（新课标）人教A版数学选修4-5（课件+教案+练习）第1讲 1 1．不等式的基本性质:41张PPT

课件41张PPT。第一讲　不等式和绝对值不等式一　不等式
1．不等式的基本性质a－b>a>c a＋c ac>bc acbd > > 比较大小 利用不等式的性质求范围 利用性质证明简单不等式 不等式的基本性质 点击右图进入…Thank you for watching !
一　不等式
1．不等式的基本性质
学习目标：1.理解实数大小与实数运算性质间的关系.2.理解不等式的性质，能用不等式的性质比较大小和证明简单的不等式．(重点、难点)
教材整理1　两实数的大小比较
阅读教材P2～P3“探究”以上部分，完成下列问题．
a>b?a－b>0；a＝b?a－b＝0；a已知数轴上两点A，B对应的实数分别为x，y，若x＜y＜0，则|x|与|y|对应的点P，Q的位置关系是(　　)
A．P在Q的左边　 B．P在Q的右边
C．P，Q两点重合 D．不能确定
B　[∵x＜y＜0，∴|x|＞|y|＞0.故P在Q的右边．]
教材整理2　不等式的基本性质
阅读教材P3～P5第一行，完成下列问题．
性质1
对称性
a>b?b性质2
传递性
如果a>b，b>c，那么a>c
性质3
可加性
如果a>b，那么a＋c>b＋c
推论
如果a>b，c>d，那么a＋c>b＋d
性质4
可乘性
如果a>b，c>0，那么ac>bc；
如果a>b，c<0，那么ac推论
如果a>b>0，c>d>0，那么ac>bd
性质5
乘方性质
如果a>b>0，那么an>bn(n∈N，n≥2)
性质6
开方性质
如果a>b>0，那么>(n∈N，n≥2)
已知a，b，c∈R，且ab＞0，则下面推理中正确的是(　　)
A．a＞b?am2＞bm2 B.＞?a＞b
C．a3＞b3?＜ D．a2＞b2?a＞b
C　[对于A，若m＝0，则不成立；对于B，若c＜0，则不成立；对于C，a3－b3＞0?(a－b)(a2＋ab＋b2)＞0，
∵a2＋ab＋b2＝＋b2＞0恒成立，
∴a－b＞0，∴a＞b.
又∵ab＞0，
∴＜.
∴C成立；对于D，a2＞b2?(a－b)(a＋b)＞0，不能说a＞b.]
比较大小
【例1】　设A＝x3＋3，B＝3x2＋x，且x>3，试比较A与B的大小．
[精彩点拨]　转化为考察“两者之差与0”的大小关系．
[自主解答]　A－B＝x3＋3－3x2－x
＝x2(x－3)－(x－3)＝(x－3)(x＋1)(x－1)．
∵x>3，∴(x－3)(x＋1)(x－1)>0，
∴x3＋3>3x2＋x.
故A>B.
1．本题的思维过程：直接判断(无法做到)考查差的符号(难以确定)考查积的符号考查积中各因式的符号．其中变形是关键，定号是目的．
2．在变形中，一般是变形变得越彻底越有利于下一步的判断．变形的常用技巧有：因式分解、配方、通分、分母有理化等．
1．若例1中改为“A＝，B＝，其中x＞y＞0”，试比较A与B的大小．
[解]　因为A2－B2＝－
＝＝＝，
且x＞y＞0，所以x－y＞0，x＋y＞0，x2＞0，x2＋1＞1，
所以＞0.
所以A2＞B2，又A＞0，B＞0，故有A＞B.
利用不等式的性质求范围
【例2】　已知－≤α＜β≤，求，的范围．
[精彩点拨]　由－≤α＜β≤可确定，的范围，进而确定，的范围．
[自主解答]　∵－≤α＜β≤，
∴－≤＜，－＜≤，
∴－＜＜.
又－＜≤，∴－≤－＜，
∴－≤＜.
又∵α＜β，∴＜0，
∴－≤＜0，
即∈，∈.
1．本例中由，的范围求其差的范围，一定不能直接作差，而应转化为同向不等式后作和求解．
2．求代数式的取值范围是不等式性质应用的一个重要方面，严格依据不等式的性质和运算法则进行运算，是解答此类问题的基础．
2．已知－6[解]　∵－6∴－3<－b<－2，∴－9则a－b的取值范围是(－9,6)．
又<<，
(1)当0≤a<8时，0≤<4；
(2)当－6由(1)(2)得－3<<4.
因此的取值范围是(－3,4)．
利用性质证明简单不等式
【例3】　已知c>a>b>0，求证：>.
[精彩点拨]　→→
[自主解答]　∵a>b，∴－a<－b.
又c>a>b>0，
∴0>0.
又∵a>b>0，∴>.
1．在证明本例时，连续用到不等式的三个性质，一是不等式的乘法性质：a>b，则－a<－b；二是不等式的加法性质：c>a>b>0，又－a<－b，则02．进行简单的不等式的证明，一定要建立在记准、记熟不等式性质的基础之上，并仔细分析要证明不等式的结构，灵活运用性质，对不等式进行变换．
3．已知a＞b＞0，c＞d＞0，求证：＞.
[证明]　∵a＞b＞0，c＞d＞0，
∴＞＞0， ①
＞＞0， ②
①＋②得＋＞＋＞0，
即＞＞0，∴＞.
不等式的基本性质
[探究问题]
1．甲同学认为a>b?<，乙同学认为a>b>0?<，丙同学认为a>b，ab>0?<，请你思考一下，他们谁说的正确？
[提示]　他们说的都不正确．
2．不等式两边同乘以(或除以)同一个数时，要注意什么？
[提示]　要先判断这个数是否为零，决定是否可以乘以(或除以)这个数，再判断是正还是负，决定不等号的方向是否改变，特别注意不等式两边同乘以(或除以)同一个负数时，不等号方向改变．
【例4】　判断下列命题是否正确，并说明理由．
(1)若a>b，则ac2>bc2；
(2)若>，则a>b；
(3)若a>b，ab≠0，则<；
(4)若a>b，c>d，则ac>bd.
[精彩点拨]　主要是根据不等式的性质判定，其实质就是看是否满足性质所需要的条件．
[自主解答]　(1)错误．当c＝0时不成立．
(2)正确．∵c2≠0且c2>0，在>两边同乘以c2，
∴a>b.
(3)错误．a>b?<成立的条件是ab>0.
(4)错误．a>b，c>d?ac>bd，当a，b，c，d为正数时成立．
1．在利用不等式的性质判断命题真假时，关键是依据题设条件，正确恰当地选取使用不等式的性质．有时往往举反例，否定命题的结论．但要注意取值一定要遵循两个原则：一是满足题设条件；二是取值要简单，便于验证计算．
2．运用不等式的性质判断时，要注意不等式成立的条件，不要弱化条件，尤其是不能凭空想象随意捏造性质．
4．判断下列命题的真假．
(1)若a；
(2)若|a|>b，则a2>b2；
(3)若a>b>c，则a|c|>b|c|.
[解]　(1)∵a0，∴>0，
∴a·(2)∵|a|>b，取a＝1，b＝－3，但a2(3)取a>b，c＝0，有a|c|＝b|c|＝0，∴(3)是假命题．
1．设a∈R，则下面式子正确的是(　　)
A．3a>2a　　　　　　 B．a2<2a
C．1－2a
[答案]　D
2．已知m，n∈R，则＞成立的一个充要条件是(　　)
A．m＞0＞n B．n＞m＞0
C．m＜n＜0 D．mn(m－n)＜0
D　[∵＞?－＞0?＞0?mn(n－m)＞0?mn(m－n)＜0.]
3．已知a，b，c均为实数，下面四个命题中正确命题的个数是(　　)
①a＜b＜0?a2＜b2； ②＜c?a＜bc；
③ac2＞bc2?a＞b； ④a＜b＜0?＜1.
A．0 B．1
C．2 D．3
C　[①不正确．∵a＜b＜0，∴－a＞－b＞0，
∴(－a)2＞(－b)2，即a2＞b2.
②不正确．∵＜c，若b＜0，则a＞bc.
③正确．∵ac2＞bc2，∴c≠0，∴a＞b.
④正确．∵a＜b＜0，∴－a＞－b＞0，∴1＞＞0.]
4．若1[解析]　∵－4∴0≤|b|<4，
∴－4<－|b|≤0.
又1∴－3[答案]　(－3,3)
5．若a，b，c满足b＋c＝3a2－4a＋6，b－c＝a2－4a＋4，比较a，b，c的大小．
[解]　b－c＝a2－4a＋4＝(a－2)2≥0，∴b≥c.
由题意可得方程组
解得b＝2a2－4a＋5，c＝a2＋1.
∴c－a＝a2＋1－a＝＋>0，
∴c>a，∴b≥c>a.
课时分层作业(一)　不等式的基本性质
(建议用时：45分钟)
[基础达标练]
一、选择题
1．设a，b，c，d∈R，且a>b，c>d，则下列结论正确的是(　　)
A．a＋c>b＋d　　　　 B．a－c>b－d
C．ac>bd D．>
A　[∵a>b，c>d，∴a＋c>b＋d.]
2．设a，b∈R，若a－|b|>0，则下列不等式中正确的是(　　)
A．b－a>0 B．a3＋b3<0
C．b＋a>0 D．a2－b2<0
C　[a－|b|>0?|b|0.故选C.]
3．若aA．> B．2a>2b
C．|a|>|b|>0 D．>
B　[考查不等式的基本性质及其应用．取a＝－2，b＝－1验证即可求解．]
4．已知a＜0，－1＜b＜0，那么(　　)
A．a＞ab＞ab2 B．ab2＞ab＞a
C．ab＞a＞ab2 D．ab＞ab2＞a
D　[ab2－ab＝ab(b－1)，
∵a＜0，－1＜b＜0，
∴b－1＜0，ab＞0，
∴ab2－ab＜0，即ab2＜ab；
又ab2－a＝a(b2－1)，
∵－1＜b＜0，∴b2＜1，
即b2－1＜0.又a＜0，
∴ab2－a＞0，即ab2＞a.
故ab＞ab2＞a.]
5．设a，b为实数，则“0＜ab＜1”是“b＜”的(　　)
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
D　[∵0＜ab＜1，
当a＜0且b＜0时可推得b＞，
所以“0＜ab＜1”不是“b＜”的充分条件， ①
反过来，若b＜，
当b＜0且a＞0时，有ab＜0，推不出“0＜ab＜1”，
所以“0＜ab＜1”也不是“b＜”的必要条件， ②
由①②知，应选D.]
二、填空题
6．若f(x)＝3x2－x＋1，g(x)＝2x2＋x－1，则f(x)与g(x)的大小关系是f(x)________g(x)．
[解析]　f(x)－g(x)＝(3x2－x＋1)－(2x2＋x－1)＝x2－2x＋2＝(x－1)2＋1≥1＞0，
∴f(x)＞g(x)．
[答案]　＞
7．给出四个条件：
①b>0>a，②0>a>b，③a>0>b，④a>b>0.
能得出<成立的有________．(填序号)
[解析]　<?－<0?<0，
∴①②④可推出<成立．
[答案]　①②④
8．已知α，β满足－1≤α＋β≤1,1≤α＋2β≤3，则α＋3β的取值范围是________．
[解析]　设α＋3β＝λ(α＋β)＋μ(α＋2β)，
可解得λ＝－1，μ＝2，∴α＋3β＝－(α＋β)＋2(α＋2β)．
又－1≤α＋β≤1,1≤α＋2β≤3，∴1≤α＋3β≤7.
[答案]　[1,7]
三、解答题
9．(1)已知a＞b＞0，c＜d＜0，求证：＜；
(2)若a＞b＞0，c＜d＜0，e＜0，
求证：＞.
[证明]　(1)∵c＜d＜0，∴－c＞－d＞0.
∴0＜－＜－.又a＞b＞0，
∴－＞－＞0，
∴ ＞，即－＞－.
两边同乘以－1，得＜.
(2)∵c＜d＜0，∴－c＞－d＞0.
∵a＞b＞0，∴a－c＞b－d＞0，
∴(a－c)2＞(b－d)2＞0，∴＜.
又∵e＜0，∴＞.
10．设x，y为实数，且3≤xy2≤8,4≤≤9，求的取值范围．
[解]　由4≤≤9，得16≤≤81.①
又3≤xy2≤8，∴≤≤.②
由①×②得×16≤·≤81×，
即2≤≤27，因此的取值范围是[2,27]．
[能力提升练]
1．若a，b为实数，则“0＜ab＜1”是“a＜或b＞”的(　　)
A．充分而不必要条件
B．必要而不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
A　[对于0＜ab＜1，如果a＞0，则b＞0，a＜成立，如果a＜0，则b＜0，b＞成立，因此“0＜ab＜1”是“a＜或b＞”的充分条件；反之，若a＝－1，b＝2，结论“a＜或
b＞”成立，但条件0＜ab＜1不成立，因此“0＜ab＜1”不是“a＜或b＞”的必要条件，即“0＜ab＜1”是“a＜或b＞”的充分而不必要条件．]
2．设a＞b＞1，c＜0，给出下列三个结论：
①＞；②ac＜bc；③logb(a－c)＞loga(b－c)．
其中所有的正确结论的序号是(　　)
A．① B．①②
C．②③ D．①②③
D　[由a＞b＞1，c＜0，得＜，＞；幂函数y＝xc(c＜0)是减函数，所以ac＜bc；因为a－c＞b－c，所以logb(a－c)＞loga(a－c)＞loga(b－c)，①②③均正确．]
3．给出下列条件：①1＜a＜b；②0＜a＜b＜1；③0＜a＜1＜b.其中能推出logb＜loga＜logab成立的条件的序号是________．(填所有可能的条件的序号)
[解析]　∵logb＝－1，
若1＜a＜b，则＜＜1＜b，
∴loga＜loga＝－1，故条件①不可以；
若0＜a＜b＜1，则b＜1＜＜，
∴logab＞loga＞loga＝－1＝logb，
故条件②可以；
若0＜a＜1＜b，则0＜＜1，
∴loga＞0，logab＜0，条件③不可以．故应填②.
[答案]　②
4．已知f(x)＝ax2＋c，且－4≤f(1)≤－1，－1≤f(2)≤5，求f(3)的取值范围．
[解]　由－4≤f(1)≤－1，－1≤f(2)≤5，得

设u＝a＋c，v＝4a＋c，则有a＝，c＝，
∴f(3)＝9a＋c＝－u＋v.
又∴
∴－1≤－u＋v≤20，
即－1≤f(3)≤20.
∴f(3)的取值范围为[－1,20]．