课件54张PPT。第一章 三角函数
1.4 三角函数的图象与性质
1.4.1 正弦函数、余弦函数的图象(0，0)(π，0) (2π，0)正弦函数、余弦函数图象的初步认识 用“五点法”作三角函数的图象 正弦、余弦函数图象的应用 点击右图进入…Thank you for watching !1.4 三角函数的图象与性质
1.4.1 正弦函数、余弦函数的图象
学 习 目 标
核 心 素 养
1.了解正弦函数、余弦函数图象的来历，掌握“五点法”画函数图象的方法．(重点)
2．正、余弦函数图象的简单应用．(难点)
3．正、余弦函数图象的区别与联系．(易混点)
1.通过简谐振动的实验引出正弦函数、余弦函数的图象，培养学生数学直观和直观想象的核心素养．
2．通过“五点法”作图和函数图象的变换，提升学生逻辑推理能力，深透数形结合素养.
1．正弦曲线
正弦函数y＝sin x，x∈R的图象叫正弦曲线．
2．正弦函数图象的画法
(1)几何法：
①利用单位圆中正弦线画出y＝sin x，x∈[0，2π]的图象；
②将图象向左、右平行移动(每次2π个单位长度)．
(2)五点法：
①画出正弦曲线在[0，2π]上的图象的五个关键点(0，0)，，(π，0)，，(2π，0)，用光滑的曲线连接；
②将所得图象向左、右平行移动(每次2π个单位长度)．
思考：把用“五点法”作出的图象向左、右平行移动2π的整数倍单位就得到整条曲线，依据是什么？
提示：依据是诱导公式(一)：sin(2kπ＋α)＝sin α(k∈Z)，或者说终边相同的角的正弦线相同．
3．余弦曲线
余弦函数y＝cos x，x∈R的图象叫余弦曲线．
4．余弦函数图象的画法
(1)要得到y＝cos x的图象，只需把y＝sin x的图象向左平移个单位长度即可．
(2)用“五点法”画余弦曲线y＝cos x在[0，2π]上的图象时，所取的五个关键点分别为(0，1)，，(π，－1)，，(2π，1)，再用光滑的曲线连接．
思考：y＝cos x(x∈R)的图象可由y＝sin x(x∈R)的图象平移得到的原因是什么？
[提示] 因为cos x＝sin，所以y＝sin x(x∈R)的图象向左平移个单位可得y＝cos x(x∈R)的图象．
1．用“五点法”作函数y＝2sin x－1的图象时，首先应描出的五点的横坐标可以是( )
A．0，，π，，2π B．0，，，，π
C．0，π，2π，3π，4π D．0，，，，
A [根据“五点法”作图，x的取值为0，，π，，2π.]
2．函数y＝sin|x|的图象是( )
B [y＝sin|x|是偶函数，x≥0时，其图象与y＝sin x的图象完全相同．]
3．请补充完整下面用“五点法”作出y＝－sin x(0≤x≤2π)的图象时的列表．
x
0
①
2π
－sin x
②
－1
0
③
0
①________；②________；③________．
π 0 1 [用“五点法”作y＝－sin x(0≤x≤2π)的图象的五个关键点为(0，0)，，(π，0)，，(2π，0)故①为π，②为0，③为1.]
4．函数y＝cos x，x∈[0，2π]的图象与直线y＝－的交点有________个．
2 [由图象可知：函数y＝cos x，x∈[0，2π]的图象与直线y＝－有两个交点．]
正弦函数、余弦函数图象的初步认识
【例1】 (1)下列叙述正确的是( )
①y＝sin x，x∈[0，2π]的图象关于点P(π，0)成中心对称；
②y＝cos x，x∈[0，2π]的图象关于直线x＝π成轴对称；
③正、余弦函数的图象不超过直线y＝1和y＝－1所夹的范围．
A．0 B．1个 C．2个 D．3个
(2)下列函数图象相同的是( )
A．f(x)＝sin x与g(x)＝sin(π＋x)
B．f(x)＝sin与g(x)＝sin
C．f(x)＝sin x与g(x)＝sin(－x)
D．f(x)＝sin(2π＋x)与g(x)＝sin x
(1)D (2)D [(1)分别画出函数y＝sin x，x∈[0，2π]和y＝cos x，x∈[0，2π]的图象，由图象(略)观察可知①②③均正确．
(2)A中g(x)＝－sin x；B中，f(x)＝－cos x，g(x)＝cos x；C中g(x)＝－sin x；D中f(x)＝sin x，故选D.]
解决正、余弦函数图象的注意点
对于正、余弦函数的图象问题，要画出正确的正弦曲线、余弦曲线，掌握两者的形状相同，只是在坐标系中的位置不同，可以通过相互平移得到．
1．关于三角函数的图象，有下列说法：
①y＝sin x＋1.1的图象与x轴有无限多个公共点；
②y＝cos(－x)与y＝cos |x|的图象相同；
③y＝|sin x|与y＝sin(－x)的图象关于x轴对称；
④y＝cos x与y＝cos(－x)的图象关于y轴对称．
其中正确的序号是________．
②④ [对②，y＝cos(－x)＝cos x，y＝cos |x|＝cos x，故其图象相同；
对④，y＝cos(－x)＝cos x，故其图象关于y轴对称；作图(略)可知①③均不正确．]
用“五点法”作三角函数的图象
【例2】 用“五点法”作出下列函数的简图．
(1)y＝1－sin x(0≤x≤2π)；
(2)y＝－1＋cos x(0≤x≤2π)．
思路点拨：列表：让x的值依次取0，，π，，2π→→
[解] (1)①取值列表如下：
x
0
π
2π
sin x
0
1
0
－1
0
1－sin x
1
0
1
2
1
②描点连线，如图所示.
(2)①取值列表如下：
x
0
π
2π
cos x
1
0
－1
0
1
－1＋cos x
0
－1
－2
－1
0
②描点连线，如图所示．
用“五点法”画函数y＝Asin x＋b(A≠0)或y＝Acos x＋b(A≠0)在[0，2π]上简图的步骤：
(1)列表：
x
0
π
2π
sin x
(或cos x)
0(或1)
1(或0)
0(或－1)
－1
(或0)
0(或1)
y
b
(或A＋b)
A＋b
(或b)
b
(或－A＋b)
－A＋b
(或b)
b
(或A＋b)
(2)描点：在平面直角坐标系中描出五个点(0，y1)，，(π，y3)，，(2π，y5)，这里的yi(i＝1，2，3，4，5)值是通过函数解析式计算得到的．
(3)连线：用光滑的曲线将描出的五个点连接起来，就得到正(余)弦函数y＝Asin x＋b(y＝Acos x＋b)(A≠0)的图象．
提醒：作图象时，函数自变量要用弧度制，x轴、y轴上尽量统一单位长度．
2．用“五点法”画出函数y＝＋sin x，x∈[0，2π]上的图象．
[解] 取值列表如下：
x
0
π
2π
sin x
0
1
0
－1
0
＋sin x
－
描点，并将它们用光滑的曲线连接起来．(如图)
正弦、余弦函数图象的应用
[探究问题]
1．解三角不等式sin x＞a(或cos x＞x＞a)一般有几种方法？
提示：一般有两种方法：一是利用三角函数线，结合单位圆求解；一是利用正、余弦函数图象解决．
2．如何处理方程f(x)＝g(x)的根的个数问题？
[提示] 在同一坐标中，分别画出y＝f(x)和y＝g(x)的图象，观察交点个数，如求sin x＝x的实根个数时，可以在同一坐标系内分别作出y＝sin x，y＝x图象(略)可知在x∈[0，1]内，sin x＜x没有交点，当x＞1时不会相交，所以方程只有一个实根为0.
【例3】 (1)函数y＝的定义域为________．
(2)在同一坐标系中，作函数y＝sin x和y＝lg x的图象，根据图象判断出方程sin x＝lg x的解的个数．
思路点拨：(1)→→
(2)→
→→
(1) [由2sin x－1≥0得sin x≥，
画出y＝sin x的图象和直线y＝.
可知sin x≥的解集为.]
(2)[解] 建立平面直角坐标系xOy，先用五点法画出函数y＝sin x，x∈R的图象．
描出点(1，0)，(10，1)，并用光滑曲线连接得到y＝lg x的图象，如图所示．
由图象可知方程sin x＝lg x的解有3个．
1．本例(1)中的“sin x”改为“cos x”，应如何解答？
[解] 由2cos x－1≥0得cos x≥，画出y＝cos x的图象和直线y＝.
观察图象可知cos x≥的解集是.
2．把本例(2)中两函数改为“y＝，y＝cos x”，方程“sin x＝lg x”改为“＝cos x”，应如何解答？
[解] y＝中x的取值范围是[0，＋∞)．
分别作出y＝，y＝cos x的图象，如图．
由图象可观察到两个函数图象只有一个交点，
所以方程＝cos x只有唯一一个根．
1．用三角函数的图象解sin x＞a(或cos x＞a)的方法
(1)作出y＝a，y＝sin x(或y＝cos x)的图象．
(2)确定sin x＝a(或cos x＝a)的x值．
(3)确定sin x＞a(或cos x＞a)的解集．
2．利用三角函数线解sin x＞a(或cos x＞a)的方法
(1)找出使sin x＝a(或cos x＝a)的两个x值的终边所在的位置．
(2)根据变化趋势，确定不等式的解集．
1．三角函数图象是本节课的重点．三角函数图象直观地反映了三角函数的性质，所以画好三角函数的图象是研究三角函数性质的关键，因此一定要掌握正弦、余弦函数的图象特征，特别是会灵活运用五点作图法准确作出函数图象．
2．“五点法”画正弦函数图象的理解
(1)与前面学习函数图象的画法类似，在用描点法探究函数图象特征的前提下，若要求精度不高，只要描出函数图象的“关键点”，就可以根据函数图象的变化趋势画出函数图象的草图．
(2)正弦型函数图象的关键点是函数图象中最高点、最低点以及与x轴的交点．
3．作函数y＝Asin x＋b的图象的步骤
1．对于余弦函数y＝cos x的图象，有以下三项描述：
①向左向右无限延伸；
②与x轴有无数多个交点；
③与y＝sin x的图象形状一样，只是位置不同．
其中正确的有( )
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
D [根据正余弦函数图象可知，①②③正确．]
2．函数y＝cos x与函数y＝－cos x的图象( )
A．关于直线x＝1对称 B．关于原点对称
C．关于x轴对称 D．关于y轴对称
C [由解析式可知y＝cos x的图象过点(a，b)，则y＝－cos x的图象必过点(a，－b)，由此推断两个函数的图象关于x轴对称．]
3．若方程sin x＝4m＋1在x∈[0，2π]上有解，则实数m的取值范围是________．
[因为x∈[0，2π]时，－1≤sin x≤1，∴方程有解可转化为－1≤4m＋1≤1，解得－≤m≤0.]
4．用“五点法”画出函数y＝2sin x，x∈[0，2π]上的图象．
[解] (1)列表：
x
0
π
2π
2sin x
0
2
0
－2
0
(2)描点作图，如下：
课时分层作业(八)
(建议用时：60分钟)
[基础达标练]
一、选择题
1．用“五点法”作y＝sin 2x的图象时，首先描出的五个点的横坐标是( )
A．0，，π，，2π B．0，，，，π
C．0，π，2π，3π，4π D．0，，，，
B [令2x＝0，，π，，2π可得x＝0，，，，π，故选B.]
2．若点M在函数y＝sin x的图象上，则m等于( )
A．0 B．1 C．－1 D．2
C [当x＝时，y＝sin＝1，
故－m＝1，m＝－1.]
3．已知f(x)＝sin，g(x)＝cos，则f(x)的图象( )
A．与g(x)的图象相同
B．与g(x)的图象关于y轴对称
C．向左平移个单位，得g(x)的图象
D．向右平移个单位，得g(x)的图象
D [f(x)＝sin，
g(x)＝cos
＝cos＝sin x，
f(x)图象向右平移个单位得到g(x)图象．]
4.如图是下列哪个函数的图象( )
A．y＝1＋sin x，x∈[0，2π]
B．y＝1＋2sin x，x∈[0，2π]
C．y＝1－sin x，x∈[0，2π]
D．y＝1－2sin x，x∈[0，2π]
C [根据图象上特殊点进行验证，可知C正确．]
5．将余弦函数y＝cos x的图象向右至少平移m个单位，可以得到函数y＝－sin x的图象，则m＝( )
A． B．π C． D．
C [根据诱导公式得，y＝－sin x＝cos ＝cos，故欲得到y＝－sin x的图象，需将y＝cos x的图象向右至少平移个单位长度．]
二、填空题
6．用“五点法”作函数y＝1－cos x，x∈[0，2π]的图象时，应取的五个关键点分别是______________．
(0，0)，，(π，2)，，(2π，0) [x依次取0，，π，，2π得五个关键点(0，0)，，(π，2)，，(2π，0)．]
7．函数y＝1＋sin x，x∈[0，2π]的图象与直线y＝的交点个数是________．
2 [在同一坐标系内画出y＝1＋sin x和y＝的图象(如图所示)，观察可得交点的个数为2.]
8．函数y＝lg(－2cos x)的定义域是________．
[由－2cos x＞0得cos x＜，
作出y＝cos x的图象和直线y＝，
由图象可知cos x＜的解集为.]
三、解答题
9．用“五点法”画出y＝－2cos x＋3(0≤x≤2π)的简图．
[解] 列表：
x
0
π
2π
－2cos x
－2
0
2
0
－2
－2cos x＋3
1
3
5
3
1
描点、连线得出函数y＝－2cos x＋3(0≤x≤2π)的图象：
10．若函数y＝2cos x(0≤x≤2π)的图象和直线y＝2围成一个封闭的平面图形(如图)，求这个封闭图形的面积．
[解] 观察图形可知：图形S1与S2，S3与S4都是两个对称图形，有S 1＝S2，S3＝S4.
因此函数y＝2cos x的图象与直线y＝2所围成的图形面积，可以等价转化为求矩形OABC的面积．
∵|OA|＝2，|OC|＝2π，
∴S矩形OABC＝2×2π＝4π，
∴所求封闭图形的面积为4π.
[能力提升练]
1．若sin θ＝1－log2x，则实数x的取值范围是( )
A．[1，4] B． C．[2，4] D．
A [由sin θ∈[－1，1]得－1≤1－log2x≤1，解得0≤log2x≤2，即1≤x≤4.]
2．方程sin x＝的根的个数是( )
A．7 B．8 C．9 D．10
A [在同一坐标系内画出y＝和y＝sin x的图象如图所示：
根据图象可知方程有7个根．]
3．在(0，2π)内，使sin x>cos x成立的x的取值范围是________．
[在同一坐标系中画出y＝sin x，x∈(0，2π)与y＝cos ，∈(0，2π)的图象如图所示，
由图象可观察出当x∈时，sin x>cos x．]
4．函数y＝cos x＋4，x∈[0，2π]的图象与直线y＝4的交点的坐标为________．
， [由得cos x＝0，
当x∈[0，2π]时，x＝或，
∴交点为，.]
5．函数f(x)＝sin x＋2|sin x|，x∈[0，2π]的图象与直线y＝k有且仅有两个不同的交点，求k的取值范围．
[解] f(x)＝sin x＋2|sin x|＝
图象如图所示，
若使f(x)的图象与直线y＝k有且仅有两个不同的交点，根据上图可得k的取值范围是(1，3)．
