，π)，所以α为钝角，故三角形为钝角三角形．]
4.cos2x等于( )
A．tan x B．sin x
C．cos x D．
D [原式＝·cos2x
＝·cos2x
＝·cos2x＝＝.]
5．已知sin θ＋cos θ＝，则sin θ－cos θ的值为( )
A． B．－
C． D．－
B [因为sin θ＋cos θ＝，所以两边平方可得：1＋2sin θcos θ＝，即sin θ·cos θ＝，所以(sin θ－cos θ)2＝1－2sin θcos θ＝1－＝，又因为0＜θ＜，所以sin θ＜cos θ，所以sin θ－cos θ＜0，所以sin θ－cos θ＝－，故应选B.]
二、填空题
6．化简的结果是 ．
cos 20° [＝＝
＝＝|cos 20°|＝cos 20°.]
7．已知sin αcos α＝，则sin α－cos α＝ ．
0 [(sin α－cos α)2＝1－2sin αcos α＝1－2×＝0，
∴sin α－cos α＝0.]
8．已知tan α＝2，则4sin2α－3sin αcos α－5cos2α＝ ．
1 [4sin2α－3sin αcos α－5cos2α
＝
＝
＝＝＝1.]
三、解答题
9．化简下列各式：
(1)－；
(2)(1－cos α)．
[解] (1)原式＝＝＝＝－2tan2α.
(2)原式＝(1－cos α)
＝(1－cos α)＝＝sin α.
10．已知2cos2α＋3cos αsin α－3sin2α＝1，α∈.求：
(1)tan α；
(2).
[解] (1)2cos2α＋3cos αsin α－3sin2α
＝
＝＝1，
即4tan2α－3tan α－1＝0，
解得tan α＝－或tan α＝1.
∵α∈，∴α为第二象限角，
∴tan α＜0，∴tan α＝－.
(2)原式＝＝.
[能力提升练]
1.的值为( )
A．1 B．－1
C．sin 10° D．cos 10°
B [
＝＝
＝＝－1.]
2．已知sin θ，cos θ是方程2x2－mx＋1＝0的两根，则＋＝ ．
± [＋＝＋＝＋＝＝sin θ＋cos θ，又因为sin θ，cos θ是方程2x2－mx＋1＝0的两根，所以由根与系数的关系得sin θcos θ＝，则(sin θ＋cos θ)2＝1＋2sin θcos θ＝2，所以sin θ＋cos θ＝±.]
