课件38张PPT。第三讲 柯西不等式与排序不等式三 排序不等式反序和 乱序和 用排序不等式证明不等式(字母大小已定) 字母大小顺序不定的不等式证明 利用排序不等式求最值 利用排序不等式求解简单的实际问题 点击右图进入…Thank you for watching !三 排序不等式
学习目标：1.了解排序不等式的数学思想和背景.2.理解排序不等式的结构与基本原理，会用排序不等式解决简单的不等式问题．(重点、难点)
教材整理1 顺序和、乱序和、反序和的概念
阅读教材P41～P42“探究”以上部分，完成下列问题．
设a1≤a2≤a3≤…≤an，b1≤b2≤b3≤…≤bn为两组实数，c1，c2，…，cn是b1，b2，…，bn的任一排列，则称ai与bi(i＝1,2，…，n)的相同顺序相乘所得积的和a1b1＋a2b2＋…＋anbn为顺序和，和a1c1＋a2c2＋…＋ancn为乱序和，相反顺序相乘所得积的和a1bn＋a2bn－1＋…＋anb1称为反序和．
教材整理2 排序不等式
阅读教材P42～P44，完成下列问题．
设a1≤a2≤…≤an，b1≤b2≤…≤bn为两组实数，c1，c2，…，cn是b1，b2，…，bn的任一排列，则a1bn＋a2bn－1＋…＋anb1≤a1c1＋a2c2＋…＋ancn≤a1b2＋a2b2＋…＋anbn，当且仅当a1＝a2＝…＝an或b1＝b2＝…＝bn时，反序和等于顺序和，此不等式简记为反序和≤乱序和≤顺序和.
用排序不等式证明不等式(字母大小已定)
【例1】 已知a，b，c为正数，a≥b≥c，求证：
(1)≥≥；
(2)＋＋≥＋＋.
[精彩点拨] 由于题目条件中已明确a≥b≥c，故可以直接构造两个数组．
[自主解答] (1)∵a≥b>0，于是≤.
又c>0，∴>0，从而≥，
同理，∵b≥c>0，于是≤，
∴a>0，∴>0，于是得≥，
从而≥≥.
(2)由(1)知≥≥>0且a≥b≥c>0，
∴≥≥，a2≥b2≥c2.
由排序不等式，顺序和≥乱序和得
＋＋≥＋＋＝＋＋＝＋＋，
故＋＋≥＋＋.
利用排序不等式证明不等式的技巧在于仔细观察、分析所要证明的式子的结构，从而正确地构造出不等式中所需要的带有大小顺序的两个数组．
1．本例题中条件不变，求证：＋＋≥＋＋.
[证明] ∵a≥b≥c≥0，
∴a5≥b5≥c5，
≥≥＞0.
∴≥≥，
∴≥≥，由顺序和≥乱序和得
＋＋≥＋＋
＝＋＋，
∴＋＋≥＋＋.
字母大小顺序不定的不等式证明
【例2】 设a，b，c为正数，求证：＋＋≤＋＋.
[精彩点拨] (1)题目涉及到与排序有关的不等式；
(2)题目中没有给出a，b，c的大小顺序．解答本题时不妨先设定a≤b≤c，再利用排序不等式加以证明．
[自主解答] 不妨设0
0<≤≤，
由排序原理：乱序和≤顺序和，得
a3·＋b3·＋c3·≤a3·＋b3·＋c3·，
a3·＋b3·＋c3·≤a3·＋b3·＋c3·.
将上面两式相加得
＋＋≤2，
将不等式两边除以2，
得＋＋≤＋＋.
在排序不等式的条件中需要限定各数值的大小关系，对于没有给出大小关系的情况：(1)要根据各字母在不等式中地位的对称性，限定一种大小关系．(2)若给出的字母不具有对称性，一定不能直接限定字母的大小顺序，而要根据具体环境分类讨论．
2．设a1，a2，…，an为正数，求证：＋＋…＋＋≥a1＋a2＋…＋an.
[证明] 不妨设0＜a1≤a2≤…≤an，则
a≤a≤…≤a，≥≥…≥.
由排序不等式知，乱序和不小于反序和，所以
＋＋…＋＋≥a·＋a·＋…＋a·，即
＋＋…＋＋≥a1＋a2＋…＋an.
利用排序不等式求最值
【例3】 设A，B，C表示△ABC的三个内角，a，b，c表示其对边，求的最小值(A，B，C用弧度制表示)．
[精彩点拨] 不妨设a≥b≥c＞0，设法构造数组，利用排序不等式求解．
[自主解答] 不妨设a≥b≥c，
则A≥B≥C.
由排序不等式，得
aA＋bB＋cC＝aA＋bB＋cC，
aA＋bB＋cC≥bA＋cB＋aC，
aA＋bB＋cC≥cA＋aB＋bC，
将以上三式相加，得
3(aA＋bB＋cC)≥(a＋b＋c)·(A＋B＋C)＝π(a＋b＋c)，
当且仅当A＝B＝C＝时，等号成立．
∴≥，
即的最小值为.
1．分析待求函数的结构特征，构造两个有序数组．
2．运用排序原理求最值时，一定要验证等号是否成立，若等号不成立，则取不到最值．
3．已知x，y，z是正数，且x＋y＋z＝1，求t＝＋＋的最小值．
[解] 不妨设x≥y≥z>0，则x2≥y2≥z2，≥≥.
由排序不等式，乱序和≥反序和．
＋＋≥x2·＋y2·＋z2·＝x＋y＋z.
又x＋y＋z＝1，＋＋≥1，
当且仅当x＝y＝z＝时，等号成立．
故t＝＋＋的最小值为1.
利用排序不等式求解简单的实际问题
【例4】 若某网吧的3台电脑同时出现了故障，对其维修分别需要45 min,25 min和30 min，每台电脑耽误1 min，网吧就会损失0.05元．在只能逐台维修的条件下，按怎样的顺序维修，才能使经济损失降到最小？
[精彩点拨] 这是一个实际问题，需要转化为数学问题．要使经济损失降到最小，即三台电脑维修的时间与等候的总时间之和最小，又知道若维修第一台用时间t1 min时，三台电脑等候维修的总时间为3t1 min，依此类推，等候的总时间为3t1＋2t2＋t3 min，求其最小值即可．
[自主解答] 设t1，t2，t3为25,30,45的任一排列，
由排序原理知3t1＋2t2＋t3≥3×25＋2×30＋45＝180(min)，
所以按照维修时间由小到大的顺序维修，可使经济损失降到最小．
1．首先理解题意，实际问题数学化，建立恰当模型．
2．三台电脑的维修时间3t1＋2t2＋t3就是问题的数学模型，从而转化为求最小值(运用排序原理)．
4．有5个人各拿一只水桶到水龙头接水，如果水龙头注满这5个人的水桶需要时间分别是4 min,8 min,6 min，10 min，5 min，那么如何安排这5个人接水的顺序，才能使他们等待的总时间最少？
[解] 根据排序不等式的反序和最小，可得最少时间为4×5＋5×4＋6×3＋8×2＋10×1＝84(min)．
即按注满时间为4 min,5 min,6 min,8 min,10 min依次等水，等待的总时间最少．
1．已知x≥y，M＝x4＋y4，N＝x3y＋y3x，则M与N的大小关系是( )
A．M>N B．M≥N
C．MB [由排序不等式，知M≥N.]
2．设a，b，c为正数，P＝a3＋b3＋c3，Q＝a2b＋b2c＋c2a，则P与Q的大小关系是( )
A．P>Q B．P≥Q
C．PB [不妨设a≥b≥c>0，则a2≥b2≥c2>0，由排序不等式得：a2a＋b2b＋c2c≥a2b＋b2c＋c2a.∴P≥Q.]
3．已知两组数1,2,3和4,5,6，若c1，c2，c3是4,5,6的一个排列，则c1＋2c2＋3c3的最大值是________，最小值是________．
[解析] 由排序不等式，顺序和最大，反序和最小，
∴最大值为1×4＋2×5＋3×6＝32，最小值为1×6＋2×5＋3×4＝28.
[答案] 32 28
4．某班学生要开联欢会，需要买价格不同的礼品4件，5件和2件．现在选择商店中单价分别为3元，2元和1元的礼品，则至少要花________元，最多要花________元．
[解析] 取两组实数(2,4,5)和(1,2,3)，则顺序和为2×1＋4×2＋5×3＝25，反序和为2×3＋4×2＋5×1＝19.
所以最少花费为19元，最多花费为25元．
[答案] 19 25
5．设a1，a2，…，an是n个互不相同的正整数，求证：1＋＋＋…＋≤a1＋＋＋…＋.
[证明] ∵12＜22＜32＜…＜n2，
∴＞＞…＞.
设c1，c2，…，cn是a1，a2，…，an由小到大的一个排列，即c1＜c2＜c3＜…＜cn，
根据排序原理中，反序和≤乱序和，
得c1＋＋＋…＋≤a1＋＋＋…＋，
而c1，c2，…，cn分别大于或等于1,2，…，n，
∴c1＋＋＋…＋≥1＋＋＋…＋
＝1＋＋…＋，
∴1＋＋＋…＋≤a1＋＋…＋.
课时分层作业(十一) 排序不等式
(建议用时：45分钟)
[基础达标练]
一、选择题
1．设a≥b>0，P＝a3＋b3，Q＝a2b＋ab2，则P与Q的大小关系是( )
A．P>Q B．P≥Q
C．PB [∵a≥b>0，∴a2≥b2>0.
因此a3＋b3≥a2b＋ab2(排序不等式)，
则P≥Q.]
2．设a1≤a2≤a3≤…≤an，b1≤b2≤b3≤…≤bn为两组实数，在排序不等式中，顺序和，反序和，乱序和的大小关系为( )
A．反序和≥乱序和≥顺序和
B．反序和＝乱序和＝顺序和
C．反序和≤乱序和≤顺序和
D．反序和、乱序和、顺序和大小关系不确定
[答案] C
3．设正实数a1，a2，a3的任一排列为a′1，a′2，a′3，则＋＋的最小值为( )
A．3 B．6
C．9 D．12
A [设a1≥a2≥a3＞0，则≥≥＞0，由乱序和不小于反序和知，
＋＋≥＋＋＝3，
∴＋＋的最小值为3，故选A.]
4．若A＝x＋x＋…＋x，B＝x1x2＋x2x3＋…＋xn－1xn＋xnx1，其中x1，x2，…，xn都是正数，则A与B的大小关系为( )
A．A＞B B．A＜B
C．A≥B D．A≤B
C [依序列{xn}的各项都是正数，不妨设0＜x1≤x2≤…≤xn，则x2，x3，…，xn，x1为序列{xn}的一个排列．依排序原理，得x1x1＋x2x2＋…＋xnxn≥x1x2＋x2x3＋…＋xnx1，即x＋x＋…＋x≥x1x2＋x2x3＋…＋xnx1.故选C.]
5．已知a，b，c为正实数，则a2(a2－bc)＋b2(b2－ac)＋c2(c2－ab)的正负情况是( )
A．大于零 B．大于等于零
C．小于零 D．小于等于零
B [设a≥b≥c>0，所以a3≥b3≥c3，
根据排序原理，得a3×a＋b3×b＋c3×c≥a3b＋b3c＋c3a.
又知ab≥ac≥bc，a2≥b2≥c2，所以a3b＋b3c＋c3a≥a2bc＋b2ca＋c2ab，
∴a4＋b4＋c4≥a2bc＋b2ca＋c2ab，
即a2(a2－bc)＋b2(b2－ac)＋c2(c2－ab)≥0.]
二、填空题
6．若a，b，c∈R＋，则＋＋________a＋b＋c.
[解析] 不妨设a≥b≥c＞0，则bc≤ca≤ab，≤≤，
∴＋＋≥＋＋＝a＋b＋c.
[答案] ≥
7．有4人各拿一只水桶去接水，设水龙头注满每个人的水桶分别需要5 s,4 s,3 s,7 s，每个人接完水后就离开，则他们总的等候时间最短为________s.
[解析] 等候的最短时间为：3×4＋4×3＋5×2＋7×1＝41(s)．
[答案] 41
8．设a1，a2，a3为正数，且a1＋a2＋a3＝1，则＋＋的最小值为________．
[解析] 不妨设a3>a1>a2>0，则<<，
所以a1a2设乱序和S＝＋＋＝a1＋a2＋a3＝1，
顺序和S′＝＋＋.
由排序不等式得＋＋≥a1＋a2＋a3＝1，
所以＋＋的最小值为1.
[答案] 1
三、解答题
9．设a，b，c大于0，求证：
(1)a3＋b3≥ab(a＋b)；
(2)＋＋≤.
[证明] (1)不妨设a≥b≥c>0，
则a2≥b2≥c2>0，
∴a3＋b3＝a2·a＋b2·b≥a2b＋b2a，
∴a3＋b3≥ab(a＋b)．
(2)由(1)知，同理b3＋c3≥bc(b＋c)，c3＋a3≥ac(c＋a)，
所以＋＋
≤＋
＋
＝
＝·＝.
故原不等式得证．
10．已知a，b，c都是正数，求＋＋的最小值．
[解] 由对称性，不妨设0＜c≤b≤a，则有a＋b≥a＋c≥b＋c＞0，所以0＜≤≤.
由排序不等式得
＋＋
≥＋＋， ①
＋＋≥＋＋. ②
由①②知2≥3，
∴＋＋≥.
当且仅当a＝b＝c时，＋＋取最小值.
[能力提升练]
1．锐角三角形中，设P＝，Q＝acos C＋bcos B＋ccos A，则P，Q的关系为( )
A．P≥Q B．P＝Q
C．P≤Q D．不能确定
C [不妨设A≥B≥C，则a≥b≥c，
cos A≤cos B≤cos C，则由排序不等式有Q＝acos C＋bcos B＋ccos A≥acos B＋bcos C＋ccos A
＝R(2sin Acos B＋2sin Bcos C＋2sin Ccos A)
≥R[sin(A＋B)＋sin(B＋C)＋sin(A＋C)]
＝R(sin C＋sin A＋sin B)＝＝P.]
2．已知a＋b＋c＝1，a，b，c为正数，则＋＋的最小值是________．
[解析] 不妨设a≥b≥c，∴≥≥，
∴＋＋≥＋＋， ①
＋＋≥＋＋， ②
①＋②得＋＋≥，
∴＋＋≥.
[答案]
3．在Rt△ABC中，∠C为直角，A，B所对的边分别为a，b，则aA＋bB与(a＋b)的大小关系为________．
[解析] 不妨设a≥b＞0，
则A≥B＞0，由排序不等式
?2(aA＋bB)≥a(A＋B)＋b(A＋B)
＝(a＋b)，
∴aA＋bB≥(a＋b)．
[答案] aA＋bB≥(a＋b)
4．已知0<α<β<γ<，求证：sin αcos β＋sin βcos γ＋sin γcos α>(sin 2α＋sin 2β＋sin 2γ)．
[证明] ∵0<α<β<γ<，且y＝sin x在上为增函数，y＝cos x在上为减函数，
∴0cos β>cos γ>0.
根据排序不等式得：乱序和>反序和．
∴sin αcos β＋sin βcos γ＋sin γcos α
>sin αcos α＋sin βcos β＋sin γcos γ
＝(sin 2α＋sin 2β＋sin 2γ)．
故原不等式得证．
