课件43张PPT。第四讲 用数学归纳法证明不等式一 数学归纳法n＝k＋1 用数学归纳法证明等式 用数学归纳法证明整除问题 证明几何命题 数学归纳法的概念 点击右图进入…Thank you for watching !
一 数学归纳法
学习目标：1.了解数学归纳法的原理及其使用范围．(重点)2.会利用数学归纳法证明一些简单问题．(重点、难点)
教材整理 数学归纳法的概念
阅读教材P46～P50，完成下列问题．
一般地，当要证明一个命题对于不小于某正整数n0的所有正整数n都成立时，可以用以下两个步骤：
(1)证明当n＝n0时命题成立；
(2)假设当n＝k(k∈N＋，且k≥n0)时命题成立，证明_n＝k＋1时命题也成立．
在完成了这两个步骤后，就可以断定命题对于不小于n0的所有正整数都成立．这种证明方法称为数学归纳法．
数学归纳法证明中，在验证了n＝1时命题正确，假定n＝k时命题正确，此时k的取值范围是( )
A．k∈N B．k＞1，k∈N＋
C．k≥1，k∈N＋ D．k＞2，k∈N＋
C [数学归纳法是证明关于正整数n的命题的一种方法，所以k是正整数，又第一步是递推的基础，所以k大于等于1.]
用数学归纳法证明等式
【例1】 用数学归纳法证明：
1－＋－＋…＋－＝＋＋…＋.
[精彩点拨] 要证等式的左边共2n项，右边共n项，f(k)与f(k＋1)相比左边增二项，右边增一项，而且左、右两边的首项不同．因此，由“n＝k”到“n＝k＋1”时要注意项的合并．
[自主解答] ①当n＝1时，左边＝1－＝＝＝右边，所以等式成立．
②假设n＝k(k≥1，k∈N＋)时等式成立，即
1－＋－＋…＋－＝＋＋…＋，则当n＝k＋1时，
左边＝1－＋－＋…＋－＋－＝＋－
＝＋
＝＋…＋＋＋＝右边，
所以，n＝k＋1时等式成立．
由①②知，等式对任意n∈N＋成立．
1．用数学归纳法证明等式的关键在于“先看项”，弄清等式两边的构成规律，等式的两边各有多少项，项的多少与n的取值是否有关．由n＝k到n＝k＋1时，等式的两边会增加多少项，增加怎样的项．
2．利用数学归纳法证明代数恒等式时要注意两点：一是要准确表述n＝n0时命题的形式，二是要准确把握由n＝k到n＝k＋1时，命题结构的变化特点．并且一定要记住：在证明n＝k＋1成立时，必须使用归纳假设，这是数学归纳法证明的核心环节．
1．用数学归纳法证明：12－22＋32－42＋…＋(2n－1)2－(2n)2＝－n(2n＋1)．
[证明] (1)当n＝1时，左边＝12－22＝－3，
右边＝－1×(2×1＋1)＝－3，等式成立．
(2)假设当n＝k(k≥1)时，等式成立，就是
12－22＋32－42＋…＋(2k－1)2－(2k)2＝－k(2k＋1)．
当n＝k＋1时，
12－22＋32－42＋…＋(2k－1)2－(2k)2＋(2k＋1)2－(2k＋2)2
＝－k(2k＋1)＋(2k＋1)2－[2(k＋1)]2＝－k(2k＋1)－(4k＋3)＝－(2k2＋5k＋3)
＝－(k＋1)[2(k＋1)＋1]，
所以n＝k＋1时等式也成立，
根据(1)和(2)可知，等式对任何n∈N＋都成立.
用数学归纳法证明整除问题
【例2】 用数学归纳法证明：(3n＋1)·7n－1能被9整除(n∈N＋)．
[精彩点拨] 先验证n＝1时命题成立，然后再利用归纳假设证明，关键是找清f(k＋1)与f(k)的关系并设法配凑．
[自主解答] (1)当n＝1时，原式＝(3×1＋1)×7－1＝27，能被9整除，命题成立．
(2)假设当n＝k(k∈N＋，k≥1)时，(3k＋1)·7k－1能被9整除，则当n＝k＋1时，
[ 3(k＋1)＋1]·7k＋1－1
＝[21(k＋1)＋7]·7k－1
＝[(3k＋1)＋(18k＋27)]·7k－1
＝[(3k＋1)·7k－1]＋9(2k＋3)·7k.
∵[(3k＋1)·7k－1]和9(2k＋3)·7k都能被9整除，
∴[ (3k＋1)·7k－1]＋9(2k＋3)·7k能被9整除，
即[3(k＋1)＋1]·7k＋1－1能被9整除，
即当n＝k＋1时命题成立．
由(1)(2)可知，对任何n∈N＋，命题都成立，即(3n＋1)·7n－1能被9整除(n∈N＋)．
1．证明本题时关键是用归纳假设式子(3k＋1)·7k－1表示n＝k＋1时的式子．
2．用数学归纳法证明整除问题关键是利用增项、减项、拆项、并项、因式分解等恒等变形的方法去凑假设、凑结论，从而利用归纳假设使问题获证．一般地，证明一个与n有关的式子f(n)能被一个数a(或一个代数式g(n)) 整除，主要是找到f(k＋1)与f(k)的关系，设法找到式子f1(k)，f2(k)，使得f(k＋1)＝f(k)·f1(k)＋f2(k)．
2．求证：n3＋(n＋1)3＋(n＋2)3能被9整除．
[证明] (1)当n＝1时，13＋(1＋1)3＋(1＋2)3＝36,36能被9整除，命题成立．
(2)假设n＝k(k≥1，k∈N＋)时，命题成立，即k3＋(k＋1)3＋(k＋2)3能被9整除，
当n＝k＋1时，(k＋1)3＋(k＋2)3＋(k＋3)3
＝(k＋1)3＋(k＋2)3＋k3＋3k2·3＋3k·32＋33
＝[k3＋(k＋1)3＋(k＋2)3]＋9(k2＋3k＋3)，
由归纳假设知，上式中两项都能被9整除，故n＝k＋1时，命题也成立．
由(1)和(2)可知，对n∈N＋命题成立．
证明几何命题
【例3】 平面内有n(n≥2，n∈N＋)条直线，其中任意两条不平行，任意三条不过同一点，那么这n条直线的交点个数f(n)是多少？并证明你的结论．
[精彩点拨] (1)从特殊入手，求f(2)，f(3)，f(4)，猜想出一般性结论f(n)；(2)利用数学归纳法证明．
[自主解答] 当n＝2时，f(2)＝1 ；当n＝3时，f(3)＝3；
当n＝4时，f(4)＝6.
因此猜想f(n)＝(n≥2，n∈N＋)．
下面利用数学归纳法证明：
(1)当n＝2时，两条相交直线有一个交点，
又f(2)＝×2×(2－1)＝1.
∴n＝2时，命题成立．
(2)假设当n＝k(k≥2且k∈N＋)时命题成立，就是该平面内满足题设的任何k条直线的交点个数为f(k)＝k(k－1)，
当n＝k＋1时，其中一条直线记为l，剩下的k条直线为l1，l2，…，lk.
由归纳假设知，剩下的k条直线之间的交点个数为f(k)＝.
由于l与这k条直线均相交且任意三条不过同一点，
所以直线l与l1，l2，l3，…，lk的交点共有k个，
∴f(k＋1)＝f(k)＋k＝＋k＝
＝＝，
∴当n＝k＋1时，命题成立．
由(1)(2)可知，命题对一切n∈N＋且n≥2时成立．
1．从特殊入手，寻找一般性结论，并探索n变化时，交点个数间的关系．
2．利用数学归纳法证明几何问题时，关键是正确分析由n＝k到n＝k＋1时几何图形的变化规律并结合图形直观分析，要讲清原因．
3．在本例中，探究这n条直线互相分割成线段或射线的条数是多少？并加以证明．
[解] 设分割成线段或射线的条数为f(n)，则f(2)＝4，f(3)＝9，f(4)＝16.
猜想n条直线分割成线段或射线的条数f(n)＝n2(n≥2)，下面利用数学归纳法证明．
(1)当n＝2时，显然成立．
(2)假设当n＝k(k≥2，且k∈N＋)时，
结论成立，f(k)＝k2.
则当n＝k＋1时，设有l1，l2，…，lk，lk＋1，共k＋1条直线满足题设条件．
不妨取出直线l1，余下的k条直线l2，l3，…，lk，lk＋1互相分割成f(k)＝k2条射线或线段．
直线l1与这k条直线恰有k个交点，则直线l1被这k个交点分成k＋1条射线或线段．k条直线l2，l3，…，lk－1中的每一条都与l1恰有一个交点，因此每条直线又被这一个交点多分割出一条射线或线段，共有k条．
故f(k＋1)＝f(k)＋k＋1＋k＝k2＋2k＋1＝(k＋1)2，
∴当n＝k＋1时，结论正确．
由(1)(2)可知，上述结论对一切n≥2且n∈N＋均成立.
数学归纳法的概念
[探究问题]
1．数学归纳法中，n取的第一个值n0是否一定是1?
[提示] n0不一定是1，指适合命题的第一个正整数，不是一定从1开始．
2．如何理解数学归纳法的两个步骤之间的关系？
[提示] 第一步是验证命题递推的基础，第二步是论证命题递推的桥梁，这两个步骤缺一不可，只完成步骤(1)而缺少步骤(2)就作出判断，可能得出不正确的结论，因为单靠步骤(1)无法递推下去，即n取n0以后的数时命题是否正确，我们无法判断．同样只有步骤(2)而缺少步骤(1)时，也可能得出不正确的结论，缺少步骤(1)这个基础，假设就失去了成立的前提，步骤(2)也就无意义了．
【例4】 用数学归纳法证明：1＋a＋a2＋…＋an＋1＝(a≠1，n∈N＋)，在验证n＝1成立时，左边计算的结果是( )
A．1 B．1＋a
C．1＋a＋a2 D．1＋a＋a2＋a3
[精彩点拨] 注意左端特征，共有n＋2项，首项为1，最后一项为an＋1.
C [实际是由1(即a0)起，每项指数增加1，到最后一项为an＋1，所以n＝1时，左边的最后一项应为a2，因此左边计算的结果应为1＋a＋a2.]
1．验证是基础：找准起点，奠基要稳，有些问题中验证的初始值不一定为1.
2．递推是关键：正确分析由n＝k到n＝k＋1时式子项数的变化是应用数学归纳法成功证明问题的保障．
4．当f(k)＝1－＋－＋…＋－，则f(k＋1)＝f(k)＋________.
[解析] f(k＋1)＝1－＋－＋…＋－＋－，∴f(k＋1)＝f(k)＋－.
[答案] －
1．用数学归纳法证明：1＋2＋3＋…＋(2n＋1)＝(n＋1)·
(2n＋1)时，在验证n＝1成立时，左边所得的代数式为( )
A．1 B．1＋3
C．1＋2＋3 D．1＋2＋3＋4
C [当n＝1时左边所得的代数式为1＋2＋3.]
2．某个与正整数n有关的命题，如果当n＝k(k∈N＋且k≥1)时命题成立，则一定可推得当n＝k＋1时，该命题也成立．现已知n＝5时，该命题不成立，那么应有( )
A．当n＝4时，该命题成立
B．当n＝6时，该命题成立
C．当n＝4时，该命题不成立
D．当n＝6时，该命题不成立
C [若n＝4时命题成立，由递推关系知n＝5时命题成立，与题中条件矛盾，所以n＝4时，该命题不成立．]
3．用数学归纳法证明等式(n＋1)(n＋2)…(n＋n)＝2n·1·3·…·(2n－1)(n∈N＋)时，从“n＝k到n＝k＋1”左端需乘以的代数式为( )
A．2k＋1 B．2(2k＋1)
C． D．
B [当n＝k时，等式为(k＋1)(k＋2)…(k＋k)＝2k·1·3·…·(2k－1)．
当n＝k＋1时，左边＝[(k＋1)＋1][(k＋1)＋2]…[(k＋1)＋k][(k＋1)＋(k＋1)]＝(k＋2)(k＋3)…(k＋k)·(2k＋1)(2k＋2)．
比较n＝k和n＝k＋1时等式的左边，可知左端需乘以＝2(2k＋1)．故选B.]
4．用数学归纳法证明：“1×4＋2×7＋3×10＋…＋n(3n＋1)＝n(n＋1)2，n∈N＋”时，若n＝1，则左端应为________．
[解析] 当n＝1时，左端应为1×4＝4.
[答案] 4
5．用数学归纳法证明：1＋a＋a2＋…＋an－1＝(a≠1，n∈N＋)．
[证明] (1)当n＝1时，左边＝1，右边＝＝1，等式成立．
(2)假设当n＝k(k∈N＋)时，等式成立，
即1＋a＋a2＋…＋ak－1＝.
那么n＝k＋1时，
左边＝1＋a＋a2＋…＋ak－1＋ak＝＋ak
＝＝
＝右边，
所以等式也成立．
由(1)(2)可知，对任意n∈N＋等式均成立．
课时分层作业(十二) 数学归纳法
(建议用时：45分钟)
[基础达标练]
一、选择题
1．设f(n)＝1＋＋＋…＋(n∈N＋)，则f(n＋1)－f(n)等于( )
A. B.＋
C.＋ D.＋＋
D [因为f(n)＝1＋＋＋…＋，所以f(n＋1)＝1＋＋＋…＋＋＋＋，所以f(n＋1)－f(n)＝＋＋.故选D.]
2．在应用数学归纳法证明凸n边形的对角线为n(n－3)条时，第一步检验第一个值n0等于( )
A．1 B．2
C．3 D．0
C [边数最少的凸n边形是三角形．]
3．已知a1＝，an＋1＝，猜想an等于( )
A. B.
C. D.
D [a2＝＝，
a3＝＝，
a4＝＝＝，
猜想an＝.]
4．用数学归纳法证明：(n＋1)(n＋2)…·(n＋n)＝2n×1×3…(2n－1)时，从“k到k＋1”左边需增乘的代数式是( )
A．2k＋1 B.
C．2(2k＋1) D.
C [当n＝k＋1时，左边＝(k＋1＋1)(k＋1＋2)…·(k＋1＋k＋1)＝(k＋1)·(k＋2)·(k＋3)…(k＋k)·＝(k＋1)(k＋2)(k＋3)…(k＋k)·2(2k＋1)．]
5．记凸k边形的内角和为f(k)，则凸k＋1边形的内角和f(k＋1)等于f(k)加上( )
A． B．π
C．2π D．π
B [从n＝k到n＝k＋1时，内角和增加π.]
二、填空题
6．观察式子1＝1,1－4＝－(1＋2)，1－4＋9＝1＋2＋3，…，猜想第n个式子应为________．
[答案] 1－4＋9－16＋…＋(－1)n－1n2
＝(－1)n＋1·
7．用数学归纳法证明“1＋2＋22＋…＋2n－1＝2n－1(n∈N＋)”的过程中，第二步假设n＝k时等式成立，则当n＝k＋1时应得到________．
[解析] ∵n＝k时，命题为“1＋2＋22＋…＋2k－1＝2k－1”，
∴n＝k＋1时为使用归纳假设，
应写成1＋2＋22＋…＋2k－1＋2k＝2k－1＋2k＝2k＋1－1.
[答案] 1＋2＋22＋…＋2k－1＋2k＝2k＋1－1
8．用数学归纳法证明34n＋1＋52n＋1(n∈N＋)能被14整除，当n＝k＋1时，对于34(k＋1)＋1＋52(k＋1)＋1应变形为________．
[解析] 34(k＋1)＋1＋52(k＋1)＋1＝34k＋5＋52k＋3＝81×34k＋1＋25×52k＋1＝81×34k＋1＋81×52k＋1－56×52k＋1＝81×(34k＋1＋52k＋1)－56×52k＋1.
[答案] 81×(34k＋1＋52k＋1)－56×52k＋1
三、解答题
9．用数学归纳法证明：
…＝(n≥2，n∈N＋)．
[证明] (1)当n＝2时，左边＝1－＝，右边＝＝.
∴等式成立．
(2)假设当n＝k(k≥2，k∈N＋)时，等式成立，
即…＝(k≥2，k∈N＋)．
当n＝k＋1时，
…
＝·＝
＝＝，∴当n＝k＋1时，等式成立．
根据(1)和(2)知，对n≥2，n∈N＋时，等式成立．
10．用数学归纳法证明：对于任意正整数n，整式an－bn都能被a－b整除．
[证明] (1)当n＝1时，an－bn＝a－b能被a－b整除．
(2)假设当n＝k(k∈N＋，k≥1)时，ak－bk能被a－b整除，那么当n＝k＋1时，ak＋1－bk＋1＝ak＋1－akb＋akb－bk＋1＝ak(a－b)＋b(ak－bk)．因为(a－b)和ak－bk都能被a－b整除，所以上面的和ak(a－b)＋b(ak－bk)也能被a－b整除．这也就是说当n＝k＋1时，ak＋1－bk＋1能被a－b整除．
根据(1)(2)可知对一切正整数n，an－bn都能被a－b整除．
[能力提升练]
1．设f(n)＝＋＋＋…＋(n∈N＋)，那么f(n＋1)－f(n)等于( )
A. B.
C.＋ D.－
D [因为f(n)＝＋＋…＋，
所以f(n＋1)＝＋＋…＋＋＋，
所以f(n＋1)－f(n)＝＋－＝－.]
2．某同学回答“用数学归纳法证明＜n＋1(n∈N＋)的过程如下：
证明：(1)当n＝1时，显然命题是正确的：
(2)假设n＝k时有＜k＋1，那么当n＝k＋1时，＝＜＝(k＋1)＋1，所以当n＝k＋1时命题是正确的．由(1)(2)可知对于n∈N＋，命题都是正确的．以上证法是错误的，错误在于( )
A．从k到k＋1的推理过程没有使用归纳假设
B．归纳假设的写法不正确
C．从k到k＋1的推理不严密
D．当n＝1时，验证过程不具体
A [证明＜(k＋1)＋1时进行了一般意义的放大．而没有使用归纳假设＜k＋1.]
3．用数学归纳法证明22＋32＋…＋n2＝－1(n∈N＋，且n＞1)时，第一步应验证n＝________，当n＝k＋1时，左边的式子为________．
[解析] ∵所证明的等式为
22＋32＋…＋n2＝－1(n∈N＋，n＞1)．
又∵第一步验证的值应为第一个值(初始值)，
∴n应为2.
又∵当n＝k＋1时，等式左边的式子实际上是将左边式子中所有的n换成k＋1，
即22＋32＋…＋k2＋(k＋1)2.
[答案] 2 22＋32＋…＋k2＋(k＋1)2
4．是否存在常数a，b，c使等式(n2－12)＋2(n2－22)＋…＋n(n2－n2)＝an4＋bn2＋c对一切正整数n成立？证明你的结论．
[解] 存在．分别用n＝1,2,3代入，解方程组得
故原等式右边＝－.
下面用数学归纳法证明．
(1)当n＝1时，由上式可知等式成立．
(2)假设当n＝k(k∈N＋，k≥1)时等式成立，即(k2－12)＋2(k2－22)＋…＋k(k2－k2)＝k4－k2.
则当n＝k＋1时，
左边＝[(k＋1)2－12]＋2[(k＋1)2－22]＋…＋k[(k＋1)2－k2]＋(k＋1)·[(k＋1)2－(k＋1)2]＝(k2－12)＋2(k2－22)＋…＋k(k2－k2)＋(2k＋1)＋2(2k＋1)＋…＋k(2k＋1)＝k4－k2＋(2k＋1)·＝(k＋1)4－(k＋1)2，故n＝k＋1时，等式成立．
由(1)(2)得等式对一切n∈N＋均成立．
