课件55张PPT。第一章 三角函数
1.3 三角函数的诱导公式
第1课时 公式二、公式三和公式四原点 x y(－x，－y)－y－x(x，－y)－yx(－x，y)y－x任意角和象限角的概念 化简求值 给值(式)求值问题 利用诱导公式化简或证明问题 点击右图进入…Thank you for watching !课件46张PPT。第一章 三角函数
1.3 三角函数的诱导公式
第2课时 公式五和公式六y＝xP′(y，x)y(－y，x)x－y利用诱导公式化简求值 利用诱导公式证明恒等式 诱导公式的综合应用点击右图进入…Thank you for watching !1.3 三角函数的诱导公式
第1课时 公式二、公式三和公式四
学 习 目 标
核 心 素 养
1.了解公式二、公式三、公式四的推导方法．
2．能够准确记忆公式二、公式三和公式四．(重点、易混点)
3．掌握公式二、公式三和公式四，并能灵活应用．(难点)
1.通过运用数形结合的思想，从单位圆的对称性出发，研究诱导公式，提升学生的抽象思维素养．
2．通过诱导公式的应用，培养学生的数学运算素养.
1．公式二
(1)角π＋α与角α的终边关于原点对称．如图所示．
(2)公式：sin(π＋α)＝－sin α，
cos(π＋α)＝－cos α，
tan(π＋α)＝tan α．
2．公式三
(1)角－α与角α的终边关于x轴对称．如图所示．
(2)公式：sin(－α)＝－sin α，
cos(－α)＝cos α，
tan(－α)＝－tan α．
3．公式四
(1)角π－α与角α的终边关于y轴对称．如图所示．
(2)公式：sin(π－α)＝sin α，
cos(π－α)＝－cos α，
tan(π－α)＝－tan α．
思考：(1)诱导公式中角α只能是锐角吗？
(2)诱导公式一～四改变函数的名称吗？
[提示] (1)诱导公式中角α可以是任意角，要注意正切函数中要求α≠kπ＋，k∈Z.
(2)诱导公式一～四都不改变函数名称．
公式二、三、四的推导过程如下：
设角α的终边与单位圆的交点为P(x，y)，
则sin α＝y，cos α＝x.
由π＋α的终边与单位圆交点为(－x，－y)得
sin(π＋α)＝－y＝－sin α，
cos(π＋α)＝－x＝－cos α.
由－α的终边与单位圆交点为(x，－y)得
sin(－α)＝－y＝－sin α，
cos(－α)＝x＝cos α.
由π－α的终边与单位圆交点为(－x，y)得
sin(π－α)＝y＝sin α，
cos(π－α)＝－x＝－cos α.
1．下列说法中正确的是( )
A．公式二～四对任意角α都成立
B．由公式三知cos[－(α－β)]＝－cos(α－β)
C．在△ABC中，sin(A＋B)＝sin C
D．以上说法均错误
C [A错误，关于正切的三个公式中α≠kπ＋，k∈Z.
B错误由公式三知cos[－(α－β)]＝cos(α－β)，
故cos[－(α－β)]＝－cos(α－β)是不正确的．
C正确因为A＋B＋C＝π，所以A＋B＝π－C，
所以sin(A＋B)＝sin(π－C)＝sin C.
故选C.]
2．tan(－2 025°)的值为( )
A．0 B．1 C．－1 D．
C [tan(－2 025°)＝－tan 2 025°＝－tan(5×360°＋225°)
＝－tan 225°＝－tan(180°＋45°)＝－tan 45°＝－1.]
3．已知tan α＝3，则tan(π＋α)＝________．
3 [tan(π＋α)＝tan α＝3.]
4．若sin(π＋α)＝－，则sin(4π－α)的值是________．
－ [由sin(π＋α)＝－得－sin α＝－即sin α＝，所以sin(4π－α)＝sin(－α)＝－sin α＝－.]
给角求值问题
【例1】 求下列各三角函数值：
(1)sin 1 320°；(2)cos；(3)tan(－945°)．
[解] (1)法一：sin 1 320°＝sin(3×360°＋240°)＝sin 240°＝sin(180°＋60°)＝－sin 60°＝－.
法二：sin 1 320°＝sin(4×360°－120°)＝sin(－120°)
＝－sin(180°－60°)＝－sin 60°＝－.
(2)法一：cos＝cos
＝cos＝cos＝－cos＝－.
法二：cos＝cos
＝cos＝－cos＝－.
(3)tan(－945°)＝－tan 945°＝－tan(225°＋2×360°)
＝－tan 225°＝－tan(180°＋45°)＝－tan 45°＝－1.
利用诱导公式求任意角三角函数值的步骤
(1)“负化正”——用公式一或三来转化；
(2)“大化小”——用公式一将角化为0°到360°间的角；
(3)“小化锐”——用公式二或四将大于90°的角转化为锐角；
(4)“锐求值”——得到锐角的三角函数后求值．
1．求下列各三角函数值：
(1)cos；
(2)tan(－765°)；
(3)sin ·cos ·tan .
[解] (1)cos＝cos＝cos
＝cos＝cos＝.
(2)tan(－765°)＝tan(－720°－45°)＝tan(－45°)＝
－tan 45°＝－1.
(3)sin·cos·tan
＝sincostan
＝－sin×cos×tan
＝－××1＝－.
化简求值
【例2】 化简下列各式．
(1)；
(2).
[解] (1)原式＝
＝＝－＝－tan α.
(2)原式＝
＝＝＝－1.
三角函数式化简的常用方法
(1)利用诱导公式，将任意角的三角函数转化为锐角三角函数．
(2)切化弦：一般需将表达式中的切函数转化为弦函数．
(3)注意“1”的应用：1＝sin2α＋cos2α＝tan.
2．化简：
(1)；
(2)cos 20°＋cos 160°＋sin 1 866°－sin(－606°)．
[解] (1)原式＝
＝＝－1.
(2)原式＝cos 20°－cos 20°＋sin(5×360°＋66°)－sin(－2×360°＋114°)
＝sin 66°－sin 114°
＝sin 66°－sin(180°－66°)
＝sin 66°－sin 66°
＝0.
给值(式)求值问题
【例3】 (1)已知sin(α－360°)－cos(180°－α)＝m，则sin(180°＋α)·cos(180°－α)等于( )
A． B． C． D．－
(2)已知cos(α－75°)＝－，且α为第四象限角，求sin(105°＋α)的值．
思路点拨：(1)→
(2)
→
→
(1)A [sin(α－360°)－cos(180°－α)
＝sin α＋cos α＝m，
sin(180°＋α)cos(180°－α)＝sin αcos α
＝＝.]
(2)[解] ∵cos(α－75°)＝－＜0，且α为第四象限角，
∴sin(α－75°)＝－
＝－＝－，
∴sin(105°＋α)＝sin[180°＋(α－75°)]
＝－sin(α－75°)＝.
1．例3(2)条件不变，求cos(255°－α)的值．
[解] cos(255°－α)＝cos[180°－(α－75°)]
＝－cos(α－75°)＝.
2．将例3(2)的条件“cos(α－75°)＝－”改为“tan(α－75°)＝－5”，其他条件不变，结果又如何？
[解] 因为tan(α－75°)＝－5＜0，且α为第四象限角，
所以α－75°是第四象限角．
由
解得或
(舍)
所以sin(105°＋α)＝sin[180°＋(α－75°)]
＝－sin(α－75°)＝.
解决条件求值问题的两个技巧
(1)寻找差异：解决条件求值问题，首先要仔细观察条件与所求式之间的角、函数名及有关运算之间的差异及联系．
(2)转化：可以将已知式进行变形向所求式转化，或将所求式进行变形向已知式转化．
提醒：设法消除已知式与所求式之间的种种差异是解决问题的关键．
利用诱导公式化简或证明问题
[探究问题]
1．利用诱导公式化简sin(kπ＋α)(其中k∈Z)时，化简结果与k是否有关？
提示：有关．因为k是奇数还是偶数不确定．
当k是奇数时，即k＝2n＋1(n∈Z)，sin(kπ＋α)＝sin(π＋α)＝－sin α；
当k是偶数时，即k＝2n(n∈Z)，sin(kπ＋α)＝sin α.
2．利用诱导公式化简tan(kπ＋α)(其中k∈Z)时，化简结果与k是否有关？
提示：无关．根据公式tan(π＋α)＝tan α可知tan(kπ＋α)＝tan α(其中k∈Z)．
【例4】 设k为整数，化简：.
思路点拨：本题常用的解决方法有两种：①为了便于运用诱导公式，必须把k分成偶数和奇数两种情况讨论；②观察式子结构，kπ－α＋kπ＋α＝2kπ，(k＋1)π＋α＋(k－1)π－α＝2kπ，可使用配角法．
[解] 法一：(分类讨论)当k为偶数时，设k＝2m(m∈Z)，则原式＝
＝＝＝－1；
当k为奇数时，设k＝2m＋1(m∈Z)，同理可得原式＝－1.
法二：(配角法)由于kπ－α＋kπ＋α＝2kπ，(k＋1)π＋α＋(k－1)π－α＝2kπ，故cos[(k－1)π－α]＝cos[(k＋1)π＋α]＝－cos(kπ＋α)，sin[(k＋1)π＋α]＝－sin(kπ＋α)，
sin(kπ－α)＝－sin(kπ＋α)．
所以原式＝＝－1.
明确三角函数式化简的原则和方向
(1)切化弦，统一名．
(2)用诱导公式，统一角．
(3)用因式分解将式子变形，化为最简．
提醒：注意分类讨论思想的应用．
3．求证：＝－tan α.
[证明] 左边＝
＝＝－tan α＝右边，
∴＝－tan α.
1．本节课的重点是诱导公式二、三、四，难点是公式的应用．
2．诱导公式的记忆
这四组诱导公式的记忆口诀是“函数名不变，符号看象限”．其含义是诱导公式两边的函数名称一致，符号则是将α看成锐角时原角所在象限的三角函数值的符号，α看成锐角，只是公式记忆的方便，实际上α可以是任意角．
3．已知角求值问题，一般要利用诱导公式三和公式一，将负角化为正角，将大角化为0～2π之间的角，然后利用特殊角的三角函数求解．必须对一些特殊角的三角函数值熟记，做到“见角知值，见值知角”．
4．利用诱导公式一～四化简应注意的问题
(1)利用诱导公式主要是进行角的转化，从而达到统一角的目的；
(2)化简时函数名没有改变，但一定要注意函数的符号有没有改变；
(3)同时有切(正切)与弦(正弦、余弦)的式子化简，一般采用切化弦，有时也将弦化切.
1．下列命题成立的是( )
A．诱导公式二、三、四中，角α可以为任意角
B．当α为钝角时，cos(π－α)＝cos α
C．若α＋β＝π，则sin α＝sin β
D．若α＋β＝0，则tan α＝tan β
C [A错，因为α需使正切有意义；B错，不论α为任意角，都有cos(π－α)＝－cos α；C正确，因为sin β＝sin(π－α)＝sin α；D错，tan β＝tan(－α)＝－tan α.]
2．tan等于( )
A．－ B. C．－ D．
C [tan＝tan＝tan
＝tan＝－tan＝－.]
3.的值等于________．
－2 [原式＝
＝
＝＝＝－2.]
4．化简(1)；
(2).
[解] (1)
＝
＝＝－cos2α.
(2)
＝＝－cos α.
第2课时 公式五和公式六
学 习 目 标
核 心 素 养
1.了解公式五和公式六的推导方法．
2．能够准确记忆公式五和公式六．(重点、易混点)
3．灵活运用诱导公式进行三角函数式的化简、求值和证明．(难点)
1.通过运用数形结合的思想，从单位圆的对称性出发，研究诱导公式，提升学生的数学抽象核心素养．
2．通过诱导公式的应用，培养学生的数学运算核心素养.
1．公式五
(1)角－α与角α的终边关于直线y＝x对称，如图所示．
(2)公式：sin＝cos α，cos＝sin α．
2．公式六
(1)公式五与公式六中角的联系＋α＝π－．
(2)公式：sin＝cos α，cos＝－sin α．
思考：如何由公式四及公式五推导公式六？
[提示] sin＝sin
＝sin＝cos α，
cos＝cos＝－cos
＝－sin α.
注意：公式六的坐标法推导方法
设角α的终边与单位圆交于点P(x，y)，则sin α＝y，cos α＝x，而角－α的终边与单位圆交于点P′，则P′(y，x)，因为－α与＋α关于y轴对称，所以＋α的终边与单位圆交于点(－y，x)．
∴sin＝x＝cos α，cos＝－y＝－sin α.
1．化简：sin＝( )
A．sin x B．cos x
C．－sin x D．－cos x
B [sin＝sin＝cos x．]
2．若α∈，则＝( )
A．sin α B．－sin α
C．cos α D．－cos α
B [∵sin＝－cos α，
又∵α∈，∴＝＝|sin α|＝－sin α.]
3．计算：sin211°＋sin279°＝________．
1 [因为11°＋79°＝90°，
所以sin 79°＝cos 11°，
所以原式＝sin211°＋cos211°＝1.]
4．化简sin＝________．
－cos α [sin
＝sin
＝－sin＝－cos α.]
利用诱导公式化简求值
[探究问题]
1．公式一～四与公式五～六的主要区别是什么？
提示：公式一～四中函数名称不变，公式五～六中函数名称改变，在应用诱导公式中注意口诀“奇变偶不变，符号看象限”．即针对统一的诱导公式形式“k·90°±α(k∈Z)”或“k·±α(k∈Z)”中的k而言．
2．解决给值求值问题的策略是什么？
提示：(1)解决条件求值问题，首先要仔细观察条件与所求式之间的角、函数名称及有关运算之间的差异及联系．
(2)可以将已知式进行变形向所求式转化，或将所求式进行变形向已知式转化．
【例1】 (1)已知cos 31°＝m，则sin 239°tan 149°的值是( )
A． B. C．－ D．－
(2)已知sin＝，则cos的值为________．
思路点拨：(1)→
(2)＋＝→
(1)B (2) [(1)sin 239°tan 149°＝sin(180°＋59°)·tan(180°－31°)＝－sin 59°(－tan 31°)
＝－sin(90°－31°)·(－tan 31°)
＝－cos 31°·(－tan 31°)＝sin 31°
＝＝.
(2)cos＝cos
＝sin＝.]
1．将例1(2)的条件中的“－”改为“＋”，求cos的值．
[解] cos＝cos
＝－sin＝－.
2．将例1(2)增加条件“α是第二象限角”，求sin的值．
[解] 因为α是第二象限角，所以－α是第三象限角，
又sin＝，所以－α是第二象限角，
所以cos＝－，
所以sin＝sin＝－sin＝－cos＝.
诱导公式应用中解决给值求值的一般步骤
(1)定关系：确定已知角与所求角之间的关系，一般常见的互余关系有：－α与＋α；＋α与－α；＋α与－α等．常见的互补关系有：＋α与－α；＋α与－α等．
(2)定公式：依据确定的关系，选择要使用的诱导公式．
(3)得结论：根据选择的诱导公式，得到已知值和所求值之间的关系，从而得到答案．
利用诱导公式证明恒等式
【例2】 (1)求证：
＝.
(2)求证：＝－tan θ.
[证明] (1)右边＝
＝
＝
＝＝
＝＝左边，
所以原等式成立．
(2)左边＝
＝＝－tan θ＝右边，
所以原等式成立．
三角恒等式的证明策略
(1)遵循的原则：在证明时一般从左边到右边，或从右边到左边，或左右归一，总之，应遵循化繁为简的原则．
(2)常用的方法：定义法，化弦法，拆项拆角法，公式变形法，“1”的代换法．
1．求证：＝－1.
[证明] 因为
＝
＝＝＝－1
＝右边，所以原等式成立．
诱导公式的综合应用
【例3】 已知sin α是方程5x2－7x－6＝0的根，α是第三象限角，求·tan2(π－α)的值．
思路点拨：→
→
→
[解] 方程5x2－7x－6＝0的两根为x1＝－，x2＝2，因为－1≤sin α≤1，所以sin α＝－.
又α是第三象限角，
所以cos α＝－，tan α＝＝，
所以·tan2(π－α)
＝·tan2α
＝·tan2α
＝－tan2α＝－.
诱导公式综合应用要“三看”
一看角：①化大为小；②看角与角之间的联系，可通过相加、相减分析两角的关系．
二看函数名称：一般是弦切互化．
三看式子结构：通过分析式子，选择合适的方法，如分式可对分子分母同乘一个式子变形．
2．已知sin(π－α)－cos(π＋α)＝，求下列各式的值：
(1)sin α－cos α；
(2)sin3＋cos3.
[解] 由sin(π－α)－cos(π＋α)＝，得sin α＋cos α＝ ①，将①两边同时平方，得1＋2sin α·cos α＝，故2sin α·cos α＝－.
又＜α＜π，∴sin α＞0，cos α＜0.
(1)∵(sin α－cos α)2＝1－2sin α·cos α＝1－＝，∴sin α－cos α＝.
(2)sin3＋cos3＝cos3α－sin3α＝(cos α－sin α)(cos2α＋cos α·sin α＋sin2α)＝×＝－.
1．本节课的重点是诱导公式五、六及应用，难点是诱导公式的求值，化简中的综合应用．
2．诱导公式的作用是将任意角的三角函数值转化为锐角的三角函数值，使用过程中的关键：一是符号问题，二是函数名称问题．首先要记住公式，并在解题的过程中去理解和掌握．
3．对于给值求值问题要掌握一些常用的角的变换技巧
如＋α＝－?＋＝，＋＝，＋＝π等．
4．对于恒等式的证明，应遵循化繁为简的原则，从左边推到右边或从右边推到左边，也可以用左右归一、变更论证的方法．常用定义法、化弦法、拆项拆角法、“1”的代换法、公式变形法，要熟练掌握基本公式，善于从中选择巧妙简捷的方法．
1．下列与sin θ的值相等的是( )
A．sin(π＋θ) B．sin
C．cos D．cos
C [sin(π＋θ)＝－sin θ；sin＝cos θ；
cos＝sin θ；cos＝－sin θ.]
2．sin 95°＋cos 175°的值为( )
A．sin 5° B．cos 5°
C．0 D．2sin 5°
C [sin 95°＝cos 5°，cos 175°＝－cos 5°，
故sin 95°＋cos 175°＝0.]
3．已知cos α＝，且α为第四象限角，那么cos＝________．
[因为cos α＝，且α为第四象限角，
所以sin α＝－＝－，
所以cos＝－sin α＝.]
4．化简：
.
[解] 原式
＝
＝＝＝.
课时分层作业(六)
(建议用时：45分钟)
[基础达标练]
一、选择题
1．已知sin(π＋θ)＝，则角θ的终边在( )
A．第一或第二象限 B．第二或第三象限
C．第一或第四象限 D．第三或第四象限
D [sin(π＋θ)＝－sin θ＝，∴sin θ＝－＜0，
所以θ为第三或第四象限角．]
2．sin2(2π－α)＋cos(π＋α)cos(π－α)＋1的值是( )
A．1 B．2 C．0 D．－1
B [原式＝sin2α＋(－cos α)·(－cos α)＋1
＝sin2α＋cos2α＋1＝1＋1＝2.]
3．已知600°角的终边上有一点P(a，－3)，则a的值为( )
A． B．－ C. D．－
B [由题意得tan 600°＝－，
又因为tan 600°＝tan(360°＋240°)
＝tan 240°＝tan(180°＋60°)
＝tan 60°＝，
所以－＝，所以a＝－.]
4．已知点(－4，3)是角α终边上的一点，则sin(π－α)＝( )
A． B．－ C．－ D．
A [x＝－4，y＝3，∴r＝＝5，∴sin(π－α)＝sin α＝＝.故选A.]
5．已知sin＝，则sin的值为( )
A． B．－ C． D．－
C [sin＝sin
＝－sin
＝sin＝.]
二、填空题
6．若P(－4，3)是角α终边上一点，则的值为________．
－ [由条件可知sin α＝，cos α＝－，tan α＝－，
∴＝＝＝－＝－.]
7．已知cos(508°－α)＝，则cos(212°＋α)＝________．
[由于cos(508°－α)＝cos(360°＋148°－α)
＝cos(148°－α)＝，
所以cos(212°＋α)＝cos(360°＋α－148°)
＝cos(α－148°)＝cos(148°－α)＝.]
8．已知sin(α＋π)＝，且sin αcos α＜0，
则＝________．
－ [因为sin(α＋π)＝－sin α＝，
且sin αcos α＜0，
所以sin α＝－，cos α＝，tan α＝－，
所以＝
＝＝－.]
三、解答题
9．化简下列各式：
(1)sincosπ；
(2)sin(－960°)cos 1 470°－cos(－240°)sin(－210°)．
[解] (1)sincosπ
＝－sincos＝sincos＝.
(2)sin(－960°)cos 1 470°－cos(－240°)sin(－210°)
＝－sin(180°＋60°＋2×360°)cos(30°＋4×360°)＋
cos(180°＋60°)sin(180°＋30°)
＝sin 60°cos 30°＋cos 60°sin 30°＝1.
10．已知f(α)＝.
(1)化简f(α)；
(2)若α是第三象限角，且sin(α－π)＝，求f(α)的值；
(3)若α＝－，求f(α)的值．
[解] (1)f(α)＝－＝－cos α.
(2)∵sin(α－π)＝－sin α＝，
∴sin α＝－.
又α是第三象限角，
∴cos α＝－，∴f(α)＝.
(3)∵－＝－6×2π＋，
∴f＝－cos
＝－cos＝－cos＝－.
[能力提升练]
1．已知a＝tan，b＝cos，c＝sin，则a，b，c的大小关系是( )
A．a＞b＞c B．b＞a＞c
C．b＞c＞a D．c＞a＞b
B [a＝－tan＝－tan＝－，
b＝cos＝cos＝，
c＝－sin＝－sin＝－，
∴b＞a＞c.]
2．已知f(x)＝则f＋f的值为________．
－2 [f＝sin＝sin
＝sin＝，
f＝f－1＝f－1＝f－2
＝f－2
＝sin－2＝－sin－2＝－－2＝－，
所以f＋f＝－＝－2.]
课时分层作业(七)
(建议用时：45分钟)
[基础达标练]
一、选择题
1．若sin＜0，且cos＞0，则θ是( )
A．第一象限角 B．第二象限角
C．第三象限角 D．第四象限角
B [sin＝cos θ＜0，且cos＝sin θ＞0，
∴θ为第二象限角．]
2．若sin(3π＋α)＝－，则cos等于( )
A．－ B． C． D．－
A [∵sin(3π＋α)＝－sin α＝－，
∴sin α＝.
∴cos＝cos
＝－cos
＝－sin α＝－.]
3．已知sin＝，则cos等于( )
A．－ B． C． D．－
A [cos＝cos
＝－sin＝－.故选A.]
4．若sin(180°＋α)＋cos(90°＋α)＝－a，则cos(270°－α)＋2sin(360°－α)的值是( )
A．－ B．－ C． D．
B [由sin(180°＋α)＋cos(90°＋α)＝－a，
得－sin α－sin α＝－a，即sin α＝，
cos(270°－α)＋2sin(360°－α)
＝－sin α－2sin α＝－3sin α＝－a.]
5．化简：＝( )
A．－sin θ B．sin θ C．cos θ D．－cos θ
A [原式＝
＝＝－sin θ.]
二、填空题
6．(2019·天一大联考)在平面直角坐标系xOy中，角α的终边经过点P(3，4)，则sin＝________．
[∵角α的终边经过点P(3，4)，∴sin α＝，cos α＝，∴sin＝sin＝cos α＝.]
7．化简sin(π＋α)cos＋sincos(π＋α)＝________．
－1 [原式＝(－sin α)·sin α＋cos α·(－cos α)
＝－sin2α－cos2α＝－1.]
8．已知函数f(x)＝cos，x∈R.若cos θ＝，θ∈，则f＝________．
－ [由f(x)＝cos得f
＝cos＝cos＝sin θ.
又∵cos θ＝，θ∈，∴sin θ＝－，故f＝－.]
三、解答题
9．已知角α的终边经过点P.
(1)求sin α的值；
(2)求的值．
[解] (1)因为点P，
所以|OP|＝1，sin α＝－.
(2)
＝＝，
由三角函数定义知cos α＝，故所求式子的值为.
10．求证：＝.
[证明] 左边＝
＝
＝，
右边＝
＝＝
＝＝，
所以左边＝右边，
所以等式成立．
[能力提升练]
1．计算sin21°＋sin22°＋sin23°＋…＋sin289°＝( )
A．89 B．90 C． D．45
C [原式＝(sin21°＋sin289°)＋(sin22°＋sin288°)＋…＋(sin244°＋sin246°)＋sin245°＝44＋＝.]
2．已知f(α)＝，则f的值为________．
－ [f(α)＝＝＝cos α，所以f＝cos＝cosπ
＝cos＝－cos ＝－.]
