课件32张PPT。第三讲 柯西不等式与排序不等式一 二维形式的柯西不等式ad＝bc 二维柯西不等式的向量形式及应用 运用柯西不等式求最值 二维柯西不等式代数形式的应用 点击右图进入…Thank you for watching !
一 二维形式的柯西不等式
学习目标：1.认识柯西不等式的几种不同形式，理解其几何意义．(难点)2.通过运用柯西不等式分析解决一些简单问题．(重点)
教材整理 二维形式的柯西不等式
阅读教材P31～P36，完成下列问题．
内容
等号成立的条件
代数
形式
若a，b，c，d都是实数，则(a2＋b2)·(c2＋d2)≥(ac＋bd)2
当且仅当ad＝bc时，等号成立
向量
形式
设α，β是两个向量，则|α·β|≤|α||β|
当且仅当β是零向量，或存在实数k，使α＝kβ时，等号成立
三角
形式
设x1，y1，x2，y2∈R，那么＋≥
当且仅当P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，O(0,0)三点共线且P1，P2在点O两旁时，等号成立
已知x＋y＝1，那么2x2＋3y2的最小值是( )
A. B. C. D.
B [2x2＋3y2＝(2x2＋3y2)·≥
＝(x＋y)2＝.]
二维柯西不等式的向量形式及应用
【例1】 已知p，q均为正数，且p3＋q3＝2.求证：p＋q≤2.
[精彩点拨] 为了利用柯西不等式的向量形式，可分别构造两个向量．
＝·＝.
又∵(p＋q)2≤2(p2＋q2)，
∴≤p2＋q2≤，
∴≤·，则(p＋q)4≤8(p＋q)．
又p＋q>0，
∴(p＋q)3≤8，故p＋q≤2.
使用二维柯西不等式的向量形式证明不等式，关键是合理构造出两个向量．同时，要注意向量模的计算公式|a|＝对数学式子变形的影响．
1．若本例的条件中，把“p3＋q3＝2”改为“p2＋q2＝2”，试判断结论是否仍然成立？
[解] 设m＝(p，q)，n＝(1,1)，
则p＋q＝p·1＋q·1＝|m·n|≤|m|·|n|＝·.
又p2＋q2＝2.
∴p＋q≤·＝2.
故仍有结论p＋q≤2成立.
运用柯西不等式求最值
【例2】 若2x＋3y＝1，求4x2＋9y2的最小值．
[精彩点拨] 由2x＋3y＝1以及4x2＋9y2的形式，联系柯西不等式，可以通过构造(12＋12)作为一个因式而解决问题．
[自主解答] 由柯西不等式得(4x2＋9y2)(12＋12)≥(2x＋3y)2＝1.
∴4x2＋9y2≥，
当且仅当2x×1＝3y×1，
即x＝，y＝时取等号．
∴4x2＋9y2的最小值为.
1．利用柯西不等式求最值，不但要注意等号成立的条件，而且要善于配凑，保证出现常数结果．
2．常用的配凑的技巧有：①巧拆常数；②重新安排某些项的次序；③适当添项；④适当改变结构，从而达到运用柯西不等式求最值的目的．
2．若3x＋4y＝2，试求x2＋y2的最小值及最小值点．
[解] 由柯西不等式(x2＋y2)(32＋42)≥(3x＋4y)2，得25(x2＋y2)≥4.
所以x2＋y2≥，
当且仅当＝时，“＝”成立．为求最小值点，需解方程组∴
因此，当x＝，y＝时，x2＋y2取得最小值，最小值为，最小值点为.
二维柯西不等式代数形式的应用
[探究问题]
在二维形式的柯西不等式中，取等号的条件可以写成＝吗？
[提示] 不可以．当b·d＝0时，柯西不等式成立，但＝不成立．
【例3】 已知|3x＋4y|＝5，求证：x2＋y2≥1.
[精彩点拨] 探求已知条件与待证不等式之间的关系，设法构造柯西不等式进行证明．
[自主解答] 由柯西不等式可知(x2＋y2)(32＋42)≥(3x＋4y)2，所以(x2＋y2)≥.
又因为|3x＋4y|＝5，
所以＝1，
即x2＋y2≥1.
1．利用二维形式的柯西不等式证明时，要抓住柯西不等式的结构特征，必要时，需要将数学表达式适当变形．
2．变形往往要求具有很高的技巧，必须善于分析题目的特征，根据题设条件，综合地利用添、拆、分解、组合、配方、变量代换、数形结合等方法才能发现问题的本质，找到突破口．
3．设a，b∈R＋且a＋b＝2.求证：＋≥2.
[证明] 根据柯西不等式，有
[(2－a)＋(2－b)]
＝[()2＋()2]＋
≥
＝(a＋b)2＝4.
∴＋≥＝2，
当且仅当·＝·，
即a＝b＝1时等号成立．
∴＋≥2.
1．设x，y∈R，且2x＋3y＝13，则x2＋y2的最小值为( )
A. B．169
C．13 D．0
C [(2x＋3y)2≤(22＋32)(x2＋y2)，
∴x2＋y2≥13.]
2．已知a，b∈R＋，且a＋b＝1，则(＋)2的最大值是( )
A．2 B.
C．6 D．12
D [(＋)2
＝(1×＋1×)2
≤(12＋12)(4a＋1＋4b＋1)＝2[4(a＋b)＋2]
＝2×(4×1＋2)＝12，
当且仅当＝，
即a＝b＝时等号成立．故选D.]
3．平面向量a，b中，若a＝(4，－3)，|b|＝1，且a·b＝5，则向量b＝________.
[解析] |a|＝＝5，且 |b|＝1，
∴a·b＝|a|·|b|，
因此，b与a共线，且方向相同，∴b＝.
[答案]
4．已知x，y＞0，的最小值为4，则xy＝________.
[解析] ∵≥
＝，
∴＝4.
又＞0，
∴＝1，∴xy＝1.
[答案] 1
5．已知x，y，a，b∈R＋，且＋＝1，求x＋y的最小值．
[解] 构造两组实数，；，.
∵x，y，a，b∈R＋，＋＝1，
∴x＋y＝[()2＋()2]＋≥(＋)2，
当且仅当∶＝∶，即＝时取等号，∴(x＋y)min＝(＋)2.
课时分层作业(九) 二维形式的柯西不等式
(建议用时：45分钟)
[基础达标练]
一、选择题
1．若a2＋b2＝1，x2＋y2＝2，则ax＋by的最大值为( )
A．1 B．2
C. D．4
C [∵(ax＋by)2≤(a2＋b2)(x2＋y2)＝2，
∴ax＋by≤.]
2．已知a≥0，b≥0，且a＋b＝2，则( )
A．ab≤ B．ab≥
C．a2＋b2≥2 D．a2＋b2≤3
C [∵(12＋12)(a2＋b2)≥(a＋b)2＝4，
∴a2＋b2≥2.]
3．已知a，b∈R＋，且a＋b＝1，则P＝(ax＋by)2与Q＝ax2＋by2的关系是( )
A．P≤Q B．PC．P≥Q D．P>Q
A [设m＝(x，y)，n＝(，)，
则|ax＋by|＝|m·n|≤|m||n|
＝·
＝·＝，
∴(ax＋by)2≤ax2＋by2，即P≤Q.]
4．若a，b∈R，且a2＋b2＝10，则a－b的取值范围是( )
A．[－2，2] B．[－2，2]
C．[－，] D．(－，)
A [(a2＋b2)[12＋(－1)2]≥(a－b)2.
∵a2＋b2＝10，∴(a－b)2≤20.
∴－2≤a－b≤2.]
5．若a＋b＝1且a，b同号，则＋的最小值为( )
A．1 B．2
C． D．
C [＋
＝a2＋2＋＋b2＋2＋＝(a2＋b2)＋4.
∵a＋b＝1，ab≤＝，∴a2＋b2＝(a2＋b2)·(1＋1)≥·(a＋b)2＝，1＋≥1＋42＝17，
∴＋≥＋4＝.]
二、填空题
6．设实数x，y满足3x2＋2y2≤6，则P＝2x＋y的最大值为________．
[解析] 由柯西不等式得(2x＋y)2≤[(x)2＋(y)2]·＝(3x2＋2y2)·≤6×＝11，于是2x＋y≤.
[答案]
7．设xy＞0，则·的最小值为________．
[解析] 原式＝≥＝9(当且仅当xy＝时取等号)．
[答案] 9
8．设x，y∈R＋，且x＋2y＝8，则＋的最小值为________．
[解析] (x＋2y)＝[()2＋()2]＋2≥＝25，当且仅当·＝·，即x＝，y＝时，“＝”成立．又x＋2y＝8，∴＋≥.
[答案]
三、解答题
9．已知θ为锐角，a，b均为正实数．求证：(a＋b)2≤＋.
[证明] 设m＝，n＝(cos θ，sin θ)，
则|a＋b|＝
＝|m·n|≤|m||n|＝ ·
＝ ，∴(a＋b)2≤＋.
10．已知实数a，b，c满足a＋2b＋c＝1，a2＋b2＋c2＝1，求证：－≤c≤1.
[证明] 因为a＋2b＋c＝1，a2＋b2＋c2＝1，
所以a＋2b＝1－c，a2＋b2＝1－c2.
由柯西不等式得(12＋22)(a2＋b2)≥(a＋2b)2，
当且仅当b＝2a时，等号成立，即5(1－c2)≥(1－c)2，
整理得3c2－c－2≤0，解得－≤c≤1.
[能力提升练]
1．函数y＝＋2的最大值是( )
A. B.
C．3 D．5
B [根据柯西不等式，知y＝1×＋2×≤×＝
.]
2．已知4x2＋5y2＝1，则2x＋y的最大值是( )
A. B．1
C．3 D．9
A [∵2x＋y＝2x·1＋y·1
≤·＝·＝.
∴2x＋y的最大值为.]
3．函数f(x)＝＋的最大值为______．
[解析] 设函数有意义时x满足≤x2≤2，由柯西不等式得[f(x)]2＝
≤(1＋2)＝，∴f(x)≤，
当且仅当2－x2＝，即x2＝时取等号．
[答案]
4．在半径为R的圆内，求内接长方形的最大周长．
[解] 如图所示，设内接长方形ABCD的长为x，宽为，于是 ABCD的周长l＝2(x＋)
＝2(1·x＋1×)．
由柯西不等式
l≤2[x2＋()2](12＋12)＝2·2R
＝4R，
当且仅当＝，即x＝R时，等号成立．
此时，宽＝＝R，即ABCD为正方形，
故内接长方形为正方形时周长最大，其周长为4R.
