课件85张PPT。第一章 三角函数
1.5 函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象左右缩短伸长缩短伸长A A 作函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象 三角函数图象之间的变换 已知函数图象求解析式 三角函数图象与性质的综合应用 点击右图进入…Thank you for watching !1.5 函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象
学 习 目 标
核 心 素 养
1.理解参数A、ω、φ对函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象的影响，能够将y＝sin x的图象进行变换得到y＝Asin(ωx＋φ)的图象．(重、难点)
2.会用“五点法”画函数y＝Asin(ωx＋φ)的简图；能根据y＝Asin(ωx＋φ)的部分图象确定解析式．(重点)
3.求函数解析式时φ值的确定．(易混点)
1.通过观察参数A、ω、φ对函数y＝Asin(ωx＋φ)图象变化的影响，领会由简单到复杂、由特殊到一般的化归思想，提升学生直观想象素养.
2.通过对函数y＝Asin(ωx＋φ)图象和性质的研究，使学生体会数形结合思想的作用，提升数学抽象素养.
1．φ对y＝sin(x＋φ)，x∈R的图象的影响
2．ω(ω＞0)对y＝sin(ωx＋φ)的图象的影响
3．A(A＞0)对y＝Asin(ωx＋φ)的图象的影响
4．由函数y＝sin x的图象通过变换得到y＝Asin(ωx＋φ)的图象有两种主要途径：“先平移后伸缩”与“先伸缩后平移”．
①先平移后伸缩
y＝sin x的图象y＝sin(x＋φ)的图象y＝sin(ωx＋φ)的图象y＝Asin(ωx＋φ)的图象．
②先伸缩后平移
y＝sin x的图象y＝sin ωx的图象y＝sin(ωx＋φ)的图象y＝Asin(ωx＋φ)的图象．
思考：由函数y＝sin ωx的图象平移多少个单位得到y＝sin(ωx＋φ)个单位？为什么？
[提示] 平移个单位，而不是平移|φ|单位，原因是图象的变换是针对x而言，并非针对ωx而言．
5．函数y＝Asin(ωx＋φ)，A＞0，ω＞0中参数的物理意义
1．函数y＝sin 4x的图象可由函数y＝sin x的图象经过怎样的变换得到( )
A．所有点的横坐标变为原来的4倍
B．所有点的横坐标变为原来的
C．所有点的纵坐标变为原来的4倍
D．所有点的纵坐标变为原来的
B [y＝sin x图象上所有点的横坐标变为原来的后变为y＝sin 4x的图象．]
2．要得到函数y＝sin的图象，只需将函数y＝sin 4x的图象( )
A．向左平移个单位长度 B．向右平移个单位长度
C．向左平移个单位长度 D．向右平移个单位长度
B [y＝sin＝sin 4，故只需将y＝sin 4x图象向右平移个单位即可得到．]
3．函数y＝Asin(ωx＋φ)＋1(A＞0，ω＞0)的最大值为5，则A＝________．
4 [由已知得A＋1＝5，故A＝4.]
4．函数y＝3sin的频率为________，相位为________，初相为________．
x－ － [频率为＝＝，
相位为x－，初相为－.]
作函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象
【例1】 用“五点法”画函数y＝2sin在一个周期内的简图．
思路点拨：列表、描点、连线、成图是“五点法”作图的四个基本步骤，令3x＋取0，，π，，2π即可找到五点．
[解] 先画函数在一个周期内的图象．令X＝3x＋，则x＝，列表如下：
X
0
π
2π
x
－
y
0
2
0
－2
0
1．本例中把“一个周期内”改为“”，又如何作图？
[解] ∵x∈，∴3x＋∈，
列表如下：
3x＋
π
2π
x
0
y
1
2
0
－2
0
1
描点，连线
2．本例中，把“五点法”改为“图象变换法”，怎样画法？
[解] 法一：(先平移再伸缩)
y＝sin xy＝sin
y＝siny＝2sin.
法二：(先伸缩再平移)
y＝sin xy＝sin 3xy＝siny＝2sin.
1．确定函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象一般有两种方法：
(1)“五点法”；
(2)图象变换法．
2．用“五点法”作函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象，五个点应是使函数取得最大值、最小值以及曲线与x轴相交的点．
3．用“五点法”作函数y＝Asin(ωx＋φ)图象的步骤是：
第一步：列表：
ωx＋φ
0
π
π
2π
x
－
－
－
－
－
y
0
A
0
－A
0
第二步：在同一坐标系中描出各点．
第三步：用光滑曲线连接这些点，形成图象．
1．已知f(x)＝1＋sin，画出f(x)在上的图象．
[解] 列表：
x
－
－
－
2x－
－
－π
－
0
f(x)
2
1
1－
1
1＋
2
三角函数图象之间的变换
【例2】 (1)将函数y＝cos的图象向左平移个单位长度，再向下平移3个单位长度，则所得图象的解析式为____________．
(2)将y＝sin x的图象怎样变换可得到函数y＝2sin＋1的图象？
思路点拨：(1)依据左加右减；上加下减的规则写出解析式．
(2)法一：y＝sin x→纵坐标伸缩→横坐标伸缩和平移→向上平移．
法二：左右平移→横坐标伸缩→纵坐标伸缩→上下平移．
(1)y＝－cos 2x－3 [y＝cos的图象向左平移个单位长度，
得y＝cos＝cos(2x＋π)＝－cos 2x，
再向下平移3个单位长度得y＝－cos 2x－3的图象．]
(2)[解] 法一：(先伸缩法)①把y＝sin x的图象上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍，得到y＝2sin x的图象；②将所得图象上所有点的横坐标缩短到原来的倍，得y＝2sin 2x的图象；③将所得图象沿x轴向左平移个单位，得y＝2sin 2的图象；
④将所得图象沿y轴向上平移1个单位，
得y＝2sin＋1的图象．
法二：(先平移法)①将y＝sin x的图象沿x轴向左平移个单位，得y＝sin的图象；②将所得图象上所有点的横坐标缩短到原来的倍，得y＝sin的图象；③把所得图象上所有点的纵坐标伸长到原来2倍，得到y＝2sin的图象；④将所得图象沿y轴向上平移1个单位，得y＝2sin＋1的图象．
1．本例(2)中，若两个函数若互换，那么将函数y＝2sin＋1图象怎样变换可得到函数y＝sin x的图象？
[解] y＝2sin＋1y＝2siny＝siny＝siny＝sin x.
2．本例(2)中把“y＝sin x”改为“y＝cos x”，该怎样变换？
[解] y＝cos x＝sin，
y＝cos x＝siny＝sin
y＝sin
y＝2sin
y＝2sin＋1.
由y＝sin x的图象，通过变换可得到函数y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)的图象，其变化途径有两条：
(1)y＝sin xy＝sin(x＋φ)y＝sin(ωx＋φ)
y＝Asin(ωx＋φ)．
(2)y＝sin xy＝sin ωxy＝sin[ω(x＋)]＝sin(ωx＋φ)y＝Asin(ωx＋φ)．
提醒：两种途径的变换顺序不同，其中变换的量也有所不同：(1)是先相位变换后周期变换，平移|φ|个单位．(2)是先周期变换后相位变换，平移个单位，这是很易出错的地方，应特别注意．
2．(1)要得到y＝cos的图象，只要将y＝sin 2x的图象( )
A．向左平移个单位 B．向右平移个单位
C．向左平移个单位 D．向右平移个单位
(2)把函数y＝f(x)的图象上各点向右平移个单位，再把横坐标伸长到原来的2倍，再把纵坐标缩短到原来的倍，所得图象的解析式是y＝2sin，则f(x)的解析式是( )
A．f(x)＝3cos x B．f(x)＝3sin x
C．f(x)＝3cos x＋3 D．f(x)＝sin 3x
(1)A (2)A [(1)因为y＝cos
＝sin＝sin
＝sin 2，
所以将y＝sin 2x的图象向左平移个单位，
得到y＝cos的图象．
(2)y＝2siny＝3sin
y＝3siny＝3sin
＝3sin
＝3cos x．]
已知函数图象求解析式
【例3】 (1)已知函数f(x)＝Acos(ωx＋φ)＋B的部分图象如图所示，则函数f(x)的解析式为( )
A．y＝2cos＋4 B．y＝2cos＋4
C．y＝4cos＋2 D．y＝4cos＋2
(2)函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)中A＞0，ω＞0，|φ|＜，且图象如图所示，求其解析式．
思路点拨：由最大(小)值求A和B，由周期求ω，由特殊点坐标解方程求φ.
(1)A [由函数f(x)的最大值和最小值得
A＋B＝6，－A＋B＝2，所以A＝2，B＝4，
函数f(x)的周期为×4＝4π.又ω＞0，
所以ω＝，又因为点在函数f(x)的图象上，
所以6＝2cos＋4，所以cos＝1，
所以＋φ＝2kπ，k∈Z，所以φ＝2kπ－，k∈Z，
又|φ|＜，
所以φ＝－，所以f(x)＝2cos＋4.]
(2)[解] 法一：(五点作图原理法)由图象知，振幅A＝3，T＝－＝π，所以ω＝2，又由点，根据五点作图原理(可判为“五点法”中的第一点)－×2＋φ＝0得φ＝，
所以f(x)＝3sin.
法二：(方程法)由图象知，振幅A＝3，T＝－＝π，所以ω＝2，
又图象过点，
所以f＝3sin＝0，
所以sin＝0，－＋φ＝kπ(k∈Z)．又因为|φ|＜，所以k＝0，φ＝，所以f(x)＝3sin.
法三：(变换法)由图象知，振幅A＝3，T＝－＝π，所以ω＝2，且f(x)＝Asin(ωx＋φ)是由y＝3sin 2x向左平移个单位而得到的，解析式为f(x)＝3sin＝3sin.
确定函数y＝Asin(ωx＋φ)的解析式的关键是φ的确定，常用方法有：
(1)代入法：把图象上的一个已知点代入(此时A，ω已知)或代入图象与x轴的交点求解(此时要注意交点在上升区间上还是在下降区间上)．
(2)五点法：确定φ值时，往往以寻找“五点法”中的第一个零点作为突破口．“五点”的ωx＋φ的值具体如下：
“第一点”(即图象上升时与x轴的交点)为ωx＋φ＝0；
“第二点”(即图象的“峰点”)为ωx＋φ＝；
“第三点”(即图象下降时与x轴的交点)为ωx＋φ＝π；
“第四点”(即图象的“谷点”)为ωx＋φ＝；
“第五点”为ωx＋φ＝2π.
3.设函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)的部分图象如图所示，则A＋ω＋φ＝________．
3＋ [由图象可以看出A＝2，由T＝4＝2π，由＝2π得ω＝1，又2sin＝2且－＜φ＜得φ＝，所以A＋ω＋φ＝2＋1＋＝3＋.]
三角函数图象与性质的综合应用
[探究问题]
1．如何求函数y＝Asin(ωx＋φ)与y＝Acos(ωx＋φ)的对称轴方程？
提示：与正弦曲线、余弦曲线一样，函数y＝Asin(ωx＋φ)和y＝Acos(ωx＋φ)的图象的对称轴通过函数图象的最值点且垂直于x轴．
函数y＝Asin(ωx＋φ)对称轴方程的求法：令sin(ωx＋φ)＝±1，得ωx＋φ＝kπ＋(k∈Z)，则x＝(k∈Z)，所以函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象的对称轴方程为x＝(k∈Z)；
函数y＝Acos(ωx＋φ)对称轴方程的求法：令cos(ωx＋φ)＝±1，得ωx＋φ＝kπ(k∈Z)，则x＝(k∈Z)，所以函数y＝Acos(ωx＋φ)的图象的对称轴方程为x＝(k∈Z)．
2．如何求函数y＝Asin(ωx＋φ)与y＝Acos(ωx＋φ)的对称中心？
提示：与正弦曲线、余弦曲线一样，函数y＝Asin(ωx＋φ)和y＝Acos(ωx＋φ)图象的对称中心即函数图象与x轴的交点．
函数y＝Asin(ωx＋φ)对称中心的求法：令sin(ωx＋φ)＝0，得ωx＋φ＝kπ(k∈Z)，则x＝(k∈Z)，所以函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象关于点(k∈Z)成中心对称；
函数y＝Acos(ωx＋φ)对称中心的求法：令cos(ωx＋φ)＝0，得ωx＋φ＝kπ＋(k∈Z)，则x＝(k∈Z)，所以函数y＝Acos(ωx＋φ)的图象关于点(k∈Z)成中心对称．
【例4】 (1)已知函数f(x)＝sin(ω＞0)，若f＝f，且f(x)在区间上有最小值，无最大值，则ω＝( )
A． B． C． D．
(2)已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ)(ω＞0，0≤φ＜π)是R上的偶函数，其图象关于点M对称，且在区间上是单调函数，求φ和ω的值．
思路点拨：(1)先由题目条件分析函数f(x)图象的对称性，何时取到最小值，再列方程求ω的值．
(2)先由奇偶性求φ，再由图象的对称性和单调性求ω.
(1)B [因为f＝f，所以直线x＝＝是函数f(x)图象的一条对称轴．
又因为f(x)在区间上有最小值，无最大值，
所以当x＝时，f(x)取得最小值．
所以ω＋＝2kπ－，k∈Z，解得ω＝8k－(k∈Z)．
又因为T＝≥－＝，所以ω≤12.又因为ω＞0，
所以k＝1，即ω＝8－＝.]
(2)[解] 由f(x)是偶函数，得f(－x)＝f(x)，即函数f(x)的图象关于y轴对称，
∴f(x)在x＝0时取得最值，即sin φ＝1或－1.
依题设0≤φ＜π，∴解得φ＝.
由f(x)的图象关于点M对称，可知
sin＝0，即ω＋＝kπ，解得ω＝－，k∈Z.
又f(x)在上是单调函数，
所以T≥π，即≥π.
∴ω≤2，又ω＞0，
∴k＝1时，ω＝；k＝2时，ω＝2.
故φ＝，ω＝2或.
1．将本例(2)中“偶”改为“奇”，“其图象关于点M对称，且在区间上是单调函数”改为“在区间上为增函数”，试求ω的最大值．
[解] 因为f(x)是奇函数，所以f(0)＝sin φ＝0，又0≤φ＜π，所以φ＝0.
因为f(x)＝sin ωx在上是增函数．
所以?，于是，解得0＜ω≤，
所以ω的最大值为.
2．本例(2)中增加条件“ω＞1”，求函数y＝f2(x)＋sin 2x，x∈的最大值．
[解] 由条件知f(x)＝sin＝cos 2x.
由x∈得2x∈，sin 2x∈，
y＝f2(x)＋sin 2x＝cos22x＋sin 2x＝1－sin22x＋sin 2x＝－＋.
所以当sin 2x＝时，ymax＝.
1．正弦、余弦型函数奇偶性的判断方法
正弦型函数y＝Asin(ωx＋φ)和余弦型函数y＝Acos(ωx＋φ)不一定具备奇偶性．对于函数y＝Asin(ωx＋φ)，当φ＝kπ(k∈Z)时为奇函数，当φ＝kπ±(k∈Z)时为偶函数；对于函数y＝Acos(ωx＋φ)，当φ＝kπ(k∈Z)时为偶函数，当φ＝kπ±(k∈Z)时为奇函数．
2．与正弦、余弦函数有关的单调区间的求解技巧
(1)结合正弦、余弦函数的图象，熟记它们的单调区间．
(2)确定函数y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)单调区间的方法：采用“换元”法整体代换，将ωx＋φ看作一个整体，可令“z＝ωx＋φ”，即通过求y＝Asin z的单调区间而求出函数的单调区间．若ω＜0，则可利用诱导公式先将x的系数转变为正数，再求单调区间．
1．本节课的重点是五点法作图、图象变换及由三角函数的图象确定解析式，难点是图象变换及由三角函数的图象确定解析式．
2．函数图象的画法有两种：一是五点法；一是图象变换法．
3．A，ω，φ对函数图象的影响．
(1)φ的不同取值，决定着y＝Asin(ωx＋φ)的起始位置(x＝0)；
(2)ω的取值，决定了函数图象的横坐标的取值情况，进而决定了函数的周期；
(3)A的取值情况，决定了函数图象的最高点和最低点，即函数的值域．
1．下列判断正确的是( )
A．将函数y＝sin的图象向右平移个单位可得到函数y＝sin x的图象
B．将函数y＝sin 3x的图象上所有点的横坐标变为原来的3倍即可得到函数y＝sin x的图象
C．将函数y＝sin图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，得到函数y＝sin的图象
D．函数y＝sin的图象是由函数y＝sin 4x的图象向右平移个单位得到的
B [A错，应该向左平移个单位；C错，横坐标伸长到原来的2倍，得到y＝sin；D错，应该向右平移个单位，只有B正确．]
2．函数y＝sin的周期、振幅、初相分别是( )
A．3π，， B．6π，，
C．3π，3，－ D．6π，3，
B [y＝sin的周期T＝＝6π，振幅为，初相为.]
3．由y＝3sin x的图象变换到y＝3sin的图象主要有两个过程：先平移后伸缩和先伸缩后平移，前者需向左平移________个单位，后者需向左平移________个单位．
[y＝3sin xy＝3sin
y＝3sin，
y＝3sin xy＝3sin
y＝3sin＝3sin.]
4．已知函数f(x)＝3sin＋3(x∈R)，用五点法画出它在一个周期内的闭区间上的图象．
[解] (1)列表：
x
－
＋
0
π
2π
f(x)
3
6
3
0
3
(2)描点画图：
课时分层作业(十二)
(建议用时：60分钟)
[基础达标练]
一、选择题
1．已知简谐运动f(x)＝2sin的图象经过点(0，1)，则该简谐运动的最小正周期T和初相φ分别为( )
A．T＝6，φ＝ B．T＝6，φ＝
C．T＝6π，φ＝ D．T＝6π，φ＝
A [周期T＝＝6，把(0，1)代入解析式得2sin φ＝1，sin φ＝，
∴φ＝2kπ＋(k∈Z)，∴初相为，选A.]
2．同时具有性质“(1)最小正周期是π；(2)图象关于直线x＝对称；(3)在上单调递增”的一个函数是( )
A．y＝sin B．y＝cos
C．y＝sin D．y＝cos
C [由(1)知T＝π＝，ω＝2，排除A.由(2)(3)知x＝时，f(x)取最大值，验证知只有C符合要求．]
3．要得到函数f(x)＝cos的图象，只需将函数g(x)＝sin 2x的图象( )
A．向左平移个单位 B．向右平移个单位
C．向左平移个单位 D．向右平移个单位
A [g(x)＝sin 2x＝cos，所以向左平移＝个单位 ，故选A.]
4．已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)＋B的一部分图象如图所示，若A＞0，ω＞0，|φ|＜，则( )
A．B＝4 B．φ＝ C．ω＝1 D．A＝4
B [由函数图象可知f(x)min＝0，f(x)max＝4.
所以A＝＝2，B＝＝2.
由周期T＝＝4知ω＝2.
由f＝4得2sin＋2＝4.
sin＝1，又|φ|＜，故φ＝.]
5．将函数y＝sin的图象向右平移个单位长度，所得图象对应的函数( )
A．在区间上单调递增
B．在区间上单调递减
C．在区间上单调递增
D．在区间上单调递减
A [将y＝sin的图象向右平移个单位长度之后的解析式为：
y＝sin＝sin 2x.
则函数的单调递增区间满足：2kπ－≤2x≤2kπ＋(k∈Z)，
即kπ－≤x≤kπ＋(k∈Z)，
令k＝1可得一个单调递增区间为：.
函数的单调递减区间满足：2kπ＋≤2x≤2kπ＋(k∈Z)，
即kπ＋≤x≤kπ＋(k∈Z)，
令k＝1可得一个单调递减区间为：.故选A.]
二、填空题
6．函数y＝6sin的初相是________，图象最高点的坐标是________．
－ (k∈Z) [初相是－，当x－＝2kπ＋，k∈Z时，ymax＝6，x＝＋8kπ，
所以图象最高点的坐标是(k∈Z)．]
7．函数y＝3cos的图象关于点中心对称，那么|φ|的最小值为________．
[由题意可得：当x＝时，2x＋φ＝π＋φ＝kπ＋?φ＝kπ－，取k＝1，可得|φ|的最小值为.]
8．已知函数y＝sin(2x＋φ)的图象关于直线x＝对称，则φ的值是________．
－ [由题意可得sin＝±1，所以π＋φ＝＋kπ，φ＝－＋kπ(k∈Z)，因为－＜φ＜，所以k＝0，φ＝－.]
三、解答题
9．已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)的部分图象如图所示．
(1)求函数f(x)的解析式；
(2)如何由函数y＝sin x的图象通过相应的平移与伸缩变换得到函数f(x)的图象，写出变换过程．
[解] (1)由图象知A＝1.f(x)的最小正周期T＝4×＝π，故ω＝＝2，
将点代入f(x)的解析式得sin＝1，
又|φ|＜，∴φ＝.故函数f(x)的解析式为f(x)＝sin，
(2)变换过程如下：
y＝sin x图象上的y＝sin 2x的图象，再把y＝sin 2x的图象y＝sin的图象．
10．已知函数f(x)＝2sin，x∈R.
(1)写出函数f(x)的对称轴方程、对称中心的坐标及单调区间；
(2)求函数f(x)在区间上的最大值和最小值．
[解] (1)由2x－＝kπ＋，k∈Z，解得f(x)的对称轴方程是x＝＋π，k∈Z；由2x－＝kπ，k∈Z解得对称中心是，k∈Z；由2kπ－≤2x－≤2kπ＋，k∈Z，解得单调递增区间是，k∈Z；由2kπ＋≤2x－≤2kπ＋π，k∈Z，解得单调递减区间是，k∈Z.
(2)∵0≤x≤，∴－≤2x－≤π，
∴当2x－＝－，即x＝0时，f(x)取最小值为－1；
当2x－＝，即x＝时，f(x)取最大值为2.
[能力提升练]
1．要得到函数y＝cos 2x的图象，只需将函数y＝sin 2x的图象( )
A．向右平移个单位
B．向右平移个单位
C．向左平移个单位
D．向左平移个单位
D [将函数y＝sin 2x的图象向左平移个单位，可得y＝sin＝cos 2x的图象，故选D.]
2．函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)的一部分图象如图所示，将函数上的每一个点的纵坐标不变，横坐标伸长为原来的2倍，得到的图象表示的函数可以为( )
A．f(x)＝sin B．f(x)＝sin
C．f(x)＝sin D．f(x)＝sin
A [由图象可知A＝1，周期T＝π，所以ω＝2，又过点，所以φ＝，即f(x)＝sin，每一个点的纵坐标不变，横坐标伸长为原来的2倍，得到f(x)＝sin，故选A.]
3．函数y＝sin 2x的图象向右平移φ个单位长度(φ＞0)得到的图象恰好关于x＝对称，则φ的最小值是________．
[函数y＝sin 2x的图象向右平移后得到y＝sin[2(x－φ)]的图象，而x＝是对称轴，即2＝kπ＋(k∈Z)，所以φ＝－(k∈Z)．又φ＞0，当k＝－1时，φ取得最小值π.]
4．函数f(x)＝3sin的图象为C，则以下结论中正确的是________．(写出所有正确结论的序号)
①图象C关于直线x＝对称；
②图象C关于点对称；
③函数f(x)在区间内是增函数；
④由y＝3sin 2x的图象向右平移个单位长度可以得到图象C.
②③ [f＝3sin＝3sin＝－.
f＝3sin＝0，
故①错，②正确．
令－＋2kπ≤2x－≤＋2kπ，k∈Z，
解得－＋kπ≤x≤π＋kπ，k∈Z，故③正确．
函数y＝3sin 2x的图象向右平移个单位长度，得到函数y＝3sin 2＝3sin的图象，故④错．]
5．已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)＋B(A＞0，ω＞0，|φ|＜)的一系列对应值如下表：
x
－
y
－1
1
3
1
－1
1
3
(1)根据表格提供的数据求函数f(x)的一个解析式；
(2)根据(1)的结果，若函数y＝f(kx)(k＞0)的最小正周期为，当x∈时，方程f(kx)＝m恰有两个不同的实数解，求实数m的取值范围．
[解] (1)设f(x)的最小正周期为T，则T＝－＝2π，由T＝，得ω＝1，又解得令ω·＋φ＝，即＋φ＝，解得φ＝－，∴f(x)＝2sin＋1.(答案不唯一)
(2)∵函数y＝f(kx)＝2sin＋1的最小正周期为，且k＞0，∴k＝3.令t＝3x－，∵x∈，
∴t∈，如图所示，
当sin t＝s在上有两个不同的实数解时，s∈，∴当x∈时，由方程f(kx)＝m恰有两个不同的实数解得m∈[＋1，3)，即实数m的取值范围是[＋1，3)．
