课件46张PPT。第一章 解三角形1.1 正弦定理和余弦定理
1.1.1 正弦定理
第1课时 正弦定理(1)所对角的正弦三个角A，B，C对边a，b，c其他元素正弦定理证明 已知两角及一边解三角形 已知两边及一边的对角解三角形 三角形形状的判断 点击右图进入…Thank you for watching !课件54张PPT。第一章 解三角形1.1 正弦定理和余弦定理
1.1.1 正弦定理
第2课时 正弦定理(2)a∶b∶c2R 一解两解a
1.1 正弦定理和余弦定理
1.1.1 正弦定理
第1课时 正弦定理(1)
学 习 目 标
核 心 素 养
1.通过对任意三角形边长和角度关系的探索，掌握正弦定理的内容及其证明(难点).
2.能运用正弦定理与三角形内角和定理解决简单的解三角形问题(重点)．
1.通过对正弦定理的推导及应用正弦定理判断三角形的形状，培养学生逻辑推理的核心素养.
2.借助利用正弦定理求解三角形的边长或角的大小的学习，培养了学生数学运算的核心素养.
1．正弦定理
思考：如图所示，在Rt△ABC中，，，各自等于什么？
[提示] ＝＝＝c.
2．解三角形
(1)一般地，把三角形的三个角A，B，C和它们的对边a，b，c叫做三角形的元素．
(2)已知三角形的几个元素求其他元素的过程叫做解三角形．
思考：利用正弦定理可以解决哪两类有关三角形问题？
[提示] 利用正弦定理可以解决以下两类有关三角形的问题：
①已知两角和任意一边，求其他两边和第三个角；
②已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角，从而求出其他的边和角．
1．在△ABC中，若角A，B，C的对边分别是a，b，c，则下列各式一定成立的是( )
A．＝ B．＝
C．asin B＝bcos A D．acos B＝bsin A
B [在△ABC中，由正弦定理＝，得＝.]
2．在△ABC中，若A＝60°，B＝45°，BC＝3，则AC＝________．
2 [由正弦定理得：＝，
所以AC＝＝2.]
3．在△ABC中，A＝45°，c＝2，则AC边上的高等于_________．
[AC边上的高为ABsin A＝csin A＝2sin 45°＝.]
4．在△ABC中，若a＝3，b＝，A＝，则C＝________．
[由正弦定理得：＝，
所以sin B＝.
又a>b，所以A>B，所以B＝，
所以C＝π－＝.]
正弦定理证明
【例1】 在钝角△ABC中，证明正弦定理．
[证明] 如图，过C作CD⊥AB，垂足为D，D是BA延长线上一点，
根据正弦函数的定义知：
＝sin∠CAD＝sin(180°－A)
＝sin A，＝sin B.
∴CD＝bsin A＝asin B.
∴＝.
同理，＝.
故＝＝.
1．本例用正弦函数定义沟通边与角内在联系，充分挖掘这些联系可以使你理解更深刻，记忆更牢固．
2．要证＝，只需证asin B＝bsin A，而asin B，bsin A都对应CD.初看是神来之笔，仔细体会还是有迹可循的，通过体会思维的轨迹，可以提高我们的分析解题能力．
1．如图所示，锐角△ABC的外接圆O半径为R，证明＝2R.
[证明] 连接BO并延长，交外接圆于点A′，连接A′C，
则圆周角∠A′＝∠A.
∵A′B为直径，长度为2R，
∴∠A′CB＝90°，
∴sin A′＝＝，
∴sin A＝，即＝2R.
已知两角及一边解三角形
【例2】 在△ABC中，已知c＝10，A＝45°，C＝30°，解这个三角形．
[解] 因为A＝45°，C＝30°，所以B＝180°－(A＋C)＝105°.
由＝得a＝＝10×＝10.
因为sin 75°＝sin(30°＋45°)＝sin 30°cos 45°＋cos 30°sin 45°＝，所以b＝＝＝20×＝5＋5.
已知三角形的两角和任一边解三角形的思路
(1)若所给边是已知角的对边时，可由正弦定理求另一角所对边，再由三角形内角和定理求出第三个角．
(2)若所给边不是已知角的对边时，先由三角形内角和定理求出第三个角，再由正弦定理求另外两边．
2．在△ABC中，a＝5，B＝45°，C＝105°，求边c.
[解] 由三角形内角和定理知A＋B＋C＝180°，
所以A＝180°－(B＋C)＝180°－(45°＋105°)＝30°.
由正弦定理＝，
得c＝a·＝5·＝5·
＝5·
＝(＋).
已知两边及一边的对角解三角形
【例3】 (1)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知C＝60°，b＝，c＝3，则A＝________．
(2)在△ABC中，已知c＝，A＝45°，a＝2，解这个三角形．
(1)75° [由题意得：＝，所以sin B＝＝＝，因为b＜c，所以B＝45°，所以A＝180°－B－C＝75°.]
(2)[解] 因为＝，所以sin C＝＝＝.因为0°＜C＜180°，所以C＝60°或C＝120°.
当C＝60°时，B＝75°，b＝＝＝＋1；
当C＝120°时，B＝15°，b＝＝＝－1.
所以b＝＋1，B＝75°，C＝60°或b＝－1，B＝15°，C＝120°.
已知两边及其中一边的对角解三角形的思路
(1)首先由正弦定理求出另一边对角的正弦值；
(2)如果已知的角为大边所对的角时，由三角形中大边对大角，大角对大边的法则能判断另一边所对的角为锐角，由正弦值可求锐角；
(3)如果已知的角为小边所对的角时，则不能判断另一边所对的角为锐角，这时由正弦值可求两个角，要分类讨论．
3．在△ABC中，A＝，BC＝3，AB＝，则角C等于( )
A．或 B．
C． D．
C [由正弦定理，得sin C＝＝.因为BC＞AB，所以A＞C，则0＜C＜，故C＝.]
4．已知△ABC中，a＝x，b＝2，B＝45°，若三角形有两解，则x的取值范围是( )
A．x＞2 B．x＜2
C．2＜x＜2 D．2＜x＜2
C [由asin B＜b＜a，得x＜2＜x，所以2＜x＜2.]
三角形形状的判断
[探究问题]
1．由＝2R，＝2R，＝2R可以得到哪些变形形式？这些变形形式有什么功能？
[提示] (角化边)sin A＝，sin B＝，sin C＝，
(边化角)a＝2Rsin A，b＝2Rsin B，c＝2Rsin C，
(边角互化)a∶b∶c＝sin A∶sin B∶sin C.
2．三角形中常见边角之间的关系有哪些？
[提示] 在△ABC中，(1)a＋b＞c，|a－b|＜c，
(2)a＞b?A＞B?sin A＞sin B，
(3)A＋B＋C＝π?sin(A＋B)＝sin C，
sin＝cos.
【例4】 在△ABC中，若sin A＝2sin Bcos C，且sin2A＝sin2B＋sin2C，试判断△ABC的形状．
思路探究：解决本题的关键是利用sin A＝，sin B＝，sin C＝把sin2A＝sin2B＋sin2C转化为三角形三边的关系，从而判定出角A，然后再利用sin A＝2sin Bcos C求解．
[解] 法一：(利用角的互余关系)根据正弦定理，得＝＝，
∵sin2A＝sin2B＋sin2C，∴a2＝b2＋c2，
∴A是直角，B＋C＝90°，
∴2sin Bcos C＝2sin Bcos(90°－B)＝2sin2B＝sin A＝1，
∴sin B＝.
∵0°∴△ABC是等腰直角三角形．
法二：(利用角的互补关系)根据正弦定理，
得＝＝，
∵sin2A＝sin2B＋sin2C，
∴a2＝b2＋c2，∴A是直角．
∵A＝180°－(B＋C)，sin A＝2sin Bcos C，
∴sin(B＋C)＝sin Bcos C＋cos Bsin C＝2sin Bcos C，
∴sin(B－C)＝0.
又－90°∴△ABC是等腰直角三角形．
(变条件)将本例题条件“sin A＝2sin Bcos C，且sin2A＝sin2B＋sin2C”改为“b＝acos C”其它条件不变，试判断△ABC的形状．
[解] ∵b＝acos C，
由正弦定理，得
sin B＝sin Acos C．(*)
∵B＝π－(A＋C)，
∴sin B＝sin(A＋C)，从而(*)式变为
sin(A＋C)＝sin Acos C.
∴cos Asin C＝0.
又∵A，C∈(0，π)，
∴cos A＝0，A＝，即△ABC是直角三角形．
1．判断三角形的形状，应围绕三角形的边角关系进行，既可以转化为边与边的关系，也可以转化为角与角的关系．
2．注意在边角互化过程中，正弦定理的变形使用，如＝等．
1．本节课要牢记正弦定理及其常见变形
(1)＝＝＝2R(其中R为△ABC外接圆的半径)；
(2)a∶b∶c＝sin A∶sin B∶sin C；
(3)＝＝＝；
(4)在△ABC中，sin A＞sin B?A＞B?a＞b.
2．要掌握正弦定理的三个应用
(1)已知两角和任一边，求其它两边和一角．
(2)已知两边和其中一边的对角，求另一边和两角．
(3)判断三角形的形状．
3．本节课的易错点有两处
(1)已知两边和其中一边的对角解三角形时，可能出现无解或两解的情况．
(2)在判断三角形的形状时易混淆“等腰或直角三角形”与“等腰直角三角形”．
1．判断正误
(1)正弦定理只适用于锐角三角形． ( )
(2)正弦定理不适用于直角三角形． ( )
(3)在某一确定的三角形中，各边与它所对的角的正弦的比值是一定值． ( )
[答案] (1)× (2)× (3)√
[提示] 正弦定理适用于任意三角形，故(1)(2)均不正确．
2．在△ABC中，若c＝2acos B，则△ABC的形状为( )
A．直角三角形 B．等腰三角形
C．等边三角形 D．不等边三角形
B [由正弦定理知c＝2Rsin C，a＝2Rsin A，
故sin C＝2sin Acos B＝sin(A＋B)
＝sin Acos B＋cos Asin B，
所以sin Acos B＝cos Asin B，
即sin(A－B)＝0，所以A＝B.
故△ABC为等腰三角形．]
3．在△ABC中，三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a＝，b＝，B＝60°，那么A等于( )
A．135° B．90°
C．45° D．30°
C [由＝得sin A＝＝＝，
∴A＝45°或135°.
又∵a∴A＝45°.]
4．已知在△ABC中，a＝，b＝，B＝45°，解这个三角形．
[解] 由正弦定理及已知条件有＝，得sin A＝.
∵a>b，∴A>B＝45°.∴A＝60°或120°.
当A＝60°时，C＝180°－45°－60°＝75°，
c＝＝＝；
当A＝120°时，C＝180°－45°－120°＝15°，
c＝＝＝.
综上，可知A＝60°，C＝75°，c＝或A＝120°，C＝15°，c＝.
第2课时 正弦定理(2)
学 习 目 标
核 心 素 养
1.熟记并能应用正弦定理的有关变形公式，解决三角形中的问题(重点).
2.能根据条件，判断三角形解的个数.
3.能利用正弦定理、三角恒等变换、三角形面积公式解决较为复杂的三角形问题(难点).
1.通过三角形解的个数判断的学习，体现了数学运算和逻辑推理素养.
2.借助求解三角形的面积及正弦定理的综合应用，提升数学运算素养.
1．正弦定理及其变形
(1)定理内容：
＝＝＝2R(R为外接圆半径)．
(2)正弦定理的常见变形：
①sin A∶sin B∶sin C＝a∶b∶c；
②＝＝＝＝2R；
③a＝2Rsin_A，b＝2Rsin_B，c＝2Rsin_C；
④sin A＝，sin B＝，sin C＝．
思考：在△ABC中，已知acos B＝bcos A．你能把其中的边a，b化为用角表示吗(打算怎么用上述条件)?
[提示] 可借助正弦定理把边化成角：2Rsin Acos B＝2Rsin Bcos A，移项后就是一个三角恒等变换公式sin Acos B－cos Asin B＝0.
2．对三角形解的个数的判断
已知三角形的两角和任意一边，求另两边和另一角，此时有唯一解，三角形被唯一确定．已知两边和其中一边的对角，求其他的边和角，此时可能出现一解、两解或无解的情况，三角形不能被唯一确定，现以已知a，b和A解三角形为例说明
图形
关系式
解的个数
A为锐角
①a＝bsin A；②a≥b
一解
bsin A两解
a无解
思考：在△ABC中，a＝9，b＝10，A＝60°，判断三角形解的个数．
[提示] sin B＝sin A＝×＝，
而<<1，所以当B为锐角时，满足sin B＝的角有60°也满足A＋B<180°，故三角形有两解．
3．三角形的面积公式
任意三角形的面积公式为：
(1)S△ABC＝bcsin A＝acsin B＝absin C，即任意三角形的面积等于任意两边与它们夹角的正弦的乘积的一半．
(2)S△ABC＝ah，其中a为△ABC的一边长，而h为该边上的高的长．
(3)S△ABC＝r(a＋b＋c)＝rl，其中r，l分别为△ABC的内切圆半径及△ABC的周长．
1．在△ABC中，sin A＝sin C，则△ABC是( )
A．直角三角形 B．等腰三角形
C．锐角三角形 D．钝角三角形
B [由正弦定理可得sin A＝sin C?＝，即a＝c，所以△ABC为等腰三角形．]
2．在△ABC中，下列式子与的值相等的是( )
A． B．
C． D．
C [由正弦定理可得＝＝，故选C.]
3．在△ABC中，A＝30°，a＝3，b＝2，则这个三角形有( )
A．一解 B．两解
C．无解 D．无法确定
A [由b4．在△ABC中，若＝，则B的值为________．
45° [根据正弦定理知＝，结合已知条件可得sin B＝cos B，又0°＜B＜180°，所以B＝45°.]
三角形解的个数的判断
【例1】 已知下列各三角形中的两边及其一边的对角，判断三角形是否有解，有解的作出解答．
(1)a＝10，b＝20，A＝80°；
(2)a＝2，b＝6，A＝30°.
[解] (1)a＝10，b＝20，a讨论如下：
∵bsin A＝20sin 80°>20sin 60°＝10，
∴a(2)a＝2，b＝6，a∵bsin A＝6sin 30°＝3，a>bsin A，
∴bsin A∴三角形有两解．
由正弦定理得
sin B＝＝＝，
又∵B∈(0°，180°)，∴B1＝60°，B2＝120°.
当B1＝60°时，C1＝90°，c1＝＝＝4；
当B2＝120°时，C2＝30°，c2＝＝＝2.
∴B1＝60°时，C1＝90°，c1＝4；B2＝120°时，C2＝30°，c2＝2.
已知两边和其中一边的对角解三角形时，首先求出另一边的对角的正弦值，根据该正弦值求角时，要根据已知两边的大小情况来确定该角有一个值还是两个值．或者根据该正弦值(不等于1时)在0°～180°范围内求角，一个锐角，一个钝角，只要不与三角形内角和定理矛盾，就是所求．
1．满足B＝60°，AC＝12，BC＝k的△ABC恰有一个，则k的取值范围是( )
A．k＝8 B．0＜k≤12
C．k≥12 D．0＜k≤12或k＝8
D [已知两边和其中一边的对角解三角形时，首先求出另一边的对角的正弦值，由正弦值求角时，需对角的情况进行讨论：当AC＜BCsin B，即12＜ksin 60°，即k＞8时，三角形无解；当AC＝BCsin B，即12＝ksin 60°，即k＝8时，三角形有一解；当BCsin B＜AC＜BC，即k＜12＜k，即12＜k＜8时，三角形有两解；当0＜BC≤AC，即0＜k≤12时，三角形有一解．综上，0＜k≤12或k＝8时，三角形有一解．]
三角形的面积
【例2】 在△ABC中，若a＝2，C＝，cos ＝，求△ABC的面积S.
思路探究：根据C＝及cos ＝.利用sin A＝sin(B＋C)求出sin A的值．然后利用正弦定理＝求出c值．利用S＝acsin B求解．
[解] ∵cos ＝，
∴cos B＝2cos2 －1＝.
∴B∈，∴sin B＝.
∵C＝，∴sin A＝sin(B＋C)
＝sin Bcos C＋cos Bsin C＝.
∵＝，
∴c＝＝×＝.
∴S＝acsin B＝×2××＝.
已知三角形的两边和夹角可求三角形的面积，三角形的面积公式为S＝ab·sin C＝ac·sin B＝bc·sin A.
2．(1)在△ABC中，若a＝3，cos C＝，S△ABC＝4，则b＝________．
(2)在△ABC中，AB＝，AC＝1，B＝30°，则△ABC的面积等于________．
(1)2 (2)或 [(1)∵cos C＝，∴C∈(0°，90°)，∴sin C＝＝，
又S△ABC＝absin C＝·3·b·＝4，
∴b＝2.
(2)由正弦定理得sin C＝＝＝，
又∵C∈(0°，180°)，∴C＝60°或120°，
∴A＝90°或30°，
∴S△ABC＝AB·AC·sin A＝或.]
正弦定理的综合应用
[探究问题]
1．你能用坐标法证明S△ABC＝absin C＝bcsin A＝acsin B吗？
[提示] (以已知a，b，C为例)以△ABC的顶点C为原点，射线CB的方向为x轴正方向建立平面直角坐标系，则顶点A的坐标为(bcos C，bsin C)．
过点A作BC边上的高AE，则根据三角函数的定义可得AE＝bsin C，所以△ABC的面积S＝·BC·AE＝·a·bsin C＝absin C.
同理可得S＝bcsin A，S＝acsin B.
故S△ABC＝absin C＝bcsin A＝acsin B.
2．应用正弦定理解三角形时经常挖掘三角形中哪些隐含条件？
[提示] (1)在△ABC中，A＋B＋C＝π?sin(A＋B)＝sin C，cos(A＋B)＝－cos C；＝－?sin ＝cos .
(2)若△ABC为锐角三角形，则A＋B>，A＋C>，B＋C>；A＋B>?A>－B?sin A>cos B，cos A【例3】 在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，m＝(sin A，sin B)，n＝(cos B，cos A)，m·n＝－sin 2C.
(1)求C的大小；
(2)若c＝2，A＝，求△ABC的面积．
思路探究：(1)由m·n＝－sin 2C，利用三角恒等变换求出C的大小；
(2)由正弦定理可得b的大小，利用三角形的面积公式求解．
[解] (1)由题意，m·n＝sin Acos B＋sin Bcos A＝－sin 2C，
即sin(A＋B)＝－sin 2C，sin C＝－2sin Ccos C.
由00.
所以cos C＝－.C＝.
(2)由C＝，A＝，得B＝π－A－C＝.
由正弦定理，＝，即＝，解得b＝2.
所以△ABC的面积S＝bcsin A＝×2×2×sin ＝.
(变条件，结论)将例题中的条件“m＝(sin A，sin B)，n＝(cos B，cos A)，m·n＝－sin 2C”换为“若a＋c＝2b，2cos 2B－8cos B＋5＝0”求角B的大小并判断△ABC的形状．
[解] ∵2cos 2B－8cos B＋5＝0，
∴2(2cos2B－1)－8cos B＋5＝0.
∴4cos2B－8cos B＋3＝0，
即(2cos B－1)(2cos B－3)＝0.
解得cos B＝或cos B＝(舍去)．
∵0∵a＋c＝2b.
由正弦定理，
得sin A＋sin C＝2sin B＝2sin ＝.
∴sin A＋sin＝，
∴sin A＋sin cos A－cos sin A＝.
化简得sin A＋cos A＝，
∴sin＝1.
∵0∴A＝，C＝.
∴△ABC是等边三角形．
借助正弦定理可以实现三角形中边角关系的互化，转化为角的关系后，常利用三角变换公式进行变形、化简，确定角的大小或关系，继而判断三角形的形状、证明三角恒等式．
1．会用正弦定理的四个变形
(1)(角化边)sin A＝，sin B＝，sin C＝.
(2)(边化角)a＝2Rsin A，b＝2Rsin B，c＝2Rsin C.
(3)(边角互换)a∶b∶c＝sin A∶sin B∶sin C.
(4)(比例的性质)＝＝＝.
2．应用正弦定理解三角形时应注意挖掘的三个隐含条件
(1)在△ABC中，a＋b＞c，|a－b|＜c；A＞B?sin A＞sin B，A＞B?cos A＜cos B；a＞b?A＞B；sin A＋sin B＞sin C.
(2)在△ABC中，A＋B＋C＝π?sin(A＋B)＝sin C，cos(A＋B)＝－cos C；＝－?sin＝cos .
(3)若△ABC为锐角三角形，则A＋B＞，A＋C＞，B＋C＞；A＋B＞?A＞－B?sin A＞cos B，cos A＜sin B.
1．判断正误
(1)在△ABC中，等式bsin A＝asin B总能成立． ( )
(2)在△ABC中，若∠A＝30°，a＝2，b＝2，则B＝60°.( )
(3)在△ABC中，已知a，b，A，则此三角形有唯一解． ( )
[答案] (1)√ (2)× (3)×
[提示] (2)由正弦定理可知＝，即＝，所以sin B＝，则B＝60°或120°，又因为b>a，所以B>A，故B＝60°或120°.
(3)当bsin A2．满足a＝4，b＝3和A＝45°的△ABC的个数为( )
A．0 B．1
C．2 D．无数多
B [因为A＝45°<90°，a＝4>3＝b，所以△ABC的个数为1.]
3．在△ABC中，A，B，C所对的边分别为a，b，c，其中a＝4，b＝3，C＝60°，则△ABC的面积为( )
A．3 B．3
C．6 D．6
B [由S＝absin C＝×4×3×得S＝3，故选B.]
4．在△ABC中，若b＝5，B＝，tan A＝2，则sin A＝________，a＝________．
2 [由tan A＝2，得sin A＝2cos A，
由sin2A＋cos2A＝1，得sin A＝，
∵b＝5，B＝，
由正弦定理＝，
得a＝＝＝2.]
5．在△ABC中，若a∶b∶c＝1∶3∶5，求的值．
[解] 由条件得＝＝，∴sin A＝sin C.
同理可得sin B＝sin C.
∴＝＝－.
课时分层作业(一) 正弦定理(1)
(建议用时：60分钟)
[基础达标练]
一、选择题
1．在△ABC中，a＝4，A＝45°，B＝60°，则边b的值为( )
A．＋1 B．2＋1
C．2 D．2＋2
C [由已知及正弦定理，得＝，
∴b＝＝＝2.]
2．在△ABC中，A＝60°，a＝4，b＝4，则B等于( )
A．45°或135° B．135°
C．45° D．以上答案都不对
C [∵sin B＝＝＝，
∴B＝45°或135°.
但当B＝135°时，不符合题意，
∴B＝45°，故选C.]
3．在△ABC中，A>B，则下列不等式中不一定正确的是( )
A．sin A>sin B B．cos AC．sin 2A>sin 2B D．cos 2AC [A>B?a>b?sin A>sin B，A正确．由于(0，π)上，y＝cos x单调递减，
∴cos Acos 2A＝1－2sin2A.
∵sin A>sin B>0，∴sin2A>sin2B，
∴cos 2A4．在△ABC中，A∶B∶C＝4∶1∶1，则a∶b∶c等于( )
A．4∶1∶1 B．2∶1∶1
C．∶1∶1 D．∶1∶1
D [∵A＋B＋C＝180°，A∶B∶C＝4∶1∶1，
∴A＝120°，B＝30°，C＝30°.
由正弦定理的变形公式得a∶b∶c＝sin A∶sin B∶sin C＝sin 120°∶sin 30°∶sin 30°＝∶∶＝∶1∶1.]
5．在△ABC中，a＝bsin A，则△ABC一定是( )
A．锐角三角形 B．直角三角形
C．钝角三角形 D．等腰三角形
B [∵a＝bsin A，∴＝sin A＝，∴sin B＝1，
又∵B∈(0，π)，∴B＝，即△ABC为直角三角形．]
二、填空题
6．在△ABC中，B＝45°，C＝60°，c＝1，则最短边的边长等于________．
[由三角形内角和定理知：A＝75°，由边角关系知B所对的边b为最小边，由正弦定理＝得b＝＝＝.]
7．设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若a＝，sin B＝，C＝，则b＝________．
1 [在△ABC中，∵sin B＝，0又∵B＋C<π，C＝，∴B＝，
∴A＝π－－＝π.
∵＝，∴b＝＝1.]
8．在△ABC中，AB＝，∠A＝75°，∠B＝45°，则AC＝________．
2 [由正弦定理可知＝，即＝，解得AC＝2.]
三、解答题
9．在△ABC中，A＝60°，sin B＝，a＝3，求三角形中其它边与角的大小．
[解] 由正弦定理得＝，
即b＝＝＝.
由于A＝60°，则B<120°，
即B＝30°，则C＝90°，
∴c＝＝＝2.
综上，b＝，c＝2，B＝30°，C＝90°.
10．在△ABC中，已知＝＝，试判断△ABC的形状．
[解] 令＝k，
由正弦定理得a＝ksin A，b＝ksin B，c＝ksin C.
代入已知条件，得＝＝，
即tan A＝tan B＝tan C.
又A，B，C∈(0，π)，
∴A＝B＝C，∴△ABC为等边三角形．
[能力提升练]
1．在△ABC中，已知B＝60°，最大边与最小边的比为，则三角形的最大角为( )
A．60° B．75°
C．90° D．115°
B [不妨设a为最大边，c为最小边，
由题意有＝＝，
即＝.
整理得(3－)sin A＝(3＋)cos A.
∴tan A＝2＋，
又∵A∈(0°，120°)，∴A＝75°，故选B.]
2．在△ABC中，a＝4，b＝，5cos(B＋C)＋3＝0，则B的大小为( )
A． B．
C． D．π
A [由5cos(B＋C)＋3＝0得cos A＝，
∵A∈，∴sin A＝，
由正弦定理得＝，∴sin B＝.
又∵a>b，∴A>B，且A∈，
∴B必为锐角，∴B＝.]
3．已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a＝b，A＝2B，则cos B＝________．
[在△ABC中，因为
所以
所以cos B＝.]
4．已知在△ABC中，A∶B∶C＝1∶2∶3，a＝1，则＝________．
2 [∵A∶B∶C＝1∶2∶3，
∴A＝30°，B＝60°，C＝90°.
∵＝＝＝＝2，
∴a＝2sin A，b＝2sin B，c＝2sin C，
∴＝2.]
5．已知△ABC中角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且acos C＋c＝b.
(1)求角A的大小；
(2)若a＝1，b＝，求c的值．
[解] (1)由acos C＋c＝b，
得sin Acos C＋sin C＝sin B.
因为sin B＝sin(A＋C)＝sin Acos C＋cos Asin C，所以sin C＝cos Asin C.
因为sin C≠0，所以cos A＝.
因为0＜A＜π，所以A＝.
(2)由正弦定理，得sin B＝＝.
所以B＝或.
①当B＝时，由A＝，得C＝，所以c＝2；
②当B＝时，由A＝，得C＝，所以c＝a＝1，综上可得c＝1或2.
课时分层作业(二) 正弦定理(2)
(建议用时：60分钟)
[基础达标练]
一、选择题
1．在△ABC中，b＋c＝＋1，C＝45°，B＝30°，则( )
A．b＝1，c＝ B．b＝，c＝1
C．b＝，c＝1＋ D．b＝1＋，c＝
A [∵＝＝＝＝2，∴b＝1，c＝.]
2．在△ABC中，a＝3，b＝5，sin A＝，则sin B＝( )
A． B．
C． D．1
B [在△ABC中，由正弦定理＝，得sin B＝＝＝.]
3．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且a＝bsin A，则sin B＝( )
A． B．
C． D．－
B [由正弦定理得a＝2Rsin A，b＝2Rsin B，
所以sin A＝sin Bsin A，故sin B＝.]
4．在△ABC中，A＝60°，a＝，则等于( )
A． B．
C． D．2
B [由a＝2Rsin A，b＝2Rsin B，c＝2Rsin C得＝2R＝＝＝.]
5．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.若B＝，a＝，sin2B＝2sin Asin C，则△ABC的面积S＝( )
A． B．3 C． D．6
B [由sin2B＝2sin Asin C及正弦定理，得b2＝2ac，①
又B＝，所以a2＋c2＝b2.②
联立①②解得a＝c＝，所以S＝××＝3.]
二、填空题
6．下列条件判断三角形解的情况，正确的是________(填序号)．
①a＝8，b＝16，A＝30°，有两解；
②b＝18，c＝20，B＝60°，有一解；
③a＝15，b＝2，A＝90°，无解；
④a＝40，b＝30，A＝120°，有一解．
④ [①中a＝bsin A，有一解；②中csin Bb，有一解；④中a>b且A＝120°，有一解．综上，④正确．]
7．在△ABC中，A＝60°，AC＝4，BC＝2，则△ABC的面积等于________．
2 [在△ABC中，根据正弦定理，得＝，所以＝，解得sin B＝1.因为B∈(0°，120°)，所以B＝90°，所以C＝30°，所以△ABC的面积S△ABC＝·AC·BC·sin C＝2.]
8．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若cos A＝，cos C＝，a＝1，则b＝________．
[在△ABC中由cos A＝，cos C＝，可得sin A＝，sin C＝，sin B＝sin(A＋C)＝sin Acos C＋cos Asin C＝，由正弦定理得b＝＝.]
三、解答题
9．已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知A－C＝90°，a＋c＝b，求C.
[解] 由A－C＝90°，得A为钝角且sin A＝cos C，利用正弦定理，a＋c＝b可变形为sin A＋sin C＝sin B，
又∵sin A＝cos C，
∴sin A＋sin C＝cos C＋sin C＝sin(C＋45°)＝sin B，
又A，B，C是△ABC的内角，
故C＋45°＝B或(C＋45°)＋B＝180°(舍去)，所以A＋B＋C＝(90°＋C)＋(C＋45°)＋C＝180°.所以C＝15°.
10．在△ABC中，已知c＝10，＝＝，求a、b及△ABC的内切圆半径．
[解] 由正弦定理知＝，
∴＝.
即sin Acos A＝sin Bcos B，
∴sin 2A＝sin 2B.
又∵a≠b且A，B∈(0，π)，
∴2A＝π－2B，即A＋B＝.
∴△ABC是直角三角形且C＝，
由 得a＝6，b＝8.
∴内切圆的半径为r＝＝＝2.
[能力提升练]
1．在△ABC中，A＝，BC＝3，则△ABC的两边AC＋AB的取值范围是( )
A．[3，6] B．(2，4)
C．(3，4) D．(3，6]
D [∵A＝，∴B＋C＝π.
∴AC＋AB＝(sin B＋sin C)
＝
＝2
＝6sin，
∴B∈，∴B＋∈，
∴sin∈，
∴AC＋AB∈(3，6]．]
2．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，向量m＝(，－1)，n＝(cos A，sin A)，若m⊥n，且acos B＋bcos A＝csin C，则角A，B的大小分别为( )
A．， B．，
C．， D．，
C [∵m⊥n，∴cos A－sin A＝0，
∴tan A＝，
又∵A∈(0，π)，∴A＝，
由正弦定理得sin Acos B＋sin Bcos A＝sin2C，∴sin(A＋B)＝sin2C，即sin C＝1，∴C＝，B＝.]
3．在Rt△ABC中，C＝90°，且A，B，C所对的边a，b，c满足a＋b＝cx，则实数x的取值范围是________．
(1，] [∵a＋b＝cx，∴x＝＝＝sin A＋cos A＝sin.
∵A∈，∴A＋∈，
∴sin∈，∴x∈(1，]．]
4．在△ABC中，若A＝120°，AB＝5，BC＝7，则sin B＝________．
[由正弦定理，得＝，即sin C＝＝＝.
可知C为锐角，∴cos C＝＝.
∴sin B＝sin(180°－120°－C)＝sin(60°－C)
＝sin 60°·cos C－cos 60°·sin C＝.]
5．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足csin A＝acos C.
(1)求角C的大小；
(2)求sin A－cos的最大值，并求取得最大值时角A，B的大小．
[解] (1)由正弦定理及已知条件得sin Csin A＝sin Acos C．因为00，从而sin C＝cos C，则C＝.
(2)由(1)知，B＝－A，于是sin A－cos＝sin A－cos(π－A)＝sin A＋cos A＝2sin.
因为0从而当A＋＝，即A＝时，2sin取得最大值2.
综上所述，sin A－cos 的最大值为2，此时A＝，B＝.
