课件53张PPT。第一章 三角函数
1.4 三角函数的图象与性质
1.4.3 正切函数的性质与图象R奇函数有关正切函数的定义域、值域问题 正切函数奇偶性、周期性和图象的对称性 正切函数单调性的应用点击右图进入…Thank you for watching !1.4.3 正切函数的性质与图象
学 习 目 标
核 心 素 养
1.能画出正切函数的图象．(重点)
2．掌握正切函数的性质．(重点、难点)
3．掌握正切函数的定义域及正切曲线的渐近线．(易混点)
1.通过观察正切函数的图象获得正切函数性质的直观认识，提升学生直观想象素养．
2．通过对正切函数性质的研究，加强了理性思考的成分，并使数形结合的思想得到体现.
正切函数的图象与性质
解析式
y＝tan x
图象
定义域
_
值域
R
周期
π
奇偶性
奇函数
对称中心
，k∈Z
单调性
在开区间，k∈Z内都是增函数
思考：正切函数图象的对称中心都在正切函数图象上吗？
[提示] 不是，在中，当k为偶数时，在函数图象上，当k为奇数时，不在函数图象上．
1．函数f(x)＝tan的单调增区间为( )
A．，k∈Z B．，k∈Z
C．，k∈Z D．，k∈Z
C [令kπ－＜x＋＜kπ＋(k∈Z)得kπ－＜x＜kπ＋(k∈Z)，故单调增区间为(k∈Z)．]
2．函数y＝tan的定义域为________．
[因为2x－≠kπ＋，k∈Z，
所以x≠＋，k∈Z，
所以函数y＝tan的定义域为.]
3．函数y＝tan 3x的最小正周期是________．
[函数y＝tan 3x的最小正周期是.]
4．函数y＝tan的对称中心是________．
(k∈Z) [令x－＝(k∈Z)得x＝＋(k∈Z)，
∴对称中心为(k∈Z)．]
有关正切函数的定义域、值域问题
【例1】 (1)函数y＝的值域是( )
A．(－1，1) B．(－∞，－1)∪(1，＋∞)
C．(－∞，1) D．(－1，＋∞)
(2)求下列函数的定义域：
①y＝；
②y＝lg(－tan x)．
思路点拨：(1)→
(2)①中注意分母不为零且y＝tan x本身的定义域；
②中注意对数大于零?从而得到定义域．
(1)B [当－＜x＜0时，－1＜tan x＜0，∴＜－1；
当0＜x＜时，0＜tan x＜1，∴＞1.
即当x∈∪时，函数y＝的值域是(－∞，－1)∪(1，＋∞)．]
(2)[解] ①要使函数y＝有意义，
需使
所以函数的定义域为.
②因为－tan x＞0，所以tan x＜.
又因为tan x＝时，x＝＋kπ(k∈Z)，
根据正切函数图象，得kπ－＜x＜kπ＋(k∈Z)，
所以函数的定义域是.
1．求正切函数定义域的方法
(1)求与正切函数有关的函数的定义域时，除了求函数定义域的一般要求外，还要保证正切函数y＝tan x有意义，即x≠＋kπ，k∈Z.
(2)求正切型函数y＝Atan(ωx＋φ)(A≠0，ω＞0)的定义域时，要将“ωx＋φ”视为一个“整体”．令ωx＋φ≠kπ＋，k∈Z，解得x.
2．解形如tan x＞a的不等式的步骤
提醒：求定义域时，要注意正切函数自身的限制条件．
1．求函数y＝＋lg(1－tan x)的定义域．
[解] 要使函数y＝＋lg(1－tan x)有意义，则即－1≤tan x＜1.
当x∈上满足上述不等式的x的取值范围是.
又因为y＝tan x的周期为π，所以所求x的定义域为
.
正切函数奇偶性、周期性和图象的对称性
【例2】 (1)函数f(x)＝tan的周期为________．
(2)已知函数y＝tan，则该函数图象的对称中心坐标为________．
(3)判断下列函数的奇偶性：
①y＝3xtan 2x－2x4；②y＝cos＋tan x.
思路点拨：(1)形如y＝Atan(ωx＋φ)(Aω≠0)的周期T＝，也可以用定义法求周期．
(2)形如y＝Atan(ωx＋φ)(Aω≠0)的对称中心横坐标可由ωx＋φ＝，k∈Z求出．
(3)先求定义域，看是否关于原点对称，若对称再判断f(－x)与f(x)的关系．
(1) (2)(k∈Z) [(1)法一：(定义法)
∵tan＝tan，
即tan＝tan，
∴f(x)＝tan的周期是.
法二：(公式法)
f(x)＝tan的周期T＝.
(2)由x－＝(k∈Z)得x＝＋(k∈Z)，所以图象的对称中心坐标为，k∈Z.]
(3)[解] ①定义域为，关于原点对称，
又f(－x)＝3(－x)tan 2(－x)－2(－x)4＝3xtan 2x－2x4＝f(x)，所以它是偶函数．
②定义域为，关于原点对称，
y＝cos＋tan x＝sin x＋tan x，
又f(－x)＝sin(－x)＋tan(－x)＝－sin x－tan x＝－f(x)，所以它是奇函数．
1．函数f(x)＝Atan(ωx＋φ)周期的求解方法．
(1)定义法．
(2)公式法：对于函数f(x)＝Atan(ωx＋φ)的最小正周期T＝.
(3)观察法(或图象法)：观察函数的图象，看自变量间隔多少，函数值重复出现．
2．判定与正切函数有关的函数奇偶性的方法．
先求函数的定义域，看其定义域是否关于原点对称，若其不关于原点对称，则该函数为非奇非偶函数；若其关于原点对称，再看f(－x)与f(x)的关系．
提醒：y＝tan x，x≠kπ＋(k∈Z)的对称中心坐标为，k∈Z.
2．判断下列函数的奇偶性：
(1)f(x)＝；
(2)f(x)＝tan＋tan.
[解] (1)由
得f(x)的定义域为，
不关于原点对称，所以函数f(x)既不是偶函数，也不是奇函数．
(2)函数定义域为，
关于原点对称，
又f(－x)＝tan＋tan
＝－tan－tan
＝－f(x)，
所以函数是奇函数.
正切函数单调性的应用
[探究问题]
1．正切函数y＝tan x在其定义域内是否为增函数？
提示：不是．正切函数的图象被直线x＝kπ＋(k∈Z)隔开，所以它的单调区间只在(k∈Z)内，而不能说它在定义域内是增函数．假设x1＝，x2＝π，x12．如果让你比较tan与tan的大小，你应该怎样做？
提示：先根据正切函数的周期性把两角化到同一单调区间内，再由正切函数的单调性进行比较．
【例3】 (1)不通过求值，比较下列各组中两个三角函数值的大小：
①tan 与tan；
②tan与tan.
(2)求函数y＝3tan的单调区间．
思路点拨：(1)
→
(2)→
[解] (1)①因为tan＝tan，tan＝tan，
又0＜＜＜，
y＝tan x在内单调递增，
所以tan＜tan，即tan＜tan.
②因为tan＝－tan，
tan＝－tan，
又0＜＜＜，
y＝tan x在内单调递增，
所以tan＞tan，
所以－tan＜－tan，
即tan＜tan.
(2)y＝3tan＝－3tan，
由－＋kπ＜2x－＜＋kπ，k∈Z得，
－＋π＜x＜＋π，k∈Z，
所以y＝3tan的减区间为，k∈Z.
1．将本例(2)中的函数改为“y＝3tan”，结果又如何？
[解] 由kπ－得2kπ－∴函数y＝3tan的单调递增区间是(k∈Z)．
2．将本例(2)中函数改为“y＝lg tan”结果又如何？
[解] 因为函数y＝lg x在(0，＋∞)上为增函数，
所以函数y＝lg tan x的单调递增区间就是函数y＝tan x(tan x＞0)的单调递增区间，
令kπ＜2x－＜kπ＋(k∈Z)，得＋＜x＜＋(k∈Z)，
故y＝lg tan的增区间为，k∈Z.
1．求函数y＝Atan(ωx＋φ)(A＞0，ω≠0，且A，ω，φ都是常数)的单调区间的方法．
(1)若ω＞0，由于y＝tan x在每一个单调区间上都是增函数，故可用“整体代换”的思想，令kπ－＜ωx＋φ＜kπ＋，k∈Z，解得x的范围即可．
(2)若ω＜0，可利用诱导公式先把y＝Atan(ωx＋φ)转化为y＝Atan[－(－ωx－φ)]＝－Atan(－ωx－φ)，即把x的系数化为正值，再利用“整体代换”的思想，求得x的范围即可．
2．运用正切函数单调性比较大小的步骤．
(1)运用函数的周期性或诱导公式将角化到同一单调区间内．
(2)运用单调性比较大小关系．
提醒：y＝Atan(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)只有增区间；y＝Atan(ωx＋φ)(A＜0，ω＞0)只有减区间．
1．正切函数在整个定义域上的图象叫正切曲线．正切曲线是由相互平行的直线x＝kπ＋(k∈Z)所隔开的无穷多支曲线组成，每支曲线向上、向下无限接近相应的两条直线，且每支曲线都是单调递增的．
2．正切函数的性质
(1)正切函数y＝tan x的定义域是，值域是R.
(2)正切函数y＝tan x的最小正周期是π，函数y＝Atan(ωx＋φ)(Aω≠0)的周期为T＝.
(3)正切函数在(k∈Z)上递增，不能写成闭区间．正切函数无单调减区间.
1．下列说法正确的是( )
A．正切函数的定义域和值域都是R
B．正切函数在其定义域内是单调增函数
C．函数y＝|tan x|与y＝tan x的周期都是π
D．函数y＝tan|x|的最小正周期是
C [y＝tan x的定义域为，所以A错；由正切函数图象可知B错；画出y＝tan x，y＝|tan x|和y＝tan|x|的图象可知C正确，D错误，因为y＝tan|x|不是周期函数．]
2．在下列函数中同时满足：①在上递增；②以2π为周期；③是奇函数的是( )
A．y＝tan x B．y＝cos x
C．y＝tan D．y＝－tan x
C [A，D的周期为π，B中函数在上递减，故选C.]
3．函数y＝|tan x|在上的单调减区间为________．
和 [如图，观察图象可知，y＝|tan x|在上的单调减区间为和.
]
4．求函数y＝tan的定义域、最小正周期、单调区间及其图象的对称中心．
[解] ①由－≠kπ＋，k∈Z，得x≠2kπ＋，k∈Z，
∴函数的定义域为.
②T＝＝2π，∴函数的最小正周期为2π.
③由kπ－＜－＜kπ＋，k∈Z，得2kπ－＜x＜2kπ＋，k∈Z，∴函数的单调递增区间为， k∈Z.
④由－＝，k∈Z，得x＝kπ＋，k∈Z，
∴函数图象的对称中心是，k∈Z.
课时分层作业(十一)
(建议用时：60分钟)
[基础达标练]
一、选择题
1．函数y＝|x|tan 2x是( )
A．奇函数 B．偶函数
C．非奇非偶函数 D．既是奇函数又是偶函数
A [易知2x≠kπ＋，即x≠＋，k∈Z，定义域关于原点对称．
又|－x|tan(－2x)＝－|x|tan 2x，
∴y＝|x|tan 2x是奇函数．]
2．下列各式中正确的是( )
A．tan 735°＞tan 800° B．tan 1＞－tan 2
C．tan＜tan D．tan＜tan
D [对于A，tan 735°＝tan 15°，
tan 800°＝tan 80°，tan 15°＜tan 80°，
所以tan 735°＜tan 800°；
对于B，－tan 2＝tan(π－2)，
而1＜π－2＜，所以tan 1＜－tan 2；
对于C，＜＜＜π，tan＜tan；
对于D，
tan＝tan＜tan.]
3．下列说法错误的是( )
A．函数y＝tan x的所有对称中心是(kπ，0)(k∈Z)
B．直线y＝a与正切函数y＝tan x图象相邻两交点之间的距离为π
C．y＝2tan x，x∈的值域为[0，＋∞)
D．y＝xtan x是偶函数
A [A错，对称中心为(k∈Z)；B对，同y＝tan x的周期为π，C对，x∈时，tan x≥0；D对，因为y＝x，y＝tan x均为奇函数．]
4．与函数y＝tan的图象不相交的一条直线是( )
A．x＝ B．x＝－
C．x＝ D．x＝
D [当x＝时，y＝tan＝tan ＝1；当x＝－时，y＝tan＝1；当x＝时，y＝tan ＝－1；当x＝时，y＝tan 不存在．]
5．函数f(x)＝tan ωx(ω>0)的图象上的相邻两支曲线截直线y＝1所得的线段长为，则ω的值是( )
A．1 B．2 C．4 D．8
C [由题意可得f(x)的周期为，则＝，
∴ω＝4.]
二、填空题
6．函数y＝的定义域为________．
[由条件可知2x≠kπ＋且x≠kπ＋(k∈Z)且tan x≠0，解得x≠(k∈Z)．]
7．f(x)＝asin x＋btan x＋1，满足f(5)＝7，则f(－5)＝________.
－5 [∵f(5)＝asin 5＋btan 5＋1＝7，
∴asin 5＋btan 5＝6，
∴f(－5)＝asin(－5)＋btan(－5)＋1
＝－(asin 5＋btan 5)＋1
＝－6＋1＝－5.]
8．函数y＝|tan x|，y＝tan x，y＝tan(－x)，y＝tan|x|在上的大致图象依次是________(填序号)．
①②④③ [∵|tan x|≥0，∴图象在x轴上方，∴y＝|tan x|对应①；∵tan|x|是偶函数，∴图象关于y轴对称，∴y＝tan|x|对应③；而y＝tan(－x)与y＝tan x关于y轴对称，∴y＝tan(－x)对应④，y＝tan x对应②，故四个图象依次是①②④③.]
三、解答题
9．已知－≤x≤，f(x)＝tan2x＋2tan x＋2，求f(x)的最值及相应的x值．
[解] ∵－≤x≤，
∴－≤tan x≤1，
f(x)＝tan2x＋2tan x＋2＝(tan x＋1)2＋1，
当tan x＝－1即x＝－时，f(x)有最小值1，当tan x＝1即x＝时，f(x)有最大值5.
10．已知函数f(x)＝3tan.
(1)求它的最小正周期和单调递减区间；
(2)试比较f(π)与f的大小．
[解] (1)因为f(x)＝3tan
＝－3tan，
所以T＝＝＝4π.
由kπ－＜－＜kπ＋(k∈Z)，
得4kπ－＜x＜4kπ＋(k∈Z)．
因为y＝3tan在(k∈Z)上单调递增，所以f(x)＝3tan在(k∈Z)上单调递减．
故函数的最小正周期为4π，单调递减区间为(k∈Z)．
(2)f(π)＝3tan＝3tan＝－3tan，
f＝3tan＝3tan＝－3tan，
因为＜，且y＝tan x在上单调递增，
所以tan＜tan，所以f(π)＞f.
[能力提升练]
1．已知函数y＝tan ωx在内是减函数，则( )
A．0＜ω≤1 B．－1≤ω＜0
C．ω≥1 D．ω≤－1
B [由已知可以知道ω＜0且≤－，解得－1≤ω＜0.]
2．在区间范围内，函数y＝tan x与函数y＝sin x图象交点的个数为( )
A．1 B．2 C．3 D．4
C [作出y＝tan x和y＝sin x在上的图象如图，由图可知交点个数为3个，特别注意在上没有交点，
∵时tan x＞sin x，
根据两者均为奇函数，
则在上也没有交点．]
3．y＝tan(2x＋θ)图象的一个对称中心为，若－＜θ＜，θ＝________．
－或 [函数y＝tan x图象的对称中心是，其中k∈Z，则令2x＋θ＝，k∈Z，其中x＝，即θ＝－.
又－＜θ＜，所以当k＝1时，θ＝－.
当k＝2时，θ＝，所以θ＝－或.]
4．若f(n)＝tan(n∈N*)，则f(1)＋f(2)＋…＋f(2 017)＝________．
[因为f(x)＝tanx的周期T＝＝3，
且f(1)＝tan＝，f(2)＝tan＝－，f(3)＝tan π＝0，
所以f(1)＋f(2)＋…＋f(2 017)＝×0＋tan＝.]
5．已知函数f(x)＝2tan(k∈N*)的最小正周期T满足1＜T＜，求正整数k的值，并写出f(x)的奇偶性、单调区间．
[解] 因为1＜T＜，
所以1＜＜，即＜k＜π.因为k∈N*，
所以k＝3，则f(x)＝2tan.
由3x－≠＋kπ，k∈Z得x≠＋，k∈Z，定义域不关于原点对称，
所以f(x)＝2tan是非奇非偶函数．由－＋kπ＜3x－＜＋kπ，k∈Z，
得－＋＜x＜＋，k∈Z.
所以f(x)＝2tan的单调增区间为，k∈Z.
