课件43张PPT。第二章 数列2.4 等比数列
第1课时 等比数列2同一常数公比qGaba1·qn－1孤立 等比数列的通项公式及应用 等比中项 等比数列的判断与证明 点击右图进入…Thank you for watching !课件46张PPT。第二章 数列2.4 等比数列
第2课时 等比数列的性质等比数列q等比数列积等比数列灵活设项求解等比数列 等比数列的性质及应用 由递推公式转化为等比数列求通项 点击右图进入…Thank you for watching !2.4 等比数列
第1课时 等比数列
学 习 目 标
核 心 素 养
1.理解等比数列的定义(重点).
2.掌握等比数列的通项公式及其应用(重点、难点).
3.熟练掌握等比数列的判定方法(易错点)．
1.通过等比数列的通项公式及等比中项的学习及应用，体现了数学运算素养.
2.借助等比数列的判定与证明，培养逻辑推理素养.
1．等比数列的概念
(1)文字语言：
如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一常数，那么这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母q表示(q≠0)．
(2)符号语言：
＝q(q为常数，q≠0，n∈N*)．
思考：能将定义中的“每一项与前一项的比”理解为“每相邻两项的比”吗？
[提示] 不能．
2．等比中项
(1)前提：三个数a，G，b成等比数列．
(2)结论：G叫做a，b的等比中项．
(3)满足的关系式：G2＝ab．
思考：当G2＝ab时，G一定是a，b的等比中项吗？
[提示] 不一定，如数列0，0，5就不是等比数列．
3．等比数列的通项公式
一般地，对于等比数列{an}的第n项an，有公式an＝a1·qn－1．这就是等比数列{an}的通项公式，其中a1为首项，q为公比．
4．等比数列与指数函数的关系
等比数列的通项公式可整理为an＝·qn，而y＝·qx(q≠1)是一个不为0的常数与指数函数qx的乘积，从图象上看，表示数列{·qn}中的各项的点是函数y＝·qx的图象上的孤立点．
思考：除了课本上采用的不完全归纳法，还能用什么方法求数列的通项公式．
[提示] 还可以用累乘法．
当n>2时，＝q，＝q，…，＝q，
∴an＝a1··…·＝a1·qn－1.
1．2＋和2－的等比中项是( )
A．1 B．－1 C．±1 D．2
C [设2＋和2－的等比中项为a，
则a2＝(2＋)(2－)＝1.即a＝±1.]
2．下列数列为等比数列的序号是________．
①2，22，3×22；②，，，，(a≠0)；③s－1，(s－1)2，(s－1)3，(s－1)4，(s－1)5；④0，0，0，0，0.
② [≠，所以①不是等比数列；②是首项为，公比为的等比数列；③中，当s＝1时，数列为0，0，0，0，0，所以不是等比数列；④显然不是等比数列．]
3．等比数列{an}中，a2＝2，a5＝，则公比q＝________．
[由定义知＝＝＝＝q，则a2＝a1q＝2，①
a5＝a4q＝a3q2＝a2q3＝a1q4＝，②
所以②÷①得q3＝，所以q＝.]
4．在等比数列{an}中，a4＝27，q＝－3，则a7＝________．
－729 [由等比数列定义知＝＝＝q.
所以a5＝a4q＝27×(－3)＝－81，
a6＝a5q＝－81×(－3)＝243，
a7＝a6q＝243×(－3)＝－729.]
等比数列的通项公式及应用
【例1】 在等比数列{an}中．
(1)已知a1＝3，q＝－2，求a6；
(2)已知a3＝20，a6＝160，求an.
[解] (1)由等比数列的通项公式得，
a6＝3×(－2)6－1＝－96.
(2)设等比数列的公比为q，
那么
解得
所以an＝a1qn－1＝5×2n－1.
1．等比数列的通项公式涉及4个量a1，an，n，q，只要知道其中任意三个就能求出另外一个，在这四个量中，a1和q是等比数列的基本量，只要求出这两个基本量，问题便迎刃而解．
2．关于a1和q的求法通常有以下两种方法：
(1)根据已知条件，建立关于a1，q的方程组，求出a1，q后再求an，这是常规方法．
(2)充分利用各项之间的关系，直接求出q后，再求a1，最后求an，这种方法带有一定的技巧性，能简化运算．
1．在等比数列{an}中，
(1)若它的前三项分别为5，－15，45，求a5；
(2)若a4＝2，a7＝8，求an.
[解] (1)∵a5＝a1q4，而a1＝5，
q＝＝－3，∴a5＝405.
(2)因为所以
由得q3＝4，从而q＝，而a1q3＝2，
于是a1＝＝，
所以an＝a1qn－1＝2.
等比中项
【例2】 (1)等比数列{an}中，a1＝，q＝2，则a4与a8的等比中项是( )
A．±4 B．4 C．± D．
(2)已知b是a，c的等比中项，求证：ab＋bc是a2＋b2与b2＋c2的等比中项．
思路探究：(1)用定义求等比中项．
(2)证明(ab＋bc)2＝(a2＋b2)(b2＋c2)即可．
(1)A [由an＝·2n－1＝2n－4知，a4＝1，a8＝24，所以a4与a8的等比中项为±4.]
(2)[证明] b是a，c的等比中项，则b2＝ac，且a，b，c均不为零，
又(a2＋b2)(b2＋c2)＝a2b2＋a2c2＋b4＋b2c2＝a2b2＋2a2c2＋b2c2，
(ab＋bc)2＝a2b2＋2ab2c＋b2c2＝a2b2＋2a2c2＋b2c2，所以(ab＋bc)2＝(a2＋b2)(b2＋c2)，即ab＋bc是a2＋b2与b2＋c2的等比中项．
等比中项应用的三点注意
(1)由等比中项的定义可知＝?G2＝ab?G＝±，所以只有a，b同号时，a，b的等比中项有两个，异号时，没有等比中项．
(2)在一个等比数列中，从第二项起，每一项(有穷数列的末项除外)都是它的前一项和后一项的等比中项．
(3)a，G，b成等比数列等价于G2＝ab(ab>0)．
2．若1，a，3成等差数列，1，b，4成等比数列，则的值为( )
A．± B． C．1 D．±1
D [由题知2a＝1＋3，
∴a＝2.
由b2＝4得b＝±2，
∴＝±1.]
3．设等差数列{an}的公差d不为0，a1＝9d，若ak是a1与a2k的等比中项，则k等于( )
A．2 B．4 C．6 D．8
B [∵an＝(n＋8)d，又∵a＝a1·a2k，∴[(k＋8)d]2＝9d·(2k＋8)d，解得k＝－2(舍去)，k＝4.]
等比数列的判断与证明
[探究问题]
1．若数列{an}是等比数列，易知有＝q(q为常数，且q≠0)或a＝an·an＋2(an≠0，n∈N*)成立．反之，能说明数列{an}是等比数列吗？
[提示] 能．若数列{an}满足＝q(q为常数，q≠0)或a＝an·an＋2(an≠0，n∈N*)都能说明{an}是等比数列．
2．若数列{an}是公比为q的等比数列，则它的通项公式为an＝a1·qn－1(a，q为非零常数，n∈N*)．反之，能说明数列{an}是等比数列吗？
[提示] 能．根据等比数列的定义可知．
【例3】 已知数列的前n项和为Sn＝2n＋a，试判断{an}是否是等比数列．
思路探究：①如何由求和公式得通项公式？②a1是否适合an＝Sn－Sn－1(n≥2)？需要检验吗？
[解] an＝Sn－Sn－1＝2n＋a－2n－1－a＝2n－1(n≥2)．当n≥2时＝＝2；
当n＝1时，＝＝.
故当a＝－1时，数列{an}成等比数列，其首项为1，公比为2；当a≠－1时，数列{an}不是等比数列．
1．(变条件)将例题中的条件“Sn＝2n＋a”变为“Sn＝2－an”．求证数列{an}是等比数列．
[证明] ∵Sn＝2－an，
∴Sn＋1＝2－an＋1，
∴an＋1＝Sn＋1－Sn＝(2－an＋1)－(2－an)＝an－an＋1，
∴an＋1＝an.
又∵S1＝2－a1，
∴a1＝1≠0.
又由an＋1＝an知an≠0，
∴＝，
∴{an}是等比数列．
2．(变条件，变结论)将例题中的条件“Sn＝2n＋a”变为“a1＝1，an＋1＝2an＋1”证明数列{an＋1}是等比数列，并求出数列{an}的通项公式．
[解] 因为an＋1＝2an＋1，
所以an＋1＋1＝2(an＋1)．
由a1＝1，知a1＋1≠0，
从而an＋1≠0.
所以＝2(n∈N*)，所以数列{an＋1}是等比数列．
所以{an＋1}是以a1＋1＝2为首项，2为公比的等比数列，所以an＋1＝2·2n－1＝2n，即an＝2n－1.
判断一个数列{an}是等比数列的方法
(1)定义法：若数列{an}满足＝q(q为常数且不为零)或＝q(n≥2，q为常数且不为零)，则数列{an}是等比数列．
(2)等比中项法：对于数列{an}，若a＝an·an＋2且an≠0，则数列{an}是等比数列．
(3)通项公式法：若数列{an}的通项公式为an＝a1qn－1(a1≠0，q≠0)，则数列{an}是等比数列．
1．等比数列的判断或证明
(1)利用定义：＝q(q为与n无关的常数且不为零)．
(2)利用等比中项：a＝anan＋2(n∈N*)．
2．两个同号的实数a，b才有等比中项，而且它们的等比中项有两个(±)，而不是一个()，这是容易忽视的地方．
3．等比数列的通项公式an＝a1qn－1共涉及a1，q，n，an四个量，已知其中三个量可求得第四个量．
1．判断正误
(1)若一个数列从第二项起每一项与前一项的比为常数，则该数列为等比数列． ( )
(2)等比数列的首项不能为零，但公比可以为零． ( )
(3)常数列一定为等比数列． ( )
(4)任何两个数都有等比中项． ( )
[答案] (1)× (2)× (3)× (4)×
[提示] (1)错误，根据等比数列的定义，只有比值为同一个常数时，该数列才是等比数列；(2)错误，当公比为零时，根据等比数列的定义，数列中的项也为零；(3)错误，当常数列不为零数列时，该数列才是等比数列；(4)错误．当两数同号时才有等比中项，异号时不存在等比中项．
2．在等比数列{an}中，若a2＝4，a5＝－32，则公比q应为( )
A．± B．±2 C. D．－2
D [因为＝q3＝－8，故q＝－2.]
3．在等比数列{an}中，若公比q＝4，且前三项之和等于21，则该数列的通项公式an＝________．
4n－1 [由题意知a1＋4a1＋16a1＝21，解得a1＝1，所以通项公式an＝4n－1.]
4．已知数列{an}是首项为2，公差为－1的等差数列，令bn＝，求证数列{bn}是等比数列，并求其通项公式．
[解] 依题意an＝2＋(n－1)×(－1)＝3－n，
于是bn＝.而＝＝＝2.
∴数列{bn}是公比为2的等比数列，通项公式为bn＝2n－3.
第2课时 等比数列的性质
学 习 目 标
核 心 素 养
1.掌握等比数列的性质及其应用(重点).
2.熟练掌握等比数列与等差数列的综合应用(难点、易错点).
3.能用递推公式求通项公式(难点)．
1.通过灵活设项求解等比数列问题以及等比数列性质的应用，培养数学运算素养.
2.借助递推公式转化为等比数列求通项，培养逻辑推理及数学运算素养.
1．推广的等比数列的通项公式
{an}是等比数列，首项为a1，公比为q，则an＝a1qn－1，an＝am·qn－m(m，n∈N*)．
2．“子数列”性质
对于无穷等比数列{an}，若将其前k项去掉，剩余各项仍为等比数列，首项为ak＋1，公比为q；若取出所有的k的倍数项，组成的数列仍为等比数列，首项为ak，公比为qk．
思考：如何推导an＝amqn－m?
[提示] 由＝＝qn－m，
∴an＝am·qn－m.
3．等比数列项的运算性质
在等比数列{an}中，若m＋n＝p＋q(m，n，p，q∈N*)，则am·an＝ap·aq．
①特别地，当m＋n＝2k(m，n，k∈N*)时，am·an＝a．
②对有穷等比数列，与首末两项“等距离”的两项之积等于首末两项的积，即a1·an＝a2·an－1＝…＝ak·an－k＋1＝….
4．两等比数列合成数列的性质
若数列{an}，{bn}均为等比数列，c为不等于0的常数，则数列{can}，{a}，{an·bn}，也为等比数列．
思考：等比数列{an}的前4项为1，2，4，8，下列判断正确的是
(1){3an}是等比数列；
(2){3＋an}是等比数列；
(3)是等比数列；
(4){a2n}是等比数列．
[提示] 由定义可判断出(1)(3)(4)正确．
1．对任意等比数列{an}，下列说法一定正确的是( )
A．a1，a3，a9成等比数列 B．a2，a3，a6成等比数列
C．a2，a4，a8成等比数列 D．a3，a6，a9成等比数列
[答案] D
2．等比数列{an}中，a1＝3，q＝2，则a4＝______，an＝______．
24 3×2n－1 [a4＝a1q3＝3×23＝24，an＝a1qn－1＝3×2n－1.]
3．在等比数列{an}中，a5＝4，a7＝6，则a9＝________．
9 [因为a7＝a5q2，所以q2＝.
所以a9＝a5q4＝a5(q2)2＝4×＝9.]
4．在等比数列{an}中，已知a7a12＝5，则a8a9a10a11的值为________．
25 [因为a7a12＝a8a11＝a9a10＝5，所以a8a9a10a11＝25.]
灵活设项求解等比数列
【例1】 已知4个数成等比数列，其乘积为1，第2项与第3项之和为－，则此4个数为________．
8，－2，，－或－，，－2，8 [设此4个数为a，aq，aq2，aq3.
则a4q6＝1，aq(1＋q)＝－， ①
所以a2q3＝±1，当a2q3＝1时，q>0，代入①式化简可得q2－q＋1＝0，此方程无解；
当a2q3＝－1时，q<0，代入①式化简可得q2＋q＋1＝0，解得q＝－4或q＝－.
当q＝－4时，a＝－；
当q＝－时，a＝8.
所以这4个数为8，－2，，－或－，，－2，8.]
巧设等差数列、等比数列的方法
(1)若三数成等差数列，常设成a－d，a，a＋d.若三数成等比数列，常设成，a，aq或a，aq，aq2.
(2)若四个数成等比数列，可设为，a，aq，aq2.若四个正数成等比数列，可设为，，aq，aq3.
1．有四个实数，前三个数依次成等比数列，它们的积是－8，后三个数依次成等差数列，它们的积为－80，求出这四个数．
[解] 由题意设此四个数为，b，bq，a，
则有
解得或
所以这四个数为1，－2，4，10或－，－2，－5，－8.
等比数列的性质及应用
【例2】 已知{an}为等比数列．
(1)等比数列{an}满足a2a4＝，求a1aa5；
(2)若an>0，a2a4＋2a3a5＋a4a6＝25，求a3＋a5；
(3)若an>0，a5a6＝9，求log3a1＋log3a2＋…＋log3a10的值．
思路探究：利用等比数列的性质，若m＋n＝p＋q，则am·an＝ap·aq求解．
[解] (1)等比数列{an}中，因为a2a4＝，所以a＝a1a5＝a2a4＝，所以a1aa5＝.
(2)由等比中项，化简条件得
a＋2a3a5＋a＝25，即(a3＋a5)2＝25，
∵an>0，∴a3＋a5＝5.
(3)由等比数列的性质知a5a6＝a1a10＝a2a9＝a3a8＝a4a7＝9，
∴log3a1＋log3a2＋…＋log3a10＝log3(a1a2…a10)
＝log3[(a1a10)(a2a9)(a3a8)(a4a7)(a5a6)]
＝log395＝10.
有关等比数列的计算问题，基本方法是运用方程思想列出基本量a1和q的方程组，先解出a1和q，然后利用通项公式求解．但有时运算稍繁，而利用等比数列的性质解题，却简便快捷，为了发现性质，要充分发挥项的“下标”的指导作用．
2．(1)已知数列{an}为等比数列，a3＝3，a11＝27，求a7；
(2)已知{an}为等比数列，a2·a8＝36，a3＋a7＝15，求公比q.
[解] (1)法一：相除得q8＝9.
所以q4＝3，所以a7＝a3·q4＝9.
法二：因为a＝a3a11＝81，所以a7＝±9，
又a7＝a3q4＝3q4>0，所以a7＝9.
(2)因为a2·a8＝36＝a3·a7，而a3＋a7＝15，
所以a3＝3，a7＝12或a3＝12，a7＝3.
所以q4＝＝4或，所以q＝±或q＝±.
由递推公式转化为等比数列求通项
[探究问题]
1．如果数列{an}满足a1＝1，an＋1＝2an＋1(n∈N*)，你能判断出{an}是等差数列，还是等比数列吗？
[提示] 由等差数列与等比数列的递推关系，可知数列{an}既不是等差数列，也不是等比数列．
2．在探究1中，若将an＋1＝2an＋1两边都加1，再观察等式的特点，你能构造出一个等比数列吗？
[提示] 在an＋1＝2an＋1两边都加1得
an＋1＋1＝2(an＋1)，显然数列{an＋1}是以a1＋1＝2为首项，以q＝2为公比的等比数列．
3．在探究1中，若将an＋1＝2an＋1改为an＋1＝3an＋5，又应如何构造出一个等比数列？你能求出an吗？
[提示] 先将an＋1＝3an＋5变形为an＋1＋x＝3(an＋x)．将该式整理为an＋1＝3an＋2x与an＋1＝3an＋5对比可知2x＝5，即x＝；所以在an＋1＝3an＋5两边都加，可构造出等比数列.利用等比数列求出an＋即可求出an.
【例3】 已知Sn是数列{an}的前n项和，且Sn＝2an＋n－4.
(1)求a1的值；
(2)若bn＝an－1，试证明数列{bn}为等比数列．
思路探究：(1)由n＝1代入Sn＝2an＋n－4求得；(2)先由Sn＝2an＋n－4，利用Sn和an的关系得{an}的递推关系，然后构造出数列{an－1}利用定义证明．
[解] (1)因为Sn＝2an＋n－4，
所以当n＝1时，S1＝2a1＋1－4，解得a1＝3.
(2)证明：因为Sn＝2an＋n－4，
所以当n≥2时，
Sn－1＝2an－1＋(n－1)－4，
Sn－Sn－1＝(2an＋n－4)－(2an－1＋n－5)，即an＝2an－1－1，
所以an－1＝2(an－1－1)，
又bn＝an－1，所以bn＝2bn－1，
且b1＝a1－1＝2≠0，
所以数列{bn}是以b1＝2为首项，2为公比的等比数列．
1．将本例条件“Sn＝2an＋n－4”改为“a1＝1，Sn＋1＝4an＋2”，“bn＝an－1”改为“bn＝an＋1－2an”，试证明数列{bn}是等比数列，并求{bn}的通项公式．
[证明] an＋2＝Sn＋2－Sn＋1＝4an＋1＋2－4an－2
＝4an＋1－4an.
＝
＝＝＝2.
所以数列{bn}是公比为2的等比数列，首项为a2－2a1.
因为S2＝a1＋a2＝4a1＋2，
所以a2＝5，所以b1＝a2－2a1＝3.
所以bn＝3·2n－1.
2．将本例条件“Sn＝2an＋n－4”改为“a1＝1，a＝2a＋anan＋1”，试证明数列{an}是等比数列，并求{an}的通项公式．
[解] 由已知得a－anan＋1－2a＝0，
所以(an＋1－2an)(an＋1＋an)＝0.
所以an＋1－2an＝0或an＋1＋an＝0，
(1)当an＋1－2an＝0时，＝2.又a1＝1，所以数列{an}是首项为1，公比为2的等比数列．所以an＝2n－1.
(2)当an＋1＋an＝0时，＝－1，又a1＝1，所以数列{an}是首项为1，公比为－1的等比数列，
所以an＝1×(－1)n－1＝(－1)n－1.
综上：an＝2n－1或(－1)n－1.
1．已知数列的前n项和或前n项和与通项的关系求通项，常用an与Sn的关系求解．
2．由递推关系an＋1＝Aan＋B(A，B为常数，且A≠0，A≠1)求an时，由待定系数法设an＋1＋λ＝A(an＋λ)可得λ＝，这样就构造了等比数列{an＋λ}．
1．解题时，应该首先考虑通式通法，而不是花费大量时间找简便方法．
2．所谓通式通法，指应用通项公式，前n项和公式，等差中项，等比中项等列出方程(组)，求出基本量．
3．巧用等比数列的性质，减少计算量，这一点在解题中也非常重要．
1．判断正误
(1)有穷等比数列中，与首末两项“等距离”的两项之积等于首末两项的积． ( )
(2)当q>1时，{an}为递增数列． ( )
(3)当q＝1时，{an}为常数列． ( )
[答案] (1)√ (2)× (3)√
[提示] (2)当a1>0且q>1时{an}为递增数列，故(2)错．
2．在正项等比数列{an}中，3a1，a3，2a2成等差数列，则等于( )
A．3或－1 B．9或1
C．1 D．9
D [由3a1，a3，2a2成等差数列可得a3＝3a1＋2a2，即a1q2＝3a1＋2a1q，∵a1≠0，∴q2－2q－3＝0.
解得q＝3或q＝－1(舍)．
∴＝＝＝q2＝9.]
3．在和8之间插入3个数，使它们与这两个数依次构成等比数列，则这3个数的积为________．
8 [设插入的3个数依次为a，b，c，即，a，b，c，8成等比数列，由等比数列的性质可得b2＝ac＝×8＝4，因为a2＝b>0，∴b＝2(舍负)．所以这3个数的积为abc＝4×2＝8.]
4．已知数列{an}为等比数列．
(1)若a1＋a2＋a3＝21，a1a2a3＝216，求an；
(2)若a3a5＝18，a4a8＝72，求公比q.
[解] (1)∵a1a2a3＝a＝216，∴a2＝6，∴a1a3＝36.
又∵a1＋a3＝21－a2＝15，
∴a1，a3是方程x2－15x＋36＝0的两根3和12.
当a1＝3时，q＝＝2，an＝3·2n－1；
当a1＝12时，q＝，an＝12·.
(2)∵a4a8＝a3q·a5q3＝a3a5q4＝18q4＝72，
∴q4＝4，∴q＝±.
课时分层作业(十三) 等比数列
(建议用时：60分钟)
[基础达标练]
一、选择题
1．若正数a，b，c组成等比数列，则log2a，log2b，log2c一定是( )
A．等差数列
B．既是等差数列又是等比数列
C．等比数列
D．既不是等差数列也不是等比数列
A [由题意得b2＝ac(a，b，c>0)，
∴log2b2＝log2ac，
即2log2b＝log2a＋log2c，
∴log2a，log2b，log2c成等差数列．]
2．等比数列{an} 中，a3＝12，a2＋a4＝30，则a10的值为( )
A．3×10－5 B．3×29
C．128 D．3×2－5或3×29
D [设公比为q，则＋12q＝30，
∴2q2－5q＋2＝0，
∴q＝2或q＝，
∴a10＝a3·q7＝12·27或12·，
即3×29或3×2－5.]
3．已知a是1，2的等差中项，b是－1，－16的等比中项，则ab等于( )
A．6 B．－6
C．±6 D．±12
C [a＝＝，
b2＝(－1)(－16)＝16，b＝±4，
∴ab＝±6.]
4．已知一等比数列的前三项依次为x，2x＋2，3x＋3，那么－13是此数列的( )
A．第2项 B．第4项
C．第6项 D．第8项
B [由(2x＋2)2＝x(3x＋3)解得x＝－1(舍)或x＝－4，
∴首项为－4，公比为.
∴由－4×＝－13，解得n＝4.]
5．在等比数列{an}中，a3＋a4＝4，a2＝2，则公比q等于( )
A．－2 B．1或－2
C．1 D．1或2
B [根据题意，代入公式
解得：或]
二、填空题
6．已知等比数列{an}中，a1＝2，且a4a6＝4a，则a3＝________．
1 [设等比数列{an}的公比为q，由已知条件得a＝4·aq4，
∴q4＝，q2＝，
∴a3＝a1q2＝2×＝1.]
7．已知等比数列{an}中，a3＝3，a10＝384，则该数列的通项an＝________．
3×2n－3 [由已知得＝＝q7＝128＝27，故q＝2.
所以an＝a1qn－1＝a1q2·qn－3＝a3·qn－3＝3×2n－3.]
8．在等比数列{an}中，an>0，且a1＋a2＝1，a3＋a4＝9，则a4＋a5＝________．
27 [由已知a1＋a2＝1，a3＋a4＝9，
∴q2＝9，∴q＝3(q＝－3舍)，
∴a4＋a5＝(a3＋a4)q＝27.]
三、解答题
9．在各项均为负的等比数列{an}中，2an＝3an＋1，且a2·a5＝.
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)－是否为该数列的项？若是，为第几项？
[解] (1)因为2an＝3an＋1，
所以＝，数列{an}是公比为的等比数列，又a2·a5＝，
所以a＝，由于各项均为负，
故a1＝－，an＝－.
(2)设an＝－，则－＝－，＝，n＝6，所以－是该数列的项，为第6项．
10．数列{an}，{bn}满足下列条件：a1＝0，a2＝1，an＋2＝，bn＝an＋1－an.
(1)求证：{bn}是等比数列；
(2)求{bn}的通项公式．
[解] (1)[证明] ∵2an＋2＝an＋an＋1，
∴＝＝＝－.
∴{bn}是等比数列．
(2)∵b1＝a2－a1＝1，公比q＝－，
∴bn＝1×＝.
[能力提升练]
1．已知等比数列{an}中，各项都是正数，且a1，a3，2a2成等差数列，则等于( )
A．＋1 B．3＋2
C．3－2 D．2－3
C [设等比数列{an}的公比为q，
由于a1，a3，2a2成等差数列，
则2＝a1＋2a2，即a3＝a1＋2a2，
所以a1q2＝a1＋2a1q.
由于a1≠0，
所以q2＝1＋2q，解得 q＝1±.
又等比数列{an}中各项都是正数，
所以q>0，所以q＝1＋.
所以＝＝＝＝3－2.]
2．已知等比数列{an}满足a1＝，a3a5＝4(a4－1)，则a2＝( )
A．2 B．1
C． D．
C [法一：∵a3a5＝a，a3a5＝4(a4－1)，∴a＝4(a4－1)，
∴a－4a4＋4＝0，∴a4＝2.又∵q3＝＝＝8，
∴q＝2，∴a2＝a1q＝×2＝，故选C.
法二：∵a3a5＝4(a4－1)，∴a1q2·a1q4＝4(a1q3－1)，
将a1＝代入上式并整理，得q6－16q3＋64＝0，
解得q＝2，
∴a2＝a1q＝，故选C.]
3．已知{an}是等差数列，公差d不为零．若a2，a3，a7成等比数列，且2a1＋a2＝1，则a1＝________，d＝________．
－1 [∵a2，a3，a7成等比数列，∴a＝a2a7，
∴(a1＋2d)2＝(a1＋d)(a1＋6d)，即2d＋3a1＝0.①
又∵2a1＋a2＝1，∴3a1＋d＝1.②
由①②解得a1＝，d＝－1.]
4．设等比数列满足a1＋a3＝10，a2＋a4＝5，则a1a2…an的最大值为________．
64 [设等比数列{an}的公比为q，
∴?解得
∴a1a2…an＝
＝
＝，当n＝3或4时，
取到最小值－6，
此时取到最大值26，所以a1a2…an的最大值为64.]
5．已知数列{cn}，其中cn＝2n＋3n，数列{cn＋1－pcn}为等比数列，求常数p.
[解] 因为数列{cn＋1－pcn}为等比数列，
所以(cn＋1－pcn)2＝(cn－pcn－1)(cn＋2－pcn＋1)，
将cn＝2n＋3n代入上式得，
[2n＋1＋3n＋1－p(2n＋3n)]2＝[2n＋2＋3n＋2－p(2n＋1＋3n＋1)]·[2n＋3n－p(2n－1＋3n－1)]，
整理得(2－p)(3－p)·2n·3n＝0，
解得p＝2或p＝3.
课时分层作业(十四) 等比数列的性质
(建议用时：60分钟)
[基础达标练]
一、选择题
1．已知等比数列{an}，a1＝1，a3＝，则a5等于( )
A．± B．－ C． D．±
C [根据等比数列的性质可知a1a5＝a?a5＝＝.]
2．在等比数列{an}中，a1＋a2＋a3＝2，a4＋a5＋a6＝4，则a10＋a11＋a12等于( )
A．32 B．16
C．12 D．8
B [＝q3＝＝2，
∴a10＋a11＋a12＝(a1＋a2＋a3)q9＝2·(2)3＝24＝16.]
3．已知等比数列{an}中，an>0，a1，a99是方程x2－10x＋16＝0的两根，则a40a50a60的值为( )
A．32 B．64
C．256 D．±64
B [由题意得，a1a99＝16，
∴a40a60＝a＝a1a99＝16，
又∵a50>0，∴a50＝4，
∴a40a50a60＝16×4＝64.]
4．设{an}是公比为q的等比数列，令bn＝an＋1，n∈N*，若数列{bn}的连续四项在集合{－53，－23，17，37，82}中，则q等于( )
A．－ B．－
C．－或－ D．－或－
C [即an的连续四项在集合{－54，－24，16，36，81}中，由题意知，这四项可选择－54，36，－24，16，此时，q＝－，若选择16，－24，36，－54，则q＝－.]
5．已知方程(x2－mx＋2)(x2－nx＋2)＝0的四个根组成以为首项的等比数列，则等于( )
A． B．或
C． D．以上都不对
A [不妨设是x2－mx＋2＝0的根，则其另一根为4，∴m＝4＋＝，
对方程x2－nx＋2＝0，设其根为x1，x2(x1∴等比数列为，x1，x2，4，
∴q3＝＝8，∴q＝2，
∴x1＝1，x2＝2，
∴n＝x1＋x2＝1＋2＝3，
∴＝＝.]
二、填空题
6．在等比数列{an}中，a3＝16，a1a2a3…a10＝265，则a7等于________．
256 [因为a1a2a3…a10＝(a3a8)5＝265，
所以a3a8＝213，又因为a3＝16＝24，所以a8＝29＝512.
因为a8＝a3·q5，所以q＝2，所以a7＝＝256.]
7.在如图所示表格中，每格填上一个数字后，使每一横行成等差数列，每纵列成等比数列，则x＋y＋z的值为________．
2 [∵＝，∴x＝1.
∵第一行中的数成等差数列，首项为2，公差为1，故后两格中数字分别为5，6.
同理，第二行后两格中数字分别为2.5，3.
∴y＝5·，z＝6·，
∴x＋y＋z＝1＋5·＋6·＝＝2.]
8．某单位某年十二月份的产值是同年一月份产值的m倍，那么该单位此年的月平均增长率是________．
－1 [由题意可知，这一年中的每一个月的产值成等比数列，求月平均增长率只需利用＝m，所以月平均增长率为－1.]
三、解答题
9．在等比数列{an}中，a2－a1＝2，且2a2为3a1和a3的等差中项，求数列{an}的首项、公比．
[解] 设该数列的公比为q.
由已知，得
所以解得(q＝1舍去)，
故首项a1＝1，公比q＝3.
10．已知数列{an}中，a1＝1，an＋1＝－，bn＝，求数列{bn}的通项公式．
[解] an＋1－2＝－－2＝，＝＝＋2，即bn＋1＝4bn＋2，bn＋1＋＝4.
又a1＝1，故b1＝＝－1，
所以是首项为－，公比为4的等比数列，所以bn＋＝－×4n－1，bn＝－－.
[能力提升练]
1．等比数列{an}是递减数列，前n项的积为Tn，若T13＝4T9，则a8a15＝( )
A．±2 B．±4
C．2 D．4
C [∵T13＝4T9，
∴a1a2…a9a10a11a12a13＝4a1a2…a9，
∴a10a11a12a13＝4.
又∵a10·a13＝a11·a12＝a8·a15，
∴(a8·a15)2＝4，∴a8a15＝±2.
又∵{an}为递减数列，∴q>0，∴a8a15＝2.]
2．公差不为零的等差数列{an}中，2a3－a＋2a11＝0，数列{bn}是等比数列，且b7＝a7，则b6b8＝( )
A．16 B．14
C．4 D．49
A [∵2a3－a＋2a11＝2(a3＋a11)－a＝4a7－a＝0，
∵b7＝a7≠0，∴b7＝a7＝4，∴b6b8＝b＝16.]
3．在等比数列{an}中，若a7＝－2，则此数列的前13项之积等于________．
－213 [由于{an}是等比数列，
∴a1a13＝a2a12＝a3a11＝a4a10＝a5a9＝a6a8＝a，
∴a1a2a3…a13＝(a)6·a7＝a，
而a7＝－2.
∴a1a2a3…a13＝(－2)13＝－213.]
4．已知－7，a1，a2，－1四个实数成等差数列，－4，b1，b2，b3，－1五个实数成等比数列，则＝________．
－1 [由题意，知a2－a1＝＝2，b＝(－4)×(－1)＝4.又因为b2是等比数列中的第三项，所以b2与第一项同号，即b2＝－2，所以＝＝－1.]
5．已知数列{an}的前n项和为Sn，数列{bn}中，b1＝a1，bn＝an－an－1(n≥2)，且an＋Sn＝n.
(1)设cn＝an－1，求证：{cn}是等比数列；
(2)求数列{bn}的通项公式．
[解] (1)[证明] ∵an＋Sn＝n， ①
∴an＋1＋Sn＋1＝n＋1 ②
②－①得an＋1－an＋an＋1＝1.
∴2an＋1＝an＋1，∴2(an＋1－1)＝an－1，
∴＝，∵首项c1＝a1－1，
又a1＋a1＝1，∴a1＝，∴c1＝－，
又cn＝an－1，∴q＝.
∴{cn}是以－为首项，公比为的等比数列．
(2)由(1)可知cn＝·＝－，
∴an＝cn＋1＝1－.
∴当n≥2时，bn＝an－an－1＝1－－[1－]＝－＝.
又b1＝a1＝，
代入上式也符合，
∴bn＝.
