课件35张PPT。第一讲 不等式和绝对值不等式二 绝对值不等式
1．绝对值三角不等式
a原点距离长度|a|＋|b| ab≥0 三角形的两边之和大于第三边 |a－b| (a－b)(b－c)≥0 运用绝对值不等式求最值与范围 含绝对值不等式的证明 绝对值不等式的理解与应用 点击右图进入…Thank you for watching !二 绝对值不等式
1．绝对值三角不等式
学习目标：1.理解绝对值的几何意义，能利用绝对值的几何意义证明绝对值不等式的性质定理．(重点)2.会用绝对值不等式的性质定理证明简单的含绝对值的不等式，会求简单绝对值不等式的最值．(难点、易错易混点)
教材整理1 绝对值的几何意义
阅读教材P11～P11“思考”以上部分，完成下列问题．
1．实数a的绝对值|a|表示数轴上坐标为a的点A到原点的距离．
2．对于任意两个实数a，b，设它们在数轴上的对应点分别为A，B，那么|a－b|的几何意义是数轴上A，B两点之间的距离，即线段AB的长度．
教材整理2 绝对值三角不等式
阅读教材P11～P14“定理2”以上部分，完成下列问题．
1．定理1 如果a，b是实数，则|a＋b|≤|a|＋|b|，当且仅当ab≥0时，等号成立．
2．在定理1中，实数a，b替换为向量a，b，当向量a，b不共线时，有向量形式的不等式|a＋b|<|a|＋|b|，它的几何意义是三角形的两边之和大于第三边．
对于|a|－|b|≤|a＋b|≤|a|＋|b|，下列结论正确的是( )
A．当a，b异号时，左边等号成立
B．当a，b同号时，右边等号成立
C．当a＋b＝0时，两边等号均成立
D．当a＋b＞0时，右边等号成立；当a＋b＜0时，左边等号成立
B [当a，b异号且|a|＞|b|时左边等号才成立，A不正确；显然B正确；当a＋b＝0时，右边等号不成立，C不正确；D显然不正确．]
教材整理3 三个实数的绝对值不等式
阅读教材P14～P15“2.绝对值不等式的解法”以上部分，完成下列问题．
定理2 如果a，b，c是实数，那么|a－c|≤|a－b|＋|b－c|，当且仅当(a－b)(b－c)≥0时，等号成立．
设|a|＜1，|b|＜1，则|a＋b|＋|a－b|与2的大小关系是( )
A．|a＋b|＋|a－b|＞2
B．|a＋b|＋|a－b|＜2
C．|a＋b|＋|a－b|＝2
D．不可能比较大小
B [当(a＋b)(a－b)≥0时，
|a＋b|＋|a－b|＝|(a＋b)＋(a－b)|＝2|a|＜2；
当(a＋b)(a－b)＜0时，
|a＋b|＋|a－b|＝|(a＋b)－(a－b)|＝2|b|＜2.]
运用绝对值不等式求最值与范围
【例1】 对任意x∈R，求使不等式|x＋1|＋|x＋2|≥m恒成立的m的取值范围．
[精彩点拨] 令t＝|x＋1|＋|x＋2|，只需m≤tmin.
[自主解答] 法一 对x∈R，|x＋1|＋|x＋2|
≥|(x＋1)－(x＋2)|＝1，
当且仅当(x＋1)(x＋2)≤0时，
即－2≤x≤－1时取等号．
∴t＝|x＋1|＋|x＋2|的最小值为1，故m≤1.
∴实数m的取值范围是(－∞，1]．
法二 t＝|x＋1|＋|x＋2|
＝
∴t≥1，则t＝|x＋1|＋|x＋2|的最小值为1，故m≤1.
因此实数m的取值范围是(－∞，1]．
1．本题也可利用绝对值的几何意义求解．
2．对于含有两个绝对值及以上的代数式，通常利用分段讨论的方法转化为分段函数，进而利用分段函数的性质求函数最值．
1．已知函数f(x)＝|2x－a|＋a.
(1)当a＝2时，求不等式f(x)≤6的解集；
(2)设函数g(x)＝|2x－1|.当x∈R时，f(x)＋g(x)≥3，求a的取值范围．
[解] (1)当a＝2时，f(x)＝|2x－2|＋2.
解不等式|2x－2|＋2≤6，得－1≤x≤3.
所以f(x)≤6的解集为{x|－1≤x≤3}．
(2)当x∈R时，f(x)＋g(x)＝|2x－a|＋a＋|1－2x|≥|2x－a＋1－2x|＋a＝|1－a|＋a，
当x＝时等号成立，所以当x∈R时，f(x)＋g(x)≥3等价于|1－a|＋a≥3.①
当a≤1时，①等价于1－a＋a≥3，无解．
当a＞1时，①等价于a－1＋a≥3，解得a≥2.
所以a的取值范围是[2，＋∞)．
含绝对值不等式的证明
【例2】 设m等于|a|，|b|和1中最大的一个，当|x|>m时，求证：<2.
[精彩点拨] 不管|a|，|b|,1的大小，总有m≥|a|，m≥|b|，m≥1，然后利用绝对值不等式的性质证明．
[自主解答] 依题意m≥|a|，m≥|b|，m≥1.
又|x|>m，
∴|x|>|a|，|x|>|b|，|x|>1，从而|x|2>|b|.
因此≤＋
＝＋<＋＝2，即<2.
1．将文字语言“m等于|a|，|b|,1中最大的一个”转化为符号语言“m≥|a|，m≥|b|，m≥1”是证明本题的关键．
2．运用绝对值不等式的性质证明不等式时，要注意放缩的方向和“尺度”，切忌放缩过度．
2．若f(x)＝x2－x＋c(c为常数)，且|x－a|<1，求证：|f(x)－f(a)|<2(|a|＋1)．
[证明] |f(x)－f(a)|
＝|(x2－x＋c)－(a2－a＋c)|
＝|x2－x－a2＋a|＝|(x－a)(x＋a－1)|
＝|x－a|·|x＋a－1|<|x＋a－1|
＝|(x－a)＋(2a－1)|≤|x－a|＋|2a－1|.
又|x－a|<1，
∴|f(x)－f(a)| <|x－a|＋|2a－1|
≤|x－a|＋|2a|＋1<1＋2|a|＋1
＝2(|a|＋1)．
绝对值不等式的理解与应用
[探究问题]
1．不等式|a|－|b|≤|a±b|≤|a|＋|b|中“＝”成立的条件是怎样的？
[提示] 不等式|a|－|b|≤|a＋b|≤|a|＋|b|右侧“＝”成立的条件是ab≥0，左侧“＝”成立的条件是ab≤0且|a|≥|b|；不等式|a|－|b|≤|a－b|≤|a|＋|b|右侧“＝”成立的条件是ab≤0，左侧“＝”成立的条件是ab≥0且|a|≥|b|.
2．你能给出定理2的几何解释吗？
[提示] 在数轴上，a，b，c的对应的点分别为A，B，C.当点B在点A，C之间时，|a－c|＝|a－b|＋|b－c|；当点B不在点A，C之间时，|a－c|<|a－b|＋|b－c|.
【例3】 已知a，b∈R，则有
(1)≤1成立的充要条件是________；
(2)≥1成立的充要条件是________．
[精彩点拨] 利用绝对值三角不等式定理分别求解．
[自主解答] (1)因为|a|－|b|≤|a－b|恒成立，所以有|a－b|＞0?a≠b?≤1，
因此≤1成立的充要条件是a≠b.
(2)因为|a|＋|b|≥|a＋b|恒成立，
所以有|a＋b|＞0?a≠－b?≥1.
因此≥1成立的充要条件是a≠－b.
[答案] (1)a≠b (2)a≠－b
1．本题求解的关键在于|a|－|b|≤|a－b|与|a|＋|b|≥|a＋b|的理解和应用．
2．解决此类问题应从两个方向推出关系来进行求解．
3．条件不变，试求：
(1)＜1成立的充要条件；
(2)＞1成立的充要条件．
[解] (1)因为ab＜0?||a|－|b||＜|a－b|?＜1，
所以＜1成立的充要条件是ab＜0.
(2)因为＞1?|a|＋|b|＞|a＋b|且a＋b≠0?ab＜0且a≠－b，
所以＞1成立的充要条件是ab＜0且a≠－b.
1．已知实数a，b满足ab＜0，则下列不等式成立的是( )
A．|a＋b|＞|a－b| B．|a＋b|＜|a－b|
C．|a－b|＜||a|－|b|| D．|a－b|＜|a|＋|b|
B [∵ab＜0，∴|a－b|＝|a|＋|b|＞|a＋b|＝||a|－|b||，故应选B.]
2．若a，b∈R，则使|a|＋|b|>1成立的充分不必要条件可以是( )
A．|a|≥且|b|≥ B．|a＋b|≥1
C．|a|≥1 D．b<－1
D [当b<－1时，|b|>1，
∴|a|＋|b|>1，
但|a|＋|b|>1D?/b<－1(如a＝2，b＝0)，
∴“b<－1”是“|a|＋|b|>1”的充分不必要条件．]
3．已知四个命题：①a>b?|a|>b；②a>b?a2>b2；
③|a|>b?a>b；④a>|b|?a>b.其中正确的命题是________．
[解析] 当a>b时，|a|≥a>b，①正确．显然②③不正确．
又当a>|b|时，有a>|b|≥b，④正确．
[答案] ①④
4．|x＋1|＋|2－x|的最小值是________．
[解析] ∵|x＋1|＋|2－x|≥|(x＋1)＋(2－x)|＝3，
当且仅当(x＋1)(2－x)≥0，即－1≤x≤2时，取等号．
因此|x＋1|＋|2－x|的最小值为3.
[答案] 3
5．f(x)＝|x－10|＋|x－20|(x∈R)，求f(x)的最小值，并求当f(x)有最小值时，实数x的取值范围．
[解] ∵|x－10|＋|x－20|＝|x－10|＋|20－x|
≥|(x－10)＋(20－x)|＝10.
当且仅当(x－10)(20－x)≥0时取等号，
即10≤x≤20.
因此f(x)的最小值为10，此时实数x的取值范围是[10,20]．
课时分层作业(四) 绝对值三角不等式
(建议用时：45分钟)
[基础达标练]
一、选择题
1．已知a，b，c∈R，且a＞b＞c，则有( )
A．|a|＞|b|＞|c| B．|ab|＞|bc|
C．|a＋b|＞|b＋c| D．|a－c|＞|a－b|
D [当a，b，c均为负数时，则A，B，C均不成立，
如a＝－1，b＝－2，c＝－3时，有|a|＜|b|＜|c|，故A错；
|ab|＝2，而|bc|＝6，此时|ab|＜|bc|，故B错；
|a＋b|＝3，|b＋c|＝5，与C中|a＋b|＞|b＋c|矛盾，故C错；只有D正确．故选D.]
2．已知|a|≠|b|，m＝，n＝，则m，n之间的大小关系为( )
A．m>n B．m
C．m＝n D．m≤n
D [由|a|－|b|≤|a±b|≤|a|＋|b|，得≤1，≥1.]
3．已知a，b∈R，ab>0，则下列不等式中不正确的是( )
A．|a＋b|＞a－b B．2≤|a＋b|
C．|a＋b|<|a|＋|b| D.≥2
C [当ab>0时，|a＋b|＝|a|＋|b|，C错．]
4．若|a－c|＜b，则下列不等式不成立的是( )
A．|a|＜|b|＋|c| B．|c|＜|a|＋|b|
C．b＞||c|－|a|| D．b＜||a|－|c||
D [b＞|a－c|＞|a|－|c|，
b＞|a－c|＞|c|－|a|，故A，B成立，
∴b＞||a|－|c||，故C成立．
应选D(此题代入数字也可判出)．]
5．“|x－a|＜m且|y－a|＜m”是“|x－y|＜2m”(x，y，a，m∈R)的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
A [∵|x－a|＜m，|y－a|＜m，
∴|x－a|＋|y－a|＜2m.
又∵|(x－a)－(y－a)|≤|x－a|＋|y－a|，
∴|x－y|＜2m，但反过来不一定成立，
如取x＝3，y＝1，a＝－2，m＝2.5，|3－1|＜2×2.5，
但|3－(－2)|＞2.5，|1－(－2)|＞2.5，
∴|x－y|＜2m不一定有|x－a|＜m且|y－a|＜m，故“|x－a|＜m且|y－a|＜m”是“|x－y|＜2m(x，y，a，m∈R)”的充分不必要条件．]
二、填空题
6．设a，b∈R，|a－b|>2，则关于实数x的不等式|x－a|＋|x－b|>2的解集是________．
[解析] 因为a，b∈R，则|a－b|>2，其几何意义是数轴上表示数a，b的两点间距离大于2，|x－a|＋|x－b|的几何意义为数轴上任意一点到a，b两点的距离之和，当x处于a，b之间时|x－a|＋|x－b|取最小值，距离恰为a，b两点间的距离，由题意知其恒大于2，故原不等式解集为R.
[答案] R
7．下列四个不等式：
①logx10＋lg x≥2(x＞1)；
②|a－b|＜|a|＋|b|；③≥2(ab≠0)；
④|x－1|＋|x－2|≥1.
其中恒成立的是________(填序号)．
[解析] logx10＋lg x＝＋lg x≥2，①正确．
ab≤0时，|a－b|＝|a|＋|b|，②不正确；
∵ab≠0，与同号，
∴＝＋≥2，③正确；
由|x－1|＋|x－2|的几何意义知
|x－1|＋|x－2|≥1恒成立，④也正确．
综上，①③④正确．
[答案] ①③④
8．已知α，β是实数，给出三个论断：
①|α＋β|＝|α|＋|β|；
②|α＋β|>5；
③|α|>2，|β|>2.
以其中的两个论断为条件，另一个论断作为结论，写出你认为正确的一个命题是________．
[解析] ①，③成立时，则|α＋β|＝|α|＋|β|>4>5.
[答案] ①③?②
三、解答题
9．设ε>0，|x－a|<，|y－b|<.求证：|2x＋3y－2a－3b|<ε.
[证明] ∵|2x＋3y－2a－3b|＝|2(x－a)＋3(y－b)|≤2|x－a|＋3|y－b|<2×＋3×＝ε.
10．设函数f(x)＝＋|x－a|(a>0)．
(1)证明：f(x)≥2；
(2)若f(3)<5，求a的取值范围．
[解] (1)证明：由a>0，有f(x)＝＋|x－a|≥＝＋a≥2，所以f(x)≥2.
(2)f(3)＝＋|3－a|.
当a>3时，f(3)＝a＋，由f(3)<5，得3当0综上，a的取值范围是.
[能力提升练]
1．对任意x，y∈R，|x－1|＋|x|＋|y－1|＋|y＋1| 的最小值为( )
A．1 B．2
C．3 D．4
C [∵x，y∈R，∴|x－1|＋|x|≥|(x－1)－x|＝1，
|y－1|＋|y＋1|≥|(y－1)－(y＋1)|＝2，
∴|x－1|＋|x|＋|y－1|＋|y＋1|≥3.
∴|x－1|＋|x|＋|y－1|＋|y＋1|的最小值为3.]
2．以下三个命题：
(1)若|a－b|＜1，则|a|＜|b|＋1；
(2)若a，b∈R，则|a＋b|－2|a|≤|a－b|；
(3)若|x|＜2，|y|＞3，则＜.
其中正确的有________个．
[解析] (1)1＞|a－b|≥|a|－|b|，
∴1＋|b|＞|a|成立，(1)正确；
(2)|a＋b|－2|a|＝|a＋b|－|2a|≤|a＋b－2a|＝|a－b|正确；
(3)＝＜＜，正确．
[答案] 3
3．若存在实数x使|x－a|＋|x－1|≤3成立，则实数a的取值范围是________．
[解析] |x－a|＋|x－1|≥|a－1|，则只需要|a－1|≤3，解得－2≤a≤4.
[答案] －2≤a≤4
4．若1＜a＜8，－4＜b＜2，则a－|b|的取值范围是____________．
[解析] ∵－4＜b＜2，则0≤|b|＜4，∴－4＜－|b|≤0.
又∵1＜a＜8，∴－3＜a－|b|＜8.
[答案] (－3,8)
5．设a＞0，|x－1|＜，|y－2|＜，求证：|2x＋y－4|＜a.
[证明] 因为|x－1|＜，|y－2|＜，所以|2x＋y－4|＝|2(x－1)＋(y－2)|≤2|x－1|＋|y－2|＜2×＋＝a.
