课件20张PPT。第三讲 柯西不等式与排序不等式章末复习课利用柯西不等式证明简单不等式 排序原理在不等式证明中的应用 利用柯西不等式、排序不等式求最值Thank you for watching !章末综合测评(三) 柯西不等式与排序不等式
(时间120分钟，满分150分)
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．设xy>0，则的最小值为( )
A．－9 B．9
C．10 D．0
B [≥＝9.]
2．已知实数a，b，c，d，e满足a＋b＋c＋d＋e＝8，a2＋b2＋c2＋d2＋e2＝16，则e的取值范围为( )
A. B.
C. D.
C [∵4(a2＋b2＋c2＋d2)＝(1＋1＋1＋1)(a2＋b2＋c2＋d2)≥(a＋b＋c＋d)2，即4(16－e2)≥(8－e)2，
64－4e2≥64－16e＋e2，即5e2－16e≤0，
∴e(5e－16)≤0，故0≤e≤.]
3．学校要开运动会，需要买价格不同的奖品40件、50件、20件，现在选择商店中为5元、3元、2元的奖品，则至少要花( )
A．300元 B．360元
C．320元 D．340元
C [由排序原理，反序和最小，
∴最小值为50×2＋40×3＋20×5＝320(元). ]
4．已知a，b，c为非零实数，则(a2＋b2＋c2)＋＋的最小值为( )
A．7 B．9
C．12 D．18
B [由(a2＋b2＋c2)
≥＝9，
所以所求最小值为9.]
5．设a，b，c均小于0，且a2＋b2＋c2＝3，则ab＋bc＋ca的最大值为( )
A．0 B．1
C．3 D.
C [由排序不等式a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ac，
所以ab＋bc＋ca≤3.]
6．若x＋2y＋4z＝1，则x2＋y2＋z2的最小值是( )
A．21 B.
C．16 D.
B [∵1＝x＋2y＋4z≤ ·，
∴x2＋y2＋z2≥，即x2＋y2＋z2的最小值为.]
7．函数f(x)＝＋cos x，则f(x)的最大值是( )
A. B.
C．1 D．2
A [f(x)＝·＋cos x.
又(·＋cos x)2≤(2＋1)(sin2x＋cos 2x)＝3，∴f(x)的最大值为.]
8．已知a，b，x1，x2为互不相等的正数，若y1＝，y2＝，则y1y2与x1x2的关系为( )
A．y1y2C．y1y2>x1x2 D．不能确定
C [∵a，b，x1，x2为互不相等的正数，
∴y1y2＝·
＝
＝
>
＝＝x1x2.]
9．已知半圆的直径AB＝2R，P是弧AB上一点，则2|PA|＋3|PB|的最大值是( )
A.R B.R
C．2R D．4R
C [由2|PA|＋3|PB|≤
＝＝·2R.]
10．设a1，a2，…，an为正实数，P＝，Q＝，则P，Q间的大小关系为( )
A．P>Q B．P≥Q
C．PB [∵(a1＋a2＋…＋an)≥(1＋1＋…＋1)＝n2，
∴≥，
即P≥Q.]
11．设a1，a2，a3为正数，则＋＋与a1＋a2＋a3大小为( )
A．> B．≥
C．< D．≤
B [不妨设a1≥a2≥a3>0，于是
≤≤，a2a3≤a3a1≤a1a2，
由排序不等式得，
＋＋≥·a2a3＋·a3a1＋·a1a2
＝a3＋a1＋a2，即＋＋≥a1＋a2＋a3.]
12．设c1，c2，…，cn是a1，a2，…，an的某一排列(a1，a2，…，an均为正数)，则＋＋…＋的最小值是( )
A．n B.
C. D．2n
A [不妨设0≤a1≤a2≤…≤an，
则≥≥…≥，，，…，是，，…，的一个排列．
再利用排序不等式的反序和≤乱序和求解，
所以＋＋…＋≥＋＋…＋＝n，
当且仅当a1＝a2＝…＝an时等号成立．故选A.]
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上)
13．设x，y，z∈R，且满足x2＋y2＋z2＝1，x＋2y＋3z＝，则x＋y＋z＝________.
[解析] 由柯西不等式可得(x2＋y2＋z2)(12＋22＋32)≥(x＋2y＋3z)2，即(x＋2y＋3z)2≤14，因此x＋2y＋3z≤.因为x＋2y＋3z＝，所以x＝＝，解得x＝，y＝，z＝，于是x＋y＋z＝.
[答案]
14．已知实数m，n＞0，则＋________.(填“≥”“＞”“≤”或“＜”)
[解析] 因为m，n＞0，利用柯西不等式，
得(m＋n)≥(a＋b)2，
所以＋≥.
[答案] ≥
15．函数y＝的最小值是________．
[解析] 由柯西不等式，得
y＝
≥
＝≥(1＋)2＝3＋2.
当且仅当＝，即α＝时等号成立．
[答案] 3＋2
16.如图所示，矩形OPAQ中，a1≤a2，b1≤b2，则阴影部分的矩形的面积之和________空白部分的矩形的面积之和．
[解析] 由题图可知，阴影面积＝a1b1＋a2b2，而空白面积＝a1b2＋a2b1，根据顺序和≥逆序和可知答案为≥.
[答案] ≥
三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．(本小题满分10分)设x2＋2y2＝1，求u(x，y)＝x＋2y的最值．
[解] 由柯西不等式，有|u(x，y)|
＝|1·x＋·y|≤·＝，
得umax＝，umin＝－.
分别在，时取得最大值和最小值．
18．(本小题满分12分)已知正数x，y，z满足x＋y＋z＝1.求证：＋＋≥.
[证明] 因为x>0，y>0，z>0，所以由柯西不等式得：
[(y＋2z)＋(z＋2x)＋(x＋2y)]＋＋≥(x＋y＋z)2，又因为x＋y＋z＝1，
所以＋＋≥
＝.
19．(本小题满分12分)已知a，b，c∈R＋，求证：a＋b＋c≤＋＋≤＋＋.
[证明] 不妨设a≥b≥c>0，则a2≥b2≥c2，≥≥.
由排序不等式，可得a2·＋b2·＋c2·≥a2·＋b2·＋c2·， ①
a2·＋b2·＋c2·≥a2·＋b2·＋c2·， ②
由(①＋②)÷2，可得
＋＋≥a＋b＋c.
又因为a≥b≥c>0，所以a3≥b3≥c3，≥≥.
由排序不等式，得
a3·＋b3·＋c3·≥a3·＋b3·＋c3·， ③
a3·＋b3·＋c3·≥a3·＋b3·＋c3·， ④
由(③＋④)÷2，可得＋＋≥＋＋.
综上可知原式成立．
20．(本小题满分12分)已知a，b，c大于0，且acos2θ＋bsin2θ<，求证：cos2θ＋sin2θ[证明] 由柯西不等式，得(cos2θ＋sin2θ)2
≤[(cos θ)2＋(sin θ)2](cos2θ＋sin2θ)
＝acos2θ＋bsin2θ.
又acos2θ＋bsin2θ<，∴(cos2θ＋sin2θ)2<.
因此，cos2θ＋sin2θ21．(本小题满分12分)设a，b，c为正数，且a＋b＋c＝1，求证：＋＋≥9.
[证明] 构造两组数，，；，，.
于是由柯西不等式有[()2＋()2＋()2]
≥，
即(a＋b＋c)≥32.
因为a＋b＋c＝1，所以＋＋≥9.
22．(本小题满分12分)设a，b，c∈R＋，利用排序不等式证明：(1)aabb＞abba(a≠b)；
(2)a2ab2bc2c≥ab＋cbc＋aca＋b.
[证明] (1)不妨设a＞b＞0，则lg a＞lg b.
从而alg a＋blg b＞alg b＋blg a，
∴lg aa＋lg bb＞lg ba＋lg ab，
即lg aabb＞lg baab，故aabb＞baab.
(2)不妨设a≥b≥c＞0，则lg a≥lg b≥lg c，
∴alg a＋blg b＋clg c≥blg a＋clg b＋alg c，
alg a＋blg b＋clg c≥clg a＋alg b＋blg c，
∴2alg a＋2blg b＋2clg c
≥(b＋c)lg a＋(a＋c)lg b＋(a＋b)lg c，
∴lg(a2a·b2b·c2c)≥lg (ab＋c·ba＋c·ca＋b)．
故a2ab2bc2c≥ab＋cbc＋aca＋b.
[自我校对] ①一般形式的柯西不等式 ②柯西不等式的三角形式 ③反序和 ④顺序和 ⑤排序原理
利用柯西不等式证明简单不等式
柯西不等式形式优美、结构易记，因此在解题时，根据题目特征灵活运用柯西不等式，可证明一些简单不等式．
【例1】 已知a，b，c是实数，且a＋b＋c＝1，求证：＋＋≤4.
[自主解答] 因为a，b，c是实数，且a＋b＋c＝1，令m＝(，，)，
n＝(1,1,1)，
则|m·n|2＝(＋＋)2，
|m|2·|n|2＝3[(13a＋1)＋(13b＋1)＋(13c＋1)]
＝3[13(a＋b＋c)＋3]＝48.
∵|m·n|2≤|m|2·|n|2，
∴()＋＋)2≤48，
∴＋＋≤4.
1．设a，b，x，y都是正数，且x＋y＝a＋b，求证：＋≥.
[证明] ∵a，b，x，y都大于0，
且x＋y＝a＋b.
由柯西不等式，知[(a＋x)＋(b＋y)]
≥2＝(a＋b)2.
又a＋x＋b＋y＝2(a＋b)>0，
所以＋≥.
排序原理在不等式证明中的应用
应用排序不等式的技巧在于构造两个数组，而数组的构造应从需要入手来设计，这一点应从所要证的式子的结构观察分析，再给出适当的数组．
【例2】 已知a，b，c为正实数，求证：a＋b＋c≤＋＋.
[自主解答] 由于不等式关于a，b，c对称，
可设a≥b≥c>0.于是a2≥b2≥c2，≥≥.
由排序不等式，得反序和≤乱序和，即
a2·＋b2·＋c2·≤a2·＋b2·＋c2·，
及a2·＋b2·＋c2·≤a2·＋b2·＋c2·.
以上两个同向不等式相加再除以2，即得原不等式．
2．设a，b，c∈R＋，求证：a5＋b5＋c5≥a3bc＋b3ac＋c3ab.
[证明] 不妨设a≥b≥c＞0，则a4≥b4≥c4，
运用排序不等式有：
a5＋b5＋c5＝a×a4＋b×b4＋c×c4≥ac4＋ba4＋cb4.
又a3≥b3≥c3＞0，
且ab≥ac≥bc＞0，
所以a4b＋b4c＋c4a＝a3ab＋b3bc＋c3ca≥a3bc＋b3ac＋c3ab，
即a5＋b5＋c5≥a3bc＋b3ac＋c3ab.
利用柯西不等式、排序不等式求最值
有关不等式的问题往往要涉及到对式子或量的范围的限制，柯西不等式、排序不等式为我们通过不等式求最值提供了新的有力工具，但一定要注意取等号的条件能否满足．
【例3】 设a，b，c为正实数，且a＋2b＋3c＝13，求＋＋的最大值．
[自主解答] 由于a，b，c为正实数，根据柯西不等式，知
(a＋2b＋3c)＝[()2＋()2＋
()2]
≥＝(＋＋)2，
∴(＋＋)2≤，
即＋＋≤，
当且仅当＝＝时取等号．
又a＋2b＋3c＝13，∴当a＝9，b＝，c＝时，
＋＋取得最大值为.
3．已知实数a，b，c，d，e满足a2＋b2＋c2＋d2＋e2＝16.求a＋b＋c＋d＋e的最大值．
[解] a＋b＋c＋d＋e＝
≤
≤＝4，
所以a＋b＋c＋d＋e的最大值是4.
1．已知关于x的不等式|x＋a|(1)求实数a，b的值；
(2)求＋的最大值．
[解] (1)由|x＋a|则解得
(2)＋＝＋
≤＝2＝4，
当且仅当＝，即t＝1时等号成立，
故(＋)max＝4.
2．已知a>0，b>0，c>0，函数f(x)＝|x＋a|＋|x－b|＋c的最小值为4.
(1)求a＋b＋c的值；
(2)求a2＋b2＋c2的最小值．
[解] (1)因为f(x)＝|x＋a|＋|x－b|＋c≥|(x＋a)－(x－b)|＋c＝|a＋b|＋c，
当且仅当－a≤x≤b时，等号成立．
又a>0，b>0，所以|a＋b|＝a＋b，
所以f(x)的最小值为a＋b＋c.
又已知f(x)的最小值为4，所以a＋b＋c＝4.
(2)由(1)知a＋b＋c＝4，由柯西不等式，得
(4＋9＋1)≥＝(a＋b＋c)2＝16，即a2＋b2＋c2≥.
当且仅当＝＝，即a＝，b＝，c＝时等号成立，故a2＋b2＋c2的最小值是.
