课件41张PPT。第四讲 用数学归纳法证明不等式二 用数学归纳法证明不等式举例1＋nx 数学归纳法证明不等式 不等式中的探索、猜想、证明 点击右图进入…Thank you for watching !二 用数学归纳法证明不等式举例
学习目标：1.会用数学归纳法证明简单的不等式．(重点)2.会用数学归纳法证明贝努利不等式，了解贝努利不等式的应用条件．(难点)
教材整理 用数学归纳法证明不等式
阅读教材P50～P53，完成下列问题．
1．贝努利(Bernoulli)不等式
如果x是实数，且x>－1，x≠0，n为大于1的自然数，那么有(1＋x)n>1＋nx.
2．在运用数学归纳法证明不等式时，由n＝k成立，推导n＝k＋1成立时，常常要与其他方法，如比较法、分析法、综合法、放缩法等结合进行．
用数学归纳法证明“2n＞n2＋1对于n≥n0的正整数n都成立”时，第一步证明中的起始值n0应取( )
A．2 B．3
C．5 D．6
C [n取1,2,3,4时不等式不成立，起始值为5.]
数学归纳法证明不等式
【例1】 已知Sn＝1＋＋＋…＋(n>1，n∈N＋)，求证：S2n>1＋(n≥2，n∈N＋)．
[精彩点拨] 先求Sn 再证明比较困难，可运用数学归纳法直接证明，注意Sn表示前n项的和(n>1)，首先验证n＝2；然后证明归纳递推．
[自主解答] (1)当n＝2时，S22＝1＋＋＋＝>1＋，
即n＝2时命题成立．
(2)假设n＝k(k≥2，k∈N＋)时命题成立，即S2k＝1＋＋＋…＋>1＋.
当n＝k＋1时，
S2k＋1＝1＋＋＋…＋＋＋…＋
>1＋＋＋＋…＋
>1＋＋＝1＋＋＝1＋.
故当n＝k＋1时，命题也成立．
由(1)(2)知，对n∈N＋，n≥2，S2n>1＋都成立．
此题容易犯两个错误，一是由n＝k到n＝k＋1项数变化弄错，认为的后一项为，实际上应为；二是＋＋…＋共有多少项之和，实际上 2k＋1到2k＋1是自然数递增，项数为2k＋1－(2k＋1)＋1＝2k.
1．若在本例中，条件变为“设f(n)＝1＋＋＋…＋(n∈N＋)，由f(1)＝1>， f(3)>1，f(7)>，f(15)>2，…” .试问：f(2n－1)与大小关系如何？试猜想并加以证明．
[解] 数列1,3,7,15，…，通项公式为an＝2n－1，数列，1，，2，…，通项公式为an＝，
∴猜想：f(2n－1)>.
下面用数学归纳法证明：
①当n＝1时，f(21－1)＝f(1)＝1>，不等式成立．
②假设当n＝k(k≥1，k∈N＋)时不等式成立，
即f(2k－1)>，
当n＝k＋1时，f(2k＋1－1)＝f(2k－1)＋＋＋…＋＋>f(2k－1)＋
＋…＋＝f(2k－1)＋>＋＝.
∴当n＝k＋1时不等式也成立．
据①②知对任何n∈N＋原不等式均成立．
【例2】 证明：2n＋2>n2(n∈N＋)．
[精彩点拨] ?
?
[自主解答] (1)当n＝1时，左边＝21＋2＝4；右边＝1，左边>右边；
当n＝2时，左＝22＋2＝6，右＝22＝4，所以左>右；
当n＝3时，左＝23＋2＝10，右＝32＝9，所以左>右．
因此当n＝1,2,3时，不等式成立．
(2)假设当n＝k(k≥3且k∈N＋)时，不等式成立，即2k＋2＞k2(k∈N＋)．
当n＝k＋1时，2k＋1＋2＝2·2k＋2＝2(2k＋2)－2>2k2－2
＝k2＋2k＋1＋k2－2k－3＝(k＋1)2＋(k＋1)(k－3)，
∵k≥3，∴(k＋1)(k－3)≥0，
∴(k＋1)2＋(k＋1)(k－3)≥(k＋1)2，
所以2k＋1＋2>(k＋1)2.
故当n＝k＋1时，原不等式也成立．
根据(1)(2)知，原不等式对于任何n∈N＋都成立．
1．本例中，针对目标k2＋2k＋1，由于k的取值范围(k≥1)太大，不便于缩小．因此，用增加奠基步骤(把验证n＝1扩大到验证n＝1,2,3)的方法，使假设中k的取值范围适当缩小到k≥3，促使放缩成功，达到目标．
2．利用数学归纳法证明数列型不等式的关键是由n＝k到n＝k＋1的变形．为满足题目的要求，常常要采用“放”与“缩”等手段，但是放缩要有度，这是一个难点，解决这个难题一是要仔细观察题目结构，二是要靠经验积累．
2．用数学归纳法证明：对一切大于1的自然数，不等式…＞均成立．
[证明] (1)当n＝2时，左边＝1＋＝；右边＝.
∵左边＞右边，∴不等式成立；
(2)假设n＝k(k≥2，且k∈N＋)时不等式成立，
即…＞.
则当n＝k＋1时，
…
＞·＝＝
＞＝＝.
∴当n＝k＋1时，不等式也成立．
由(1)(2)知，对于一切大于1的自然数n，不等式都成立.
不等式中的探索、猜想、证明
【例3】 若不等式＋＋＋…＋>对一切正整数n都成立，求正整数a的最大值，并证明你的结论．
[精彩点拨] 先通过n取值计算，求出a的最大值，再用数学归纳法进行证明，证明时，根据不等式特征，在第二步，运用比差法较方便．
[自主解答] 当n＝1时，＋＋>，则>，∴a<26.
又a∈N＋，∴取a＝25.
下面用数学归纳法证明＋＋…＋>.
(1)n＝1时，已证．
(2)假设当n＝k时(k≥1，k∈N＋)，＋＋…＋>，∴当n＝k＋1时，
＋＋…＋＋＋＋
＝＋
>＋，
∵＋＝>，
∴＋－>0，
∴＋＋…＋>也成立．
由(1)(2)可知，对一切n∈N＋，
都有＋＋…＋>，
∴a的最大值为25.
1．不完全归纳的作用在于发现规律，探究结论，但结论必须证明．
2．本题中从n＝k到n＝k＋1时，左边添加项是＋＋－.这一点必须清楚．
3．设an＝1＋＋＋…＋(n∈N＋)，是否存在n的整式g(n)，使得等式a1＋a2＋a3＋…＋an－1＝g(n)(an－1)对大于1的一切正整数n都成立？证明你的结论．
[解] 假设g(n)存在，那么当n＝2时，
由a1＝g(2)(a2－1)，
即1＝g(2)，∴g(2)＝2；
当n＝3时，由a1＋a2＝g(3)(a3－1)，
即1＋＝g(3)，
∴g(3)＝3，
当n＝4时，由a1＋a2＋a3＝g(4)(a4－1)，
即1＋＋
＝g(4)，
∴g(4)＝4，
由此猜想g(n)＝n(n≥2，n∈N＋)．
下面用数学归纳法证明：
当n≥2，n∈N＋时，
等式a1＋a2＋a3＋…＋an－1＝n(an－1)成立．
(1)当n＝2时，a1＝1，
g(2)(a2－1)＝2×＝1，
结论成立．
(2)假设当n＝k(k≥2，k∈N＋)时结论成立，
即a1＋a2＋a3＋…＋ak－1＝k(ak－1)成立，
那么当n＝k＋1时，a1＋a2＋…＋ak－1＋ak
＝k(ak－1)＋ak＝(k＋1)ak－k
＝(k＋1)ak－(k＋1)＋1
＝(k＋1)＝(k＋1)(ak＋1－1)，
说明当n＝k＋1时，结论也成立，
由(1)(2)可知 ，对一切大于1的正整数n，存在g(n)＝n使等式a1＋a2＋a3＋…＋an－1＝g(n)(an－1)成立．
1．数学归纳法适用于证明的命题的类型是( )
A．已知?结论 B．结论?已知
C．直接证明比较困难 D．与正整数有关
D [数学归纳法证明的是与正整数有关的命题．故应选D.]
2．用数学归纳法证明不等式1＋＋＋…＋＜2－(n≥2，n∈N＋)时，第一步应验证不等式( )
A．1＋＜2－ B．1＋＋＜2－
C．1＋＜2－ D．1＋＋＜2－
A [n0＝2时，首项为1，末项为.]
3．用数学归纳法证不等式1＋＋＋…＋＞成立，起始值至少取( )
A．7 B．8
C．9 D．10
B [左边等比数列求和Sn＝
＝2＞，
即1－＞，＜，
∴＜，∴n＞7，∴n取8，选B.]
4．用数学归纳法证明1＋＋＋…＋1)时，第一步证明不等式________成立．
[解析] 因为n>1，所以第一步n＝2，即证明1＋＋<2成立．
[答案] 1＋＋<2
5．试证明：1＋＋＋…＋<2(n∈N＋)．
[证明] (1)当n＝1时，不等式成立．
(2)假设n＝k(k≥1，k∈N＋)时，不等式成立，即
1＋＋＋…＋<2.
那么n＝k＋1时，
＋
<2＋＝
< ＝2.
这就是说，n＝k＋1时，不等式也成立．
根据(1)(2)可知不等式对n∈N＋成立．
课时分层作业(十三) 用数学归纳法证明不等式举例
(建议用时：45分钟)
[基础达标练]
一、选择题
1．设f(x)是定义在正整数集上的函数，且f(x)满足：当f(k)≥k2成立时，总可推出f(k＋1)≥(k＋1)2成立．那么下列命题总成立的是( )
A．若f(3)≥9成立，则当k≥1时，均有f(k)≥k2成立
B．若f(5)≥25成立，则当k≤5时，均有f(k)≥k2成立
C．若f(7)＜49成立，则当k≥8时，均有f(k)＜k2成立
D．若f(4)＝25成立，则当k≥4时，均有f(k)≥k2成立
D [根据题中条件可知：由f(k)≥k2，必能推得f(k＋1)≥(k＋1)2，但反之不成立，因为D中f(4)＝25＞42，故可推得k≥4时，f(k)≥k2，故只有D正确．]
2．用数学归纳法证明“对于任意x＞0和正整数n，都有xn＋xn－2＋xn－4＋…＋＋＋≥n＋1”时，需验证的使命题成立的最小正整数值n0应为( )
A．n0＝1 B．n0＝2
C．n0＝1,2 D．以上答案均不正确
A [需验证：n0＝1时，x＋≥1＋1成立．]
3．利用数学归纳法证明不等式1＋＋＋…＋A．1项 B．k项
C．2k－1项 D．2k项
D [1＋＋＋…＋－1＋＋＋…＋＝＋＋＋…＋，
∴共增加2k项．]
4．若不等式＋＋…＋>对大于1的一切自然数n都成立，则自然数m的最大值为( )
A．12 B．13
C．14 D．不存在
B [令f(n)＝＋＋…＋，
易知f(n)是单调递增的，
∴f(n)的最小值为f(2)＝＋＝.
依题意>，
∴m<14.因此取m＝13.]
5．用数学归纳法证明不等式＋＋…＋＜(n≥2，n∈N＋)的过程中，由n＝k递推到n＝k＋1时不等式左边( )
A．增加了一项
B．增加了两项，
C．增加了B中两项但减少了一项
D．以上各种情况均不对
C [∵n＝k时，左边＝＋＋…＋，n＝k＋1时，左边＝＋＋…＋＋＋，
∴增加了两项，，少了一项.]
二、填空题
6．用数学归纳法证明“2n＋1≥n2＋n＋2(n∈N＋)”时，第一步的验证为________．
[解析] 当n＝1时，21＋1≥12＋1＋2，即4≥4成立．
[答案] 21＋1≥12＋1＋2
7．证明＜1＋＋＋…＋＜n＋1(n＞1)，当n＝2时，要证明的式子为________．
[解析] 当n＝2时，要证明的式子为
2＜1＋＋＋＜3.
[答案] 2＜1＋＋＋＜3
8．在△ABC中，不等式＋＋≥成立；在四边形ABCD中，不等式＋＋＋≥成立；在五边形ABCDE中，不等式＋＋＋＋≥成立．猜想在n边形A1A2…An中，类似成立的不等式为________．
[解析] 由题中已知不等式可猜想：
＋＋＋…＋
≥(n≥3且n∈N＋)．
[答案] ＋＋＋…＋≥(n≥3且n∈N＋)
三、解答题
9．已知数列{an}的前n项和为Sn，且满足a1＝，an＋2SnSn－1＝0(n≥2)．
(1)判断是否为等差数列，并证明你的结论；
(2)证明：S＋S＋…＋S≤－.
[解] (1)S1＝a1＝，∴＝2.
当n≥2时，an＝Sn－Sn－1，即Sn－Sn－1＝－2SnSn－1，
∴－＝2.
故是以2为首项，2为公差的等差数列．
(2)证明：①当n＝1时，S＝＝－，不等式成立．
②假设n＝k(k≥1，且k∈N＋)时，不等式成立，即S＋S＋…＋S≤－成立，
则当n＝k＋1时，S＋S＋…＋S＋S≤－＋＝－
＝－·<－·＝－.
即当n＝k＋1时，不等式成立．
由①②可知对任意n∈N＋不等式成立．
10．已知函数f(x)＝x3－x，数列{an}满足条件：a1≥1，且an＋1≥f′(an＋1)，证明：an≥2n－1(n∈N*)．
[证明] 由f(x)＝x3－x，
得f′(x)＝x2－1.
因此an＋1≥f′(an＋1)＝(an＋1)2－1＝an(an＋2)，
(1)当n＝1时，a1≥1＝21－1，不等式成立．
(2)假设当n＝k时，不等式成立，即ak≥2k－1，
当n＝k＋1时，
ak＋1≥ak(ak＋2)≥(2k－1)(2k－1＋2)＝22k－1.
又k≥1，∴22k≥2k＋1，∴n＝k＋1时，ak＋1≥2k＋1－1，即不等式成立．
根据(1)和(2)知，对任意n∈N＋，an≥2n－1成立．
[能力提升练]
1．对于正整数n，下列不等式不正确的是( )
A．3n≥1＋2n B．0.9n≥1－0.1n
C．0.9n≤1－0.1n D．0.1n≤1－0.9n
C [排除法，取n＝2，只有C不成立．]
2．利用数学归纳法证明“＜”时，n的最小取值n0应为________．
[解析] n0＝1时不成立，n0＝2时，＜，再用数学归纳法证明，故n0＝2.
[答案] 2
3．设a，b均为正实数(n∈N＋)，已知M＝(a＋b)n，N＝an＋nan－1b，则M，N的大小关系为___________________________________
.
[解析] 当n＝1时，M＝a＋b＝N，
当n＝2时，M＝(a＋b)2，N＝a2＋2ab＜M，
当n＝3时，M＝(a＋b)3，N＝a3＋3a2b＜M，
归纳得M≥N.
[答案] M≥N
4．已知f(x)＝，对于n∈N＋，试比较f()与的大小并说明理由．
[解] 据题意f(x)＝＝＝1－，
∴f()＝1－.
又＝1－，∴要比较f()与的大小，只需比较2n与n2的大小即可，
当n＝1时，21＝2＞12＝1，
当n＝2时，22＝4＝22，
当n＝3时，23＝8＜32＝9，
当n＝4时，24＝16＝42，
当n＝5时，25＝32＞52＝25，
当n＝6时，26＝64＞62＝36.
故猜测当n≥5(n∈N＋)时，2n＞n2，
下面用数学归纳法加以证明．
(1)当n＝5时，不等式显然成立．
(2)假设n＝k(k≥5且k∈N＋)时，不等式成立，
即2k＞k2.
则当n＝k＋1时，
2k＋1＝2·2k＞2·k2＝k2＋k2＋2k＋1－2k－1
＝(k＋1)2＋(k－1)2－2＞(k＋1)2，
即n＝k＋1时，不等式也成立．
由(1)(2)可知，对一切n≥5，n∈N＋，2n＞n2成立．
综上所述，当n＝1或n≥5时，f()＞，
当n＝2或n＝4时，f()＝，
当n＝3时，f()＜.
