课件48张PPT。第一章 三角函数
1.6 三角函数模型的简单应用周期三角函数图象的应用 三角函数模型在物理学中的应用 三角函数模型的实际应用 点击右图进入…Thank you for watching !1.6 三角函数模型的简单应用
学 习 目 标
核 心 素 养
1.用三角函数模型y＝Asin(ωx＋φ)＋B解决一些具有周期变化规律的实际问题．(重点)
2.将某些实际问题抽象为三角函数模型．(难点)
通过把实际问题抽象出三角函数模型，提升数学抽象、数学运算和数学建模的核心素养.
1．三角函数可以作为描述现实世界中周期现象的一种数学模型．其基本模型可化为y＝Asin(ωx＋φ)＋B的形式．
2．解三角函数应用题的基本步骤：
(1)审清题意；
(2)搜集整理数据，建立数学模型；
(3)讨论变量关系，求解数学模型；
(4)检验，作出结论．
1．电流I(A)随时间t(s)变化的关系是I＝2sin 100πt，t∈(0，＋∞)，则电流I变化的周期是( )
A． B．100 C． D．50
C [T＝＝＝.]
2.如图所示，一个单摆以OA为始边，OB为终边的角θ(－π＜θ＜π)与时间t(s)满足函数关系式θ＝sin，则当t＝0时，角θ的大小及单摆频率是( )
A．， B．2， C.，π D．2，π
A [t＝0时，θ＝sin＝；又T＝＝π，所以单摆频率为.]
3．如图为某简谐运动的图象，则这个简谐运动需要________s往返一次．
0.8 [观察图象可知此简谐运动的周期T＝0.8，所以这个简谐运动需要0.8 s往返一次．]
4．如图所示的图象显示的是相对于平均海平面的某海湾的水面高度y(m)在某天24 h内的变化情况，则水面高度y关于从夜间0时开始的时间x的函数关系式为________________．
y＝－6sinx [设y与x的函数关系式为y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)，则A＝6，
T＝＝12，ω＝.
当x＝9时，ymax＝6.故
×9＋φ＝＋2kπ，k∈Z.
取k＝1得φ＝π，即y＝－6sinx.]
三角函数图象的应用
【例1】 (1)函数y＝x＋sin|x|，x∈[－π，π]的大致图象是( )
A B C D
(2)作出函数y＝|cos x|的图象，判断其奇偶性、周期性并写出单调区间．
思路点拨：(1)根据函数的奇偶性和图象对称性的关系判断．
(2)依据y＝|cos x|＝画图，并判断此函数的性质．
(1)C [y＝x＋sin|x|是非奇非偶函数，
图象既不关于y轴对称，也不关于原点对称，故选C.]
(2)[解] y＝|cos x|图象如图所示．
由图象可知：T＝π；y＝|cos x|是偶函数；单调递增区间为，k∈Z，
单调递减区间为，k∈Z.
(1)一般方法是根据图象所反映出的函数性质来解决，如函数的奇偶性、周期性、对称性、单调性、值域，此外零点也可以作为判断的依据．
(2)一些函数图象可以通过基本三角函数图象翻折得到．例如：①由函数y＝f(x)的图象要得到y＝|f(x)|的图象，只需将y＝f(x)的图象在x轴下方的部分翻折到x轴上方，x轴上方的图象保持不动，即“上不动，下翻上”．②由函数y＝f(x)的图象要得到y＝f(|x|)的图象，应保留y＝f(x)位于y轴右侧的图象，去掉y轴左侧的图象，再由y轴右侧的图象翻折得到y轴左侧的图象，即“右不动，右翻左”．
1．函数y＝ln cos x的大致图象是( )
A [函数为偶函数，排除B，D，又∵x∈时，cos x≤1，这时ln cos x≤0，故选A.]
三角函数模型在物理学中的应用
【例2】 已知弹簧上挂着的小球做上下振动时，小球离开平衡位置的位移s(cm)随时间t(s)的变化规律为s＝4sin，t∈[0，＋∞)．
(1)用“五点法”作出这个函数的简图；
(2)小球在开始振动(t＝0)时的位移是多少？
(3)小球上升到最高点和下降到最低点时的位移分别是多少？
(4)经过多长时间小球往复振动一次？
思路点拨：确定函数y＝Asin(ωx＋φ)中的参数A，ω，φ的物理意义是解题关键．
[解] (1)列表如下：
t
－
2t＋
0
π
2π
sin
0
1
0
－1
0
s
0
4
0
－4
0
描点、连线，图象如图所示．
(2)将t＝0代入s＝4sin，得s＝4sin ＝2，所以小球开始振动时的位移是2 cm.
(3)小球上升到最高点和下降到最低点时的位移分别是4 cm和－4 cm.
(4)因为振动的周期是π，所以小球往复振动一次所用的时间是π s.
处理物理学问题的策略
(1)常涉及的物理学问题有单摆、光波、电流、机械波等，其共同的特点是具有周期性．
(2)明确物理概念的意义，此类问题往往涉及诸如频率、振幅等概念，因此要熟知其意义并与对应的三角函数知识结合解题．
2．单摆从某点开始来回摆动，离开平衡位置的距离s(单位：cm)和时间t(单位：s)的函数关系式为s＝6sin.
(1)当单摆开始摆动(t＝0)时，离开平衡位置的距离是多少？
(2)当单摆摆动到最右边时，离开平衡位置的距离是多少？
(3)单摆来回摆动一次需多长时间？
[解] (1)由s＝6sin得
t＝0时，s＝6sin＝3(cm)，
所以单摆开始摆动时，离开平衡位置的距离是3 cm；
(2)由解析式知，振幅为6，
∴单摆摆动到最右边时，离开平衡位置的距离是6 cm；
(3)T＝＝＝1，即单摆来回摆动一次需1 s.
三角函数模型的实际应用
[探究问题]
在处理曲线拟合和预测的问题时，通常需要几个步骤？
提示：(1)根据原始数据绘出散点图．
(2)通过考察散点图，画出与其“最贴近”的直线或曲线，即拟合直线或拟合曲线．
(3)根据所学函数知识，求出拟合直线或拟合曲线的函数关系式．
(4)利用函数关系式，根据条件对所给问题进行预测和控制，以便为决策和管理提供依据．
【例3】 已知某海滨浴场的海浪高度y(m)是时间t(h)的函数，其中0≤t≤24，记y＝f(t)，下表是某日各时的浪高数据：
t
0
3
6
9
12
15
18
21
24
y
1.5
1.0
0.5
1.0
1.5
1
0.5
0.99
1.5
经长期观测，y＝f(t)的图象可近似地看成是函数y＝Acos ωt＋b的图象．
(1)根据以上数据，求其最小正周期，振幅及函数解析式；
(2)根据规定，当海浪高度大于1米时才对冲浪爱好者开放，请依据(1)的结论，判断一天内的8：00到20：00之间，有多少时间可供冲浪者进行活动？
思路点拨：(1)根据y的最大值和最小值求A，b，定周期求ω.
(2)解不等式y＞1，确定有多少时间可供冲浪者活动．
[解] (1)由表中数据可知，T＝12，∴ω＝.又t＝0时，y＝1.5，∴A＋b＝1.5；t＝3时，y＝1.0，得b＝1.0，所以振幅为，函数解析式为y＝cost＋1(0≤t≤24)．
(2)∵y＞1时，才对冲浪爱好者开放，∴y＝cost＋1＞1，cost＞0，2kπ－＜t＜2kπ＋，即12k－3＜t＜12k＋3(k∈Z)．又0≤t≤24，所以0≤t＜3或9＜t＜15或21＜t≤24，所以在规定时间内只有6个小时冲浪爱好者可以进行活动，即9＜t＜15.
1．若将本例(2)中“大于1 m”改为“大于1.25 m”，结果又如何？
[解] 由y＝cost＋1＞1.25得cost＞，
2kπ－＜t＜2kπ＋，k∈Z，即12k－2＜t＜12k＋2，k∈Z.
又0≤t≤24，所以0≤t＜2或10＜t＜14或22＜t≤24，
所以在规定时间内只有4个小时冲浪爱好者可以进行活动，
即10＜t＜14.
2．若本例中海滨浴场某区域的水深y(m)与时间t(h)的数据如下表：
t(h)
0
3
6
9
12
15
18
21
24
y(m)
10.0
13.0
9.9
7.0
10.0
13.0
10.1
7.0
10.0
用y＝Asin ωt＋b刻画水深与时间的对应关系，试求此函数解析式．
[解] 函数y＝Asin ωt＋b在一个周期内由最大变到最小需9－3＝6(h)，此为半个周期，∴函数的最小正周期为12 h，因此＝12，ω＝.
又∵当t＝0时，y＝10；当t＝3时，ymax＝13，
∴b＝10，A＝13－10＝3，
∴所求函数的解析式为y＝3sin t＋10(0≤t≤24)．
解三角函数应用问题的基本步骤
提醒：关注实际意义求准定义域．
1．三角函数模型是研究周期现象最重要的数学模型，三角函数模型在研究物理、生物、自然界中的周期现象(运动)有着广泛的应用．
2．三角函数模型在实际应用中体现的2个方面
(1)已知函数模型，利用三角函数的有关性质解决问题，其关键是准确理解自变量的意义及自变量与函数之间的对应法则；
(2)把实际问题抽象转化成数学问题，建立三角函数模型，再利用三角函数的有关知识解决问题，其关键是建模.
1．与图中曲线对应的函数解析式是( )
A．y＝|sin x| B．y＝sin |x|
C．y＝－sin |x| D．y＝－|sin x|
C [注意题图中的函数值的正负，因此可排除选项A，D.当x∈(0，π)时，sin |x|>0，而图中显然是小于零，因此排除选项B，故选C.]
2．某人的血压满足函数式f(t)＝24sin 160πt＋110，其中f(t)为血压，t为时间，则此人每分钟心跳的次数为( )
A．60 B．70 C．80 D．90
C [这里ω＝160π，则T＝＝，所以此人每分钟心跳的次数为80次．]
3．一根长l cm的线，一端固定，另一端悬挂一个小球，小球摆动时离开平衡位置的位移s(cm)与时间t(s)的函数关系式为s＝3cos，其中g是重力加速度，当小球摆动的周期是1 s时，线长l＝________cm.
[由已知得＝1，所以＝2π，＝4π2，l＝.]
4．如图，某动物种群数量1月1日低至700，7月1日高至900，其总量在此两值之间依正弦型曲线变化．
(1)求出动物种群数量y关于时间t的函数表达式；(其中t以年初以来的月为计量单位)
(2)估计当年3月1日动物种群数量．
[解] (1)设动物种群数量y关于t的解析式为y＝Asin(ωt＋φ)＋b(A＞0，ω＞0)，
则
解得A＝100，b＝800.
又周期T＝2×(6－0)＝12，
∴ω＝＝，
∴y＝100sin＋800(t≥0)．
又当t＝6时，y＝900，
∴900＝100sin＋800，
∴sin(π＋φ)＝1，
∴sin φ＝－1，
∴取φ＝－，
∴y＝100sin＋800.
(2)当t＝2时，
y＝100sin＋800＝750，
即当年3月1日动物种群数量约是750.
课时分层作业(十三)
(建议用时：45分钟)
[基础达标练]
一、选择题
1．如图，单摆从某点开始来回摆动，离开平衡位置O的距离s(cm)和时间t(s)的函数关系式为s＝6sin，那么单摆摆动一个周期所需的时间为( )
A．2π s B．π s C．0.5 s D．1 s
D [依题意是求函数s＝6sin的周期，T＝＝1，故选D.]
2．已知函数y＝sin ax＋b(a＞0)的图象如图所示，则函数y＝loga(x＋b)的图象可能是( )
A B C D
C [由图象可知0＜b＜1，＞2π，即0＜a＜1，对照选择应选C.]
3.如图，为一半径为3 m的水轮，水轮圆心O距离水面2 m，已知水轮自点A开始1 min旋转4圈，水轮上的点P到水面距离y(m)与时间x(s)满足函数关系y＝Asin(ωx＋φ)＋2，则有( )
A．ω＝，A＝3 B．ω＝，A＝3
C．ω＝，A＝5 D．ω＝，A＝5
A [由题目可知最大值为5，∴5＝A×1＋2?A＝3.
T＝15，则ω＝.故选A.]
4．据市场调查，某种商品一年内每件出厂价在7千元的基础上，按月呈f(x)＝Asin(ωx＋φ)＋b的模型波动(x为月份)，已知3月份达到最高价9千元，7月价价格最低为5千元，根据以上条件可确定f(x)的解析式为( )
A．f(x)＝2sin＋7(1≤x≤12，x∈N*)
B．f(x)＝9sin(1≤x≤12，x∈N*)
C．f(x)＝2sinx＋7(1≤x≤12，x∈N*)
D．f(x)＝2sin＋7(1≤x≤12，x∈N*)
A [根据题意知A＝9－7＝2，2(7－3)＝得ω＝，且×3＋φ＝得φ＝－，故选A.]
5．动点A(x，y)在圆x2＋y2＝1上绕坐标原点沿逆时针方向匀速旋转，12 s旋转一周．已知时间t＝0时，点A的坐标是，则当0≤t≤12时，动点A的纵坐标y关于t(单位：s)的函数的单调递增区间是( )
A．[0，1] B．[1，7]
C．[7，12] D．[0，1]和[7，12]
D [由已知可得该函数的最小正周期为T＝12，
则ω＝＝.
又当t＝0时，A的坐标为，
∴此函数为y＝sin，t∈[0，12]．
可解得此函数的单调递增区间是[0，1]和[7，12]．]
二、填空题
6．某城市一年中12个月的平均气温与月份的关系可近似地用三角函数y＝a＋Acos(x＝1，2，3，…，12)来表示，已知6月份的月平均气温最高，为28 ℃，12月份的月平均气温最低，为18 ℃，则10月份的平均气温值为________℃.
20.5 [由题意可知A＝＝5，a＝＝23.从而y＝5cos＋23.故10月份的平均气温值为y＝5cos＋23＝20.5.]
7.如图是一弹簧振子做简谐振动的图象，横轴表示振动的时间，纵轴表示振动的位移，则这个振子振动的函数解析式是________．
y＝2sin [由题图可设y＝Asin(ωt＋φ)，则A＝2，
又T＝2(0.5－0.1)＝0.8，
所以ω＝＝π，
所以y＝2sin，
将点(0.1，2)代入y＝2sin中，
得sin＝1，
所以φ＋＝2kπ＋，k∈Z，
即φ＝2kπ＋，k∈Z，
令k＝0，得φ＝，
所以y＝2sin.]
8．一种波的波形为函数y＝－sinx的图象，若其在区间[0，t]上至少有2个波峰(图象的最高点)，则正整数t的最小值是________．
7 [函数y＝－sinx的周期T＝4，且x＝3时y＝1取得最大值，因此t≥7.所以正整数t的最小值是7.]
三、解答题
9．心脏跳动时，血压在增加或减少．血压的最大值、最小值分别称为收缩压和舒张压，血压计上的读数就是收缩压和舒张压，读数120/80 mmHg为标准值．设某人的血压满足函数式p(t)＝115＋25sin 160πt，其中p(t)为血压(mmHg)，t为时间(min)，试回答下列问题：
(1)求函数p(t)的周期；
(2)求此人每分钟心跳的次数；
(3)画出函数p(t)的草图；
(4)求出此人的血压在血压计上的读数．
[解] (1)由于ω＝160π，代入周期公式T＝，可得T＝＝(min)，所以函数p(t)的周期为 min.
(2)每分钟心跳的次数即为函数的频率f＝＝80(次)．
(3)列表：
t
0
p(t)
115
140
115
90
115
描点、连线并向左右扩展得到函数p(t)的简图如图所示：
(4)由图可知此人的收缩压为140 mmHg，舒张压为90 mmHg.
[能力提升练]
1．车流量被定义为单位时间内通过十字路口的车辆数，单位为辆/分，上班高峰期某十字路口的车流量由函数F(t)＝50＋4sin(0≤t≤20)给出，F(t)的单位是辆/分，t的单位是分，则下列哪个时间段内车流量是增加的( )
A．[0，5] B．[5，10] C．[10，15] D．[15，20]
C [当10≤t≤15时，有π<5≤≤<π，此时F(t)＝50＋4sin是增函数，即车流量在增加．故应选C.]
2．国际油价在某一时间内呈现正弦波动规律：P＝Asin＋60(单位：美元，t/天，A＞0，ω＞0)，现采集到下列信息：最高油价80美元，当t＝150(天)时达到最低油价，则ω的最小值为________．
[因为Asin＋60＝80，
sin≤1，
所以A＝20，当t＝150(天)时达到最低油价，
即sin＝－1，
此时150ωπ＋＝2kπ－，k∈Z，
因为ω＞0，所以当k＝1时，ω取最小值，
所以150ωπ＋＝π，解得ω＝.]
