课件89张PPT。模块复习课差等于同一个常数公差 等差中项 小大从第2项起，每一项与它的前一项的比都等于同一个常数公比 ＞＝＜＞＝＜＜＜＞＜＜平面区域不包括包括实线相同符号一次最大值最小值一次线性约束条件可行解最大值最小值最大值最小值小大√×√√×
√√√×× × × × × √√√×× √
√√×√×× × × × √ Thank you for watching !模块综合测评
满分：150分 时间：120分钟
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，满分60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．已知不等式ax2＋bx＋2>0的解集是(－1，2)，则a＋b的值为( )
A．1 B．－1
C．0 D．－2
C [由已知得－＝－1＋2，＝－1×2，a<0，解得a＝－1，b＝1，故a＋b＝0，故选C.]
2．已知一个等差数列{an}的第8，9，10项分别为b－1，b＋1，2b＋3，则通项an等于( )
A．2n－5 B．2n－9
C．2n－13 D．2n－17
D [依题意得2(b＋1)＝b－1＋2b＋3，解得b＝0，∴d＝2，a8＝－1，an＝a8＋(n－8)d＝－1＋(n－8)×2＝2n－17.]
3．在△ABC中，已知sin Acos B＝sin C＝cos C，那么△ABC一定是( )
A．直角三角形 B．等腰三角形
C．等腰直角三角形 D．正三角形
C [由sin Acos B＝sin C及正、余弦定理得a·＝c，可得b2＋c2＝a2，即A＝90°，由sin C＝cos C得C＝45°.故△ABC为等腰直角三角形．]
4．在等差数列{an}中，若a4＋a5＋a6＋a7＋a8＝450，则a4＋a8的值为( )
A．45 B．75
C．180 D．300
C [a4＋a5＋a6＋a7＋a8＝(a4＋a8)＋(a5＋a7)＋a6＝5a6＝450，∴a6＝90.
∴a4＋a8＝2a6＝2×90＝180.]
5．下列不等式中，恒成立的是( )
A．x＋≥2(x≠0) B．x2－2x－3>0
C．>1 D．log(x2＋1)≥0
C [当x<0时，x＋≥2不成立；当－1≤x≤3时，不等式x2－2x－3>0不成立；因为x2＋1≥1，则log (x2＋1)≤log1＝0，故D项不成立；由于x2－x＋1>0，不等式等价于2x2－x＋2>x2－x＋1，即x2＋1>0，故C项正确．]
6．已知a>0，b>0，a＋b＝2，则y＝＋的最小值是( )
A． B．4
C． D．5
C [∵2y＝2＝(a＋b)＝5＋＋，又∵a>0，b>0，∴2y≥5＋2＝9，
∴ymin＝，当且仅当b＝2a时“＝”成立．]
7．已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且＝，则B＝( )
A． B．
C． D．
C [因为＝，所以＝，即(c－b)·(c＋b)＝a(c－a)，所以a2＋c2－b2＝ac，所以cos B＝，又B∈(0，π)，所以B＝.]
8．如果数列{an}满足a1＝2，a2＝1，且＝(n≥2)，则这个数列的第10项等于( )
A． B．
C． D．
D [当n≥2时，由已知得1－＝－1，
∴2＝＋，∴＝＋，∴数列是等差数列，又∵a1＝2，a2＝1，∴＝，＝1，d＝－＝，∴＝，∴an＝，∴a10＝＝.]
9．若关于x的不等式x2＋ax－a－2>0和2x2＋2(2a＋1)x＋4a2＋1>0的解集依次为A和B，那么，使得A＝R和B＝R至少有一个成立的实常数a( )
A．可以是R中的任何一个数
B．有无穷多个，但并不是R中所有的实数都能满足要求
C．有且仅有一个
D．不存在
B [若A＝R，则Δ1＝a2＋4(a＋2)<0成立，显然是不可能的，即这样的a∈?；若B＝R，则Δ2＝4(2a＋1)2－8(4a2＋1)<0成立，即(2a－1)2>0，因而存在无穷多个实常数a，当a＝时，上述不等式不成立，从而选B.]
10．设变量x，y满足，则x＋2y的最大值和最小值分别为( )
A．1，－1 B．2，－2
C．1，－2 D．2，－1
B [由线性约束条件，画出可行域如图阴影部分所示．
设z＝x＋2y，则y＝－x＋.
设l0：y＝－x，平移l0，可知过A点时zmax＝0＋2×1＝2，
过B点时zmin＝0＋2×(－1)＝－2.]
11．若直线ax＋2by－2＝0(a，b∈R＋)始终平分圆x2＋y2－4x－2y－8＝0的周长，则＋的最小值为( )
A．1 B．5
C．4 D．3＋2
D [∵直线平分圆，
∴直线过圆心(2，1)，
即2a＋2b－2＝0，a＋b＝1，＋＝＋＝3＋＋≥3＋2.]
12．如图所示，一货轮航行到M处，测得灯塔S在货轮的北偏东15°，且货轮与灯塔S相距20海里，货轮按北偏西30°的方向航行30分钟后，又测得灯塔在货轮的东北方向，则货轮的速度为( )
A．20(＋)海里/小时
B．20(－)海里 /小时
C．20(＋)海里/小时
D．20(－)海里/小时
B [设货轮的速度为v海里/小时，∠NMS＝45°，∠MNS＝105°，则∠MSN＝30°，由MS＝20，MN＝，则＝，v＝＝20(－)．]
二、填空题(每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上)
13．已知x>1，y>1，且ln x，1，ln y成等差数列，则x＋y的最小值为________．
2e [由已知ln x＋ln y＝2，
∴xy＝e2，x＋y≥2＝2e.
当且仅当x＝y＝e时取“＝”，∴x＋y的最小值为2e.]
14．已知{an}是等差数列，Sn为其前n项和，n∈N＋，若a3＝16，S20＝20，则S10的值为________．
110 [设等差数列{an}的首项为a1，公差为d，则a3＝a1＋2d＝16，S20＝20a1＋d＝20，∴，
解得d＝－2，a1＝20.
∴S10＝10a1＋d＝200－90＝110.]
15．在△ABC中，已知||＝4，||＝1，S△ABC＝，则·的值为________．
2或－2 [∵S△ABC＝||||·sin A＝×4×1×sin A＝，
∴sin A＝.∴cos A＝或－.
∵·＝||·||·cos A，
∴·＝2或－2.]
16．某公司一年购买某种货物400吨，每次都购买x吨，运费为4万元/次，一年的总存储费用为4x万元，要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x＝________吨．
20 [设一年的总费用为y万元，则y＝4×＋4x＝＋4x≥2＝160.当且仅当＝4x，即x＝20时，等号成立．]
三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．(本小题满分10分)在△ABC中，cos A＝－，cos B＝.
(1)求sin C的值；
(2)设BC＝5，求△ABC的面积．
[解] (1)由cos A＝－，得sin A＝，由cos B＝，得sin B＝.
∴sin C＝sin(A＋B)＝sin Acos B＋cos Asin B＝×＋×＝.
(2)由正弦定理得AC＝＝＝.
∴△ABC的面积S＝·BC·AC·sin C＝×5××＝.
18．(本小题满分12分)已知等差数列{an}的前n项和为Sn，等比数列{bn}的前n项和为Tn，a1＝－1，b1＝1，a2＋b2＝2.
(1)若a3＋b3＝5，求{bn}的通项公式；
(2)若T3＝21，求S3.
[解] 设{an}的公差为d，{bn}的公比为q，则an＝－1＋(n－1)d，bn＝qn－1.
由a2＋b2＝2得d＋q＝3.①
(1)由a3＋b3＝5得2d＋q2＝6.②
联立①和②解得(舍去)或
所以bn＝2n－1.
(2)∵b1＝1，T3＝21，∴1＋q＋q2＝21.
解得q＝4或q＝－5.
当q＝4时，由①得d＝－1，则S3＝－6；
当q＝－5时，由①得d＝8，则S3＝21.
19．(本小题满分12分)解关于x的不等式ax2－2≥2x－ax(a∈R)．
[解] 原不等式可化为
ax2＋(a－2)x－2≥0?(ax－2)(x＋1)≥0.
(1)当a＝0时，原不等式化为x＋1≤0?x≤－1；
(2)当a>0时，原不等式化为(x＋1)≥0?x≥或x≤－1；
(3)当a<0时，原不等式化为(x＋1)≤0.
①当>－1，即a<－2时，原不等式等价于－1≤x≤；
②当＝－1，即a＝－2时，原不等式等价于x＝－1；
③当<－1，即－2
综上所述：当a<－2时，原不等式的解集为；
当a＝－2时，原不等式的解集为{－1}；
当－2当a＝0时，原不等式的解集为(－∞，－1]；
当a>0时，原不等式的解集为(－∞，－1]∪.
20．(本小题满分12分)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知2cos C(acos B＋bcos A)＝c.
(1)求C；
(2)若c＝，△ABC的面积为，求△ABC的周长．
[解] (1)由已知及正弦定理得，
2cos C(sin Acos B＋sin Bcos A)＝sin C，
2cos Csin(A＋B)＝sin C.
故2sin Ccos C＝sin C.
可得cos C＝，所以C＝.
(2)由已知，得absin C＝.
又C＝，所以ab＝6.
由已知及余弦定理得，a2＋b2－2abcos C＝7.
故a2＋b2＝13，从而(a＋b)2＝25.∴a＋b＝5.
所以△ABC的周长为5＋.
21．(本小题满分12分)已知数列{an}满足a1＝5，a2＝5，an＋1＝an＋6an－1(n≥2)．
(1)求证：{an＋1＋2an}是等比数列；
(2)求数列{an}的通项公式．
[解] (1)证明：∵an＋1＝an＋6an－1(n≥2)，
∴an＋1＋2an＝3an＋6an－1＝3(an＋2an－1)(n≥2)．
又a1＝5，a2＝5，∴a2＋2a1＝15，
∴an＋2an－1≠0(n≥2)，∴＝3(n≥2)，
∴数列{an＋1＋2an}是以15为首项，3为公比的等比数列．
(2)由(1)得an＋1＋2an＝15×3n－1＝5×3n，
则an＋1＝－2an＋5×3n，
∴an＋1－3n＋1＝－2(an－3n)．
又∵a1－3＝2，∴an－3n≠0，
∴{an－3n}是以2为首项，－2为公比的等比数列，
∴an－3n＝2×(－2)n－1，
即an＝2×(－2)n－1＋3n(n∈N*)．
22．(本小题满分12分)某学校为了解决教职工的住房问题，计划征用一块土地盖一幢总建筑面积为A(m2)的宿舍楼．已知土地的征用费为2 388元/m2，且每层的建筑面积相同，土地的征用面积为第一层的2.5倍．经工程技术人员核算，第一、二层的建筑费用相同都为445元/m2，以后每增高一层，其建筑费用就增加30元/m2.试设计这幢宿舍楼的楼高层数，使总费用最少，并求出其最少费用．(总费用为建筑费用和征地费用之和)
[解] 设楼高为n层，总费用为y元，则征地面积为 m2，征地费用为元，楼层建筑费用为[445＋445＋(445＋30)＋(445＋30×2)＋…＋445＋30×(n－2)]·＝A元，从而y＝＋15nA＋＋400A＝(15n＋＋400)A≥1 000A(元)．
当且仅当15n＝，即n＝20(层)时，总费用y最少．
故当这幢宿舍楼的楼高层数为20层时，费用最少，最少总费用为1 000A元．
一、正、余弦定理及其应用
1．正弦定理、余弦定理
在△ABC中，若角A，B，C所对的边分别是a，b，c，R为△ABC外接圆半径，则
定理
正弦定理
余弦定理
内容
(1)＝＝＝2R
(2)a2＝b2＋c2－2bccos A；
b2＝c2＋a2－2cacos B；
c2＝a2＋b2－2abcos C
变形
(3)a＝2Rsin A，b＝2Rsin B，
c＝2Rsin C；
(4)sin A＝，sin B＝，
sin C＝；
(5)a∶b∶c＝sin A∶sin B∶sin C；
(6)asin B＝bsin A，
bsin C＝csin B，
asin C＝csin A
(7)cos A＝；
cos B＝；
cos C＝
2.在△ABC中，已知a，b和A时，解的情况
A为锐角
A为钝角或直角
图形
关系式
a＝bsin A
bsin A＜a＜b
a≥b
a＞b
解的个数
一解
两解
一解
一解
3.三角形常用面积公式
(1)S＝a·ha(ha表示边a上的高)；
(2)S＝absin C＝acsin_B＝bcsin_A；
(3)S＝r(a＋b＋c)(r为三角形内切圆半径)．
二、等差数列及其前n项和
1．等差数列的定义
一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，通常用字母d表示．
2．等差数列的通项公式
如果等差数列{an}的首项为a1，公差为d，那么它的通项公式是an＝a1＋(n－1)d．
3．等差中项
由三个数a，A，b组成的等差数列可以看成最简单的等差数列．这时，A叫做a与b的等差中项．
4．等差数列的常用性质
(1)通项公式的推广：an＝am＋(n－m)d(n，m∈N*)．
(2)若{an}为等差数列，且k＋l＝m＋n(k，l，m，n∈N*)，则ak＋al＝am＋an．
(3)若{an}是等差数列，公差为d，则{a2n}也是等差数列，公差为2d．
(4)若{an}，{bn}是等差数列，则{pan＋qbn}也是等差数列．
(5)若{an}是等差数列，公差为d，则ak，ak＋m，ak＋2m，…(k，m∈N*)是公差为md的等差数列．
(6)数列Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…构成等差数列．
5．等差数列的前n项和公式
设等差数列{an}的公差为d，其前n项和Sn＝或Sn＝na1＋d．
6．等差数列的前n项和公式与函数的关系
Sn＝n2＋n.
数列{an}是等差数列?Sn＝An2＋Bn(A，B为常数)
7．等差数列的前n项和的最值
在等差数列{an}中，a1＞0，d＜0，则Sn存在最大值；若a1＜0，d＞0，则Sn存在最小值．
三、等比数列及其前n项和
1．等比数列的定义
一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比都等于同一个常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，通常用字母q表示(q≠0)．
2．等比数列的通项公式
设等比数列{an}的首项为a1，公比为q，则它的通项an＝a1·qn－1(a1≠0，q≠0)．
3．等比中项
如果在a与b中插入一个数G，使得a，G，b成等比数列，那么根据等比数列的定义，＝，G2＝ab，G＝±，称G为a，b的等比中项．
4．等比数列的常用性质
(1)通项公式的推广：an＝am·qn－m(n，m∈N*)．
(2)若{an}为等比数列，且k＋l＝m＋n(k，l，m，n∈N*)，则ak·al＝am·an．
(3)若{an}，{bn}(项数相同)是等比数列，则{λan}(λ≠0)，，{a}，{an·bn}，仍是等比数列．
5．等比数列的前n项和公式
等比数列{an}的公比为q(q≠0)，其前n项和为Sn，
当q＝1时，Sn＝na1；
当q≠1时，Sn＝＝.
6．等比数列前n项和的性质
公比不为－1的等比数列{an}的前n项和为Sn，则Sn，S2n－Sn，S3n－S2n仍成等比数列，其公比为qn．
四、数列求和的常用方法
1．公式法
直接利用等差、等比数列的求和公式求和．
2．分组转化法
把数列转化为几个等差、等比数列，再求解．
3．裂项相消法
把数列的通项拆成两项之差求和，正负相消剩下首尾若干项．
常见的裂项公式
(1)＝－；
(2)＝；
(3)＝－.
4．倒序相加法
把数列分别正着写和倒着写再相加，即等差数列求和公式的推导过程的推广．
5．错位相减法
主要用于一个等差数列与一个等比数列对应项相乘所得的数列的求和．
6．并项求和法
一个数列的前n项和中，可两两结合求解，则称之为并项求和．形如an＝(－1)nf(n)类型，可采用两项合并求解．
五、不等关系与不等式
1．两个实数比较大小的方法
(1)作差法(a，b∈R)，
(2)作商法(a∈R，b＞0)，
2．不等式的基本性质
(1)对称性：a＞b?b＜a．
(2)传递性：a＞b，b＞c?a＞c．
(3)可加性：a＞b?a＋c＞b＋c．
(4)可乘性：?ac＞bc.?ac＜bc.
(5)同向可加性：?a＋c＞b＋d．
(6)同向可乘性：?ac＞bd．
(7)可乘方性：a＞b＞0?an＞bn(n∈N，n≥1)．
(8)可开方性：a＞b＞0?＞(n∈N，n≥2)．
3．不等式的一些常用性质
(1)倒数的性质
①a＞b，ab＞0?＜.
②a＜0＜b?＜.
③a＞b＞0，0＜c＜d?＞.
④0＜a＜x＜b或a＜x＜b＜0?＜＜.
(2)有关分数的性质
若a＞b＞0，m＞0，则
①＜；＞(b－m＞0)．
②＞；＜(b－m＞0)．
六、一元二次不等式及其解法
1．“三个二次”的关系
判别式Δ＝b2－4ac
Δ＞0
Δ＝0
Δ＜0
二次函数y＝ax2＋bx＋c (a＞0)的图象
一元二次方程ax2＋bx＋c＝0 (a＞0)的根
有两相异实根x1，x2(x1＜x2)
有两相等实根x1＝x2＝－
没有实数根
一元二次不等式ax2＋bx＋c＞0 (a＞0)的解集
{x|x＜x1或x＞x2}
{x|x∈R}
一元二次不等式ax2＋bx＋c＜0 (a＞0)的解集
{x|x1＜x＜x2}
?
?
2.常用结论
(x－a)(x－b)＞0或(x－a)(x－b)＜0型不等式的解法
不等式
解集
a＜b
a＝b
a＞b
(x－a)·(x－b)＞0
{x|x＜a或x＞b}
{x|x≠a}
{x|x＜b或x＞a}
(x－a)·(x－b)＜0
{x|a＜x＜b}
?
{x|b＜x＜a}
口诀：大于取两边，小于取中间．
3．常见分式不等式的解法
(1)＞0(＜0)?f(x)·g(x)＞0(＜0)．
(2)≥0(≤0)?f(x)·g(x)≥0(≤0)且g(x)≠0.
以上两式的核心要义是将分式不等式转化为整式不等式．
七、二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题
1．二元一次不等式表示的平面区域
(1)一般地，二元一次不等式Ax＋By＋C>0在平面直角坐标系中表示直线Ax＋By＋C＝0某一侧所有点组成的平面区域．我们把直线画成虚线，以表示区域不包括边界直线．当我们在坐标系中画不等式Ax＋By＋C≥0所表示的平面区域时，此区域应包括边界直线，则把边界直线画成实线．
(2)对于直线Ax＋By＋C＝0同一侧的所有点，把它的坐标(x，y)代入Ax＋By＋C，所得的符号都相同，所以只需在此直线的同一侧取一个特殊点(x0，y0)作为测试点，由Ax0＋By0＋C的符号即可断定Ax＋By＋C>0表示的是直线Ax＋By＋C＝0哪一侧的平面区域．
2．线性规划相关概念
名称
意义
约束条件
由变量x，y组成的一次不等式
线性约束条件
由x，y的一次不等式(或方程)组成的不等式组
目标函数
欲求最大值或最小值的函数
线性目标函数
关于x，y的一次解析式
可行解
满足线性约束条件的解
可行域
所有可行解组成的集合
最优解
使目标函数取得最大值或最小值的可行解
线性规划问题
在线性约束条件下求线性目标函数的最大值或最小值问题
八、基本不等式及其应用
1．基本不等式：≤
(1)基本不等式成立的条件：a＞0，b＞0．
(2)等号成立的条件：当且仅当a＝b时取等号．
2．几个重要的不等式
(1)a2＋b2≥2ab(a，b∈R)
(2)＋≥2(a，b同号)．
(3)ab≤(a，b∈R)．
(4)≥(a，b∈R)．
以上不等式等号成立的条件均为a＝b.
3．算术平均数与几何平均数
设a＞0，b＞0，则a，b的算术平均数为，几何平均数为，基本不等式可叙述为两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数．
4．利用基本不等式求最值问题
已知x＞0，y＞0，则
(1)如果积xy是定值p，那么当且仅当x＝y时，x＋y有最小值2．(简记：积定和最小)
(2)如果和x＋y是定值p，那么当且仅当x＝y时，xy有最大值．(简记：和定积最大)
1．在△ABC中，若sin A＞sin B，则A＞B.(√)
2．当b2＋c2－a2＞0时，三角形ABC为锐角三角形．(×)
[提示] 只能保证A为锐角，但不能保证三角形为锐角三角形．
3．在△ABC中，＝.(√)
4．在三角形中，已知两边和一角就能求三角形的面积．(√)
5．若一个数列从第二项起每一项与它的前一项的差都是常数，则这个数列是等差数列．(×)
[提示] “常数”必须强调为“同一个常数”．
6．等差数列{an}的单调性是由公差d决定的．(√)
7．数列{an}为等差数列的充要条件是对任意n∈N*，都有2an＋1＝an＋an＋2.(√)
8．已知数列{an}的通项公式是an＝pn＋q(其中p，q为常数)，则数列{an}一定是等差数列．(√)
9．满足an＋1＝qan(n∈N*，q为常数)的数列{an}为等比数列．(×)
[提示] 必须强调q≠0.
10．G为a，b的等比中项?G2＝ab.(×)
[提示] G2＝ab不能得出G是a，b的等比中项，如G＝0，a＝0，b＝1.
11．如果数列{an}为等比数列，则数列{ln an}是等差数列．(×)
[提示] 当an＞0时，结论才能成立．
12．数列{an}的通项公式是an＝an，则其前n项和为Sn＝.(×)
[提示] 公式成立的条件是a≠0，且a≠1.
13．若＞1，则a＞b.(×)
[提示] 若＞1，则a＞b成立的条件是b＞0.
14．一个不等式的两边同加上或同乘以同一个数，不等号方向不变．(×)
[提示] 不等式两边所乘的应是同一个正数．
15．a＞b＞0，c＞d＞0?＞.(√)
16．若ab＞0，则a＞b?＜.(√)
17．若不等式ax2＋bx＋c＞0的解集是(－∞，x1)∪(x2，＋∞), 则方程ax2＋bx＋c＝0的两个根是x1和x2.(√)
18．若方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)没有实数根，则不等式ax2＋bx＋c＞0的解集为R.(×)
[提示] 当a＞0或a＝0，b＝0且c＞0时，结论才能成立．
19．不等式ax2＋bx＋c≤0在R上恒成立的条件是a＜0且Δ＝b2－4ac≤0.(×)
[提示] 当a＝0，b＝0且c≤0时，不等式在R上也是恒成立的．
20．若二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象开口向下，则不等式ax2＋bx＋c＜0的解集一定不是空集．(√)
21．点(x1，y1)，(x2，y2)在直线Ax＋By＋C＝0同侧的充要条件是(Ax1＋By1＋C)(Ax2＋By2＋C)＞0，异侧的充要条件是(Ax1＋By1＋C)(Ax2＋By2＋C)＜0.(√)
22．第二、四象限表示的平面区域可以用不等式xy＜0表示．(√)
23．线性目标函数的最优解是唯一的．(×)
[提示] 线性目标函数的最优解可以有多个，也可以有无限多个．
24．最优解指的是使目标函数取得最大值或最小值的可行解．(√)
25．函数y＝x＋的最小值是2.(×)
[提示] 当x＞0时，x＋的最小值是2.
26．函数f(x)＝cos x＋，x∈的最小值等于4.(×)
[提示] cos x≠.
27．“x＞0且y＞0”是“＋≥2”的充要条件．(×)
[提示] ＋≥2D?/x＞0且y＞0，如x＝－4，y＝－1.
28．若a＞0，则a3＋的最小值为2.(×)
[提示] 2不是定值．
29．不等式a2＋b2≥2ab与≥有相同的成立条件．(×)
[提示] a2＋b2≥2ab成立的条件是a，b∈R.≥成立的条件是a＞0，b＞0.
30．两个正数的等差中项不小于它们的等比中项．(√)
1．(2018·全国卷Ⅲ)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若△ABC的面积为，则C＝( )
A． B． C． D．
C [因为S△ABC＝absin C，所以＝absin C．由余弦定理a2＋b2－c2＝2abcos C，得2abcos C＝2absin C，即cos C＝sin C，所以在△ABC中，C＝.故选C.]
2．(2018·全国卷Ⅱ)在△ABC中，cos ＝，BC＝1，AC＝5，则AB＝( )
A．4 B． C． D．2
A [因为cos ＝，所以cos C＝2cos2 －1＝2×()2－1＝－.于是，在△ABC中，由余弦定理得AB2＝AC2＋BC2－2AC×BC×cos C＝52＋12－2×5×1×(－)＝32，所以AB＝4.故选A.]
3．(2017·全国卷Ⅰ)设x，y满足约束条件则z＝x＋y的最大值为( )
A．0 B．1 C．2 D．3
D [根据题意作出可行域，如图阴影部分所示，由z＝x＋y得y＝－x＋z.
作出直线y＝－x，并平移该直线，
当直线y＝－x＋z过点A时，目标函数取得最大值．
由图知A(3，0)，
故zmax＝3＋0＝3.
故选D.]
4．(2017·全国卷Ⅰ)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知sin B＋sin A(sin C－cos C)＝0，a＝2，c＝，则C＝( )
A． B． C． D．
B [因为a＝2，c＝，
所以由正弦定理可知，＝，
故sin A＝sin C.
又B＝π－(A＋C)，
故sin B＋sin A(sin C－cos C)
＝sin(A＋C)＋sin Asin C－sin Acos C
＝sin Acos C＋cos Asin C＋sin Asin C－sin Acos C
＝(sin A＋cos A)sin C
＝0.
又C为△ABC的内角，
故sin C≠0，
则sin A＋cos A＝0，即tan A＝－1.
又A∈(0，π)，所以A＝.
从而sin C＝sin A＝×＝.
由A＝知C为锐角，故C＝.
故选B.]
5．(2018·全国卷Ⅱ)若x，y满足约束条件则z＝x＋y的最大值为________．
9 [法一：画出可行域如图中阴影部分所示．目标函数z＝x＋y可化为y＝－x＋z，作出直线y＝－x，并平移，当平移后的直线经过点B时，z取得最大值．联立，得解得所以B(5，4)，故zmax＝5＋4＝9.
法二：画图(图略)知可行域是封闭的三角形区域，易求得可行域的三个顶点的坐标分别是(1，2)，(5，4)，(5，0)，依次代入目标函数z＝x＋y可求得z的值是3，9，5，故zmax＝9.]
6．(2018·全国卷Ⅰ)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知bsin C＋csin B＝4asin Bsin C，b2＋c2－a2＝8，则△ABC的面积为________．
[由bsin C＋csin B＝4asin Bsin C得sin Bsin C＋sin Csin B＝4sin Asin Bsin C，因为sin Bsin C≠0，所以sin A＝.因为b2＋c2－a2＝8，cos A＝，所以bc＝，所以S△ABC＝bcsin A＝××＝.]
7．(2016·全国卷Ⅰ)某高科技企业生产产品A和产品B需要甲、乙两种新型材料，生产一件产品A需要甲材料1.5 kg，乙材料1 kg，用5个工时；生产一件产品B需要甲材料0.5 kg，乙材料0.3 kg，用3个工时．生产一件产品A的利润为2 100元，生产一件产品B的利润为900元．该企业现有甲材料150 kg，乙材料90 kg，则在不超过600个工时的条件下，生产产品A、产品B的利润之和的最大值为________元．
216 000 [设出产品A、产品B的产量，列出产品A，B的产量满足的约束条件，转化为线性规划问题求解．
设生产产品A x件，产品B y件，则
目标函数z＝2 100x＋900y.
作出可行域为图中的阴影部分(包括边界)内的整数点，图中阴影四边形的顶点坐标分别为(60，100)，(0，200)，(0，0)，(90，0)．
当直线z＝2 100x＋900y经过点(60，100)时，z取得最大值，zmax＝2 100×60＋900×100＝216 000(元)．]
8．(2017·全国卷Ⅱ)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若2bcos B＝acos C＋ccos A，则B＝________．
[法一：由2bcos B＝acos C＋ccos A及正弦定理，
得2sin Bcos B＝sin Acos C＋sin Ccos A.
∴2sin Bcos B＝sin(A＋C)．
又A＋B＋C＝π，∴A＋C＝π－B.
∴2sin Bcos B＝sin(π－B)＝sin B.
又sin B≠0，∴cos B＝.∴B＝.
法二：∵在△ABC中，acos C＋ccos A＝b，
∴条件等式变为2bcos B＝b，∴cos B＝.
又0＜B＜π，∴B＝.]
9．(2018·全国卷Ⅰ)已知数列{an}满足a1＝1，nan＋1＝2(n＋1)an.设bn＝.
(1)求b1，b2，b3；
(2)判断数列{bn}是否为等比数列，并说明理由；
(3)求{an}的通项公式．
[解] (1)由条件可得an＋1＝an.
将n＝1代入得，a2＝4a1，而a1＝1，所以，a2＝4.
将n＝2代入得，a3＝3a2，所以，a3＝12.
从而b1＝1，b2＝2，b3＝4.
(2){bn}是首项为1，公比为2的等比数列．
由条件可得＝，即bn＋1＝2bn，又b1＝1，所以{bn}是首项为1，公比为2的等比数列．
(3)由(2)可得＝2n－1，所以an＝n·2n－1.
10．(2018·全国卷Ⅲ)等比数列{an}中，a1＝1，a5＝4a3.
(1)求{an}的通项公式；
(2)记Sn为{an}的前n项和．若Sm＝63，求m.
[解] (1)设{an}的公比为q，由题设得an＝qn－1.
由已知得q4＝4q2，解得q＝0(舍去)，q＝－2或q＝2.
故an＝(－2)n－1或an＝2n－1.
(2)若an＝(－2)n－1，则Sn＝.
由Sm＝63得(－2)m＝－188，此方程没有正整数解．
若an＝2n－1，则Sn＝2n－1.由Sm＝63得2m＝64，解得m＝6.
综上，m＝6.
11．(2017·全国卷Ⅲ)设数列{an}满足a1＋3a2＋…＋(2n－1)an＝2n.
(1)求{an}的通项公式；
(2)求数列的前n项和．
[解] (1)因为a1＋3a2＋…＋(2n－1)an＝2n，
故当n≥2时，
a1＋3a2＋…＋(2n－3)an－1＝2(n－1)，
两式相减得(2n－1)an＝2，
所以an＝(n≥2)．
又由题设可得a1＝2，满足上式，
所以{an}的通项公式为an＝.
(2)记的前n项和为Sn.
由(1)知＝＝－，
则Sn＝－＋－＋…＋－＝.
12．(2018·全国卷Ⅰ)在平面四边形ABCD中，∠ADC＝90°，∠A＝45°，AB＝2，BD＝5.
(1)求cos∠ADB；
(2)若DC＝2，求BC.
[解] (1)在△ABD中，由正弦定理得＝.
由题设知，＝，所以sin∠ADB＝.
由题设知，∠ADB＜90°，所以cos∠ADB＝＝.
(2)由题设及(1)知，cos∠BDC＝sin∠ADB＝.
在△BCD中，由余弦定理得
BC2＝BD2＋DC2－2·BD·DC·cos∠BDC
＝25＋8－2×5×2×＝25.
所以BC＝5.
13．(2017·全国卷Ⅰ)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知△ABC的面积为.
(1)求sin Bsin C；
(2)若6cos Bcos C＝1，a＝3，求△ABC的周长．
[解] (1)由题设得acsin B＝，
即csin B＝.
由正弦定理得sin Csin B＝.
故sin Bsin C＝.
(2)由题设及(1)得cos Bcos C－sin Bsin C＝－，
即cos(B＋C)＝－.所以B＋C＝，故A＝.
由题意得bcsin A＝，a＝3，所以bc＝8.
由余弦定理得b2＋c2－bc＝9，
即(b＋c)2－3bc＝9.由bc＝8，得b＋c＝.
故△ABC的周长为3＋.
