课件48张PPT。第一章 三角函数
1.4 三角函数的图象与性质
1.4.2 正弦函数、余弦函数的性质
第1课时 正弦、余弦函数的周期性与奇偶性非零常数Tf(x＋T)＝f(x)T正数正数最小正周期奇函数偶函数三角函数的周期问题及简单应用 三角函数奇偶性的判断 三角函数的奇偶性与周期性的综合应用 点击右图进入…Thank you for watching !课件60张PPT。第一章 三角函数
1.4 三角函数的图象与性质
1.4.2 正弦函数、余弦函数的性质
第2课时 正弦、余弦函数的单调性与最值[－1，1][－1，1]正弦函数、余弦函数的单调性 利用正弦函数、余弦函数的单调性比较大小 正弦函数、余弦函数的最值问题 点击右图进入…Thank you for watching !1.4.2 正弦函数、余弦函数的性质
第1课时 正弦、余弦函数的周期性与奇偶性
学 习 目 标
核 心 素 养
1.了解周期函数、周期、最小正周期的定义．
2．会求函数y＝Asin(ωx＋φ)和y＝Acos(ωx＋φ)的周期．(重点)
3．掌握函数y＝sin x和y＝cos x的奇偶性，会判断简单三角函数的奇偶性．(重点、易混点)
1.通过正弦、余弦曲线观察出正弦、余弦函数的周期性和奇偶性，培养学生的数学抽象核心素养．
2．通过周期性和奇偶性的学习，培养学生的运用数形结合研究问题的思想，提升学生的直观想象核心素养.
1．函数的周期性
(1)周期函数：对于函数f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的每一个值时，都有f(x＋T)＝f(x)，那么这个函数的周期为T．
(2)最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期．
2．正弦函数、余弦函数的周期性和奇偶性
函数
y＝sin x
y＝cos x
周期
2kπ(k∈Z且k≠0)
2kπ(k∈Z且k≠0)
最小正周期
2π
2π
奇偶性
奇函数
偶函数
思考：函数y＝|sin x|，y＝|cos x|是周期函数吗？
[提示] 是，周期是kπ(k∈Z且k≠0)，最小正周期是π.
1．下列函数中，周期为的是( )
A．y＝sin B．y＝sin 2x
C．y＝cos D．y＝cos 4x
D [根据公式T＝可知＝，得ω＝4，故应选D.]
2．函数y＝2sin是( )
A．周期为π的奇函数 B．周期为π的偶函数
C．周期为2π的奇函数 D．周期为2π的偶函数
B [y＝2sin＝2cos 2x，它是周期为π的偶函数．]
3．若函数y＝f(x)是以2为周期的函数，且f(5)＝6，则f(1)＝________．
6 [由已知得f(x＋2)＝f(x)，
所以f(1)＝f(3)＝f(5)＝6.]
三角函数的周期问题及简单应用
【例1】 求下列函数的周期：
(1)y＝sin；
(2)y＝|sin x|.
思路点拨：(1)法一：寻找非零常数T，使f(x＋T)＝f(x)恒成立．
法二：利用y＝Asin(ωx＋φ)的周期公式计算．
(2)作函数图象，观察出周期．
[解] (1)法一：(定义法)y＝sin
＝sin＝sin，
所以周期为π.
法二：(公式法)y＝sin中ω＝2，T＝＝＝π.
(2)作图如下：
观察图象可知周期为π.
1．本例(2)中函数变成“y＝|cos x|”，图象如何？
[解] 作图如下：
观察图象可知周期是π.
2．本例(2)中函数变成y＝sin |x|或y＝cos |x|，图象如何？
[解] 作图如下：
由图象可知y＝sin |x|不是周期函数，y＝cos |x|的图象与y＝cos x图象相同，仍为周期函数，周期为2π.
求三角函数周期的方法：
(1)定义法：即利用周期函数的定义求解．
(2)公式法：对形如y＝Asin(ωx＋φ)或y＝Acos(ωx＋φ)(A，ω，φ是常数，A≠0，ω≠0)的函数，T＝.
(3)图象法：即通过观察函数图象求其周期．
提醒：y＝|Asin(ωx＋φ)|(A≠0，ω≠0)的最小正周期T＝.
1．利用周期函数的定义求下列函数的周期．
(1)y＝cos 2x，x∈R；
(2)y＝sin，x∈R.
[解] (1)因为cos 2(x＋π)＝cos(2x＋2π)＝cos 2x，由周期函数的定义知，y＝cos 2x的周期为π.
(2)因为sin
＝sin＝sin，由周期函数的定义知，y＝sin的周期为6π.
三角函数奇偶性的判断
【例2】 (1)若函数y＝2sin(x＋φ)为偶函数，则φ的值的集合为________．
(2)判断下列函数的奇偶性：
①f(x)＝sin；
②f(x)＝lg(1－sin x)－lg(1＋sin x)；
③f(x)＝.
思路点拨：(1)→→
φ＝＋kπ(k∈Z)
(2)
(1) [因为y＝cos ωx为偶函数，y＝sin ωx为奇函数，所以根据诱导公式“奇变偶不变”的特点，要使通过诱导公式后函数变成y＝2cos x或y＝－2cos x，只有φ＝kπ＋(k∈Z)．]
(2)[解] ①显然x∈R，f(x)＝cosx，
∵f(－x)＝cos＝cosx＝f(x)，
∴f(x)是偶函数．
②由得－1＜sin x＜1，
解得定义域为，
∴f(x)的定义域关于原点对称．
又∵f(x)＝lg(1－sin x)－lg(1＋sin x)，
∴f(－x)＝lg[1－sin(－x)]－lg[1＋sin(－x)]
＝lg(1＋sin x)－lg(1－sin x)＝－f(x)，
∴f(x)为奇函数．
③∵1＋sin x≠0，∴sin x≠－1，
∴x∈R且x≠2kπ－，k∈Z.
∵定义域不关于原点对称，
∴该函数是非奇非偶函数．
1．判断函数奇偶性应把握好两个方面：
一看函数的定义域是否关于原点对称；
二看f(x)与f(－x)的关系．
2．对于三角函数奇偶性的判断，有时可根据诱导公式先将函数式化简后再判断．
提醒：研究函数性质应遵循“定义域优先”的原则．
2．判断下列函数的奇偶性：
(1)f(x)＝cos＋x2sin x；
(2)f(x)＝＋.
[解] (1)f(x)＝sin 2x＋x2sin x，
又∵x∈R，f(－x)＝sin(－2x)＋(－x)2sin(－x)
＝－sin 2x－x2sin x＝－f(x)，
∴f(x)是奇函数．
(2)由得cos x＝，
∴f(x)＝0，x＝2kπ±，k∈Z，
∴f(x)既是奇函数又是偶函数．
三角函数的奇偶性与周期性的综合应用
[探究问题]
1．一般通过什么方法研究三角函数的性质？
提示：三角函数的性质可从图象上直观地反映出来，如图象的对称性，图象的升降，图象的范围等相应地反映函数的奇偶性，单调性，定义域和值域，所以解题时要通常借助图象．
2．若函数y＝f(x)是周期T＝2的周期函数，也是奇函数，则f(2 018)的值是多少？
提示：f(2 018)＝f(0＋1 009×2)＝f(0)＝0.
【例3】 (1)下列函数中是奇函数，且最小正周期是π的函数是( )
A．y＝cos|2x| B．y＝|sin 2x|
C．y＝sin D．y＝cos
(2)定义在R上的函数f(x)既是偶函数，又是周期函数，若f(x)的最小正周期为π，且当x∈时，f(x)＝sin x，则f等于( )
A．－ B． C．－ D．
思路点拨：(1)先作出选项A，B中函数的图象，化简选项C、D中函数的解析式，再判断奇偶性、周期性．
(2)先依据f(x＋π)＝f(x)化简f；再依据f(x)是偶函数和x∈，f(x)＝sin x求值．
(1)D (2)D [(1)y＝cos|2x|是偶函数，y＝|sin 2x|是偶函数，y＝sin＝cos 2x是偶函数，y＝cos＝－sin 2x是奇函数，根据公式得其最小正周期T＝π.
(2)f＝f＝f＝f＝f＝f
＝sin＝.]
1．若本例(2)中的“偶函数”改为“奇函数”，“π”改为“”，其他条件不变，结果如何？
[解] f＝f＝f＝－f＝－sin＝－.
2．若本例(2)中的“π”改为“”，去掉“f(x)是偶函数”，其他条件不变，求f.
[解] ∵f(x)的周期为，
∴f＝f
＝f＝f＝sin＝.
1．三角函数周期性的解题策略
探求三角函数的周期，常用方法是公式法，即将函数化为y＝Asin(ωx＋φ)或y＝Acos(ωx＋φ)的形式，再利用公式求解．
2．与三角函数奇偶性有关的结论
(1)要使y＝Asin(ωx＋φ)(Aω≠0)为奇函数，则φ＝kπ(k∈Z)；
(2)要使y＝Asin(ωx＋φ)(Aω≠0)为偶函数，则φ＝kπ＋(k∈Z)；
(3)要使y＝Acos(ωx＋φ)(Aω≠0)为奇函数，则φ＝kπ＋(k∈Z)；
(4)要使y＝Acos(ωx＋φ)(Aω≠0)为偶函数，则φ＝kπ(k∈Z)．
1．求函数的最小正周期的常用方法：
(1)定义法，即观察出周期，再用定义来验证；也可由函数所具有的某些性质推出使f(x＋T)＝f(x)成立的T.
(2)图象法，即作出y＝f(x)的图象，观察图象可求出T，如y＝|sin x|.
(3)结论法，一般地，函数y＝Asin(ωx＋φ)(其中A，ω，φ为常数，A≠0，ω＞0，x∈R)的周期T＝.
2．判断函数的奇偶性，必须坚持“定义域优先”的原则，准确求函数定义域和将式子合理变形是解决此类问题的关键．如果定义域关于原点对称，再看f(－x)与f(x)的关系，从而判断奇偶性．
3．周期函数的定义域是一个无限集，周期有无数多个，可能存在最小正周期，也可能不存在最小正周期，如f(x)＝1，x∈R是周期函数，但不存在最小正周期.
1．下列命题中不正确的是( )
A．由于sin＝sin ，则是正弦函数y＝sin x的一个周期
B．若T是函数f(x)的周期，则kT(k∈N*)，也是函数f(x)的周期
C．函数y＝3sin 2x是奇函数
D．函数y＝－cos x是偶函数
A [根据周期的定义可以判断A不正确，B对，再由奇偶性的判断法可判断C、D均正确．]
2．函数f(x)＝sin 2x的奇偶性为( )
A．奇函数 B．偶函数
C．既奇又偶函数 D．非奇非偶函数
A [f(x)＝sin 2x的定义域为R，f(－x)＝sin 2(－x)＝－sin 2x＝－f(x)，所以f(x)是奇函数．]
3．函数f(x)＝sin，x∈R的最小正周期为______．
4 [由已知得f(x)的最小正周期T＝＝4.]
4．若函数y＝f(x)是定义在R上的周期为3的奇函数且f(1)＝3，则f(5)＝________．
－3 [由已知得f(x＋3)＝f(x)，f(－x)＝－f(x)，所以f(5)＝f(2)＝f(－1)＝－f(1)＝－3.]
5．判断下列函数的奇偶性：
(1)f(x)＝－2cos 3x；
(2)f(x)＝xsin(x＋π)．
[解] (1)f(－x)＝－2cos 3(－x)
＝－2cos 3x＝f(x)，
所以f(x)＝－2cos 3x为偶函数．
(2)f(x)＝xsin(x＋π)＝－xsin x，
所以f(－x)＝xsin(－x)＝－xsin x＝f(x)，
故函数f(x)为偶函数．
第2课时 正弦、余弦函数的单调性与最值
学 习 目 标
核 心 素 养
1.掌握y＝sin x和y＝cos x的最大值与最小值，并会求简单三角函数的值域和最值．(重点、难点)
2．掌握y＝sin x和y＝cos x的单调性，并能利用单调性比较大小．(重点)
3．会求函数y＝Asin(ωx＋φ)和y＝Acos(ωx＋φ)的单调区间．(重点、易混点)
1.通过正弦、余弦曲线观察出正弦、余弦函数的单调性和最大(小)值等性质，提升学生的数学抽象素养．
2．通过三角函数单调性等性质的学习，培养学生的运用数形结合研究问题的思想，提升学生的数学运算素养.
正弦、余弦函数的图象与性质
解析式
y＝sin x
y＝cos x
图象
值域
[－1，1]
[－1，1]
单调性
在＋2kπ]，k∈Z上递增，在＋2kπ]，k∈Z上递减
在[－π＋2kπ，2kπ]，k∈Z上递增，
在[2kπ，π＋2kπ]，k∈Z上递减
最值
x＝＋2kπ，k∈Z时，ymax＝1；x＝－＋2kπ，k∈Z时，ymin＝－1
x＝2kπ，k∈Z时，ymax＝1；x＝π＋2kπ，k∈Z时，ymin＝－1
对称轴
x＝kπ＋(k∈Z)
x＝kπ(k∈Z)
对称中心
(kπ，0)k∈Z
k∈Z
思考：y＝sin x和y＝cos x在区间(m，n)(其中0＜m＜n＜2π)上都是减函数，你能确定m、n的值吗？
[提示] 由正弦函数和余弦函数的单调性可知m＝，n＝π.
1．y＝2sin的值域是( )
A．[－2，2] B．[0，2]
C．[－2，0] D．[－1，1]
A [这里A＝2，故值域为[－2，2]．]
2．函数y＝sin的一个对称中心是( )
A． B．
C． D．
B [y＝sin＝cos 2x，令2x＝kπ＋(k∈Z)得x＝＋(k∈Z)，令k＝0的对称中心为，故选B.]
3．函数y＝2－sin x取得最大值时x的取值集合为________．
[当sin x＝－1时，ymax＝2－(－1)＝3，
此时x＝2kπ－，k∈Z.]
4．函数f(x)＝cos的单调减区间为________．
(k∈Z) [令2kπ≤2x－≤2kπ＋π，k∈Z，得kπ＋≤x≤kπ＋(k∈Z)，故单调减区间为(k∈Z)．]
正弦函数、余弦函数的单调性
【例1】 (1)函数y＝cos x在区间[－π，a]上为增函数，则a的取值范围是________．
(2)已知函数f(x)＝sin＋1，求函数f(x)的单调递增区间．
思路点拨：(1)确定a的范围→y＝cos x在区间[－π，a]上为增函数→y＝cos x在区间[－π，0]上是增函数，在区间[0，π]上是减函数→a的范围．
(2)确定增区间→令u＝＋2x→y＝sin u＋1的单调递增区间．
(1)(－π，0] [因为y＝cos x在[－π，0]上是增函数，在[0，π]上是减函数，所以只有－π＜a≤0时满足条件，故a∈(－π，0]．]
(2)[解] 令u＝＋2x，函数y＝sin u＋1的单调递增区间为，k∈Z，由－＋2kπ≤＋2x≤＋2kπ，k∈Z，
得－＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z.
所以函数f(x)＝sin＋1的单调递增区间是，k∈Z.
1．本例(2)中条件不变，问是该函数的单调递增区间吗？
[解] 令2x＋＝u，∵x∈，
∴≤2x＋≤，即u∈.
而y＝sin u在上不单调，
故y＝sin＋1在上不是单调递增的．
2．本例(2)中条件不变，求在[－π，π]上的单调递增区间．
[解] 对于y＝sin＋1，
由2kπ－≤2x＋≤2kπ＋(k∈Z)得
kπ－≤x≤kπ＋(k∈Z)．
∵－π≤x≤π，
令k＝－1时，－π≤x≤－π，
令k＝0时，－≤x≤，
令k＝1时，≤x≤π，
∴函数y＝sin＋1在[－π，π]上的单调递增区间为、和.
3．本例(2)中把条件中的“＋2x”改为“－2x”，结果怎样？
[解] y＝sin＋1＝－sin＋1，
令2kπ＋≤2x－≤2kπ＋(k∈Z)，
得kπ＋≤x≤kπ＋(k∈Z)．
故函数y＝sin＋1的单调递增区间为(k∈Z)．
1．求形如y＝Asin(ωx＋φ)＋b或形如y＝Acos(ωx＋φ)＋b(其中A≠0，ω>0，b为常数)的函数的单调区间，可以借助于正弦函数、余弦函数的单调区间，通过解不等式求得．
2．具体求解时注意两点：①要把ωx＋φ看作一个整体，若ω<0，先用诱导公式将式子变形，将x的系数化为正；②在A>0，ω>0时，将“ωx＋φ”代入正弦(或余弦)函数的单调区间，可以解得与之单调性一致的单调区间；当A<0，ω>0时，同样方法可以求得与正弦(余弦)函数单调性相反的单调区间．
提醒：复合函数的单调性遵循“同增异减”的规律．
1．(1)函数y＝sin，x∈的单调递减区间为________．
(2)已知函数y＝cos，则它的单调递减区间为________．
(1)，
(2)(k∈Z) [(1)由＋2kπ≤3x＋≤＋2kπ(k∈Z)，
得＋≤x≤＋(k∈Z)．
又x∈，
所以函数y＝sin，x∈的单调递减区间为，.
(2)y＝cos＝cos，
由2kπ≤2x－≤2kπ＋π，k∈Z，
得kπ＋≤x≤kπ＋，k∈Z，∴单调递减区间是(k∈Z)．]
利用正弦函数、余弦函数的单调性比较大小
【例2】 利用三角函数的单调性，比较下列各组数的大小．
(1)sin与sin；
(2)sin 196°与cos 156°；
(3)cos与cos.
思路点拨：
→
[解] (1)∵－＜－＜－＜，
∴sin＞sin.
(2)sin 196°＝sin(180°＋16°)＝－sin 16°，
cos 156°＝cos(180°－24°)＝－cos 24°＝－sin 66°，
∵0°＜16°＜66°＜90°，
∴sin 16°＜sin 66°，
从而－sin 16°＞－sin 66°，
即sin 196°＞cos 156°.
(3)cos＝cosπ
＝cos＝cosπ，
cos＝cosπ
＝cos＝cos.
∵0＜＜π＜π，且y＝cos x在[0，π]上是减函数，
∴cosπ＜cos，
即cos＜cos.
三角函数值大小比较的策略
(1)利用诱导公式，对于正弦函数来说，一般将两个角转化到或内；对于余弦函数来说，一般将两个角转化到[－π，0]或[0，π]内．
(2)不同名的函数化为同名的函数．
(3)自变量不在同一单调区间化至同一单调区间内，借助正弦、余弦函数的单调性来比较大小．
2．(1)已知α，β为锐角三角形的两个内角，则以下结论正确的是( )
A．sin α＜sin β B．cos α＜sin β
C．cos α＜cos β D．cos α ＞cos β
(2)比较下列各组数的大小：
①cos，cos；②cos 1，sin 1.
(1)B [α，β为锐角三角形的两个内角，α＋β＞，α＞－β，α∈，－β∈，
所以cos α＜cos＝sin β.]
(2)[解] ①cos＝cos，cos＝cos，因为0＜＜＜π，而y＝cos x在[0，π]上单调递减，
所以cos＞cos，
即cos＞cos.
②因为cos 1＝sin，而0＜－1＜1＜且y＝sin x在上单调递增，所以sin＜sin 1，
即cos 1＜sin 1.
正弦函数、余弦函数的最值问题
[探究问题]
1．函数y＝sin在x∈[0，π]上的最小值是多少？
提示：因为x∈[0，π]，所以x＋∈，由正弦函数图象可知函数的最小值为－.
2．函数y＝Asin x＋b，x∈R的最大值一定是A＋b吗？
提示：不是．因为A>0时，最大值为A＋b，若A<0时，最大值应为－A＋b.
【例3】 (1)函数y＝cos2x＋2sin x－2，x∈R的值域为________．
(2)已知函数f(x)＝asin＋b(a＞0)．当x∈时，f(x)的最大值为，最小值是－2，求a和b的值．
思路点拨：(1)先用平方关系转化，即cos2x＝1－sin2x，再将sin x看作整体，转化为二次函数的值域问题．
(2)先由x∈求2x－的取值范围，再求sin的取值范围，最后求f(x)min，f(x)max，列方程组求解．
(1)[－4，0] [y＝cos2x＋2sin x－2
＝－sin2x＋2sin x－1＝－(sin x－1)2.
因为－1≤sin x≤1，所以－4≤y≤0，
所以函数y＝cos2x＋2sin x－2，x∈R的值域为[－4，0]．]
(2)[解] ∵0≤x≤，
∴－≤2x－≤，
∴－≤sin≤1，
∴f(x)max＝a＋b＝，
f(x)min＝－a＋b＝－2.
由得
1．求本例(1)中函数取得最小值时x的取值集合．
[解] 因为y＝cos2x＋2sin x－2＝－sin2x＋2sin x－1＝－(sin x－1)2，
所以当sin x＝－1时，ymin＝－4，
此时x的取值集合为.
2．本例(2)中，函数变成f(x)＝2cos＋3，求其最大值和最小值，并求取得最大值及最小值时的集合．
[解] (1)因为－1≤cos≤1，
所以当cos＝1时，ymax＝5；
这时2x＋＝2kπ(k∈Z)，即x＝kπ－(k∈Z)．
当cos＝－1时，ymin＝1.
这时2x＋＝2kπ＋π(k∈Z)，即x＝kπ＋(k∈Z)．
综上，f(x)max＝5，这时x取值集合为；
f(x)min＝1，这时x取值集合为.
3．本例(2)中，函数变成f(x)＝2cos＋3，且加上条件x∈时，求最大值、最小值．
[解] 因为x∈，
所以0≤2x＋≤，
所以0≤cos≤1，
所以当cos＝1时，ymax＝5；
当cos＝0，ymin＝3.
所以函数y＝2cos＋3，x∈的最大值为5，最小值为3.
三角函数最值问题的常见类型及求解方法：
(1)y＝asin2x＋bsin x＋c(a≠0)，利用换元思想设t＝sin x，转化为二次函数y＝at2＋bt＋c求最值，t的范围需要根据定义域来确定．
(2)y＝Asin(ωx＋φ)＋b，可先由定义域求得ωx＋φ的范围，然后求得sin(ωx＋φ)的范围，最后得最值．
1．求函数y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)单调区间的方法：把ωx＋φ看成一个整体，由2kπ－≤ωx＋φ≤2kπ＋(k∈Z)解出x的范围，所得区间即为增区间，由2kπ＋≤ωx＋φ≤2kπ＋(k∈Z)解出x的范围，所得区间即为减区间．若ω＜0，先利用诱导公式把ω转化为正数后，再利用上述整体思想求出相应的单调区间．
2．比较三角函数值的大小，先利用诱导公式把问题转化为同一单调区间上的同名三角函数值的大小比较，再利用单调性作出判断．
3．三角函数最值问题的求解方法有：
(1)形如y＝asin x(或y＝acos x)型，可利用正弦函数、余弦函数的有界性，注意对a正负的讨论．
(2)形如y＝Asin(ωx＋φ)＋b(或y＝Acos(ωx＋φ)＋b)型，可先由定义域求得ωx＋φ的范围，然后求得sin(ωx＋φ)(或cos(ωx＋φ))的范围，最后求得最值．
(3)形如y＝asin2x＋bsin x＋c(a≠0)型，可利用换元思想，设t＝sin x，转化为二次函数y＝at2＋bt＋c求最值．t的范围需要根据定义域来确定.
1．下列命题正确的是( )
A．正弦函数、余弦函数在定义域内都是单调函数
B．存在x∈R满足sin x＝
C．在区间[0，2π]上，函数y＝cos x仅当x＝0时取得最大值1
D．正弦函数y＝sin x有无穷多条对称轴和无数个对称中心
D [A错，y＝sin x，y＝cos x在定义域没有单调增区间也没有减区间；B错，sin x≤1；C错，y＝cos x(x∈[0，2π])当x＝0或2π时，函数取得最大值；D对，根据正弦曲线可以知道正弦曲线有无数条对称轴，写成x＝kπ＋(k∈Z)，也有无穷多个对称中心(kπ，0)(k∈Z)．]
2．函数y＝sin x的值域为________．
[因为≤x≤，所以≤sin x≤1，即所求的值域为.]
3．sin________sin(填“＞”或“＜”)．
＞ [sin＝sin＝sin，
因为0＜＜＜，y＝sin x在上是增函数，所以sin＜sin，
即sin＞sin.]
4．求函数y＝1－sin 2x的单调递增区间．
[解] 求函数y＝1－sin 2x的单调递增区间，转化为求函数y＝sin 2x的单调递减区间，
由＋2kπ≤2x≤＋2kπ，k∈Z，
得＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z，即函数的单调递增区间是(k∈Z)．
课时分层作业(十)
(建议用时：60分钟)
[基础达标练]
一、选择题
1．下列函数中，周期为π，且在上为减函数的是( )
A．y＝sin B．y＝cos
C．y＝sin D．y＝cos
A [对于选项A，注意到y＝sin＝cos 2x的周期为π，且在上是减函数．]
2．下列关系式中正确的是( )
A．sin 11°B．sin 168°C．sin 11°D．sin 168°C [由诱导公式，得cos 10°＝sin 80°，sin 168°＝sin(180°－12°)＝sin 12°，由正弦函数y＝sin x在[0°，90°]上是单调递增的，所以sin 11°3．函数f(x)＝2sin，x∈[－π，0]的单调递增区间是( )
A． B．
C． D．
D [令2kπ－≤x－≤2kπ＋，k∈Z，
解得2kπ－≤x≤2kπ＋π，k∈Z，
又－π≤x≤0，∴－≤x≤0，故选D.]
4．函数y＝cos，x∈的值域是( )
A． B．
C． D．
B [因为x∈，所以x＋∈，所以y＝cos∈.]
5．函数f(x)＝sin＋cos的最大值为( )
A． B．1 C． D．
A [f(x)＝sin＋cos
＝sin＋cos
＝sin＋sin＝sin≤，
故函数f(x)的最大值为.]
二、填空题
6．将cos 150°，sin 470°，cos 760°按从小到大顺序排列为________．
cos 150°＜cos 760°＜sin 470° [cos 150°＜0，sin 470°＝sin 110°＝cos 20°＞0，cos 760°＝cos 40°＞0且cos 20°＞cos 40°，所以cos 150°＜cos 760°＜sin 470°.]
7．(2018·全国卷Ⅲ)函数f(x)＝cos在[0，π]的零点个数为________．
3 [∵0≤x≤π，
∴≤3x＋≤.
由题可知3x＋＝，或3x＋＝，或3x＋＝，解得x＝，或，或，故有3个零点．]
8．(2018·北京高考)设函数f(x)＝cos(ω＞0)，若f(x)≤f对任意的实数x都成立，则ω的最小值为________．
[因为f(x)≤f对任意的实数x都成立，所以f取最大值，所以ω－＝2kπ(k∈Z)，∴ω＝8k＋(k∈Z)，因为ω＞0，所以当k＝0时，ω取最小值为.]
三、解答题
9．求下列函数的最大值和最小值．
(1)f(x)＝sin，x∈；
(2)y＝－2cos2x＋2sin x＋3，x∈.
[解] (1)当x∈时，
2x－∈，由函数图象(略)知，
f(x)＝sin∈＝.
所以f(x)在上的最大值和最小值分别为1，－.
(2)y＝－2(1－sin2x)＋2sin x＋3
＝2sin2x＋2sin x＋1
＝2＋.
∵x∈，∴≤sin x≤1.
当sin x＝1时，ymax＝5；
当sin x＝时，ymin＝.
[能力提升练]
1．同时具有性质：
①最小正周期是π；②图象关于直线x＝对称；③在上是增函数．
这样的一个函数可以为( )
A．y＝sin B．y＝cos
C．y＝sin D．y＝cos
C [在函数y＝Asin(ωx＋φ)中，由①T＝π可知ω＝2，排除A、D，又由②关于x＝对称，cos＝－1，sin＝1，B，C均符合，由③在上是增函数，在B中，0≤2x＋≤π，y＝cos 在[0，π]上单减，在C中，－≤2x－≤，y＝sin在上单增，故C项正确．]
2．已知函数f(x)＝2sin ωx(ω＞0)在区间上的最小值是－2，则ω的最小值等于( )
A． B． C．2 D．3
B [由于函数f(x)＝2sin ωx(ω＞0)在区间上的最小值为－2，∴ω·≤－或ω·≥，
求得ω≥或ω≥6，∴ω≥，故ωmin＝.]
3．函数y＝sin x的定义域为[a，b]，值域为，则b－a的最大值是________．
[因为函数y＝sin x，x∈[a，b]的最小值和最大值分别为－1和.
不妨在一个区间[0，2π]内研究，可知sin＝sin＝sin＝，sin＝－1，
结合图象(略)可知(b－a)min＝－＝，(b－a)max＝－＝.]
4．若函数f(x)＝sin ωx(0＜ω＜2)在区间上单调递增，在区间上单调递减，则ω等于________．
[根据题意知f(x)在x＝处取得最大值1，
∴sin＝1，
∴＝2kπ＋，k∈Z，
即ω＝6k＋，k∈Z.
又0＜ω＜2，∴ω＝.]
5．已知函数f(x)＝sin(2x＋φ)，其中φ为实数，且|φ|＜π.若f(x)≤对x∈R恒成立，且f＞f(π)，求f(x)的单调递增区间．
[解] 由f(x)≤对x∈R恒成立知，
2·＋φ＝2kπ±(k∈Z)．
∴φ＝2kπ＋或φ＝2kπ－(k∈Z)．
∵|φ|＜π，得φ＝或φ＝－，
又∵f＞f(π)，∴φ＝－，
由2kπ－≤2x－≤2kπ＋(k∈Z)，
得f(x)的单调递增区间是(k∈Z)．
课时分层作业(九)
(建议用时：60分钟)
[基础达标练]
一、选择题
1．函数f(x)＝x＋sin x，x∈R( )
A．是奇函数，但不是偶函数
B．是偶函数，但不是奇函数
C．既是奇函数，又是偶函数
D．既不是奇函数，又不是偶函数
A [函数y＝x为奇函数且y＝sin x也是奇函数，故f(x)＝x＋sin x，x∈R是奇函数．]
2．下列函数中最小正周期为π的偶函数是( )
A．y＝sin B．y＝cos
C．y＝cos x D．y＝cos 2x
D [A中函数是奇函数，B、C中函数的周期不是π，只有D符合题目要求．]
3．函数f(x)＝sin的最小正周期为，其中ω＞0，则ω等于( )
A．5 B．10 C．15 D．20
B [由已知得＝，又ω＞0，
所以＝，ω＝10.]
4．函数y＝－xcos x的部分图象是下图中的( )
A B C D
D [y＝cos x为偶函数，y＝x为奇函数，∴y＝－xcos x为奇函数，排除A、C，又x∈时cos x＞0，x＞0，
∴y＜0，故排除B，选D.]
5．定义在R上的函数f(x)周期为π，且是奇函数，f＝1，则f的值为( )
A．1 B．－1 C．0 D．2
B [由已知得f(x＋π)＝f(x)，f(－x)＝－f(x)，
所以f＝f＝f＝－f＝－1.]
二、填空题
6．关于x的函数f(x)＝sin(x＋φ)有以下说法：
①对任意的φ，f(x)都是非奇非偶函数；
②存在φ，使f(x)是偶函数；
③存在φ，使f(x)是奇函数；
④对任意的φ，f(x)都不是偶函数．
其中错误的是________(填序号)．
①④ [φ＝0时，f(x)＝sin x，是奇函数，φ＝时，f(x)＝cos x是偶函数．]
7．若函数f(x)＝2cos的最小正周期为T，且T∈(1，4)，则正整数ω的最大值为________．
6 [T＝，1＜＜4，则＜ω＜2π，
∴ω的最大值是6.]
8．函数y＝sin x的图象关于原点对称，观察正弦曲线的形状，结合正弦函数的周期性可知，正弦曲线的对称中心为________．
(kπ，0)(k∈Z) [∵y＝sin x是奇函数，∴(0，0)是其对称中心，又正弦函数的周期为2kπ，结合正弦曲线可知，对称中心为(kπ，0)(k∈Z)．]
三、解答题
9．已知函数y＝sin x＋|sin x|.
(1)画出函数的简图；
(2)此函数是周期函数吗？若是，求其最小正周期．
[解] (1)y＝sin x＋|sin x|
＝图象如下：
(2)由图象知该函数是周期函数，且周期是2π.
[能力提升练]
1．函数f(x)＝的奇偶性是( )
A．奇函数
B．偶函数
C．既是奇函数又是偶函数
D．既不是奇函数也不是偶函数
A [首先1＋cos x≠0，即x≠2kπ＋π(k∈Z)，定义域关于原点对称，又y＝sin x是奇函数，y＝1＋cos x是偶函数，所以f(x)＝是奇函数．]
2．设函数f(x)＝sinx，则f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(2 018)＝( )
A． B．－ C．0 D．
D [∵f(x)＝sinx的周期T＝＝6，
∴f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(2 018)
＝336[f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＋f(5)＋f(6)]＋f(2 017)＋f(2 018)
＝336
＋f(336×6＋1)＋f(336×6＋2)＝336×0＋f(1)＋f(2)＝sin＋sinπ＝.]
3．已知f(x)是定义在(－3，3)上的奇函数，当0＜x＜3时，f(x)的图象如图所示，那么不等式f(x)cos x＜0的解集是________．
∪(0，1)∪ [∵f(x)是(－3，3)上的奇函数，∴g(x)＝f(x)·cos x是(－3，3)上的奇函数，从而观察图象(略)可知所求不等式的解集为∪(0，1)∪.]
4．设f(x)是定义域为R，最小正周期为的函数，若f(x)＝则f的值等于________．
[因为函数f(x)的周期为，∴f＝f＝f，又∵∈(0，π]，
∴f＝sin＝.]
5．已知函数f(x)＝cos，若函数g(x)的最小正周期是π，且当x∈时，g(x)＝f，求关于x的方程g(x)＝的解集．
[解] 当x∈时，
g(x)＝f＝cos.
因为x＋∈，
所以由g(x)＝解得x＋＝－或，即x＝－或－.
又因为g(x)的最小正周期为π，
所以g(x)＝的解集为.
