3．三个正数的算术-几何平均不等式
学习目标：1.探索并了解三个正数的算术-几何平均不等式的证明过程.2.会用平均不等式求一些特定函数的最大(小)值．(重点)3.会建立函数不等式模型，利用其解决实际生活中的最值问题．(难点)
教材整理1 三个正数的算术-几何平均不等式
阅读教材P8～P9定理3，完成下列问题．
1．如果a，b，c∈R＋，那么a3＋b3＋c3≥3abc，当且仅当a＝b＝c时，等号成立．
2．定理3：如果a，b，c∈R＋，那么≥，当且仅当a＝b＝c时，等号成立．
即三个正数的算术平均不小于它们的几何平均．
已知a，b，c为正数，则＋＋有( )
A．最小值为3 B．最大值为3
C．最小值为2 D．最大值为2
A [＋＋≥3＝3，
当且仅当＝＝，即a＝b＝c时，取等号．]
教材整理2 基本不等式的推广
阅读教材P9～P9“例5”以上部分，完成下列问题．
对于n个正数a1，a2，…，an，它们的算术平均不小于它们的几何平均，即≥，当且仅当a1＝a2＝…＝an时，等号成立．
教材整理3 利用基本不等式求最值
阅读教材P9～P9“习题1.1”以上部分，完成下列问题．
若a，b，c均为正数，①如果a＋b＋c是定值S，那么a＝b＝c时，积abc有最大值；②如果积abc是定值P，那么当a＝b＝c时，和a＋b＋c有最小值．
设x＞0，则y＝x＋的最小值为( )
A．2 B．2
C．3 D．3
D [y＝x＋＝＋＋≥3·＝3，
当且仅当＝时取“＝”号．]
证明简单的不等式
【例1】 设a，b，c为正数，求证：(a＋b＋c)2≥27.
[精彩点拨] 根据不等式的结构特点，运用a＋b＋c≥3，结合不等式的性质证明．
[自主解答] ∵a>0，b>0，c>0，
∴a＋b＋c≥3>0，
从而(a＋b＋c)2≥9>0.
又＋＋≥3>0，
∴(a＋b＋c)2
≥3·9＝27，
当且仅当a＝b＝c时，等号成立．
1．(1)在应用平均不等式时，一定要注意是否满足条件，即a>0，b>0.
(2)若问题中一端出现“和式”而另一端出现“积式”，这便是应用基本不等式的“题眼”，不妨运用平均不等式试试看．
2．连续多次运用平均不等式定理时，要特别注意前后等号成立的条件是否一致．
1．(2019·全国卷Ⅰ)已知a，b，c为正数，且满足abc＝1.证明：
(1)＋＋≤a2＋b2＋c2；
(2)(a＋b)3＋(b＋c)3＋(c＋a)3≥24.
[证明] (1)因为a2＋b2≥2ab，b2＋c2≥2bc，c2＋a2≥2ac，又abc＝1，
故有a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ca
＝
＝＋＋.
所以＋＋≤a2＋b2＋c2.
(2)因为a，b，c为正数且abc＝1，故有
(a＋b)3＋(b＋c)3＋(c＋a)3≥3
＝3(a＋b)(b＋c)(a＋c)
≥3×(2)×(2)×(2)
＝24，
所以(a＋b)3＋(b＋c)3＋(c＋a)3≥24.
用平均不等式求解实际问题
【例2】如图所示，在一张半径是2米的圆桌的正中央上空挂一盏电灯．大家知道，灯挂得太高了，桌子边缘处的亮度就小；挂得太低，桌子的边缘处仍然是不亮的．由物理学知识，桌子边缘一点处的照亮度E和电灯射到桌子边缘的光线与桌子的夹角θ的正弦成正比，而和这一点到光源的距离r的平方成反比，即E＝k.这里k是一个和灯光强度有关的常数．那么究竟应该怎样选择灯的高度h，才能使桌子边缘处最亮？
[精彩点拨] 根据题设条件建立r与θ的关系式，将它代入E＝k，得到以θ为自变量，E为因变量的函数关系式，再用平均不等式求函数的最值．
[自主解答] ∵r＝，
∴E＝k·.
∴E2＝·sin2θ·cos4θ
＝(2sin2θ)·cos2θ·cos2θ
≤3＝，
当且仅当2sin2θ＝cos2θ时取等号，
即tan2θ＝，tan θ＝时，等号成立．
∴h＝2tan θ＝，即h＝时，E最大．
因此选择灯的高度为米时，才能使桌子边缘处最亮．
1．本题的关键是在获得了E＝k·后，对E的函数关系式进行变形求得E的最大值．
2．解应用题时必须先读懂题意，建立适当的函数关系式，若把问题转化为求函数的最值问题，常配凑成可以用平均不等式的形式，若符合条件“一正、二定、三相等”即可直接求解．
2．制造容积为立方米的无盖圆柱形桶，用来制作底面的金属板的价格为每平方米30元，用来制作侧面的金属板的价格为每平方米20元，要使用料成本最低，则圆柱形桶的底面半径和高应各为多少米？
[解] 设圆柱形桶的底面半径为r米，高为h米，则底面积为πr2平方米，侧面积为2πrh平方米．
设用料成本为y元，则y＝30πr2＋40πrh.
∵桶的容积为，
∴πr2h＝，
∴rh＝.
∴y＝30πr2＋π＝10π≥10π×3，
当且仅当3r2＝时，
即r＝时等号成立，此时h＝.
故要使用料成本最低，圆柱形桶的底面半径应为米，高为米．
利用平均不等式求最值
[探究问题]
1．利用不等式≥求最值的条件是什么？
[提示] “一正、二定、三相等”，即(1)各项或各因式为正；(2)和或积为定值；(3)各项或各因式能取到相等的值．
2．如何求y＝＋x2的最小值？
[提示] y＝＋x2＝＋＋≥3＝3，当且仅当＝，即x＝±时，等号成立，
∴ymin＝3.
其中把x2拆成和两个数，这样可满足不等式成立的条件．
若这样变形：y＝＋x2＝＋＋x2，虽然满足了乘积是定值这个要求，但“三相等”不能成立，因为＝＝x2时x无解，不能求出y的最小值．
【例3】 已知x∈R＋，求函数y＝x(1－x2)的最大值．
[精彩点拨] 为使数的“和”为定值，可以先平方，即y2＝x2(1－x2)2＝x2(1－x2)(1－x2)＝2x2(1－x2)(1－x2)×，求出最值后再开方．
[自主解答] ∵y＝x(1－x2)，
∴y2＝x2(1－x2)2＝2x2(1－x2)(1－x2)·.
∵2x2＋(1－x2)＋(1－x2)＝2，
∴y2≤3＝.
当且仅当2x2＝1－x2，
即x＝时等号成立．
∴y≤，∴y的最大值为.
1．解答本题时，有的同学会做出如下拼凑：
y＝x(1－x2)＝x(1－x)(1＋x)＝·x(2－2x)·(1＋x)≤＝.
虽然其中的拼凑过程保证了三个数的和为定值，但忽略了取“＝”号的条件，显然x＝2－2x＝1＋x无解，即无法取“＝”号，也就是说，这种拼凑法是不正确的．
2．解决此类问题时，要注意多积累一些拼凑方法的题型及数学结构，同时也要注意算术-几何平均不等式的使用条件，三个缺一不可．
3．若2a＞b＞0，试求a＋的最小值．
[解] a＋＝＋
＝＋＋
≥3·＝3，
当且仅当＝＝，
即a＝b＝2时取等号．
所以当a＝b＝2时，
a＋有最小值为3.
1．已知x＋2y＋3z＝6，则2x＋4y＋8z的最小值为( )
A．3 B．2
C．12 D．12
C [∵x＋2y＋3z＝6，∴2x＋4y＋8z＝2x＋22y＋23z
≥3＝3＝12.
当且仅当2x＝22y＝23z，即x＝2，y＝1，z＝时，等号成立．]
2．若a＞b＞0，则a＋的最小值为( )
A．0 B．1
C．2 D．3
D [∵a＋＝(a－b)＋b＋≥3＝3，当且仅当a＝2，b＝1时取等号，∴a＋的最小值为3.故选D.]
3．函数y＝4sin2x·cos x的最大值为________，最小值为________．
[解析] ∵y2＝16sin2 x·sin2x·cos2x＝8(sin2x·sin2x·2cos2x)
≤83＝8×＝，
∴y2≤，当且仅当sin2x＝2cos2x，
即tan x＝±时取等号．∴ymax＝，ymin＝－.
[答案] －
4．函数f(x)＝5x＋(x>0)的最小值为________．
[解析] ∵f(x)＝5x＋＝x＋x＋≥
3＝15.
当x＝，即x＝2时取等号．
[答案] 15
5．已知x>0，y>0，证明：(1＋x＋y2)(1＋x2＋y)≥9xy.
[证明] 因为x>0，y>0，所以1＋x＋y2≥
3>0,1＋x2＋y≥3>0，
故(1＋x＋y2)(1＋x2＋y)≥3·3＝9xy.
课件41张PPT。第一讲 不等式和绝对值不等式一 不等式
3．三个正数的算术-几何平均不等式≥ a＝b＝c ≥ a＝b＝c 不小于 不小于 ≥ a＝b＝c 最大 a＋b＋c 证明简单的不等式 用平均不等式求解实际问题 利用平均不等式求最值 点击右图进入…Thank you for watching !课时分层作业(三) 三个正数的算术-几何平均不等式
(建议用时：45分钟)
[基础达标练]
一、选择题
1．已知正数x，y，z，且x＋y＋z＝6，则lg x＋lg y＋lg z的取值范围是( )
A．(－∞，lg 6] B．(－∞，3lg 2]
C．[lg 6，＋∞) D．[3lg 2，＋∞)
B [∵6＝x＋y＋z≥3，
∴xyz≤8.
∴lg x＋lg y＋lg z＝lg(xyz)≤lg 8＝3lg 2.]
2．已知x∈R＋，有不等式：x＋≥2＝2，x＋＝＋＋≥3＝3，….启发我们可能推广结论为：x＋≥n＋1(n∈N＋)，则a的值为( )
A．nn B．2n
C．n2 D．2n＋1
A [x＋＝＋＋…＋＋，要使和式的积为定值，则必须nn＝a，故选A.]
3．设0
A. B．1
C. D.
D [∵0∴0<1－x<1，
∴x(1－x)2＝·2x·(1－x)·(1－x)
≤3＝.
当且仅当x＝时，等号成立．]
4．已知a，b，c∈R＋，x＝，y＝，z＝，则( )
A．x≤y≤z B．y≤x≤z
C．y≤z≤x D．z≤y≤x
B [由a，b，c大于0，易知≥，即x≥y.
又z2＝，x2＝，
且x2＝≤
＝，
∴x2≤z2，则x≤z，
因此z≥x≥y.]
5．设x，y，z＞0，且x＋3y＋4z＝6，则x2y3z的最大值为( )
A．2 B．7
C．8 D．1
D [∵6＝x＋3y＋4z＝＋＋y＋y＋y＋4z≥6，
∴x2y3z≤1，当＝y＝4z时，取“＝”，
即x＝2，y＝1，z＝时，x2y3z取得最大值1.]
二、填空题
6．若记号“*”表示求两个实数a与b的算术平均的运算，即a*b＝，则两边均含有运算“*”和“＋”，且对任意3个实数a，b，c都能成立的一个等式可以是________．
[解析] 由题意知a＋(b*c)＝a＋＝，
(a＋b)*(a＋c)＝＝，
所以a＋(b*c)＝(a＋b)*(a＋c)．
[答案] a＋(b*c)＝(a＋b)*(a＋c)
7．若a＞2，b＞3，则a＋b＋的最小值为________．
[解析] ∵a＞2，b＞3，∴a－2＞0，b－3＞0，
则a＋b＋＝(a－2)＋(b－3)＋＋5
≥3＋5＝8.
当且仅当a－2＝b－3＝，即a＝3，b＝4时等号成立．
[答案] 8
8．已知a>0，b>0，c>0，且a＋b＋c＝1，对于下列不等式：①abc≤；②≥27；③a2＋b2＋c2≥.
其中正确的不等式序号是________．
[解析] ∵a，b，c∈(0，＋∞)，
∴1＝a＋b＋c≥3，
0从而①正确，②也正确．又a＋b＋c＝1，
∴a2＋b2＋c2＋2(ab＋bc＋ca)＝1，
因此1≤3(a2＋b2＋c2)，即a2＋b2＋c2≥，③正确．
[答案] ①②③
三、解答题
9．已知a，b，c均为正数，证明：a2＋b2＋c2＋＋＋2≥6，并确定a，b，c为何值时，等号成立．
[证明] 因为a，b，c均为正数，由算术-几何平均不等式，得a2＋b2＋c2≥3(abc)， ①
＋＋≥3(abc)－.
所以≥9(abc)－. ②
故a2＋b2＋c2＋
≥3(abc)＋9(abc)－.
又3(abc)＋9(abc)－≥2＝6， ③
所以原不等式成立．
当且仅当a＝b＝c时，①式和②式等号成立．
当且仅当3(abc)＝9(abc)－时，③式等号成立．
即当且仅当a＝b＝c＝时，原式等号成立．
10．已知x，y，z∈R＋，x＋y＋z＝3.
(1)求＋＋的最小值；
(2)证明：3≤x2＋y2＋z2<9.
[解] (1)因为x＋y＋z≥3>0，＋＋≥>0，
所以(x＋y＋z)≥9，即＋＋≥3，
当且仅当x＝y＝z＝1时，＝＝取最小值3.
(2)证明：x2＋y2＋z2＝
≥
＝＝3.
又x2＋y2＋z2－9＝x2＋y2＋z2－(x＋y＋z)2＝－2(xy＋yz＋zx)<0，
所以3≤x2＋y2＋z2<9.
[能力提升练]
1．已知圆柱的轴截面周长为6，体积为V，则下列总成立的是( )
A．V≥π B．V≤π
C．V≥π D．V≤π
B [设圆柱半径为r，则圆柱的高h＝，所以圆柱的体积为V＝πr2·h＝πr2·＝πr2(3－2r)≤π3＝π.
当且仅当r＝3－2r，即r＝1时取等号．]
2．若实数x，y满足xy＞0，且x2y＝2，则xy＋x2的最小值是( )
A．1 B．2
C．3 D．4
C [xy＋x2＝xy＋xy＋x2≥
3＝3＝3＝3.]
3．已知关于x的不等式2x＋≥7在x∈(a，＋∞)上恒成立，则实数a的最小值为________．
[解析] ∵2x＋＝(x－a)＋(x－a)＋＋2a.又∵x－a＞0，
∴2x＋≥3＋2a
＝3＋2a，
当且仅当x－a＝，即x＝a＋1时，取等号．
∴2x＋的最小值为3＋2a.
由题意可得3＋2a≥7，得a≥2.
[答案] 2
4．如图(1)所示，将边长为1的正六边形铁皮的六个角各切去一个全等的四边形，再沿虚线折起，做成一个无盖的正六棱柱容器，如图(2)所示，求这个正六棱柱容器容积的最大值．
[解] 设正六棱柱容器底面边长为x(0＜x＜1)，高为h，
由图可有2h＋x＝，
∴h＝(1－x)，
V＝S底·h＝6×x2·h＝x2··(1－x)
＝9×××(1－x)≤9×＝.
当且仅当＝1－x，即x＝时，等号成立．
所以当底面边长为时，正六棱柱容器容积最大值为.
