课件60张PPT。第三章 不等式3.3.2 简单的线性规划问题
第1课时 简单的线性规划问题不等式组线性约束条件可行解最大或最小值线性约束互相平行最大最小最小最大求线性目标函数的最值问题 非线性目标函数的最优解问题 已知目标函数的最值求参数 点击右图进入…Thank you for watching !课件49张PPT。第三章 不等式3.3.2 简单的线性规划问题
第2课时 线性规划的实际应用线性规划的实际应用问题 线性规划中的最优整数解问题 点击右图进入…Thank you for watching !3.3.2 简单的线性规划问题
第1课时 简单的线性规划问题
学 习 目 标
核 心 素 养
1.了解线性规划的意义，以及约束条件、目标函数、可行解、可行域，最优解等基本概念(重点).
2.理解目标函数的最大、小值与其对应直线的截距的关系(易混点)．
通过简单线性规划问题的学习，培养直观想象素养.
1．线性规划中的基本概念
名称
意义
约束条件
由变量x，y组成的不等式组
线性约束条件
由x，y的一次不等式(或方程)组成的不等式组
目标函数
欲求最大值或最小值所涉及的变量x，y的函数解析式
线性目标函数
关于x，y的一次解析式
可行解
满足线性约束条件的解(x，y)
可行域
所有可行解组成的集合
最优解
使目标函数取得最大或最小值的可行解
线性规划问题
在线性约束条件下求线性目标函数的最大值或最小值问题
思考：在线性约束条件下，最优解唯一吗？
[提示] 不一定，可能只有一个，可能有多个，也可能有无数个．
2．线性目标函数的最值
线性目标函数z＝ax＋by(b≠0)对应的斜截式直线方程是y＝－x＋，它表示斜率为－，在y轴上的截距是的一条直线，当z变化时，方程表示一组互相平行的直线．
当b>0，截距最大时，z取得最大值，截距最小时，z取得最小值；
当b<0，截距最大时，z取得最小值，截距最小时，z取得最大值．
思考：若将目标函数z＝x＋y看成直线方程时，z具有怎样的几何意义？
[提示] 把目标函数整理可得y＝－x＋z，z为直线在y轴上的截距．
1．若则z＝x－y的最大值为________．
1 [根据题意作出不等式组所表示的可行域如图阴影部分所示．
令z＝0，作直线l：y－x＝0.当直线l向下平移时，所对应的z＝x－y的函数值随之增大，当直线l经过可行域的顶点M时，z＝x－y取得最大值．顶点M是直线x＋y＝1与直线y＝0的交点，解方程组得顶点M的坐标为(1，0)，代入z＝x－y，得zmax＝1.]
2．已知x，y满足且z＝2x＋4y的最小值为－6，则常数k＝________．
0 [当直线z＝2x＋4y经过两直线x＝3与x＋y＋k＝0的交点(3，－3－k)时，z最小，所以－6＝2×3＋4(－3－k)，解得k＝0.]
3．已知点P(x，y)的坐标满足条件点O为坐标原点，那么PO的最小值等于________，最大值等于________．
[如图所示，线性区域为图中阴影部分，PO指线性区域内的点到原点的距离，所以最短为＝，最长为＝.]
求线性目标函数的最值问题
【例1】 (1)(2018·全国卷Ⅲ)若变量x，y满足约束条件则z＝x＋y的最大值是________．
(2)若x，y满足约束条件则z＝x－2y的最小值为________．
(1)3 (2)－5 [(1)法一：作出不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示，画出直线y＝－3x，平移该直线，由图可知当平移后的直线经过直线x＝2与直线x－2y＋4＝0的交点(2，3)时，z＝x＋y取得最大值，即zmax＝2＋×3＝3.
法二：易知z＝x＋y在可行域的顶点处取得最大值，由解得代入z＝x＋y，可得z＝－；由解得代入z＝x＋y，可得z＝－；由解得代入z＝x＋y，可得z＝3.比较可知，z的最大值为3.
(2)法一：(通性通法)作出可行域，如图中阴影部分所示，由z＝x－2y得y＝x－z，作直线y＝x并平移，
观察可知，当直线经过点A(3，4)时，zmin＝3－2×4＝－5.
法二：(光速解法)因为可行域为封闭区域，所以线性目标函数的最值只可能在边界点处取得，易求得边界点分别为(3，4)，(1，2)，(3，0)，依次代入目标函数可求得zmin＝－5.]
解线性规划问题的一般步骤
(1)画：在直角坐标平面上画出可行域和直线ax＋by＝0(目标函数为z＝ax＋by)；
(2)移：平行移动直线ax＋by＝0，确定使z＝ax＋by取得最大值或最小值的点；
(3)求：求出取得最大值或最小值的点的坐标(解方程组)及最大值和最小值；
(4)答：给出正确答案．
1．(1)若变量x，y满足约束条件则z＝3x＋2y的最小值为( )
A．4 B．
C．6 D．
(2)变量x，y满足约束条件若z＝2x－y的最大值为2，则实数m等于( )
A．－2 B．－1
C．1 D．2
(1)B (2)C [(1)不等式组表示的平面区域为如图所示的阴影部分，作直线l0：3x＋2y＝0，平移直线l0，当经过点A时，z取得最小值．
此时∴A，∴zmin＝3×1＋2×＝.
(2)对于选项A，当m＝－2时，可行域如图(1)，直线y＝2x－z的截距可以无限小，z不存在最大值，不符合题意，故A不正确；
对于选项B，当m＝－1时，mx－y≤0等同于x＋y≥0，可行域如图(2)，直线y＝2x－z的截距可以无限小，z不存在最大值，不符合题意，故B不正确；
对于选项C，当m＝1时可行域如图(3)，当直线y＝2x－z过点A(2，2)时截距最小，z最大为2，满足题意，故C正确；
对于选项D，当m＝2时，可行域如图(4)，直线y＝2x－z与直线2x－y＝0平行，截距最小值为0，z最大为0，不符合题意，故D不正确．故选C.
]
非线性目标函数的最优解问题
[探究问题]
1．目标函数z＝x2＋y2和z＝(x－a)2＋(y－b)2的几何意义是什么？
[提示] z＝x2＋y2表示可行域内的点(x，y)到坐标原点的距离的平方；z＝(x－a)2＋(y－b)2表示可行域内的点(x，y)到定点(a，b)的距离的平方．
2．目标函数z＝(x≠a)和z＝(ac≠0)表示的几何意义是什么？
[提示] z＝(x≠a)表示可行域内的点(x，y)与定点(a，b)的连线的斜率；z＝＝·，表示可行域内的点(x，y)与定点的连线的斜率的倍．
3．z＝|ax＋by＋c|(a2＋b2≠0)的几何意义是什么？
[提示] z＝|ax＋by＋c|＝·，表示可行域内的点(x，y)到直线ax＋by＋c＝0的距离的倍．
【例2】 已知，求：
(1)z＝x2＋y2－10y＋25的最小值；
(2)z＝的范围．
思路探究：(1)把z＝x2＋y2－10y＋25化为z＝x2＋(y－5)2，其几何意义是什么？(2)把z＝化为z＝2·，其几何意义是什么？
[解] 作出可行域如图，并求出顶点的坐标A(1，3)，B(3，1)，C(7，9)．
(1)z＝x2＋y2－10y＋25＝x2＋(y－5)2表示可行域内任一点(x，y)到定点M(0，5)的距离的平方，过M作直线AC的垂线，易知垂足N在线段AC上，故z的最小值是|MN|2＝.
(2)z＝＝2·表示可行域内任一点(x，y)与定点Q连线的斜率的2倍，因为kQA＝，kQB＝，故z的范围为.
1．本例中的条件不变求z＝|x＋2y－4|的最大值．
[解] 作出不等式组表示的平面区域，如图中阴影部分所示．
法一：z＝|x＋2y－4|＝×，其几何意义为阴影区域内的点到直线x＋2y－4＝0的距离的倍．由得点C的坐标为(7，9)，显然点C到直线x＋2y－4＝0的距离最大，此时zmax＝21.
法二：由图可知，阴影区域(可行域)内的点都在直线x＋2y－4＝0的上方，显然此时有x＋2y－4>0，于是目标函数等价于z＝x＋2y－4，即转化为一般的线性规划问题．显然当直线经过点C时，目标函数z取得最大值，由得点C的坐标为(7，9)，此时zmax＝21.
2．本例题中的条件不变
(1)求z＝x2＋y2的最小值；
(2)求z＝的范围．
[解] (1)由z＝x2＋y2的几何意义为区域内的点(x，y)至(0，0)的距离的平方知，z的最小值为(0，0)到直线x＋y－4＝0的距离的平方．
∴zmin＝＝8.
(2)由z＝的几何意义为区域内的点(x，y)与原点连线的斜率．因为A(1，3)，B(3，1)，kOA＝3.kOB＝，
∴z的取值范围是.
1．利用线性规划求最值，关键是理解线性目标函数的几何意义，从本题的求解过程可以看出，最优解一般在可行域的边界上，并且通常在可行域的顶点处取得，所以作图时要力求准确．
2．非线性目标函数的最值的求解策略
(1)z＝(x－a)2＋(y－b)2型的目标函数可转化为点(x，y)与点(a，b)距离的平方，特别地，z＝x2＋y2型的目标函数表示可行域内的点到原点的距离的平方．
(2)z＝型的目标函数可转化为点(x，y)与点(a，b)连线的斜率．
(3)z＝|Ax＋By＋C|可转化为点(x，y)到直线Ax＋By＋C＝0的距离的倍．
已知目标函数的最值求参数
【例3】 已知约束条件且目标函数z＝a2x＋(a－2－a2)y取得最小值的最优解唯一，为(2，2)，则a的取值范围是________．
思路探究：本题中的目标函数中两个元的系数都含有参数，因此需要研究参数的几何意义和符号特征，注意到a－2－a2的判别式非正，且a2≥0，又最小值的最优解唯一，从而斜率范围可以确定．
[线性约束条件所表示的区域如图中阴影部分所示．
由于目标函数的y的系数a－2－a2＝－－<0，x的系数a2≥0，故平行直线系z＝a2x＋(a－2－a2)y的斜率非负，为.由于是最小值问题且最优解唯一，为图中的点A(2，2)，从而只需<，解得
根据目标函数的最值求参数的解题思路
采用数形结合法，先画出可行域，根据目标函数表示的意义，画出目标函数取得最值的直线，它与相应直线的交点就是最优解，再将所求出的最优解代入含有参数的约束条件，即可求出参数的值或范围．
2．若x，y满足且z＝y－x的最小值为－4，则k的值为( )
A．2 B．－2
C． D．－
D [若k≥0，z＝y－x没有最小值，不合题意；若k<0，画出可行域，如图中阴影部分所示，由图可知，直线z＝y－x，即y＝x＋z，在点A处取得最小值，所以0－＝－4，解得k＝－.]
1．用图解法解决简单的线性规划问题的基本步骤
(1)寻找线性约束条件，线性目标函数；
(2)作图——画出约束条件(不等式组)所确定的平面区域和目标函数所表示的平行直线系中的任意一条直线l；
(3)平移——将直线l平行移动，以确定最优解所对应的点的位置；
(4)求值——解有关的方程组求出最优解的坐标，再代入目标函数，求出目标函数的最值．
2．作不等式组表示的可行域时，注意标出相应的直线方程，还要给可行域的各顶点标上字母，平移直线时，要注意线性目标函数的斜率与可行域中边界直线的斜率进行比较，确定最优解.
1．判断正误
(1)可行域是一个封闭的区域． ( )
(2)在线性约束条件下，最优解是唯一的． ( )
(3)最优解一定是可行解，但可行解不一定是最优解． ( )
(4)线性规划问题一定存在最优解． ( )
[答案] (1)× (2)× (3)√ (4)×
[提示] (1)错误．可行域是约束条件表示的平面区域，不一定是封闭的．(2)错误．在线性约束条件下，最优解可能有一个或多个，也可能有无数个，也可能无最优解，故该说法错误．(3)正确．满足线性约束条件的解称为可行解，但不一定是最优解，只有使目标函数取得最大值或最小值的可行解，才是最优解，所以最优解一定是可行解．(4)错误．线性规划问题不一定存在可行解，存在可行解也不一定存在最优解，故该说法是错误的．
2．已知实数x，y满足则z＝2x－y的取值范围是________．
[－5，7] [可行域如图阴影部分所示，
线性目标函数为z＝2x－y，zmax＝2×5－3＝7，
zmin＝2×(－1)－3＝－5.
]
3．给出平面区域如右图，若使目标函数z＝ax＋y(a>0)取得最大值的最优解有无穷多个，则a的值为________．
[取得最大值的最优解有无穷多个，说明将l0：ax＋y＝0平移时，恰好和AC所在的直线重合，即－a＝kAC＝＝－，∴a＝.]
4．已知变量x，y满足约束条件1≤x＋y≤4，－2≤x－y≤2.若目标函数z＝ax＋y(其中a>0)仅在点(3，1)处取得最大值，求a的取值范围．
[解] 变量x，y满足约束条件，在坐标系中画出可行域，如图为四边形ABCD.
其中A(3，1)，D，B(1，3)，kAD＝1，kAB＝－1，目标函数z＝ax＋y(其中a>0)中的z表示斜率为－a的直线系中的截距的大小，若仅在点(3，1)处取得最大值，则斜率应小于－1，即－a<－1，所以a的取值范围为(1，＋∞)．
第2课时 线性规划的实际应用
学 习 目 标
核 心 素 养
理解并初步运用线性规划的图解法解决一些实际问题．(重点、难点)
借助线性规划的实际应用，培养数学建模和直观想象素养.
应用线性规划解决实际问题的类型
思考：一家银行的信贷部计划年初投入25 000 000元用于企业投资和个人贷款，希望这笔资金至少可带来30 000元的收益，其中从企业贷款中获益12%，从个人贷款中获益10%，假设信贷部用于企业投资的资金为x元，用于个人贷款的资金为y元．那么x和y应满足哪些不等关系？
[提示] 分析题意，我们可得到以下式子
1．已知目标函数z＝2x＋y，且变量x，y满足约束条件则( )
A．zmax＝12，zmin＝3
B．zmax＝12，无最小值
C．zmin＝3，无最大值
D．z既无最大值又无最小值
D [画出可行域如图所示，z＝2x＋y，即y＝－2x＋z在平移过程中的纵截距z既无最大值也无最小值．
]
2．完成一项装修工程，请木工需付工资每人每天50元，请瓦工需付工资每人每天40元．现有工人工资预算每天
2 000元，设请木工x人，请瓦工y人，则请工人的约束条件是________．
[答案]
3．某旅行社租用A，B两种型号的客车安排900名客人旅行，A，B两种车辆的载客量分别为36人和60人，租金分别为1 600元/辆和2 400元/辆，旅行社要求租车总数不超过21辆，且B型车不多于A型车7辆，则租金最少为________元．
36 800 [设租用A型车x辆，B型车y辆，租金为z元，
则
画出可行域(如图中阴影部分内的整点)，则目标函数z＝1 600x＋2 400y在点(5，12)处取得最小值zmin＝36 800元．]
线性规划的实际应用问题
[探究问题]
1．某公司有60万元资金，计划投资甲、乙两个项目，按要求对项目甲的投资不小于对项目乙投资的倍，且对每个项目的投资不能低于5万元．设投资甲、乙两个项目的资金分别为x、y万元，那么x、y应满足什么条件？
[提示]
2．若公司对项目甲每投资1万元可获得0.4万元的利润，对项目乙每投资1万元可获得0.6万元的利润，设该公司所获利润为z万元，那么z与x，y有何关系？
[提示] 根据公司所获利润＝投资项目甲获得的利润＋投资项目乙获得的利润，可得z与x，y的关系为z＝0.4x＋0.6y.
3．x，y应在什么条件下取值，x，y取值对利润z有无影响？
[提示] x，y必须在线性约束条件下取值．x，y取不同的值，直接影响z的取值．
【例1】 某家具厂有方木料90 m3，五合板600 m2，准备加工成书桌和书橱出售．已知生产每张书桌需要木料0.1 m3，五合板2 m2，生产每个书橱需要木料0.2 m3，五合板1 m2，出售一张书桌可获利润80元，出售一个书橱可获利润120元. 怎样安排生产可使所获利润最大．
思路探究：可先设出变量，建立目标函数和约束条件，转化为线性规划问题来求解．
[解] 设生产书桌x张，生产书橱y个，利润为z元，则目标函数为z＝80x＋120y，根据题意知，
约束条件为
即画出可行域如图所示，
作直线l：80x＋120y＝0，并平移直线l，由图可知，当直线l过点C时，z取得最大值，解得C(100，400)，所以zmax＝80×100＋120×400＝56 000，即生产100张书桌，400个书橱，可获得最大利润．
(变结论)例题中的条件不变，如果只安排生产书桌可获利润多少？如果只安排生产书橱呢？
[解] (1)若只生产书桌，则y＝0，此时目标函数z＝80x，由图可知zmax＝80×300＝24 000，即只生产书桌，可获利润24 000元．
(2)若只生产书橱，则x＝0，此时目标函数z＝120y，由图可知zmax＝120×450＝54 000，即只生产书橱，可获利润54 000元．
解答线性规划应用题的一般步骤
(1)审题——仔细阅读，对关键部分进行“精读”，准确理解题意，明确有哪些限制条件，起关键作用的变量有哪些．由于线性规划应用题中的变量比较多，为了理顺题目中量与量之间的关系，有时可借助表格来理顺．
(2)转化——设元．写出约束条件和目标函数，从而将实际问题转化为数学上的线性规划问题．
(3)求解——解这个纯数学的线性规划问题．
(4)作答——就应用题提出的问题作出回答．
线性规划中的最优整数解问题
【例2】 某运输公司有7辆载重量为6吨的A型卡车，4辆载重量为10吨的B型卡车，有9名驾驶员．在建筑某段高速公路的工程中，此公司承包了每天运送360吨沥青的任务．已知每辆卡车每天往返次数为：A型车8次，B型车6次，每辆卡车每天往返的成本费为：A型车160元，B型车280元．每天派出A型车与B型车各多少辆时，公司花的成本费最低？
思路探究：①本题的线性约束条件及目标函数分别是什么？②根据实际问题的需要，该题是否为整点问题？
[解] 设公司每天所花成本费为z元，每天派出A型车x辆，B型车y辆，则z＝160x＋280y, x，y满足的约束条件为
作出不等式组的可行域，如图．
作直线l：160x＋280y＝0，即l：4x＋7y＝0.
将l向右上方移至l1位置时，直线l1经过可行域上的M点，且此时直线与原点的距离最近，z取得最小值．
由方程组，
解得.
但y＝0.4不是整数，故取x＝7，y＝1，此时z取得最小值．
所以，当每天派出A型车7辆、B型车1辆时，公司所花费用最低．
寻找整点最优解的三种方法
(1)平移找解法：先打网格，描整点，平移直线l，最先经过或最后经过的整点便是最优整点解， 这种方法应充分利用整点最优解的信息，结合精确的作图才行，当可行域是有限区域且整点个数又较少时，可逐个将整点坐标代入目标函数求值，经比较求最优解．
(2)小范围搜寻法：即在求出的非整点最优解附近的整点都求出来，代入目标函数，直接求出目标函数的最大(小)值．
(3)调整优值法：先求非整点最优解及最优值，再调整最优值，最后筛选出整点最优解．
某厂有一批长为18 m的条形钢板，可以割成1.8 m和1.5 m长的零件．它们的加工费分别为每个1元和0.6元．售价分别为20元和15元，总加工费要求不超过8元．问如何下料能获得最大利润．
[解] 设割成的1.8 m和1.5 m长的零件分别为x个、y个，利润为z元，则z＝20x＋15y－(x＋0.6y)
即z＝19x＋14.4y
且
作出不等式组表示的平面区域如图，又由
解出x＝，y＝，
所以M，
因为x，y为自然数，在可行域内找出与M最近的点为(3，8)，此时z＝19×3＋14.4×8＝172.2(元)．
又可行域的另一顶点是(0，12)，z＝19×0＋14.4×12＝172.8(元)：
过顶点(8，0)的直线使z＝19×8＋14.4×0＝152(元)．
M附近的点(1，10)，(2，9)，
直线z＝19x＋14.4y过点(1，10)时，z＝163；过点(2，9)时z＝167.6.
所以当x＝0，y＝12时，z＝172.8元为最大值．
答：只截1.5 m长的零件12个，可获得最大利润．
1．画图对解决线性规划问题至关重要，关键步骤基本上是在图上完成的，所以作图应尽可能准确，图上操作尽可能规范．
2．在实际应用问题中，有些最优解往往需要整数解(比如人数、车辆数等)，应结合可行域与目标函数微调.
1．判断正误
(1)将目标函数的直线平行移动，最先通过或最后通过的顶点便是最优解． ( )
(2)当线性目标函数的直线与可行域的某条边平行时，最优解可能有无数个． ( )
[答案] (1)√ (2)√
2．一农民有基本农田2亩，根据往年经验，若种水稻，则每季每亩产量为400公斤；若种花生，则每季每亩产量为100公斤，但水稻成本较高，每季每亩240元，而花生只需80元，且花生每公斤卖5元，稻米每公斤卖3元，现该农民手头有400元，那么获得最大收益为________元．
1 650 [设该农民种x亩水稻，y亩花生时能获得利润z元，则即z＝960x＋420y，
作出可行域如图阴影部分所示，
将目标函数变形为y＝－x＋，作出直线y＝－x，在可行域内平移直线y＝－x，可知当直线过点B时，z有最大值，
由解得B，故当x＝1.5，y＝0.5时，zmax＝1 650元，故该农民种1.5亩水稻，0.5亩花生时，能获得最大利润，最大利润为1 650元．]
3．某厂在计划期内要安排生产甲、乙两种产品，这些产品分别需要在A，B，C，D四种不同的设备上加工，按工艺规定，产品甲和产品乙分别在各种设备上需要加工的台时数如下：
设备
产品
A
B
C
D
甲
2
1
4
0
乙
2
2
0
4
已知各设备在计划期内有效台时数分别为12，8，16，12(1台设备工作1小时称为1台时)，该厂每生产一件甲产品可得到利润2元，每生产一件乙产品可得到利润3元 ，若要获得最大利润，则生产甲产品和乙产品的件数分别为________．
4，2 [设在计划期内生产甲产品x件，乙产品y件，则由题意得约束条件为即
作出可行域如图阴影部分所示，目标函数为z＝2x＋3y，由图可知当直线z＝2x＋3y经过点A时，z有最大值，解得即安排生产甲产品4件，乙产品2件时，利润最大．]
4．某工厂制造A种仪器45台，B种仪器55台，现需用薄钢板给每台仪器配一个外壳．已知钢板有甲、乙两种规格：甲种钢板每张面积2 m2，每张可作A种仪器外壳3个和B种仪器外壳5个，乙种钢板每张面积3 m2，每张可作A种仪器外壳6个和B种仪器外壳6个，问甲、乙两种钢板各用多少张才能用料最省？(“用料最省”是指所用钢板的总面积最小)
[解] 设用甲种钢板x张，乙种钢板y张，依题意
钢铁总面积z＝2x＋3y.作出可行域，如图所示．
由图可知当直线z＝2x＋3y过点P时，z最小．由方程组得
所以甲、乙两种钢板各用5张用料最省．
课时分层作业(二十一) 简单的线性规划问题
(建议用时：60分钟)
[基础达标练]
一、选择题
1．若点(x，y)位于曲线y＝|x|与y＝2所围成的封闭区域，则2x－y的最小值为( )
A．－6 B．－2
C．0 D．2
A [画出可行域，如图所示，解得A(－2，2)，设z＝2x－y，
把z＝2x－y变形为y＝2x－z，
则直线经过点A时z取得最小值；
所以zmin＝2×(－2)－2＝－6，故选A.]
2．若x，y满足则2x＋y的最大值为( )
A．0 B．3 C．4 D．5
C [不等式组表示的可行域如图中阴影部分所示．令z＝2x＋y，则y＝－2x＋z，作直线2x＋y＝0并平移，当直线过点A时，截距最大，即z取得最大值，
由得所以A点坐标为(1，2)，可得2x＋y的最大值为2×1＋2＝4.]
3．设变量x，y满足约束条件则z＝|x－3y|的最大值为( )
A．10 B．8 C．6 D．4
B [画出可行域，如图中阴影部分所示，令t＝x－3y，则当直线t＝x－3y经过点A(－2，2)时，t＝x－3y取得最小值－8，当直线t＝x－3y经过点B(－2，－2)时，t＝x－3y取得最大值4，又z＝|x－3y|，所以zmax＝8，故选B.]
4．若变量x，y满足则x2＋y2的最大值是( )
A．4 B．9
C．10 D．12
C [作出不等式组表示的平面区域，如图中阴影部分所示，设P(x，y)为平面区域内任意一点，则x2＋y2表示|OP|2.
由解得故A(3，－1)，
由解得故B(0，－3)，
由解得故C(0，2)．|OA|2＝10，|OB|2＝9，|OC|2＝4.显然，当点P与点A重合时，|OP|2即x2＋y2取得最大值．所以x2＋y2的最大值为32＋(－1)2＝10.]
5．设变量x，y满足约束条件，则目标函数z＝2x＋3y＋1的最大值为( )
A．11 B．10
C．9 D．8.5
B [由已知可得x，y所满足的可行域如图阴影部分所示：
令y＝－x＋.
要使z取得最大值，只须将直线l0：y＝－x平移至A点，联立，得A(3，1)，
∴zmax＝2×3＋3×1＋1＝10.]
二、填空题
6．满足不等式组并使目标函数z＝6x＋8y取得最大值的点的坐标是________．
(0，5) [首先作出可行域如图阴影所示，设直线l0：6x＋8y＝0，然后平移直线，当直线经过平面区域内的点M(0，5)时截距最大，此时z最大．
]
7．若实数x，y满足则z＝3x＋2y的最小值是________．
1 [不等式组表示的可行域如图阴影部分所示．
设t＝x＋2y，则y＝－x＋，
当x＝0，y＝0时，t最小＝0.
z＝3x＋2y的最小值为1.]
8．若x，y满足约束条件则的最大值为________．
3 [画出可行域如图阴影所示，因为表示过点(x，y)与原点(0，0)的直线的斜率，
所以点(x，y)在点A处时最大．
由得
所以A(1，3)，所以的最大值为3.]
三、解答题
9．已知x，y满足约束条件目标函数z＝2x－y，求z的最大值和最小值．
[解] z＝2x－y可化为y＝2x－z，z的几何意义是直线在y轴上的截距的相反数，故当z取得最大值和最小值时，应是直线在y轴上分别取得最小和最大截距的时候．作一组与l0：2x－y＝0平行的直线系l，经上下平移，可得：当l移动到l1，即经过点A(5，2)时，zmax＝2×5－2＝8，
当l移动到l2，
即过点C(1，4.4)时，zmin＝2×1－4.4＝－2.4.
10．设不等式组表示的平面区域为D.若指数函数y＝ax的图象上存在区域D上的点，求a的取值范围．
[解] 先画出可行域，如图所示，y＝ax必须过图中阴影部分或其边界．
∵A(2，9)，∴9＝a2，∴a＝3.
∵a>1，∴1∴a的取值范围是(1，3]．
[能力提升练]
1．设O为坐标原点，A(1，1)，若点B(x，y)满足则·取得最小值时，点B的个数是( )
A．1 B．2
C．3 D．无数个
B [如图， 阴影部分为点B(x，y)所在的区域．
∵·＝x＋y，
令z＝x＋y，则y＝－x＋z.
由图可知，当点B在C点或D点时，z取最小值，故点B的个数为2.]
2．设x，y满足约束条件且z＝x＋ay的最小值为7，则a＝( )
A．－5 B．3 C．－5或3 D．5或－3
B [二元一次不等式组表示的平面区域如图所示，
其中A.平移直线x＋ay＝0，
可知在点A处，z取得最值．
因此＋a×＝7，
化简得a2＋2a－15＝0，
解得a＝3或a＝－5，但a＝－5时，z取得最大值，故舍去，答案为a＝3.]
3．若变量x，y满足约束条件且z＝2x＋y的最小值为－6，则k＝________．
－2 [作出不等式组表示的平面区域，如图中阴影部分所示，z＝2x＋y，则y＝－2x＋z.易知当直线y＝－2x＋z过点A(k，k)时，z＝2x＋y取得最小值，即3k＝－6，所以k＝－2.]
4．若目标函数z＝x＋y＋1在约束条件下，取得最大值的最优解有无穷多个，则n的取值范围是________．
(2，＋∞) [先根据作出如图所示阴影部分的可行域，欲使目标函数z＝x＋y＋1取得最大值的最优解有无穷多个，需使目标函数对应的直线平移时达到可行域的边界直线x＋y－2＝0，且只有当n>2时，可行域才包含x＋y－2＝0这条直线上的线段BC或其部分．]
5．如果点P在平面区域上，点Q在曲线x2＋(y＋2)2＝1上，求|PQ|的最小值．
[解] 画出不等式组所表示的平面区域，x2＋(y＋2)2＝1所表示的曲线是以(0，－2)为圆心，1为半径的一个圆．
如图所示，只有当点P在点A，点Q在点B(0，－1)时，|PQ|取最小值.
课时分层作业(二十二) 线性规划的实际应用
(建议用时：60分钟)
[基础达标练]
一、选择题
1．某厂生产甲产品每千克需用原料A和原料B分别为a1千克、a2千克，生产乙产品每千克需用原料A和原料B分别为b1千克、b2千克，甲，乙产品每千克可获利润分别为d1元、d2元，月初一次性购进原料A，B各c1千克、c2千克，本月生产甲产品和乙产品各多少千克时才能使月利润总额达到最大？在这个问题中，设本月生产甲、乙两种产品分别为x千克、y千克，月利润总额为z元，那么，使总利润z＝d1x＋d2y最大的数学模型中，约束条件为( )
A． B．
C． D．
[答案] C
2．某服装制造商有10 m2的棉布料，10 m2的羊毛料和6 m2的丝绸料，做一条裤子需要1 m2的棉布料，2 m2的羊毛料和1 m2的丝绸料，做一条裙子需要1 m2的棉布料，1 m2的羊毛料和1 m2的丝绸料，做一条裤子的纯收益是20元，一条裙子的纯收益是40元，为了使收益达到最大，若生产裤子x条，裙子y条，利润为z，则生产这两种服装所满足的数学关系式与目标函数分别为( )
A．z＝20x＋40y B.z＝20x＋40y
C．z＝20x＋40y D.z＝40x＋20y
A [由题意知A正确．]
3．某企业生产甲、乙两种产品均需用A，B两种原料．已知生产1吨每种产品所需原料及每天原料的可用限额如表所示．如果生产1吨甲、乙产品可获利润分别为3万元、4万元，则该企业每天可获得最大利润为( )
甲
乙
原料限额
A(吨)
3
2
12
B(吨)
1
2
8
A.12万元 B．16万元
C．17万元 D．18万元
D [
根据题意，设每天生产甲x吨，乙y吨，则目标函数为z＝3x＋4y，作出不等式组表示的平面区域，如图中阴影部分所示，作出直线3x＋4y＝0并平移，易知当直线经过点A(2，3)时，z取得最大值且zmax＝3×2＋4×3＝18，故该企业每天可获得最大利润为18万元．]
4．某学校用800元购买A，B两种教学用品，A种用品每件100元，B种用品每件160元，两种用品至少各买一件，要使剩下的钱最少，A，B两种用品应各买的件数为( )
A．2，4 B．3，3
C．4，2 D．不确定
B [设买A种用品x件，B种用品y件，剩下的钱为z元，则
求z＝800－100x－160y取得最小值时的整数解(x，y)，用图解法求得整数解为(3，3)．]
5．某运输公司有12名驾驶员和19名工人，有8辆载重量为10吨的甲型卡车和7辆载重量为6吨的乙型卡车．某天需运往A地至少72吨的货物，派用的每辆车需满载且只运送一次．派用的每辆甲型卡车需配2名工人，运送一次可得利润450元；派用的每辆乙型卡车需配1名工人，运送一次可得利润350元，该公司合理计划当天派用两类卡车的车辆数，可得最大利润为( )
A．4 650元 B．4 700元
C．4 900元 D．5 000元
C [设派用甲型卡车x(辆)，乙型卡车y(辆)，获得的利润为u(元)，u＝450x＋350y，由题意，x，y满足关系式作出相应的平面区域(略)，u＝450x＋350y＝50(9x＋7y)在由确定的交点(7，5)处取得最大值4 900元．]
二、填空题
6．若点P(m，n)在由不等式组所确定的区域内，则n－m的最大值为________．
3 [作出可行域，如图中的阴影部分所示，可行域的顶点坐标分别为A(1，3)，B(2，5)，C(3，4)，设目标函数为z＝y－x，则y＝x＋z，其纵截距为z，由图易知点P的坐标为(2，5)时，n－m的最大值为3.
]
7．某农户计划种植黄瓜和韭菜，种植面积不超过50亩，投入资金不超过54万元，假设种植黄瓜和韭菜的产量、成本和售价如下表
每亩年产量
每亩年种植成本
每吨售价
黄瓜
4吨
1.2万元
0.55万元
韭菜
6吨
0.9万元
0.3万元
为使一年的种植总利润(总利润＝总销售收入－总种植成本)最大，那么黄瓜和韭菜的种植面积(单位：亩)分别为________．
30；20 [设黄瓜、韭菜的种植面积分别为x亩，y亩，则总利润z＝4×0.55x＋6×0.3y－1.2x－0.9y＝x＋0.9y.
此时x，y满足条件
画出可行域如图，得最优解为A(30，20)．
]
8．甲、乙两工厂根据赛事组委会要求为获奖者定做某工艺品作为奖品，其中一等奖奖品3件，二等奖奖品6件；制作一等奖、二等奖所用原料完全相同．但工艺不同，故价格有所差异．甲厂收费便宜，但原料有限，最多只能制作4件奖品，乙厂原料充足，但收费较贵，它们的具体收费如下表所示，则组委会定做该工艺品的费用总和最低为________元．
4 900 [设甲厂生产一等奖奖品x件，二等奖奖品y件，x，y∈N，则乙生产一等奖奖品(3－x)件，二等奖奖品(6－y)件，则x，y满足
设费用为z元，则z＝500x＋400y＋800(3－x)＋600(6－y)＝－300x－200y＋6 000，
作出不等式组对应的平面区域，如图阴影部分(包括边界)中的整点．
由图象知当直线经过点A时，直线在y轴上的截距最大，此时z最小．
由解得即A(3，1)，故组委会定做该工艺品的费用总和最低为zmin＝－300×3－200×1＋6 000＝4 900(元)．]
三、解答题
9．医院用甲、乙两种原料为手术后的病人配营养餐．甲种原料每10 g含5单位蛋白质和10单位铁质，售价3元；乙种原料每10 g含7单位蛋白质和4单位铁质，售价2元．若病人每餐至少需要35单位蛋白质和40单位铁质．试问：应如何使用甲、乙两种原料，才能既满足病人的营养需要，又使费用最省？
[解] 设甲、乙两种原料分别用10x g和10y g，总费用为z，那么
目标函数为z＝3x＋2y，作出可行域如图所示：
把z＝3x＋2y变形为y＝－x＋，得到斜率为－，它是在y轴上的截距为且随z变化的一组平行直线．
由图可知，当直线y＝－x＋经过可行域上的点A时，截距最小，即z最小．
由得A，
∴zmin＝3×＋2×3＝14.4.
∴甲种原料×10＝28(g)，乙种原料3×10＝30(g)，
即当使用甲、乙两种原料分别为28 g、30 g时，才能既满足病人的营养需要，又能使费用最省．
10．两类药片有效成分如下表所示，若要求至少提供12毫克阿司匹林，70毫克小苏打，28毫克可待因，问两类药片最小总数是多少？怎样搭配价格最低？
成分
种类
阿司匹林
小苏打
可待因
每片价格(元)
A(毫克/片)
2
5
1
0.1
B(毫克/片)
1
7
6
0.2
[解] 设A，B两种药品分别为x片和y片(x，y∈N)，
则有两类药片的总数为z＝x＋y，两类药片的价格和为k＝0.1x＋0.2y.
如图所示，作直线l：x＋y＝0，
将直线l向右上方平移至l1位置时，直线经过可行域上一点A，且与原点最近．
解方程组
得交点A坐标.
由于A不是整点，因此不是z的最优解，结合图形可知，经过可行域内整点且与原点距离最近的直线是x＋y＝11，经过的整点是(1，10)，(2，9)，(3，8)，因此z的最小值为11.药片最小总数为11片．同理可得，当x＝3，y＝8时，k取最小值1.9，因此当A类药品3片、B类药品8片时，药品价格最低．
[能力提升练]
1．配置A、B两种药剂都需要甲、乙两种原料，用料要求如下表所示(单位：kg)
原料
药剂
甲
乙
A
2
5
B
5
4
药剂A、B至少各配一剂，且药剂A、B每剂售价分别为100元、200元，现有原料甲20 kg，原料乙33 kg，那么可以获得的最大销售额为( )
A．600元 B．700元
C．800元 D．900元
D [设配制药剂A为x剂，药剂B为y剂，则有不等式组成立，即求u＝100x＋200y在上述线性约束条件下的最大值．借助于线性规划可得x＝5，y＝2时，u最大，umax＝900.]
2．在“家电下乡”活动中，某厂要将100台洗衣机运往邻近的乡镇．现有4辆甲型货车和8辆乙型货车可供使用．每辆甲型货车运输费用400元，可装洗衣机20台；每辆乙型货车运输费用300元，可装洗衣机10台．若每辆车至多只运一次，则该厂所花的最少运输费用为( )
A．2 000元 B．2 200元
C．2 400元 D．2 800元
B [设需使用甲型货车x辆，乙型货车y辆，运输费用z元，根据题意，得线性约束条件
目标函数z＝400x＋300y，画图(图略)可知，当平移直线400x＋300y＝0至经过点(4，2)时，z取得最小值2 200.]
3．某公司招收男职员x名，女职员y名，x和y需满足约束条件则z＝10x＋10y的最大值是________．
90 [原不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示．
作出直线y＝－x＋可知当直线过点时z有最大值，由于x，y∈N*；可行域内与点最接近的整点为(5，4)，所以当x＝5，y＝4时，z取得最大值为90.]
4．小明准备用积攒的300元零用钱买一些科普书和文具，作为礼品送给山区的学生．已知科普书每本6元，文具每套10元，并且买的文具的数量不少于科普书的数量．那么最多可以买的科普书与文具的总数是________．
37 [设小明买科普书x本，文具y套，总数为z＝x＋y.
由题意可得约束条件为
作出可行域如图中阴影部分整点所示．
将z＝x＋y化为y＝－x＋z，作出直线y＝－x并平移，使之经过可行域，易知经过点A时，纵截距最大，但因x，y均属于正整数，故取得最大值时的最优解应为(18，19)，此时z最大为37.]
5．某超市要将甲、乙两种大小不同的袋装大米分装成A，B两种规格的小袋，每袋大米可同时分得A，B两种规格的小袋大米的袋数如表所示：
规格类型
袋装大米类型
A
B
甲
2
1
乙
1
3
已知库房中现有甲、乙两种袋装大米的数量分别为5袋和10袋，市场急需A，B两种规格的成品数分别为15袋和27袋．
(1)问分甲、乙两种袋装大米各多少袋可得到所需A，B两种规格的成品数，且使所用的甲、乙两种袋装大米的袋数最少？(要求画出可行域)
(2)若在可行域的整点中任意取出一解，求其恰好为最优解的概率．
[解] (1)设需分甲，乙两种袋装大米的袋数分别为x，y，所用的袋装大米的总袋数为z，则z＝x＋y(x，y为整数)，作出可行域D如图．
从图中可知，可行域D的所有整数点为：(3，9)，(3，10)，(4，8)，(4，9)，(4，10)，(5，8)，(5，9)，(5，10)，共8个点
因为目标函数为z＝x＋y(x，y为整数)，所以在一组平行直线x＋y＝t(t为参数)中，过可行域内的整点且与原点距离最近的直线是x＋y＝12，其经过的整点是(3，9)和(4，8)，它们都是最优解．
所以，需分甲、乙两种袋装大米的袋数分别为3袋、9袋或4袋、8袋可使所用的袋装大米的袋数最少．
(2)由(1)可知可行域内的整点个数为8，而最优解有两个，所以所求的概率为P＝＝.
