课件50张PPT。第三章 不等式章末复习课一元二次不等式的解法 不等式恒成立问题 线性规划问题 利用基本不等式求最值 点击右图进入…Thank you for watching !章末综合测评(三) 不等式
满分：150分 时间：120分钟
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，满分60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．对于任意实数a，b，c，d，下列四个命题中：
①若a>b，c≠0，则ac>bc；
②若a>b，则ac2>bc2；
③若ac2>bc2，则a>b；
④若a>b>0，c>d，则ac>bd.
其中真命题的个数是( )
A．1 B．2
C．3 D．4
A [若a>b，c<0时，ac
d>0时，ac>bd，④错，故选A.]
2．直线3x＋2y＋5＝0把平面分成两个区域．下列各点与原点位于同一区域的是( )
A．(－3，4) B．(－3，－4)
C．(0，－3) D．(－3，2)
A [当x＝y＝0时，3x＋2y＋5＝5>0，则原点一侧对应的不等式是3x＋2y＋5>0，可以验证仅有点(－3，4)满足3x＋2y＋5>0.]
3．设A＝＋，其中a，b是正实数，且a≠b，B＝－x2＋4x－2，则A与B的大小关系是( )
A．A≥B B．A>B
C．AB [∵a，b都是正实数，且a≠b，
∴A＝＋>2＝2，即A>2，
B＝－x2＋4x－2＝－(x2－4x＋4)＋2
＝－(x－2)2＋2≤2，
即B≤2，∴A>B.]
4．已知0A．loga(xy)<0 B．0C．12
D [0即0又0loga(xy)>logaa2＝2，即loga(xy)>2.]
5．不等式2x2＋2x－4≤的解集为( )
A．(－∞，－3] B．(－3，1]
C．[－3，1] D．[1，＋∞)∪(－∞，－3]
C [由已知得 2x2＋2x－4≤2－1，
所以x2＋2x－4≤－1，
即x2＋2x－3≤0，
解得－3≤x≤1.]
6．不等式组的解集为( )
A．[－4，－3] B．[－4，－2]
C．[－3，－2] D．?
A [?
??－4≤x≤－3.]
7．已知点(x，y)是如图所示的平面区域内(阴影部分且包括边界)的点，若目标函数z＝x＋ay取最小值时，其最优解有无数个，则的最大值是( )
A． B．
C． D．
A [目标函数z＝x＋ay可化为y＝－x＋z，由题意知，当a<0，且直线y＝－x＋z与直线AC重合时，符合题意，此时kAC＝＝1，所以－＝1，a＝－1，而＝表示过可行域内的点(x，y)与点(－1，0)的直线的斜率，显然过点C(4，2)与点(－1，0)的直线的斜率最大，即＝.]
8．若x，y满足则x＋2y的最大值为( )
A．1 B．3
C．5 D．9
D [作出可行域如图阴影部分所示．
设z＝x＋2y，则y＝－x＋z.
作出直线l0：y＝－x，并平移该直线，可知当直线y＝－x＋z过点C时，z取得最大值．
由得故C(3，3)．
∴zmax＝3＋2×3＝9.
故选D.]
9．已知a，b，c∈R，a＋b＋c＝0，abc>0，T＝＋＋，则( )
A．T>0 B．T<0
C．T＝0 D．T≥0
B [法一：取特殊值，a＝2，b＝c＝－1，
则T＝－<0，排除A，C，D，可知选B.
法二：由a＋b＋c＝0，abc>0，知三数中一正两负，
不妨设a>0，b<0，c<0，
则T＝＋＋＝＝＝.
∵ab<0，－c2<0，abc>0，故T<0.]
10．若不等式x2＋ax＋1≥0对一切x∈都成立，则a的最小值为( )
A．0 B．－2
C．－3 D．－
D [由对一切x∈，不等式x2＋ax＋1≥0都成立，所以ax≥－x2－1，即a≥－x－.
设g(x)＝－x－，只需a≥g(x)max，
而g(x)＝－x－在x∈上是增函数，
所以g(x)＝－x－的最大值是g＝－.]
11．若直线y＝2x上存在点(x，y)满足约束条件则实数m的最大值为( )
A．－1 B．1
C． D．2
B [如图所示，约束条件表示的可行域如阴影部分所示．当直线x＝m从如图所示的实线位置运动到过A点的位置时，m取最大值．解方程组得A点坐标为(1，2)，
∴m的最大值是1，故选B.]
12．已知x>0，y>0.若＋>m2＋2m恒成立，则实数m的取值范围是( )
A．m≥4或m≤－2 B．m≥2或m≤－4
C．－2D [∵x>0，y>0，
∴＋≥8.
若＋>m2＋2m恒成立，则m2＋2m<8，解之得－4二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上)
13．已知不等式x2－ax－b<0的解集为(2，3)，则不等式bx2－ax－1>0的解集为________．
[方程x2－ax－b＝0的根为2，3.根据根与系数的关系得：a＝5，b＝－6.所以不等式为6x2＋5x＋1<0，解得解集为.]
14．若正数x，y满足x2＋3xy－1＝0，则x＋y的最小值是________．
[对于x2＋3xy－1＝0可得y＝·，
∴x＋y＝＋≥2＝(当且仅当x＝时等号成立)．]
15．若关于x、y的不等式组表示的平面区域是一个三角形，则k的取值范围是________．
∪(－∞，－2) [不等式|x|＋|y|≤2表示的平面区域为如图所示的正方形ABCD及其内部．
直线y＋2＝k(x＋1)过定点P(－1，－2)，斜率为k，要使平面区域表示一个三角形，则kPD16．若不等式≤a≤在t∈(0，2]上恒成立，则a的取值范围是________．
[＝，而y＝t＋在(0，2]上单调递减，故t＋≥2＋＝，＝≤(当且仅当t＝2时等号成立)，因为≥，所以＝＋＝2－≥1(当且仅当t＝2时等号成立)，故a的取值范围为.]
三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．(本小题满分10分)已知集合A＝，B＝{x|log(9－x2)[解] 由2x2－2x－3<＝23－3x，
得x2＋x－6<0，
所以－3故A＝{x|－3由集合B可得：解得－1B＝{x|－1A∩B＝{x|－1则a＝－1，b＝－2，所以a＋b＝－3.
18．(本小题满分12分)已知函数y＝的定义域为R.
(1)求a的取值范围；
(2)解关于x的不等式x2－x－a2＋a<0.
[解] (1)因为函数y＝的定义域为R，所以ax2＋2ax＋1≥0，恒成立．
①当a＝0时，1≥0恒成立；
②当a≠0时，则
解得0综上，a的取值范围为[0，1]．
(2)由x2－x－a2＋a<0得，(x－a)[x－(1－a)]<0.
因为0≤a≤1，
所以①当1－a>a，
即0≤a<时，
a②当1－a＝a，即a＝时，<0，不等式无解；
③当1－a1－a综上所述，当0≤a<时，解集为(a，1－a)；
当a＝时，解集为?；
当19．(本小题满分12分)设函数f(θ)＝sin θ＋cos θ，其中角θ的顶点与坐标原点重合，始边与x轴非负半轴重合，终边经过点P(x，y)，且0≤θ≤π.若点P(x，y)为平面区域Ω：上的一个动点，试确定角θ的取值范围，并求函数f(θ)的最小值和最大值．
[解] 作出平面区域Ω(即三角形区域ABC)，如图中阴影部分所示，其中A(1，0)，B(1，1)，C(0，1)，于是0≤θ≤.
又f(θ)＝sin θ＋cos θ＝
2sin，且≤θ＋≤，故当θ＋＝，即θ＝时，f(θ)取得最大值，且最大值等于2；当θ＋＝，即θ＝0时，f(θ)取得最小值，且最小值等于1.
20．(本小题满分12分)已知函数f(x)＝(x≠a，a为非零常数)．
(1)解不等式f(x)(2)设x>a时，f(x)有最小值为6，求a的值．
[解] (1)f(x)整理得(ax＋3)(x－a)<0.
当a>0时，(x－a)<0，
∴解集为；
当a<0时，(x－a)>0，
解集为.
(2)设t＝x－a，则x＝t＋a(t>0)，
∴f(x)＝
＝t＋＋2a
≥2＋2a
＝2＋2a.
当且仅当t＝，
即t＝时，等号成立，
即f(x)有最小值2＋2a.
依题意有2＋2a＝6，
解得a＝1.
21．(本小题满分12分)经观测，某公路段在某时段内的车流量y(千辆/小时)与汽车的平均速度v(千米/小时)之间有函数关系：y＝(v>0)．
(1)在该时段内，当汽车的平均速度v为多少时车流量y最大？最大车流量为多少？(精确到0.01)
(2)为保证在该时段内车流量至少为10千辆/小时，则汽车的平均速度应控制在什么范围内？
[解] (1)y＝＝≤＝≈11.08.
当v＝，即v＝40千米/小时时，车流量最大，最大值为11.08千辆/小时．
(2)据题意有：≥10，
化简得v2－89v＋1 600≤0，
即(v－25)(v－64)≤0，
所以25≤v≤64.
所以汽车的平均速度应控制在[25，64]这个范围内．
22．(本小题满分12分)已知函数f(x)＝2x＋2－x.
(1)解不等式f(x)＞；
(2)若对任意x∈R，不等式f(2x)≥mf(x)－6恒成立，求实数m的最大值．
[解] (1)设2x＝t＞0，则2－x＝，
∴t＋＞，
则2t2－5t＋2＞0，
解得t＜或t＞2，
即2x＜或2x＞2，
∴x＜－1或x＞1.
∴f(x)＞的解集为{x|x＜－1或x＞1}．
(2)f(x)＝2x＋2－x，
令t＝2x＋2－x，则t≥2(当且仅当x＝0时，等号成立)．
又f(2x)＝22x＋2－2x＝t2－2，
故f(2x)≥mf(x)－6可化为t2－2≥mt－6，
即m≤t＋，
又t≥2，t＋≥2＝4
(当且仅当t＝2，即x＝0时等号成立)．
∴m≤＝4.即m的最大值为4.
一元二次不等式的解法
[探究问题]
1．当a>0时，若方程ax2＋bx＋c＝0有两个不等实根α，β且α<β，则不等式ax2＋bx＋c>0的解集是什么？
[提示] 借助函数f(x)＝ax2＋bx＋c的图象可知，不等式的解集为{x|x<α或x>β}．
2．若[探究1]中的a<0，则不等式ax2＋bx＋c>0的解集是什么？
[提示] 解集为{x|α3．若一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的判别式Δ＝b2－4ac<0，则ax2＋bx＋c>0的解集是什么？
[提示] 当a>0时，不等式的解集为R；当a<0时，不等式的解集为?.
【例1】 若不等式组的整数解只有－2，求k的取值范围．
思路探究：不等式组的解集是各个不等式解集的交集，分别求解两个不等式，取交集判断．
[解] 由x2－x－2>0，得x<－1或x>2.
对于方程2x2＋(2k＋5)x＋5k＝0有两个实数解x1＝－，x2＝－k.
(1)当－>－k，即k>时，不等式的解集为，显然－2?.
(2)当－k＝－时，不等式2x2＋(2k＋5)x＋5k<0的解集为?.
(3)当－<－k，即k<时，
不等式的解集为.
∴不等式组的解集由
或确定．
∵原不等式组整数解只有－2，
∴－2<－k≤3，
故所求k的范围是－3≤k<2.
(变条件，变结论)若将例题改为“已知a∈R，解关于x的不等式ax2－2x＋a<0”．
[解] (1)若a＝0，则原不等式为－2x<0，故解集为{x|x>0}．
(2)若a>0，Δ＝4－4a2.
①当Δ>0，即0∴原不等式的解集为.
②当Δ＝0，即a＝1时，原不等式的解集为?.
③当Δ<0，即a>1时，原不等式的解集为?.
(3)若a<0，Δ＝4－4a2.
①当Δ>0，即－1②当Δ＝0，即a＝－1时，原不等式可化为(x＋1)2>0，
∴原不等式的解集为{x|x∈R且x≠－1}．
③当Δ<0，即a<－1时，原不等式的解集为R.
综上所述，当a≥1时，原不等式的解集为?；
当0当a＝0时，原不等式的解集为{x|x>0}；
当－1当a<－1时，原不等式的解集为R.
不等式的解法
(1)一元二次不等式的解法．
①将不等式化为ax2＋bx＋c>0(a>0)或ax2＋bx＋c<0(a>0)的形式；
②求出相应的一元二次方程的根或利用二次函数的图象与根的判别式确定一元二次不等式的解集．
(2)含参数的一元二次不等式．
解题时应先看二次项系数的正负，其次考虑判别式，最后分析两根的大小，此种情况讨论是必不可少的．
不等式恒成立问题
【例2】 已知不等式mx2－mx－1<0.
(1)若x∈R时不等式恒成立，求实数m的取值范围；
(2)若x∈[1，3]时不等式恒成立，求实数m的取值范围；
(3)若满足|m|≤2的一切m的值能使不等式恒成立，求实数x的取值范围．
思路探究：先讨论二次项系数，再灵活的选择方法解决恒成立问题．
[解] (1)①若m＝0，原不等式可化为－1<0，显然恒成立；
②若m≠0，则不等式mx2－mx－1<0 恒成立?解得－4综上可知，实数m的取值范围是(－4，0]．
(2)令f(x)＝mx2－mx－1，
①当m＝0时，f(x)＝－1<0显然恒成立；
②当m>0时，若对于x∈[1，3]不等式恒成立，只需即可，∴解得m<，∴0③当m<0时，函数f(x)的图象开口向下，对称轴为x＝，若x∈[1，3]时不等式恒成立，结合函数图象(图略)知只需f(1)<0即可，解得m∈R，∴m<0符合题意．
综上所述，实数m的取值范围是.
(3)令g(m)＝mx2－mx－1＝(x2－x)m－1，
若对满足|m|≤2的一切m的值不等式恒成立，则只需 即解得∴实数x的取值范围是.
对于恒成立不等式求参数范围的问题常见的类型及解法有以下几种：
(1)变更主元法
根据实际情况的需要确定合适的主元，一般知道取值范围的变量要看做主元．
(2)分离参数法
若f(a)若f(a)>g(x)恒成立，则f(a)>g(x)max.
(3)数形结合法
利用不等式与函数的关系将恒成立问题通过函数图象直观化．
1．设f(x)＝mx2－mx－6＋m，
(1)若对于m∈[－2，2]，f(x)<0恒成立，求实数x的取值范围；
(2)若对于x∈[1，3]，f(x)<0恒成立，求实数m的取值范围．
[解] (1)依题意，设g(m)＝(x2－x＋1)m－6，
则g(m)为关于m的一次函数，且一次项系数x2－x＋1＝＋>0，
所以g(m)在[－2，2]上递增，
所以欲使f(x)<0恒成立，
需g(m)max＝g(2)＝2(x2－x＋1)－6<0，
解得－1(2)法一：要使f(x)＝m(x2－x＋1)－6<0在[1，3]上恒成立，
则有m<在[1，3]上恒成立，
而当x∈[1，3]时，
＝≥＝，
所以m<＝，
因此m的取值范围是.
法二：①当m＝0时，f(x)＝－6<0对x∈[1，3]恒成立，所以m＝0.
②当m≠0时f(x)的图象的对称轴为x＝，
若m>0，则f(x)在[1，3]上单调递增，
要使f(x)<0对x∈[1，3]恒成立，
只需f(3)<0即7m－6<0，
所以0若m<0，则f(x)在[1，3]上单调递减，
要使f(x)<0对x∈[1，3]恒成立，
只需f(1)<0即m<6，
所以m<0.
综上可知m的取值范围是.
线性规划问题
【例3】 已知变量x，y满足约束条件且有无穷多个点(x，y)使目标函数z＝x＋my取得最小值，则m＝________．
思路探究：先画出可行域，再研究目标函数，由于目标函数中含有参数m，故需讨论m的值，再结合可行域，数形结合确定满足题意的m的值.
1 [作出线性约束条件表示的平面区域，如图中阴影部分所示．
若m＝0，则z＝x，目标函数z＝x＋my取得最小值的最优解只有一个，不符合题意．
若m≠0，目标函数z＝x＋my可看作动直线y＝－x＋，若m<0，则－>0，数形结合知使目标函数z＝x＋my取得最小值的最优解不可能有无穷多个；
若m>0，则－<0，数形结合可知，当动直线与直线AB重合时，有无穷多个点(x，y)在线段AB上，使目标函数z＝x＋my取得最小值，即－＝－1，则m＝1.
综上可知，m＝1.]
1．线性规划在实际中的类型主要有：
(1)给定一定数量的人力、物力资源，如何运用这些资源，使完成任务量最大，收到的效益最高；
(2)给定一项任务，怎样统筹安排，使得完成这项任务耗费的人力、物力资源最少．
2．解答线性规划应用题的步骤：
(1)列：设出未知数，列出约束条件，确定目标函数．
(2)画：画出线性约束条件所表示的可行域．
(3)移：在线性目标函数所表示的一组平行线中，利用平移的方法找出与可行域有公共点且纵截距最大或最小的直线．
(4)求：通过解方程组求出最优解．
(5)答：作出答案．
2．制定投资计划时，不仅要考虑可能获得的盈利，而且要考虑可能出现的亏损．某投资人打算投资甲、乙两个项目，根据预测，甲、乙项目可能的最大盈利率分别为100%和50%，可能的最大亏损率分别为30%和10%，投资人计划投资金额不超过10万元，要求确保可能的资金亏损不超过1.8万元，问投资人对甲、乙两个项目各投资多少万元，才能使可能的盈利最大？
[解] 设投资人分别用x万元、y万元投资甲、乙两个项目．
由题意，知
目标函数z＝x＋0.5y.
画出可行域如图中阴影部分．
作直线l0：x＋0.5y＝0，并作平行于l0的一组直线x＋0.5y＝z，z∈R，与可行域相交，其中有一条直线经过可行域上的点M时，z取得最大值．
由得
即M(4，6)．
此时z＝4＋0.5×6＝7(万元)．
∴当x＝4，y＝6时，z取得最大值，即投资人用4万元投资甲项目，6万元投资乙项目，才能在确保亏损不超过1.8万元的前提下，使可能的盈利最大.
利用基本不等式求最值
【例4】 设函数f(x)＝x＋，x∈[0，＋∞)．
(1)当a＝2时，求函数f(x)的最小值；
(2)当0思路探究：(1)将原函数变形，利用基本不等式求解．
(2)利用函数的单调性求解．
[解] (1)把a＝2代入f(x)＝x＋，
得f(x)＝x＋＝(x＋1)＋－1，
∵x∈[0，＋∞)，
∴x＋1>0，>0，
∴x＋1＋≥2，当且仅当x＋1＝，
即x＝－1时，f(x)取等号，此时f(x)min＝2－1.
(2)当0若x＋1＋≥2，
则当且仅当x＋1＝时取等号，
此时x＝－1<0(不合题意)，
因此，上式等号取不到．
f(x)在[0，＋∞)上单调递增．
∴f(x)min＝f(0)＝a.
基本不等式是证明不等式、求某些函数的最大值及最小值的理论依据，在解决数学问题和实际问题中应用广泛．
(1)基本不等式通常用来求最值，一般用a＋b≥2(a>0，b>0)解“定积求和，和最小”问题，用ab≤解“定和求积，积最大”问题．
(2)在实际运用中，经常涉及函数f(x)＝x＋(k>0)，一定要注意适用的范围和条件：“一正、二定、三相等”．特别是利用拆项、添项、配凑、分离变量、减少变元等，构造定值条件的方法和对等号能否成立的验证．
3．某种商品原来每件售价为25元，年销售8万件．
(1)据市场调查，若价格每提高1元，销售量将相应减少2 000件，要使销售的总收入不低于原收入，该商品每件定价最多为多少元？
(2)为了扩大该商品的影响力，提高年销售量．公司决定明年对该商品进行全面技术革新和营销策略改革，并提高定价到x元，公司拟投入(x2－600)万元作为技改费用，投入50万元作为固定宣传费用，投入x万元作为浮动宣传费用．试问：当该商品明年的销售量a至少应达到多少万件时，才可能使明年的销售收入不低于原收入与总投入之和？并求出此时每件商品的定价．
[解] (1)设每件定价为t元，依题意，有[8－(t－25)×0.2]t≥25×8，
整理得t2－65t＋1 000≤0，
解得25≤t≤40.
因此要使销售的总收入不低于原收入，每件定价最多为40元．
(2)依题意，x>25时，不等式ax≥25×8＋50＋(x2－600)＋x有解，等价于x>25时，a≥＋x＋有解．
∵＋x≥2＝10(当且仅当x＝30时，等号成立)，
∴a≥10.2.
因此当该商品明年的销售量a至少应达到10.2万件时，才可能使明年的销售收入不低于原收入与总投入之和，此时该商品的定价为每件30元．
