课件35张PPT。第三讲 柯西不等式与排序不等式二 一般形式的柯西不等式利用柯西不等式求最值 运用柯西不等式求参数的取值范围利用柯西不等式证明不等式 点击右图进入…Thank you for watching !二 一般形式的柯西不等式
学习目标：1.掌握三维形式和多维形式的柯西不等式．(重点)2.会利用一般形式的柯西不等式解决简单问题．(重点、难点)
教材整理1 三维形式的柯西不等式
阅读教材P37～P38“探究”以上部分，完成下列问题．
设a1，a2，a3，b1，b2，b3∈R，则(a＋a＋a)·(b＋b＋b)≥(a1b1＋a2b2＋a3b3)2.当且仅当b1＝b2＝b3＝0或存在一个数k，使得ai＝kbi(i＝1,2,3)时，等号成立．我们把该不等式称为三维形式的柯西不等式．
已知x，y，z∈R＋且x＋y＋z＝1，则x2＋y2＋z2的最小值是( )
A．1 B. C. D．2
B [根据柯西不等式，x2＋y2＋z2＝(12＋12＋12)·(x2＋y2＋z2)≥(1×x＋1×y＋1×z)2＝(x＋y＋z)2＝.]
教材整理2 一般形式的柯西不等式
阅读教材P38～P40，完成下列问题．
设a1，a2，a3，…，an，b1，b2，b3，…，bn是实数，则
(a＋a＋…＋a)(b＋b＋…＋b)≥(a1b1＋a2b2＋…＋anbn)2.当且仅当bi＝0(i＝1,2，…，n)或存在一个数k，使得ai＝kbi(i＝1,2，…，n)时，等号成立．
已知a＋a＋…＋a＝1，x＋x＋…＋x＝1，则a1x1＋a2x2＋…＋anxn的最大值是( )
A．1 B．2
C．3 D．4
A [(a1x1＋a2x2＋…＋anxn)2≤(a＋a＋…＋a)(x＋x＋…＋x)＝1×1＝1，当且仅当＝＝…＝＝1时取等号，
∴a1x1＋a2x2＋…＋anxn的最大值是1.]
利用柯西不等式求最值
【例1】 已知a，b，c∈(0，＋∞)，＋＋＝2，求a＋2b＋3c的最小值及取得最小值时a，b，c的值．
[精彩点拨] 由于＋＋＝2，可考虑把已知条件与待求式子结合起来，利用柯西不等式求解．
[自主解答] ∵a，b，c∈(0，＋∞)，
∴·(a＋2b＋3c)＝＋＋[()2＋()2＋()2]
≥＝(1＋2＋3)2＝36.
又＋＋＝2，∴a＋2b＋3c≥18，
当且仅当a＝b＝c＝3时等号成立，
综上，当a＝b＝c＝3时，a＋2b＋3c取得最小值18.
利用柯西不等式求最值时，关键是对原目标函数进行配凑，以保证出现常数结果．同时，要注意等号成立的条件．
1．已知x＋4y＋9z＝1，求x2＋y2＋z2的最小值．
[解] 由柯西不等式，知
(x＋4y＋9z)2≤(12＋42＋92)(x2＋y2＋z2)
＝98(x2＋y2＋z2)．
又x＋4y＋9z＝1，
∴x2＋y2＋z2≥，(*)
当且仅当x＝＝时，等号成立，
∴x＝，y＝，z＝时，(*)取等号．
因此，x2＋y2＋z2的最小值为.
运用柯西不等式求参数的取值范围
【例2】 已知正数x，y，z满足x＋y＋z＝xyz，且不等式＋＋≤λ恒成立，求λ的取值范围．
[精彩点拨] “恒成立”问题需求＋＋的最大值，设法应用柯西不等式求最值．
[自主解答] ∵x>0，y>0，z>0.
且x＋y＋z＝xyz.
∴＋＋＝1.
又＋＋
≤＝
≤＝，
当且仅当x＝y＝z，
即x＝y＝z＝时等号成立．
∴＋＋的最大值为.
故＋＋≤λ恒成立时，
应有λ≥.
因此λ的取值范围是.
应用柯西不等式，首先要对不等式形式、条件熟练掌握，然后根据题目的特点“创造性”应用定理．
2．已知实数a，b，c，d满足a＋b＋c＋d＝3，a2＋2b2＋3c2＋6d2＝5，试求a的取值范围．
[解] 由a＋b＋c＋d＝3，得b＋c＋d＝3－a，
由a2＋2b2＋3c2＋6d2＝5，得2b2＋3c2＋6d2＝5－a2，
(2b2＋3c2＋6d2)≥(b＋c＋d)2，
即2b2＋3c2＋6d2≥(b＋c＋d)2.
由条件可得，5－a2≥(3－a)2，解得1≤a≤2，
所以实数a的取值范围是[1,2].
利用柯西不等式证明不等式
[探究问题]
在一般形式的柯西不等式中，等号成立的条件记为ai＝kbi(i＝1,2,3，…，n)，可以吗？
[提示] 不可以．若bi＝0而ai≠0，则k不存在．
【例3】 已知a，b，c∈R＋，求证：＋＋≥9.
[精彩点拨] 对应三维形式的柯西不等式，a1＝，a2＝，a3＝，b1＝，b2＝，b3＝，而a1b1＝a2b2＝a3b3＝1，因而得证．
[自主解答] ∵a，b，c∈R＋，
由柯西不等式，知
＝＋＋×＋＋≥
＝(1＋1＋1)2＝9，
∴≥9.
1．当ai，bi是正数时，柯西不等式变形为(a1＋a2＋…＋an)(b1＋b2＋…＋bn)≥(＋＋…＋)2.
2．本题证明的关键在于构造两组数，创造使用柯西不等式的条件．在运用柯西不等式时，要善于从整体上把握柯西不等式的结构特征，正确配凑出公式两侧的数组．
3．已知函数f(x)＝m－|x－2|，m∈R，且f(x＋2)≥0的解集为[－1,1]．
(1)求m的值；
(2)若a，b，c∈R＋，且＋＋＝m，求证：a＋2b＋3c≥9.
[解] (1)因为f(x＋2)＝m－|x|，f(x＋2)≥0等价于|x|≤m.
由|x|≤m有解，得m≥0，且其解集为{x|－m≤x≤m}．
又f(x＋2)≥0的解集为[－1,1]，故m＝1.
(2)证明：由(1)知＋＋＝1.又a，b，c∈R＋，由柯西不等式得a＋2b＋3c＝(a＋2b＋3c)≥
＝9.
1．设a＝(－2,1,2)，|b|＝6，则a·b的最小值为( )
A．18 B．6
C．－18 D．12
C [|a·b|≤|a||b|，∴|a·b|≤18.
∴－18≤a·b≤18，当a，b反向时，a·b最小，最小值为－18.]
2．若a＋a＋…＋a＝1，b＋b＋…＋b＝4，则a1b1＋a2b2＋…＋anbn的取值范围是( )
A．(－∞，2) B．[－2,2]
C．(－∞，2] D．[－1,1]
B [∵(a＋a＋…＋a)(b＋b＋…＋b)≥(a1b1＋a2b2＋…＋anbn)2，∴(a1b1＋a2b2＋…＋anbn)2≤4，
∴|a1b1＋a2b2＋…＋anbn|≤2，
即－2≤a1b1＋a2b2＋…＋anbn≤2，
当且仅当ai＝bi(i＝1,2，…，n)时，右边等号成立；
当且仅当ai＝－bi(i＝1,2，…，n)时，左边等号成立，故选B.]
3．设a，b，m，n∈R，且a2＋b2＝5，ma＋nb＝5，则 的最小值为________．
[解析] 根据柯西不等式(ma＋nb)2≤(a2＋b2)(m2＋n2)，得25≤5(m2＋n2)，m2＋n2≥5，的最小值为.
[答案]
4．设a，b，c为正数，则(a＋b＋c)的最小值为________．
[解析] 由a，b，c为正数，
∴(a＋b＋c)＝[()2＋()2＋()2]≥＝121，
当且仅当＝＝＝k(k>0)时等号成立．
故(a＋b＋c)的最小值是121.
[答案] 121
5．已知实数x，y，z满足x＋2y＋z＝1，求t＝x2＋4y2＋z2的最小值．
[解] 由柯西不等式得
(x2＋4y2＋z2)(1＋1＋1)≥(x＋2y＋z)2.
∵x＋2y＋z＝1，∴3(x2＋4y2＋z2)≥1，即x2＋4y2＋z2≥.
当且仅当x＝2y＝z＝，即x＝，y＝，z＝时等号成立．故x2＋4y2＋z2的最小值为.
课时分层作业(十) 一般形式的柯西不等式
(建议用时：45分钟)
[基础达标练]
一、选择题
1．设a，b，c∈R＋，且a＋b＋c＝1，则＋＋的最大值是( )
A．1 B.
C．3 D．9
B [由柯西不等式得[()2＋()2＋()2](12＋12＋12)≥(＋＋)2，∴(＋＋)2≤3×1＝3，
当且仅当a＝b＝c＝时等号成立．
∴＋＋的最大值为.故选B.]
2．设a，b，c是正实数，且a＋b＋c＝9，则＋＋的最小值为( )
A．4 B．3
C．6 D．2
D [∵(a＋b＋c)
＝[()2＋()2＋()2]·
≥
＝18.
∴＋＋≥2.]
3．设a1，a2，…，an为实数，P＝，Q＝，则P与Q的大小关系为( )
A．P＞Q B．P≥Q
C．P＜Q D．不确定
B [由柯西不等式知(a＋a＋…＋a)·
≥a1＋a2＋…＋an，
∴·≥a1＋a2＋…＋an，
即得≥，∴P≥Q.]
4．若实数x＋y＋z＝1，则F＝2x2＋y2＋3z2的最小值为( )
A．1 B．6
C．11 D.
D [∵(2x2＋y2＋3z2)≥x·＋y·1＋z·＝(x＋y＋z)2＝1，
∴2x2＋y2＋3z2≥＝，即F≥，当且仅当2x＝y＝3z时，取等号．]
5．已知x，y，z均大于0，且x＋y＋z＝1，则＋＋的最小值为( )
A．24 B．30
C．36 D．48
C [(x＋y＋z)
≥＝36，
∴＋＋≥36.]
二、填空题
6．已知a，b，c∈R，且2a＋2b＋c＝8，则(a－1)2＋(b＋2)2＋(c－3)2的最小值是__________．
[解析] 由柯西不等式得：(4＋4＋1)×[(a－1)2＋(b＋2)2＋(c－3)2]≥[2(a－1)＋2(b＋2)＋c－3]2，
∴9[(a－1)2＋(b＋2)2＋(c－3)2]≥(2a＋2b＋c－1)2.
∵2a＋2b＋c＝8，∴(a－1)2＋(b＋2)2＋(c－3)2≥，
∴(a－1)2＋(b＋2)2＋(c－3)2的最小值是.
[答案]
7．已知a，b，c∈R，a＋2b＋3c＝6，则a2＋4b2＋9c2的最小值为________．
[解析] ∵a＋2b＋3c＝6，∴1×a＋1×2b＋1×3c＝6.
∴(a2＋4b2＋9c2)(12＋12＋12)≥(a＋2b＋3c)2，即a2＋4b2＋9c2≥12.当且仅当＝＝，即a＝2，b＝1，c＝时取等号．
[答案] 12
8．设x，y，z∈R，若(x－1)2＋(y＋2)2＋z2＝4，则3x－y－2z的取值范围是__________．又3x－y－2z取最小值时，x的值为__________．
[解析] [(x－1)2＋(y＋2)2＋z2][32＋(－1)2＋
(－2)2]≥(3x－3－y－2－2z)2,4×14≥(3x－y－2z－5)2，
∴－2≤3x－y－2z－5≤2，
即5－2≤3x－y－2z≤5＋2.
若3x－y－2z＝5－2，又＝＝＝t，
∴3(3t＋1)－(－t－2)－2(－2t)＝5－2，
∴t＝－，∴x＝－＋1.
[答案] [5－2，5＋2] －＋1
三、解答题
9．已知正数x，y，z满足x＋y＋z＝1.
(1)求证：＋＋≥；
(2)求4x＋4y＋4z2的最小值．
[解] (1)证明：·(y＋2z＋z＋2x＋x＋2y)≥·＋·＋·＝1，
即3≥1，
∴＋＋≥.
(2)由基本不等式，得4x＋4y＋4z2≥3，
因为x＋y＋z＝1，
所以x＋y＋z2＝1－z＋z2＝2＋≥，
故4x＋4y＋4z2≥3＝3，
当且仅当x＝y＝，z＝时等号成立，
所以4x＋4y＋4z2的最小值为3.
10．已知f(x)＝ax2＋bx＋c的所有系数均为正数，且a＋b＋c＝1，求证：对于任何正数x1，x2，当x1·x2＝1时，必有f(x1)·f(x2)≥1.
[证明] 由于f(x)＝ax2＋bx＋c，
且a，b，c大于0，
∴f(x1)·f(x2)＝(ax＋bx1＋c)(ax＋bx2＋c)
≥(x1·x2＋·＋c)2
＝(ax1x2＋b＋c)2
＝[f()]2＝[f(1)]2.
又f(1)＝a＋b＋c，且a＋b＋c＝1，
∴f(x1)·f(x2)≥1.
[能力提升练]
1．若2a＞b＞0，则a＋的最小值为( )
A．1 B．3
C．8 D．12
B [∵2a＞b＞0，∴2a－b＞0，
∴a＋＝
≥·3＝3.
当且仅当2a－b＝b＝，即a＝b＝2时等号成立，
∴当a＝b＝2时，a＋有最小值3.]
2．设a，b，c，x，y，z是正数，且a2＋b2＋c2＝10，x2＋y2＋z2＝40，ax＋by＋cz＝20，则＝( )
A. B.
C. D.
C [由柯西不等式得，(a2＋b2＋c2)(x2＋y2＋z2)≥(ax＋by＋cz)2＝400，当且仅当＝＝＝时取等号，因此有＝.]
3．已知a，b，c∈R＋，且a＋b＋c＝6，则＋＋的最大值为________．
[解析] 由柯西不等式得：(＋＋)2＝(1×＋1×＋1×)2≤(12＋12＋12)(2a＋2b＋1＋2c＋3)＝3(2×6＋4)＝48.
当且仅当＝＝，
即2a＝2b＋1＝2c＋3时等号成立．
又a＋b＋c＝6，
∴a＝，b＝，c＝时，
＋＋取得最大值4.
[答案] 4
4．△ABC的三边长为a，b，c，其外接圆半径为R.
求证：(a2＋b2＋c2)≥36R2.
[证明] 由三角形中的正弦定理，得
sin A＝，所以＝，
同理＝，＝，
于是由柯西不等式可得
左边＝(a2＋b2＋c2)
≥2＝36R2，
∴原不等式得证．
