课件42张PPT。第一讲 不等式和绝对值不等式二 绝对值不等式
2.绝对值不等式的解法{x|－a
a或x<－a} －c≤ax＋b≤c ax＋b≥c或ax＋b≤－c |ax＋b|≤c与|ax＋b|≥c 型不等式的解法 含参数的绝对值不等式的综合问题 含两个绝对值的不等式的解法 点击右图进入…Thank you for watching !2.绝对值不等式的解法
学习目标：1.理解绝对值的几何意义，掌握去绝对值的方法．(难点)2.会利用绝对值的几何意义求解以下类型的不等式：|ax＋b|≤c；|ax＋b|≥c；|x－a|＋|x－b|≥c；|x－a|＋|x－b|≤c.(重点)3.能利用绝对值不等式解决实际问题．
教材整理1 绝对值不等式|x|a的解集
阅读教材P15～P15倒数第2行以上部分，完成下列问题．
不等式
a>0
a＝0
a<0
|x|{x|－a|x|>a
{x|x>a或x<－a}
{x∈R|x≠0}
R
教材整理2 |ax＋b|≤c，|ax＋b|≥c(c>0)型不等式的解法
阅读教材P15～P17“探究”以上部分，完成下列问题．
1．|ax＋b|≤c?－c≤ax＋b≤c.
2．|ax＋b|≥c?ax＋b≥c或ax＋b≤－c.
不等式|x＋1|＞3的解集是( )
A．{x|x＜－4或x＞2} B．{x|－4＜x＜2}
C．{x|x＜－4或x≥2} D．{x|－4≤x＜2}
A [由|x＋1|＞3，得x＋1＞3或x＋1＜－3，因此x＜－4或x＞2.]
教材整理3 |x－a|＋|x－b|≥c，|x－a|＋|x－b|≤c(c>0)型不等式的解法
阅读教材P17～P19，完成下列问题．
1．利用绝对值不等式的几何意义求解．
2．利用零点分段法求解．
3．构造函数，利用函数的图象求解．
不等式|x＋1|＋|x＋2|＜5的解集为( )
A．(－3,2) B．(－1,3)
C．(－4,1) D.
C [|x＋1|＋|x＋2|表示数轴上一点到－2，－1两点的距离和，根据－2，－1之间的距离为1，可得到－2，－1距离和为5的点是－4,1.因此|x＋1|＋|x＋2|＜5解集是(－4,1)．]
|ax＋b|≤c与|ax＋b|≥c型不等式的解法
【例1】 求解下列不等式．
(1)|3x－1|≤6；(2)3≤|x－2|＜4；(3)|5x－x2|＜6.
[精彩点拨] 关键是去绝对值符号，转化为不含绝对值符号的不等式．
[自主解答] (1)因为|3x－1|≤6?－6≤3x－1≤6，
即－5≤3x≤7，从而得－≤x≤，
所以原不等式的解集是
.
(2)∵3≤|x－2|＜4，∴3≤x－2＜4或－4＜x－2≤－3，即5≤x＜6或－2＜x≤－1.
所以原不等式的解集为{x|－2＜x≤－1或5≤x＜6}．
(3)法一 由|5x－x2|＜6，得|x2－5x|＜6.
∴－6＜x2－5x＜6.
∴∴
即
∴－1＜x＜2或3＜x＜6.
∴原不等式的解集为{x|－1＜x＜2或3＜x＜6}．
法二 作函数y＝x2－5x的图象，如右图所示．
|x2－5x|＜6表示函数图象中直线y＝－6和直线y＝6之间相应部分的自变量的集合．
解方程x2－5x＝6，得x1＝－1，x2＝6.
解方程x2－5x＝－6，得x′1＝2，x′2＝3.
即得到不等式的解集是{x|－1＜x＜2或3＜x＜6}．
1．形如a＜|f(x)|＜b(b＞a＞0)型不等式的简单解法是利用等价转化法，即a＜|f(x)|＜b(0＜a＜b)?a＜f(x)＜b或－b＜f(x)＜－a.
2．形如|f(x)|＜a，|f(x)|＞a(a∈R)型不等式的简单解法是等价命题法，即
(1)当a＞0时，|f(x)|＜a?－a＜f(x)＜a.
|f(x)|＞a?f(x)＞a或f(x)＜－a.
(2)当a＝0时，|f(x)|＜a无解．
|f(x)|＞a?|f(x)|≠0.
(3)当a＜0时，|f(x)|＜a无解．
|f(x)|＞a?f(x)有意义．
1．解不等式：
(1)3＜|x＋2|≤4；
(2)|5x－x2|≥6.
[解] (1)∵3＜|x＋2|≤4，∴3＜x＋2≤4或－4≤x＋2＜－3，即1＜x≤2或－6≤x＜－5，所以原不等式的解集为{x|1＜x≤2或－6≤x＜－5}．
(2)∵|5x－x2|≥6，∴5x－x2≥6或5x－x2≤－6，由5x－x2≥6，即x2－5x＋6≤0，
∴2≤x≤3，
由5x－x2≤－6，即x2－5x－6≥0，
∴x≥6或x≤－1，
所以原不等式的解集为{x|x≤－1或2≤x≤3或x≥6}.
含参数的绝对值不等式的综合问题
【例2】 已知函数f(x)＝|x－a|.
(1)若不等式f(x)≤3的解集为{x|－1≤x≤5}，求实数a的值；
(2)在(1)的条件下，若f(x)＋f(x＋5)≥m对一切实数x恒成立，求实数m的取值范围．
[精彩点拨] →
[自主解答] (1)由f(x)≤3，得|x－a|≤3，
解得a－3≤x≤a＋3.
又已知不等式f(x)≤3的解集为{x|－1≤x≤5}，
所以解得a＝2.
(2)法一 由(1)知a＝2，此时f(x)＝|x－2|，
设g(x)＝f(x)＋f(x＋5)＝|x－2|＋|x＋3|，
于是g(x)＝
利用g(x)的单调性，易知g(x)的最小值为5.
因此g(x)＝f(x)＋f(x＋5)≥m对x∈R恒成立，
知实数m的取值范围是(－∞，5]．
法二 当a＝2时，f(x)＝|x－2|.
设g(x)＝f(x)＋f(x＋5)＝|x－2|＋|x＋3|.
由|x－2|＋|x＋3|≥|(x－2)－(x＋3)|＝5(当且仅当－3≤x≤2时等号成立)，得g(x)的最小值为5.
因此，若g(x)＝f(x)＋f(x＋5)≥m恒成立，
则实数m的取值范围是(－∞，5]．
1．第(2)问求解的关键是转化为求f(x)＋f(x＋5)的最小值，法一是运用分类讨论思想，利用函数的单调性；法二是利用绝对值不等式的性质(应注意等号成立的条件)．
2．将绝对值不等式与函数以及不等式恒成立交汇、渗透，这是命题的新动向．解题时应强化函数、数形结合与转化化归思想方法的灵活运用．
2．关于x的不等式lg(|x＋3|－|x－7|)(1)当m＝1时，解此不等式；
(2)设函数f(x)＝lg(|x＋3|－|x－7|)，当m为何值时，f(x)[解] (1)当m＝1时，原不等式可变为0<|x＋3|－|x－7|<10，可得其解集为{x|2(2)设t＝|x＋3|－|x－7|，
则由对数定义及绝对值的几何意义知0因y＝lg x在(0，＋∞)上为增函数，
则lg t≤1，当t＝10，x≥7时，lg t＝1，
故只需m>1即可，即m>1时，f(x)含两个绝对值的不等式的解法
[探究问题]
怎样解|x－a|＋|x－b|≤c和|x－a|＋|x－b|≥c型不等式？
[提示] 求解这类绝对值不等式，主要的方法有如下三种：
(1)(几何法)利用绝对值的几何意义求解．只要找到使|x－a|＋|x－b|＝c成立的x值，依据“大于取两边，小于取中间”的法则写出不等式的解集即可．
(2)(分段讨论法)分段讨论去掉绝对值符号，以a，b为分界点，将实数集分为三个区间，在每个区间上x－a，x－b的符号都是确定的，从而去掉绝对值符号．
(3)(图象法)联系函数图象，通过分析函数值的取值范围得到不等式的解集．
【例3】 (1)解不等式|x＋2|＞|x－1|；
(2)解不等式|x＋1|＋|x－1|≥3.
[精彩点拨] (1)可以两边平方求解，也可以讨论去绝对值符号求解，还可以用数轴上绝对值的几何意义来求解；(2)可以分类讨论求解，也可以借助数轴利用绝对值的几何意义求解，还可以左、右两边构建相应函数，画图象求解．
[自主解答] (1)|x＋2|＞|x－1|，可化为(x＋2)2－(x－1)2＞0，即6x＋3＞0，
解得x＞－，
∴|x＋2|＞|x－1|的解集为.
(2)如图，设数轴上与－1,1对应的点分别为A，B，那么A，B两点间的距离为2，因此区间[－1,1]上的数都不是不等式的解．设在A点左侧有一点A1到A，B两点的距离和为3，A1对应数轴上的x.
所以－1－x＋1－x＝3，得x＝－.
同理设B点右侧有一点B1到A，B两点的距离和为3，B1对应数轴上的x，
所以x－1＋x－(－1)＝3.
所以x＝.
从数轴上可看到，点A1，B1之间的点到A，B的距离之和都小于3；点A1的左边或点B1的右边的任何点到A，B的距离之和都大于3，
所以原不等式的解集是∪.
|x－a|＋|x－b|≥c，|x－a|＋|x－b|≤c(c＞0)型不等式的三种解法：分区间(分类)讨论法、图象法和几何法．分区间讨论的方法具有普遍性，但较麻烦；几何法和图象法直观，但只适用于数据较简单的情况．
3．已知函数f(x)＝|x－8|－|x－4|.
(1)作出函数f(x)的图象；(2)解不等式f(x)>2.
[解] (1)f(x)＝
函数的图象如图所示．
(2)不等式|x－8|－|x－4|>2，即f(x)>2.由－2x＋12＝2，得x＝5，根据函数f(x)的图象可知，原不等式的解集为(－∞，5)．
1．不等式|x|·(1－2x)>0的解集是( )
A． B．(－∞，0)∪
C． D．
B [原不等式等价于
解得x<且x≠0，即x∈(－∞，0)∪.]
2．不等式|x2－2|＜2的解集是( )
A．(－1,1) B．(－2,2)
C．(－1,0)∪(0,1) D．(－2,0)∪(0,2)
D [由|x2－2|＜2，得－2＜x2－2＜2，即0＜x2＜4，所以－2＜x＜0或0＜x＜2，故解集为(－2,0)∪(0,2)．]
3．不等式≥1的实数解为________．
[解析] ≥1?|x＋1|≥|x＋2|，且x＋2≠0.
∴x≤－且x≠－2.
[答案]
4．在实数范围内，不等式|2x－1|＋|2x＋1|≤6的解集为________．
[解析] 不等式|2x－1|＋|2x＋1|≤6?＋≤3，由绝对值的几何意义知(如图)，当－≤x≤时，不等式＋≤3成立．
[答案]
5．解关于x的不等式|2x－1|＜2m－1(m∈R)．
[解] 若2m－1≤0，即m≤，则|2x－1|＜2m－1恒不成立，此时，原不等式无解；
若2m－1＞0，即m＞，
则－(2m－1)＜2x－1＜2m－1，所以1－m＜x＜m.
综上所述：
当m≤时，原不等式的解集为，
当m＞时，原不等式的解集为{x|1－m＜x＜m}．
课时分层作业(五) 绝对值不等式的解法
(建议用时：45分钟)
[基础达标练]
一、选择题
1．不等式1<|x＋1|<3的解集为( )
A．(0,2) B．(－2,0)∪(2,4)
C．(－4,0) D．(－4，－2)∪(0,2)
D [由1<|x＋1|<3，得
1∴0∴不等式的解集为(－4，－2)∪(0,2)．]
2．不等式>的解集是( )
A．(0,2) B．(－∞，0)
C．(2，＋∞) D．(－∞，0)∪(2，＋∞)
A [由绝对值的意义知，>等价于<0，即x(x－2)<0，解得03．若不等式|ax＋2|＜6的解集为(－1,2)，则实数a的取值为( )
A．8 B．2
C．－4 D．－8
C [原不等式化为－6＜ax＋2＜6，
即－8＜ax＜4.
又∵－1＜x＜2，∴验证选项易知a＝－4适合．]
4．若不等式|x＋1|＋|x－2|≥a的解集为R，则实数a的取值范围是( )
A．a≥3 B．a≤3
C．a＞3 D．a＜3
B [令t＝|x＋1|＋|x－2|，由题意知只要tmin≥a即可，
因为|x＋1|＋|x－2|≥|(x＋1)－(x－2)|＝3，所以tmin＝3，∴a≤3.
即实数a的取值范围是(－∞，3]，故选B.]
5．设集合A＝{x||x－a|<1，x∈R}，B＝{x||x－b|>2，x∈R}，若A?B，则实数a，b必满足( )
A．|a＋b|≤3 B．|a＋b|≥3
C．|a－b|≤3 D．|a－b|≥3
D [由|x－a|<1，得a－1由|x－b|>2，得xb＋2.
∵A?B，∴a－1≥b＋2或a＋1≤b－2，
即a－b≥3或a－b≤－3，∴|a－b|≥3.]
二、填空题
6．不等式|x－5|－|x＋3|≥4的解集为________．
[解析] 当x<－3时，原不等式为8≥4恒成立；当－3≤x≤5时，原不等式为(5－x)－(x＋3)≥4，解得x≤－1，所以－3≤x≤－1；当x>5时，原不等式为(x－5)－(x＋3)≥4，无解．综上可知，不等式|x－5|－|x＋3|≥4的解集为{x|x≤－1}．
[答案] {x|x≤－1}
7．若关于x的不等式|ax－2|<3的解集为，则a＝________.
[解析] ∵|ax－2|<3，∴－1当a>0时，－当a＝0时，x∈R，与已知条件不符；
当a<0时，[答案] －3
8．若关于x的不等式|x＋2|＋|x－1|＜a的解集为，则a的取值范围为________．
[解析] 法一 由|x＋2|＋|x－1|＝|x＋2|＋|1－x|≥|x＋2＋1－x|＝3，知a≤3时，原不等式无解．
法二 数轴上任一点到－2与1的距离之和最小值为3.
所以当a≤3时，原不等式的解集为.
[答案] (－∞，3]
三、解答题
9．已知关于x的不等式|x|＞ax＋1的解集为{x|x≤0}的子集，求a的取值范围．
[解] 设y1＝|x|，y2＝ax＋1.
则y1＝
在同一直角坐标系中作出两函数图象，如图所示．
|x|＞ax＋1，只需考虑函数y1＝|x|的图象位于y2＝ax＋1的图象上方的部分，可知a≥1，即a的取值范围是[1，＋∞)．
10．已知函数f(x)＝|x－3|＋|x－2|＋k.
(1)若f(x)≥3恒成立，求k的取值范围；
(2)当k＝1时，求不等式f(x)<3x的解集．
[解] (1)|x－3|＋|x－2|＋k≥3，对任意x∈R恒成立，即(|x－3|＋|x－2|)min≥3－k.
又|x－3|＋|x－2|≥|x－3－x＋2|＝1，(|x－3|＋|x－2|)min＝1≥3－k，解得k≥2.
(2)当x≤2时，5x>6，解得x>，∴当22，解得x>，∴2当x≥3时，x>－4，∴x≥3.
综上，解集为.
[能力提升练]
1．如果关于x的不等式|x－a|＋|x＋4|≥1的解集是全体实数，则实数a的取值范围是( )
A．(－∞，3]∪[5，＋∞)
B．[－5，－3]
C．[3,5]
D．(－∞，－5]∪[－3，＋∞)
D [在数轴上，结合绝对值的几何意义可知a≤－5或a≥－3.]
2．若关于x的不等式|x＋1|≥kx恒成立，则实数k的取值范围是( )
A．(－∞，0] B．[－1,0]
C．[0,1] D．[0，＋∞)
C [作出y＝|x＋1|与y＝kx的图象，如图，当k＜0时，直线一定经过第二、四象限，从图看出明显不恒成立；当k＝0时，直线为x轴，符合题意；当k＞0时，要使|x＋1|≥kx恒成立，只需k≤1.
综上可知k∈[0,1]．]
3．若关于x的不等式|x－1|＋|x－a|≥a的解集为R(其中R是实数集)，则实数a的取值范围是________．
[解析] 不等式|x－1|＋|x－a|≥a恒成立，
a不大于|x－1|＋|x－a|的最小值，
∵|x－1|＋|x－a|≥|1－a|，
∴|1－a|≥a,1－a≥a或1－a≤－a，
解得a≤.
[答案]
4．已知a∈R，设关于x的不等式|2x－a|＋|x＋3|≥2x＋4的解集为A.
(1)若a＝1，求A；
(2)若A＝R，求a的取值范围．
[解] (1)当x≤－3时，原不等式化为－3x－2≥2x＋4，得x≤－3.
当－3＜x≤时，原不等式化为4－x≥2x＋4，得－3＜x≤0.
当x＞时，原不等式化为3x＋2≥2x＋4，得x≥2.
综上，A＝{x|x≤0或x≥2}．
(2)当x≤－2时，|2x－a|＋|x＋3|≥0≥2x＋4成立．
当x＞－2时，|2x－a|＋|x＋3|＝|2x－a|＋x＋3≥2x＋4，
得x≥a＋1或x≤，
所以a＋1≤－2或a＋1≤，得a≤－2.
综上，a的取值范围为(－∞，－2].
